第3章 矩 陣

第 3 章 矩陣 48

3-3 矩陣的應用

1. 已知 1 3 2 5

a b

A  

  

 是轉移矩陣，求a﹐b的値﹒

因為 5 5

3 2 5 5 a b A

 

 

  

 

 

 

﹐所以由轉移矩陣的定義﹐得

3 1 5 5

2 1 5 5 a

b

  



  



，

解得a ﹐2 b . 3

2. 資料顯示﹐某城市在晴天之後隔天下雨的機率為1

5﹐而在雨天之後隔天 也是雨天的機率為1

3﹒
(1)寫出此天氣的轉移矩陣﹒

(2)若此城市星期日下雨﹐求星期二下雨的機率﹒

(1)此天氣的轉移矩陣為

4 2 5 3 1 1 5 3 A

 

 

  

 

 

 

﹒

(2)因為星期日下雨﹐所以 ₀ 0 X  1

  

 ﹐於是

1 0

4 2 2

5 3 0 3 1 1 1 1

5 3 3

X AX

   

    

    

    

   

   

﹐ _{2 1}

4 2 2 34 5 3 3 45 1 1 1 11 5 3 3 45 X AX

     

     

      

     

     

     

﹐

故星期二下雨的機率為11

45﹒

第 3 章 矩 陣

第 3 章 矩陣 49

3. 小明從家裡到學校有甲﹑乙兩條路線可以走﹐他每天依下述方法決定上 學的路線﹕若某一天走乙路線上學﹐則次日一定走甲路線﹔若某一天走 甲路線上學﹐則次日丟一枚公正硬幣﹐出現正面就走甲路線﹐反面就走 乙路線上學﹒

(1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣﹒

(2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線﹐則他在星期三走甲路線上學的 機率為何﹖

(1)轉移矩陣

1 1 2 1 0 2 A

 

 

  

 

 

 

﹒

(2)因為星期一用丟硬幣決定上學路線﹐所以 ₀

1 2 1 2 X

  

  

  

 

﹐於是

1 0

1 1 3

2 1 2 4

1 1 1

2 0 2 4

X AX

     

     

      

     

     

     

﹐ _{2 1}

5

1 3

1 8

2 4

1 1 3

2 0 4 8

X AX

 

   

 

   

      

 

   

 

   

     

﹒

故小明在星期三走甲路線上學的機率為5

8﹒

4. 已知 4 5 7 9 A  

  

 ﹐ 4 3 B 5 1

  

 ﹐求

(1) A 的反方陣A^1﹒ (2)滿足 AX  的二階方陣 X ﹒ B

(1)由反方陣公式﹐得 ¹ 1 9 5 9 5

7 4 7 4

A^ 1        ﹒ (2)因為 AX ，所以B ^A1^AX^{A B1  XA B1 ﹒}

故 9 5 4 3 11 22

7 4 5 1 8 17

X            ﹒

第 3 章 矩陣 50

5. 已知 5 2 2 1 A  

  ﹐求滿足 1 2 1 6 2 5

AX  

   的矩陣 X ﹒

由反方陣公式﹐得 ¹ 1 1 2 1 2

2 5 2 5

A^ 1    

       ﹒

因為 1 2 1

6 2 5

AX  

  

 － ﹐所以

1 1 2 1 1 2 1 2 1 11 6 9

6 2 5 2 5 6 2 5 28 14 23

X A^           

       

－ －

－ － － － ﹒

6. 已知方陣 3 1 2 2 A a

a

 

 

    的反方陣不存在﹐求a的值﹒

因為 A 的反方陣不存在﹐所以^det ^A  ﹐即⁰ 3 1 ²

5 4 0

2 2

a a a

a

 

   

  ﹐

解得a 或 4 ﹒ 1

7. 已知 1 2 3 4 A  

  

 ﹐ 2 1 1 1 B   

   ﹐ 2 1 1 3

C  

  

 ﹐求滿足 AX 3BC的矩陣 X ﹒

因為AX3B ﹐所以C AX  C 3B  ^XA1^C3B^﹐

即 1 4 2 2 1 2 1

3 1 1 3 3 1 1 X 2         

4 2 4 4 1

3 1 2 6 2

 

   

     

12 4 6 2

1

10 6 5 3

2

 

   

        ﹒

第 3 章 矩陣 51

8. 實驗室培養兩種菌﹐令 a_n 和 b_n 分別代表兩種培養菌在時間點n的數 量﹐彼此有如下的關係﹕

 

1 2

n n n

a _  a b ﹐b_n12b_n（n0,1, 2, ）﹒

若二階方陣 a b A c d

 

  

 滿足 ³

3

n n

n n

a a

b A b





   

   

   ﹐（其中n0,1, 2, ）﹐

則a b c  d的值為何﹖ [94 指乙]

因為a_n12a_n2b_n﹐b_n1  0 a_n 2b_n﹐所以

3 2

3 2

2 2 0 2

n n

n n

a a

b b

 

 

   

    

 

   

1 1

2 2 2 2 0 2 0 2

n n

a b





 

   

    

      2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2

n n

a b

 

     

      

        8 24

0 8

n n

a b

  

  

   ﹐

即 8 24

0 8

A  

  

 ﹒

故a    b c d 8 24  0 8 40﹒