第 2 章 矩陣與行列式

第 2 章 矩陣與行列式

2.1 矩陣的定義 2.2 矩陣的基本運算

2.3 介紹行列式與反矩陣的計算 2.4 反矩陣

2.5 聯立方程式的求解

2.6 以 Excel 矩陣反矩陣與行列式

2.1 矩陣的定義

上表在第一列第一行座標(1，1)位置的數字 80，代表第一季台北分店的 銷售額；同理，第四列第三行座標(4，3)位置的數字 90，代表第三季高雄分 店的銷售額。

1. 由第一列加總(80+88+92=260)，可得第一季全省銷售額。

2. 由第一行加總(80+77+58+43=258)，可得台北分店全年的銷售額。

二、矩陣的一般化表示

a A中在第 列（橫向）第i

1. 若 _ij為矩陣 j行（縱向）位置的元素，

， ，其中 為正整數。

m

i=1~ j=1~n m，n 2. 矩陣A可表示為：

三、矩陣的類型

1. 列矩陣(row matrix)：

指矩陣是由一列的元素所構成。若該矩陣有 個元素時，則可表示為

，又稱為列向量(row vector)。

n

n

*

A1

[^80,88,92]

3

*

1 =

A

2. 行矩陣(column matrix)：

指矩陣是由一行的元素所構成。若該矩陣有 m 個元素，則可表示為

，稱為行向量(column vector)。

1

* m

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

= 43 58 77 80

1

*

A4

A

3. 方陣(square matrix)：

指列數與行數相等的矩陣，若列數與行數皆為n個，稱為n階方陣。

12 1

22 2

n n

nn n n

a a

a

11 21

1 2

n n

n n

a a a a A

a a

×

×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

L L

M L ann

a ...₃₃

M M

A矩陣的對角元素。

其中a₁₁,a₂₂, 稱為主

10.轉置矩陣(transpose matrix)：

指將原矩陣元素所在的列數與行數相互對調後，所形成的新矩陣，以

T表示。

A

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 4 3

2

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 4 2

3

T 1 A

已知A= ，則轉置矩陣 。

2.2、矩陣的基本運算

一、矩陣的加法

1. 若兩矩陣A與.B的行數、列數相同，均為m *n階矩陣。

B A與.

2. 由 中相同位置的元素相加所構成。

， 對所有 與i j皆成立。

二、 矩陣的減法

1. 若兩矩陣A與.B的行數、列數相同，均為m *n階矩陣，定義矩陣

A與矩陣B之差，以D矩陣，其元素為d_m*n。

B A與.

2. 其元素是由 中相同行位置的元素之差構成。

因此，

2.3 行列式與反矩陣的計算

2.4 反矩陣

一、反矩陣的定義

若 A 為 n 階方陣，存在矩陣 B 使得 AB＝I，I 為單位矩陣，則稱 A 為可 逆矩陣，其中 B 稱為 A 的反矩陣，以A⁻¹表示

−1

A

二、反矩陣的求解

求解 的方法有兩種方法，一種為透過基本列運算；另一種為透過伴 隨矩陣，分述如下

1. 基本列運算：

將(AI)透過矩陣的基本列運算轉化為( BI )，即可得反矩陣

B A⁻¹ =

⎥⎦

⎤

−1

1 ₋₁

A

。

例題 1： 已知 ⎢ ， 之計算：

⎣

=⎡ 1 A 1

⎥⎦

⎤

− 0 1 0 1 1

⎢ 1

⎣

⎡ 1

1 ，將第一列乘上（-1）加入第二列可得，

首先，建構矩陣

2 1( 1) R R − +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−1 1

1 1

1 0

0

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− 1 1

0 1 2 0

1

1 。

將第二列乘上（-1/2）可得，

2) ( 1 R2 −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− 21/ 2

/ 1

0 1 1 0

1 1

+R

。

將第二列乘上（-1）加入第一列可得

1 2( 1) R −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− 21/ 2

/ 1

2 / 1 2 / 1 1 0

0

1 。

由於左側矩陣為單位矩陣，所以，可得反矩陣

⎥⎦

⎤

− +

1 1

1

⎢ 1

⎣

= ⎡

−

2

1 1 A

所以，

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

−

−

−

0 1

1 1

1 1

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

−

1 1 0 A 1

例題 3 已知 ⎥，是以餘因子法求解反矩陣 。

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 5 3

2

1 ₋₁

A

1 ,

2 ,

3 _{21 22}

A

解： A 矩陣之餘因子為 ₁₁ =5, ₁₂ =− A =− A =

⎥⎦

− ⎤ 1

2

A

A 。

。又 A 矩陣之行列式為

⎢⎣

⎡

= − 3

adjA 5 A =5−6=−1，所以，

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

1 3

2 5

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

− =

1 1 3

2 5 A1

2.5 聯立方程式的求解

1.

，當 A ≠0，矩陣 X 第 i 個未知數的解為

i =

x A

a b

a b

a b

mn n

n n

... / ...

...

...

2 2

1 1

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

B a a

a a

a a

m

m1 2

22 21

12 11

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

其中分子矩陣的第 i 行向量以聯立方程式 矩陣取代 i=1,2,…,n。

例題 3：(市場均衡價格與數量)

已知某一商品市場的需求函數(D)與供給函數( )分別為：

Q P

D

S

d d = 5−

: _d

P s

S: = 3 Q_s

，其中P_d 為需求價格，Q 為需求數量

s +Q ，其中P_s為供給價格， 為供給數量

P代表價格，Q代表數量，其中 _s為供給價格，Q_s為供給數量

*

P

其中

P )與數量分別為何？

請問：市場均衡價格(

其中A⁻¹之計算如下：