單元二：等差數列 課文：等差數列的基本概念

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單元二：等差數列 課文 A：等差數列的基本概念

等差數列

上一單元我們介紹了數列，而且也觀察了一些規律，

像是 Ex3 中第一行的座號依序為：1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49，

這一數列的規律就是「任意相鄰的兩項，後項減去前項都等於 4 」。

這種數列的規律還蠻常見的，

就是「任意相鄰的兩項，後項減去前項所得的差都相同」，

像是這種數列我們就稱為等差數列，

而那個後項減去前項所得的差我們就稱為公差，通常記為 𝑑 。

再舉一個例子，在 1~20 當中 3 的倍數有： 3,6,9,12,15,18 。 𝑎₂− 𝑎₁ = 6 − 3 = 3 ;

𝑎₃− 𝑎₂ = 9 − 6 = 3 ; 𝑎₄− 𝑎₃ = 12 − 9 = 3 ; 𝑎₅− 𝑎₄ = 15 − 12 = 3 ; 𝑎₆ − 𝑎₅ = 18 − 15 = 3 ;

這一數列的規律是：「任意相鄰的兩項，後項減去前項所得的差都是 3 」， 所以這個數列就是等差數列，而 3 就是這個數列的公差。

2

以下有 4 個例題，請你依指示完成任務。讓我們來試試看！

Ex1.判斷下列各數列是否為等差數列。如果是，請寫出數列的公差。

(1) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 (2) 5 , 2 , −1 , −4 , −7 , −10 (3) 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 (4) 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1

◎解題思維與解答：

(1)

1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6, 7 從上圖我們可以知道，後項減去前項的差都是 1 ， 所以 1,2,3,4,5,6,7 就是等差數列，公差 𝑑 為 1 。 (2)

5 , 2 , − 1 , − 4 , − 7, − 10 從上圖我們可以知道，後項減去前項的差都是 −3 ， 所以 5,2, −1, −4, −7, −10 就是等差數列，公差 𝑑 為 −3 。 (3)

2 , 2 , 2 , 2 , 2, 2 從上圖我們可以知道，後項減去前項的差都是 0 ， 所以 2,2,2,2,2,2 就是等差數列，公差 𝑑 為 0 。 (4)

1 , 0 , 1 , 0 , 1, 0 , 1 從上圖我們可以知道，任意相鄰兩項的差不相等，

所以 1,0,1,0,1,0,1 不是等差數列。

+1 +1 +1 +1 +1 +1

-3 -3 -3 -3 -3

+0 +0 +0 +0 +0

-1 +1 -1 +1 -1 +1

3

Ex2.下列空格中填入適當的數，使得各數列成為等差數列。

(1) 5,8, , , , , (2) , , ,⁵₃, 3, , (3) , , 2b, 4b, , ,

◎解題思維與解答：

(1)從上面的部分訊息，我們就可以算出 公差 𝑑 = 𝑎₂ − 𝑎₁ = 8 − 5 = 3。

也就是說之後每一項都會比其前一項多 3 ： 5 , 8 , 11 , 14 , 17, 20 , 23 (2)從上面的部分訊息，我們就可以算出

公差 𝑑 = 𝑎₅ − 𝑎₄ = 3 −⁵

2 =¹

2。

也就是說之後每一項都會比其前一項多公差 𝑑 = ¹

2 。 𝑎₆ = 𝑎₅ + 𝑑 = 3 +¹

2= ⁷

2 ；𝑎₇ = 𝑎₆+ 𝑑 = ⁷

2+¹

2= 4 接著，我們由𝑎₄ = 𝑎₃ + 𝑑，得⁵

2= 𝑎₃ +¹

2，故𝑎₃ = 2；

同理，由𝑎₃ = 𝑎₂ + 𝑑 ；𝑎₂ = 𝑎₁+ 𝑑，算出𝑎₂

、

𝑎₁。結果如下:

1 , ³₂, 2 , ⁵₂ , 3, ⁷₂ , 4

+3 +3 +3 +3 +3 +3

+ 𝟏

𝟐 + 𝟏

𝟐 + 𝟏

𝟐

4

(3)

這一數列雖然沒有出現實際的數字，

但是等差數列的概念是一樣的，

公差會等於相鄰兩項的差(後項減前項)。

從題目中可以知道的其中相鄰兩項分別是 𝑎₃ = 2𝑏 、 𝑎₄ = 4𝑏 ， 所以我們就可以利用這兩項算出公差：

𝑑 = 𝑎₄− 𝑎₃ = 4b − 2b = 2b。

結果如下:

-2b, 0, 2b , 4b , 6b, 8b , 10b

+2b +2b +2b +2b

5

Ex3.下列空格中填入適當的數，使得各數列成為等差數列。

(1) 4, , 10, , , , (2) ,⁷

3, , ,¹⁶

3, , (3) , −6b, , , , 2b,

◎解題思維與解答：

(1) 4, , 10, , , ,

在這個數列中，已知的訊息有第一項𝑎₁ = 4、第三項𝑎₃ = 10 ， 我們先假設公差為 d ，就可以推出所有項了！

4, 𝑎

₂ , 10 , 𝑎₄ , 𝑎₅, 𝑎₆ , 𝑎₇ 從上面可以知道，第三項𝑎₃就是 4 + d + d = 10，

所以 4 + 2d = 10 ， 2d = 10 − 4 = 6，

可以得到公差 d = 3。

也就是說之後每一項都會比其前一項多 3 ：

4, 7 , 10 , 13 , 16, 19 , 22

+3 +3 +3 +3 +3 +3

+d +d +d +d +d +d

6

(2) ,⁷

3, , ,¹⁶

3, , 這個數列的第二項𝑎₂ = ⁷

3、第五項𝑎₅ = ¹⁶

3 ，假設公差為 d ， 從上面可以數出，第五項𝑎₅就是⁷

3+ d + d + d = ¹⁶

3， 所以 ⁷

3+ 3d = ¹⁶

3 ，3d =¹⁶

3 −⁷

3= 3，可以得到公差 d = 1。

也就是說之後每一項都會比其前一項多 1 ：

4

3, 7

3, 10

3 , 13

3 , 16

3 , 19

3 , 22 3 (3) , −6b, , , , 2b,

可以看出第二項𝑎₂ = −6b 與第六項𝑎₆ = 2b 之間差了 4 個公差。

假設公差為 d ，第六項𝑎₆就是(−6b) + d + d + d + d = 2b，

所以 (−6b) + 4d = 2b，

4d = 2𝑏 − (−6𝑏) = 8b，可以得到公差 d = 2b。

也就是說之後每一項就是其前一項加上2b ：

−8b , −6b, −4b , −2b , 0 , 2b , 4b

+ 𝟏 + 𝟏 +𝟏 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏

+2b +2b +2b +2b +2b +2b

7

Ex4.回答下列問題，已知等差數列的首項是 2 。 (1)若公差為 3 ，請寫出它的前五項。

(2)若公差為−3 ，請寫出它的前五項。

(3)觀察上面的結果，你認為等差數列中，公差為正或為負時，

數列會有什麼差別？

◎解題思維與解答：

(1)首項 𝑎₁ = 2 ，公差 d = 3 ： 𝑎₂ = 𝑎₁+ 𝑑 = 2 + 3 = 5 ; 𝑎₃ = 𝑎₂ + 𝑑 = 5 + 3 = 8 ; 𝑎₄ = 𝑎₃ + 𝑑 = 8 + 3 = 11 ; 𝑎₅ = 𝑎₄ + 𝑑 = 11 + 3 = 14

2 , 5 , 8 , 11 , 14 (2)首項 𝑎₁ = 2 ，公差 d = −3 ：

𝑎₂ = 𝑎₁+ 𝑑 = 2 + (−3) = −1;

𝑎₃ = 𝑎₂ + 𝑑 = (−1) + (−3) = −4 𝑎₄ = 𝑎₃ + 𝑑 = (−4) + (−3) = −7;

𝑎₅ = 𝑎₄ + 𝑑 = (−7) + (−3) = −10.

2 , −1 , −4 , -7 , -10 (3)從(1)跟(2)這兩個數列當中可以看到，

相同的首項，但是不同的公差，

如果公差是正的話那麼後項就會越來越大，

而如果公差是負的話那麼後項就會越來越小。

+3 +3 +3 +3

-3 -3 -3 -3

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閱讀重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋「等差數列」、「公差」，並 舉一個數列的例子做說明。

2. 一個等差數列當中，各項的關係如下：

𝑎₁, 𝑎₂ , 𝑎₃ , 𝑎₄ , 𝑎₅, 𝑎₆ , 𝑎₇ , …

(1) 相鄰的兩項之間差 個公差。

(2) 𝑎₃ 比 𝑎₁ 多 個公差。

(3) 𝑎₄ 比 𝑎₁ 多 個公差。

(5) 𝑎₅ 比 𝑎₁ 多 個公差。

(6) 𝑎₆ 比 𝑎₁ 多 個公差。

(7) 𝑎₇ 比 𝑎₁ 多 個公差。

+d +d +d +d +d +d

9

․隨堂練習：

1. 判斷下列各數列是否為等差數列。如果是，請寫出數列的公差。

(1) 2,4,6,8,10,12,14

(2) 8,1, −6, −13, −20, −27 (3) 0,0,0,0,0

(4) 1 , −2 , 3 , −4 , 5 , −6,7 (5) ¹₂,¹₃,¹₄,¹₅,¹₆,¹₇

2. 下列空格中填入適當的數，使得各數列成為等差數列。

(1) 3,10, , , , , (2) , , ,⁷

3, 3, , (3) , , , , ,³

2, 2 (4) , , 3b, 6b, , ,

3. 下列空格中填入適當的數，使得各數列成為等差數列。

(1) 7, , 13, , , , (2) , 1, , ,¹

4, , (3) , , , 3, , , −9 (4) , −³

5b, , , ,¹

5b,

10

還是不太懂 等差數列的意義

請看下面影片

https://youtu.be/mYmL5qIF6G4

還是不太懂~例 1，

請看下面影片

https://youtu.be/k-WTOoActKA

還是不太懂~例 2，

請看下面影片

https://youtu.be/oi-2LQYCuIM

還是不太懂~例 3，

請看下面影片

https://youtu.be/fQkDsDBdwe0

還是不太懂~例 4，

請看下面影片

https://youtu.be/d1oBFuVHmCc

11

單元二：等差數列 課文 B：等差數列的第 n 項公式

如果我們知道一等差數列的首項和公差的話，那麼我們就能把之後的 每一項都推算出來了。

例如上一節的 Ex4，已知等差數列的首項是 2、公差為 3 ， 那麼前五項會是：2 , 5 , 8 , 11 , 14

那如果我們想要求此等差數列的第𝟑𝟔項時，怎麼辦？

我們當然可以利用這個規律繼續推算 𝑎₆, 𝑎₇, 𝑎₈, … 一直到𝑎₃₆！

但是這樣子如果一不小心算錯其中一項，那麼後面就會全部錯下去！

所以我們就會想要知道首項、公差與各項之間的關係，

這個關係可以幫助我們在知道首項、公差的情況下，

直接推出想知道的那一項，不用逐項逐項的推算。

先來做一個簡單的觀察：

2 5 第 2 項比首項多 1 個公差，

𝑎₂ = 𝑎₁+

1

×

𝑑

= 2 +

1

×

3

= 5 2 5 8 第 3 項比首項多 2 個公差，

𝑎₃ = 𝑎₁+

2

×

𝑑

= 2 +

2

×

3

= 8 2 5 8 11 第 4 項比首項多 3 個公差，

𝑎₄ = 𝑎₁+

3

×

𝑑

= 2 +

3

×

3

= 11 2 5 8 11 14 第 5 項比首項多 4 個公差，

𝑎₅ = 𝑎₁+

4

×

𝑑

= 2 +

4

×

3

= 12 那麼第 36 項𝑎₃₆ 呢？它會比首項多幾個公差？

+3 +3 +3 +3

+3 +3 +3

+3 +3 +3

+3 +3 +3 +3

12

依此類推，第 36 項比首項多 35 個公差，

所以我們要算 𝑎₃₆ 就是𝑎₁ + 35 × 𝑑 = 2 + 35 × 3 = 107，

這樣不用逐項逐項推算，很方便吧！

依此類推，第 n 項的話就會是首項加 (n − 1) 個公差，

也就是：𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 ，這就是等差數列的公式！

這個公式，有 4 個主要元素，首項 𝑎₁ 、第 n 項 𝑎_𝑛 、項數 n 、公差 d ：

𝑎

_𝑛 =

𝑎

₁ + (𝑛− 1)

𝑑

⇓ 第

n 項

⇒

首 項

⇒ ⇒

公 項數

−1

差

這 4 個未知數只要知道其中 3 個，就可以求出另外的第 4 個。

13

我們來練習看看以下 5 個利用𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑的例題！

Ex1.一等差數列首項為 −14 ，公差為 9 ， 求此等差數列的第 9 項為何？

◎解題思維與解答：

前面我們已經知道第 n 項的公式了，我們可以直接使用公式，

先將知道的條件與要求的列出來：

首項𝑎

₁

= −14、公差𝑑 = 9，想求第 9 項 𝑎

₉，也就是 n = 9 ， 然後將這些代入公式“ 𝑎_𝑛 =

𝑎

₁ + (𝑛− 1)𝑑 ”中：

𝑎

₉ = (−14) + (9− 1) ×

9

= (−14) + 8 ×

9

= 58

Ex2.已知一等差數列第 21 項為 124 ，公差為 −3 ， 求此等差數列的首項為何？

◎解題思維與解答：

我們直接利用公式，

第 21 項 𝑎

₂₁

= 124，也就是 n = 21 ，公差𝑑 = −3，

然後將這些代入公式“ 𝑎_𝑛 =

𝑎

₁+ (𝑛− 1)𝑑 ”中：

124

=

𝑎

₁+ (21− 1) ×

(−3)

⇒

124

=

𝑎

₁+ 20 ×

(−3)

⇒

124

=

𝑎

₁+ (−60)

⇒

124

=

𝑎

₁− 60 ⇒

124

+ 60

= 𝑎

₁ ⇒

𝑎

₁ = 184

14

Ex3.已知一等差數列首項為 20 ，第 18 項為 71 ， 求此等差數列的公差為何？

◎解題思維與解答：

我們直接利用公式，

首項𝑎

₁

= 20，第 18 項 𝑎

₁₈

= 71，也就是 n = 18 ，想求公差𝑑，

然後將這些代入公式“ 𝑎_𝑛 =

𝑎

₁+ (𝑛− 1)𝑑 ”中：

71

=

20

+ (18− 1) ×

𝑑

⇒

71

=

20

+ 17 ×

𝑑

⇒

71

−

20

= 17 ×

𝑑

⇒ 51 = 17 ×

𝑑

⇒ 51 ÷ 17 =

d

⇒ 3 =

d

Ex4.已知一等差數列首項為 4 ，末項為 22 ，公差為 3 ， 求此等差數列共有幾項？

◎解題思維與解答：

我們直接利用公式，

首項𝑎

₁

= 4

，假設末項是第 n 項 𝑎_𝑛

= 22

，

公差𝑑 = 3

，想求項數 n ， 然後將這些代入公式“ 𝑎_𝑛 =

𝑎

₁+ (𝑛− 1)𝑑 ”中：

22

=

4

+ (𝑛− 1) ×

3

⇒

22

−

4

= (𝑛− 1) ×

3

⇒ 18 = (𝑛− 1) ×

3

⇒ 18 ÷

3

=

𝑛

− 1 ⇒ 6 =

𝑛

− 1 ⇒ 6 + 1 =

n

⇒ 7 =

n

15

Ex5.已知一等差數列第 3 項為 5 ，第 7 項為 21 ， 求此等差數列的公差為何？首項為何？

◎解題思維與解答：

原則上告訴我們首項𝑎₁跟公差 d ，我們就可以將所有項求出來，

現在反過來告訴我們第 3 項𝑎₃ = 5 、第 7 項𝑎₇ = 21，

想要求公差 d 跟首項𝑎₁ 。

我們先回到基本的等差數列想法來看，將數列寫下來：

𝑎₁ , 𝑎₂ , 5 , 𝑎₄ , 𝑎₅, 𝑎₆ , 21

以前我們都是拿各項去跟首項作比較，

可是現在首項不知道怎麼辦？很簡單，我們就拿知道的來做比較！

𝑎₁ , 𝑎₂ , 5 , 𝑎₄ , 𝑎₅, 𝑎₆ , 21 仔細觀察一下，第 7 項𝑎₇ 比第 3 項𝑎₃ 多了 4 個 d ！ 可以寫成 𝑎₃+ 4𝑑 = 𝑎₇ ，接著將已知條件代進去，

得到 5 + 4d = 21，解得d = 4 。

知道公差d = 4 之後，原本就知道第3項𝑎₃ = 5 ， 所以就可以反推回去求出首項𝑎₁ 了！

𝑎₁ 會比 𝑎₃ 少了 (3 − 1) 個公差d，

所以 𝑎₁ = 𝑎₃ − (3 − 1)𝑑 = 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3。

+d +d +d +d +d +d

+d +d +d +d +d +d

16

另外一種解法:

如果我們直接使用公式的話，先將知道的條件與要求的列出來：

第 3 項𝑎₃ = 5，第 7 項 𝑎₇ = 21，想求公差𝑑跟首項 𝑎₁

。

有兩個要求的未知數，應該要有兩個方程式才能求出解來，

分別將第 3 項𝑎₃

= 5，第 7 項𝑎

₇

= 21，

代入公式“ 𝑎

_𝑛 =

𝑎

₁+ (𝑛− 1)𝑑 ”，得到

5

=

𝑎

₁+ (3− 1) ×

𝑑

21

=

𝑎

₁+ (7− 1) ×

𝑑

這兩個方程式就可以列式解聯立：

{

5

=

𝑎

₁+ (3− 1) ×

𝑑 21

=

𝑎

₁+ (7− 1) ×

𝑑

整理⇒ {

5

=

𝑎

₁+ 2 ×

𝑑 … . . (1)

21

=

𝑎

₁+ 6 ×

𝑑 … . (2)

(2) − (1)：16 = 4 ×

𝑑

⇒ 16 ÷ 4 =

𝑑

⇒ 4 =

𝑑

代回(1)式：5=

𝑎

₁+ 2 ×

4

⇒

5

=

𝑎

₁+ 8

⇒

5

− 8 =

𝑎

₁

⇒ −3 =

𝑎

₁

17

閱讀重點提問

1. 一個等差數列當中，各項的關係如下：

𝑎₁, 𝑎₂ , 𝑎₃ , 𝑎₄ , 𝑎₅, 𝑎₆ , 𝑎₇ , … , 𝑎_𝑛

(1) 𝑎₂ 比 𝑎₁ 多 個公差，所以𝑎₂ = 𝑎₁+ ( −1)𝑑。

(2) 𝑎₃ 比 𝑎₁ 多 個公差，所以𝑎₃ = 𝑎₁+ ( −1)𝑑。

(3) 𝑎₄ 比 𝑎₁ 多 個公差，所以𝑎₄ = 𝑎₁+ ( −1)𝑑。

(5) 𝑎₅ 比 𝑎₁ 多 個公差，所以𝑎₅ = 𝑎₁+ ( −1)𝑑。

(6) 𝑎₆ 比 𝑎₁ 多 個公差，所以𝑎₆ = 𝑎₁+ ( −1)𝑑。

(7) 𝑎₇ 比 𝑎₁ 多 個公差，所以𝑎₇ = 𝑎₁+ ( −1)𝑑。

(8) 𝑎_𝑛 比 𝑎₁ 多 個公差，所以𝑎_𝑛 = 𝑎₁ + ( −1)𝑑。

2. 根據上面的課文 Ex1.~Ex5.，利用等差數列公式來解的題目可以 分成哪幾類？

+d +d +d +d +d +d

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․隨堂練習：

1. 已知一等差數列首項為 12 ，公差為 9 ，求此等差數列的第 10 項 為何？

2. 已知一等差數列第 12 項為 81 ，公差為 3 ，求此等差數列的首項 為何？

3. 已知一等差數列首項為 74 ，第 21 項為 14 ，求此等差數列的公 差為何？

4. 已知一等差數列首項為 21 ，末項為 −12 ，公差為 −³

4 ，求此等 差數列共有幾項？

5. 已知一等差數列第 2 項為 65，第 12 項為 25 ，求此等差數列的公 差為何？首項為何？

19

還是不太懂 等差數列第 n 項公式，

請看下面影片

https://youtu.be/iUsnmhHcuDk

還是不太懂~例 2，

請看下面影片

https://youtu.be/VIsj2LfyfDY

還是不太懂~例 3，

請看下面影片

https://youtu.be/h79UA7_9j40

20

單元二：等差數列 課文 C：等差中項

等差中項

等差中項顧名思義會跟等差數列有關，

而「中項」指的是中間的那一項。

例如有三個數 5,11,17 ，這三個數形成一個等差數列，

那麼中間那項 11 就稱為是 5 和 17 的等差中項。

再舉一個例子，12,10,8 成等差數列，

那麼中間那項 10 就稱為是 12 和 8 的等差中項。

三數成等差，它們之間會什麼樣的關係呢？

我們來討論一下！

有三個數 𝑎, 𝑏, 𝑐 成等差數列，

𝑎 , 𝑏 , 𝑐 公差 𝑑 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑐 − 𝑏；

移項整理一下變成 2𝑏 = 𝑎 + 𝑐 ， 再除以 2 ⇒ b = ^𝑎+𝑐₂

也就是，若𝑎, 𝑏, 𝑐 三個數成等差數列，

則 𝑏 就稱為 𝑎 和 𝑐 的等差中項，且 b = ^𝑎+𝑐₂ 。 我們來作以下 3 個有利用等差中項的例題

+公差 d +公差 d

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Ex1.已知 5, 𝑎, 𝑏 三項成等差數列，且 𝑎, 𝑏 兩數和為 28 ，求 𝑎, 𝑏 的值。

◎解題思維與解答：

從前面的學習經驗，我們得知若能知道等差數列的首項與公差，

就能推算出每一項。

目前已經知道首項為 5，因此假設公差為 d，

從而得到 a=5+d，b=5+2d，

可列出(5+d)+(5+2d)=28，解得 d=6。

因此，𝑎 = 11，b = 17 。

但有一些題目，從首項、公差出發會比較難看出下一步該怎麼做，

此時，可以試試等差中項，請看以下例題。

Ex2.已知 3𝑎 + 2𝑏 , 10 , 7𝑎 − 2𝑏 三項成等差，

且 𝑎 − 2𝑏 , 7 , 3𝑎 + 4𝑏 亦成等差，求 𝑎, 𝑏 的值。

◎解題思維與解答：

從這題目當中可以發現，所要求的就是兩個未知數 𝑎 跟 𝑏 ， 所以我們可以猜測應該需要列出兩個方程式。

22

看一下題目給的條件：

首先， 3𝑎 + 2𝑏 , 10 , 7𝑎 − 2𝑏 三項成等差，

換句話說 10 就是 3𝑎 + 2𝑏 跟 7𝑎 − 2𝑏 的等差中項，

列式成： 10 = (3𝑎+2𝑏)+(7𝑎−2𝑏)

2 。

再來， 𝑎 − 2𝑏 , 7 , 3𝑎 + 4𝑏 三項成等差，

換句話說 7 就是 𝑎 − 2𝑏 跟 3𝑎 + 4𝑏 的等差中項，

列式成： 7 = (𝑎−2𝑏)+(3𝑎+4𝑏)

2 。

{10 =(3𝑎 + 2𝑏) + (7𝑎 − 2𝑏) 2

7 =(𝑎 − 2𝑏) + (3𝑎 + 4𝑏) 2

等號右邊分母 2 移項過去變× 2

{20 = (3𝑎 + 2𝑏) + (7𝑎 − 2𝑏) 14 = (𝑎 − 2𝑏) + (3𝑎 + 4𝑏)

整理一下

{20 = 10𝑎 … . . (1) 14 = 4𝑎 + 2𝑏 … . . (2)

(1) 等號兩邊同除以 10 ，𝑎 = 2 代入(2) 14 = 4 × 2 + 2b

⇒ 14 = 8 + 2b

⇒ 6 = 2b

⇒ 3 = b

23

Ex3.已知 𝑎, 𝑏, 5, 𝑐, 𝑑 五項成等差，求 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 的值。

◎解題思維與解答：

𝑎, 𝑏, 5, 𝑐, 𝑑 五項成等差：

𝑎 , 𝑏 , 5 , 𝑐 , 𝑑 我們先挑中間三項 𝑏, 5, 𝑐 就會成等差，

也就是說 5 是 𝑏 和 𝑐 的等差中項，

所以就可以列式：5 = ^𝑏+𝑐

2 。 那我們如果挑 𝑎, 5, 𝑑 的話，

𝑎 , 𝑏 , 5 , 𝑐 , 𝑑

所以 𝑎, 5, 𝑑 就會成等差，

也就是說 5 是 𝑎 和 𝑑 的等差中項，

所以就可以列式：5 = ^𝑎+𝑑

2 。

再來看看這兩個式子：{5 = ^𝑏+𝑐₂ 5 = ^𝑎+𝑑

2

等號右邊分母 2 移項過去變× 2

{10 = b + c10 = 𝑎 + d ，題目要求的 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 10 + 10 = 20 。

+公差 d +公差 d +公差 d +公差 d

+公差 d +公差 d +公差 d +公差 d

+2 個公差 d +2 個公差 d

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閱讀重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋「等差中項」。

2. 根據上面的課文，如果有三個數 a,b,c 成等差數列，那麼這三數 間會有什麼樣的關係式？

3. 一個等差數列當中，各項的關係如下：

𝑎₁, 𝑎₂ , 𝑎₃ , 𝑎₄ , 𝑎₅, 𝑎₆ , 𝑎₇

𝑎₄ 是 與 的等差中項；

𝑎₄ 也會是 與 的等差中項；

𝑎₄ 也會是 與 的等差中項。

+d +d +d +d +d +d

25

․隨堂練習：

1. 已知 2, 𝑎, 𝑏 三項成等差，且 𝑎, 𝑏 兩數和為 28 ，求 𝑎, 𝑏 的值。

2. 已知 𝑎 + 2𝑏 , 10 , 3𝑎 − 2𝑏 三項成等差，且−𝑎 − 𝑏 , 6 , 𝑎 + 4𝑏 亦 成等差，求 𝑎, 𝑏 的值。

3. 已知 𝑎, 𝑏, 4, 𝑐, 𝑑 五項成等差，求 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 的值。

還是不太懂，

等差中項的說明 請看下面影片

https://youtu.be/n00C6PAPZok

還是不太懂，

例 1~例 3 請看下面影片

https://youtu.be/DiRz26USV-E

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單元二：等差數列 課文 D：等差數列的應用

學完等差數列後，生活當中有一些規律跟等差數列有關，

那麼就可以利用等差數列的概念去進行解題。

在解決應用問題的時候，首先要找出想要求的目標及題目所提供的條 件，再根據條件列出方程式，最後解方程式，並回答所要求的問題。

讓我們來練習看看以下 3 個例題吧！

Ex1.曉明存錢筒裡面已經有了 75 元，他決定從 3 月 1 日起，

省下每天買飲料的錢 25 元存進存錢筒裡，

請問到了 4 月 30 日，他的存錢筒裡一共有多少錢？

◎解題思維與解答：

一開始有存錢筒裡面已經有了 75 元

今天是 3 月 1 日，他就存了 25 元，所以存錢筒裡面共有 100 元；

明天 3 月 2 日，又存了 25 元，存錢筒裡面就有 125 元；

再隔一天 3 月 3 日，又存下了 25 元，存錢筒裡面就有 150 元；

再隔一天 3 月 4 日，又存下了 25 元，存錢筒裡面就有 175 元；...

也就是每天都會再多 25 元。

27

將存錢筒裡面的錢寫下來：75 , 100 , 125 , 150 , 175 , … 仔細觀察一下這個數列會發現就是一個等差數列，

首項𝑎₁ 就是 75 ，公差 d = 100 − 75 = 25 。

所以就可以利用這樣子的規律去推算到了 4 月 30 日總共存下到多 少錢。

從 3 月 1 日算起， 𝟒 月 𝟑𝟎 日是第幾天呢？

因為 3 月共有 31 天， 4 月共有 30 天，

所以 3 月 1 日到 4 月 30 日共有 (31 + 30) = 61 天，

還有一開始就有一些錢，所以就是在求第 62 項 𝑎₆₂ 。

首項𝑎₁ 就是 75 ，公差 d = 25 ，要求 𝑎₆₂，也就是 n = 62。

𝑎₆₂ = 75 + (62 − 1) × 25 = 75 + 61 × 25 = 75 + 1525 = 1600 。

28

Ex2.卉瑜為了存錢買一雙 2800 元的釘鞋，決定從 6 月 1 日起，

省下每天買飲料的錢 25 元，

請問要到了幾月幾日，他才會存到足夠的錢？

◎解題思維與解答：

假設今天是 6 月 1 日，他就省下了 25 元；

明天 6 月 2 日，又省下了 25 元，兩天總共省下 50 元；

...

將總共省下的錢寫下來：25 , 50 , 75 , 100 , 125 , 150 , … 仔細觀察一下這個數列會發現就是一個等差數列，

首項𝑎₁ 就是 25 ，公差 d = 50 − 25 = 25 。

什麼時候可以存夠錢可以買 2800 元的釘鞋呢？

不知道！但是可以假設到了第 n 天總共所存的錢 𝑎_𝑛 可以買釘鞋，

也就是 𝑎_𝑛 會比 2800 還要多，所以就可以列式成： 𝑎_𝑛 ≥ 2800 。 𝑎_𝑛 的算法是： 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 ，

𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 = 25 + (𝑛 − 1) × 25

𝑎_𝑛 = 25 + (𝑛 − 1) × 25 = 25 + 25𝑛 − 25 = 25𝑛 25n ≥ 2800

n ≥ 2800 ÷ 25 = 112 所以他要存 112 天才存夠錢可以買釘鞋。

112 25 2800 2500 300 250 50 50 0

29

從 𝟔 月 𝟏 日開始算起，𝟏𝟏𝟐 天後是幾月幾日呢？

6 月是小月，有 30 天；7 月是大月，有 31 天；8 月是大月，有 31 天；

這樣已有 30 + 31 + 31 = 92 天了，還要再過 20 天才會到 112天，

所以就會是 9 月 20 日。

30

Ex3.某三角形的三個內角度數成等差，且最大內角的度數為最小內 角的 2 倍，求此三角形三內角的度數分別為何？

◎解題思維：

三個數成等差，那麼我們就令等差中項為 𝑎 ； 前一項就少一個公差，就是 𝑎 − 𝑑 ；

後一項就多一個公差，也就是 𝑎 + 𝑑 。

𝑎 − 𝑑 , 𝑎 , 𝑎 + 𝑑 這樣子假設有什麼好處呢？

如果條件有給我們三數和的時候，(𝑎 − 𝑑) + 𝑎 + (𝑎 + 𝑑) = 3𝑎。

只留下一個未知數，計算上會比較方便！

我們假設這個三角形的三個內角度數分別是：𝑎 − 𝑑, 𝑎 , 𝑎 + 𝑑

接下來看條件，

從題目當中可以知道這三角形的最大角為最小角的 2 倍，

所以可以列式成：𝑎 + 𝑑 = 2(𝑎 − 𝑑) 。

+公差 d +公差 d

31

那另外一個條件呢？

很重要的條件，就是這是一個三角形的三個內角。

我們知道三角形的內角和為 180 度，

所以就可以列式成：(𝑎 − 𝑑) + 𝑎 + (𝑎 + 𝑑) = 180 。

{ 𝑎 + 𝑑 = 2(𝑎 − 𝑑)

(𝑎 − 𝑑) + 𝑎 + (𝑎 + 𝑑) = 180

{3𝑑 = 𝑎 … . . (1) 3𝑎 = 180 … . . (2)

(2)

同除以3⇒ 𝑎 = 180 ÷ 3 = 60 再代回

(1)

3𝑑 = 60

同除以3

⇒ 𝑑 = 20 因此，此三角形的三內角分別 40 度、60 度、80 度。

𝑑 + 2𝑑 = 2𝑎 − 𝑎 3𝑑 = 𝑎

𝑎 + 𝑑 = 2(𝑎 − 𝑑)

𝑎 + 𝑑 = 2𝑎 − 2𝑑

移項整理

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閱讀重點提問

1. 小峰存錢筒裡面已經有了 75 元，他決定從 4 月 1 日起，省下每 天買飲料的錢 20 元存進存錢筒裡，請問到了 4 月 30 日，他有了 多少錢？

由題目可以得知，存在錢筒裡面的錢，這些數字所成的數列為：

這個數列是否為等差數列？

如果是的話，首項𝑎₁ = 、公差d = 、 項數 n = ；所想要求的是第幾項?

2. 大冬為了存錢買一雙 3000 元的釘鞋，決定從今天開始省下每天 買飲料的錢 20 元，請問需要幾天他才會存到足夠的錢？

由題目可以得知，大冬如果每日結算總共所存的錢，那麼這些數 字所成的數列為：

這個數列是否為等差數列？

如果是的話，首項𝑎₁ = 、公差d = 、末項= ； 所要求的是第幾項?

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․隨堂練習：

1. 小晴決定從 7 月 1 日起，每天健走 4 公里，請問到了 8 月 31 日，

他一共健走了多少公里？

2. 為了增進大家的英文實力，老師規定每人在暑假中要閱讀一本英 文小說。小希選了一本 200 頁的英文小說，她之前已經讀了 20 頁 了，決定之後再從 7 月 1 日起開始閱讀，每天讀 5 頁，請問要到 了幾月幾日她才能讀完整本小說？

3. 若一三角形內角成等差，且最大角比最小角多 20 度，求此三角 形三內角為何？

還是不太懂~例 1~2，

請看下面影片

https://youtu.be/oH8_IbLulwM

還是不太懂~例 3，

請看下面影片

https://youtu.be/TvW2NmwEuHg