4 應用問題 3

4

本節應用問題的解題步驟，與一年級所學相同，但因一元二次方程式常有 兩個相異的解，所以最後寫答案時，要特別注意檢查是否都符合題意，或是有 不合理的情形。

由題意可知

（3x－5）（x＋2）＝42 3x²＋6x－5x－10＝42 3x²＋x－52＝0

（3x＋13）（x－4）＝0 3x＋13＝0 或 x－4＝0 x＝－ 13

3 或 x＝4

因為長方形的長與寬分別為 3x－5、 x＋2，

當 x＝－ 13

3 會使其邊長為負，所以不合。

所以 x＝4

長＝3x－5＝3×4－5＝7 寬＝x＋2＝4＋2＝6

長方形的長為 7 公分，寬為 6 公分。

3x　　　 ＋13 x　　　 － 4

－12x＋13x＝x

有一長方形，長為（3x－5）公分，寬為（x＋2）公分，面積為 42 平方公分，

試求其長與寬。

例

1

3 應用問題

配合習作 P49 基礎題 1 對應能力指標 8-a-17

1如右圖，梯形的上底為 7 公分、下底為 x 公分、高為（x＋2）公分，

且其面積為 88 平方公分，求此梯形的下底。

2 如右圖，三角形的底為（x＋2）公分，高為（5x－8）公分，且其面積為 4 平方公分，求此三角形的底。

7 公分

x 公分

（x＋2）

公分

（x＋2）公分

（5x－8）

公分

（7＋x）（x＋2）

2 ＝88 x²＋9x＋14＝176 x²＋9x－162＝0

（x－9）（x＋18）＝0 x＝9 或 x＝－18（不合）

梯形下底為 9 公分。

（x＋2）（5x－8）

2 ＝4

（x＋2）（5x－8）＝8 5x²＋2x－16＝8 5x²＋2x－24＝0

（x－2）（5x＋12）＝0 x＝2 或 x＝－ 12

5（不合）

三角形的底為 2＋2＝4 （公分）。

由題意可知 x• 3

2 x＝（x＋1）（x＋2）＋6 3

2 x²＝x²＋3x＋8 3x²＝2x²＋6x＋16 x²－6x－16＝0 （x－8）（x＋2）＝0 x－8＝0 或 x＋2＝0

x＝8 或 x＝－2（不合）

蘋果一箱共有 x• 3

2 x＝8× 3

2 ×8＝96 所以水果商買進蘋果 96 個。

某雜貨店老闆買進雞蛋一箱，每 x 個裝一盒，恰可裝滿 x 盒，若賣掉 2 盒 後，還剩雞蛋 120 個，試問雜貨店老闆買進幾個雞蛋？

某水果商買進蘋果一箱，如果每 x 個裝一盒時，恰 可裝滿 3

2 x 盒；如果每（x＋1）個裝一盒時，可裝滿

（x＋2）盒還多出 6 個，試問水果商買進幾個蘋果？

例

2

x•（x－2）＝120 x²－2x＝120

（x－1）²＝120＋1²＝121 x－1＝±11

由 x－1＝11 得 x＝12

由 x－1＝－11 得 x＝－10（不合）

雜貨店老闆買進雞蛋 12×12＝144 （個）。

配合習作 P49 基礎題 2

設原長方形土地的寬為 x 公尺。

由題意可知

（x－2）＝x（x＋2）－x（x－2）x x²－2x＝x²＋2x－x²＋2x x²－6x＝0

（x－6）＝0x x＝0 或 x－6＝0 x＝0（不合）或 x＝6

所以原長方形土地的長為 8 公尺，寬為 6 公尺。

如右圖，在長 24 公尺、寬 12 公尺的長方形草地 內部開闢一條等寬的十字形道路，已知道路與草 地的長寬平行，若剩下的草地面積為 189 平方公 尺，則十字形道路的寬應是多少公尺？

老趙有一塊長方形土地，已知長比寬多 2 公尺，

他在土地的中間挖了一個長方形的水池，水池四 周剩餘的土地均為 1 公尺寬（如右圖）。若水池 的面積與剩餘土地的面積相等，試問原長方形土 地的長與寬各是多少公尺？

道路面積問題

例

3

1 公尺

1 公尺 1

公 尺

1 公 尺

x＋2

x－2 x x

1

1

1 1

設道路的寬為 x 公尺，則 24×12－24x－12x＋x²＝189 x²－36x＋99＝0

（x－3）（x－33）＝0 x＝3 或 x＝33（不合）

道路的寬為 3 公尺。

x　　　 － 3 x　　　 －33

－33x－3x＝－36x

配合習作 P49、50 基礎題 3、4

假設增加 x 人。

依題意可列出一元二次方程式

（30＋x）（5000－100x）＝160000

150000－3000x＋5000x－100x²＝160000

－100x²＋2000x－10000＝0

將等式左右兩邊同除以－100 可得 x²－20x＋100＝0

（x－10）²＝0 x－10＝0 x＝10 （重根）

所以參加人數為 30＋10＝40 （人）。

某社團辦活動預定人數為 20 人，每人收費 100 元，但人數若少於 20 人，

每減少 1 人，則每人要加收 10 元。已知該社團共收到 2240 元，試問共有 多少人參加？

增加 x 人，

因此參加人數為 （30＋x） 人；

每人可減收 100x 元，

因此每人的收費為

（5000－100x） 元。

翰翰旅行社招攬墾丁三天兩夜旅遊，預定人數為 30 人，每人收費 5000 元，但人數若超過 30 人，每增加 1 人，則每人可減收 100 元。已知旅行 社共收到 160000 元，試問共有多少人參加？

例

4

假設減少 x 人，則

（100＋10x）（20－x）＝2240 2000－100x＋200x－10x²＝2240 x²－10x＋24＝0

（x－4）（x－6）＝0 x－4＝0 或 x－6＝0 x＝4 或 x＝6

參加人數共有 20－4＝16 （人）或 20－6＝14 （人）。

配合習作 P50 基礎題 5

1 因為 AB＝AC＋BC＝x＋1，所以此比例關係為 （x＋1） ： x＝x ： 1

2 x²＝x＋1 x²－x－1＝0

令 a＝1， b＝－1， c＝－1，得

b²－4ac＝（－1）²－4×1×（－1）＝5＞0

所以 x＝－b± b²－4ac 2a

＝ －（－1）± 5 2×1 ＝ 1± 5

2

因為 1＜ 5， 1－ 5

2 ＜0，

當 x＝ 1－ 5

2 會使 AC 的長度為負，所以不合。

因此 x＝ 1＋ 5 2 。 3 AC

BC ＝ x

1 ＝x＝1＋ 5 2 ，

所以 AC、 BC 兩線段長度的比值為 1＋ 5 2 。

A C B

1 x

內項乘積＝外項乘積

如右圖，C 點在 AB 上，且 AB、AC、BC 三線段 的長度滿足 AB：AC ＝ AC：BC 的比例關係。

若知 BC ＝1，AC ＝x，則：

1用 x 列出此比例關係。

2解出 x。

3求 AC、BC 兩線段長度的比值。

黃金分割比

例

5

重點回顧

如右圖，Q 點在 PR 上，且 PQ 、QR、PR 三 線段的長度滿足 PQ：QR＝QR：PR 的比例關 係。若知 QR 的長度為 1，求 PQ、QR 兩線段 長度的比值。

一元二次方程式應用問題之解題步驟：

1先從問題的敘述中找出條件。

2選擇一個適當的未知數。

3把問題中提到的數量關係，以含文字符號的式子表示。

4依據數量關係列成一元二次方程式。

5依據所列的方程式求出未知數。

6依題意寫答。（注意是否符合題意，或有不合理的情形）

P Q R

1

設 PQ ＝ x，由比例關係可知 x ： 1＝1 ： （x＋1）

（x＋1）＝1， xx ²＋x－1＝0 令 a＝1， b＝1， c＝－1，得 b²－4ac＝1²－4×1×（－1）＝5＞0 所以 x＝－b± b²－4ac

2a ＝－1± 5

2 （－1－ 5

2 不合）

PQ ： QR 的比值為 x

1 ＝x＝－1＋ 5 2 。

1有兩個數，它們的差是 4，乘積是 221，求這兩個數。

2 童軍若干人，分成 x 小隊時，每小隊有（x＋3）人，其中兩小隊負責搭帳蓬，

其餘的負責野炊，已知野炊的共有 36 人，求搭帳篷的人數。

3 安安旅行社招攬兩天一夜溫泉旅遊，預定人數為 32 人，每人收費 4000 元，

但人數若超過 32 人，每增加 1 人，則每人可減收 100 元，已知旅行社共收 到 129600 元，試問共有多少人參加？

自 我 評 量 3-1 4-3

設兩數為 x、x＋4。

（x＋4）＝221x x²＋4x－221＝0

（x－13）（x＋17）＝0 x＝13 或 x＝－17

此兩數為 13、17 或 －13、－17。

（x－2）（x＋3）＝36 x²＋x－6＝36 x²＋x－42＝0

（x－6）（x＋7）＝0 x＝6 或 x＝－7（不合）

共有 2×（6＋3）＝18 （人）搭帳篷。

設增加 x 人。

（32＋x）（4000－100x）＝129600

128000－3200x＋4000x－100x²＝129600

－100x²＋800x－1600＝0 x²－8x＋16＝0

（x－4）²＝0 x＝4（重根）

共有 32＋4＝36 （人）參加。

4 若將一正方形的一邊減少 3 公分，另一邊變成原來的 2 倍，則所得新長方形 的面積比原正方形的面積多 7 平方公分，求原正方形的邊長是多少公分？

5 在圖一中，甲是一個邊長為 2 公分的正方形，乙是一個長方形，且甲、乙兩 圖的面積相等。如果將甲疊在乙上面，使它們的兩個鄰邊對齊（如圖二所示）

時，結果發現乙露出的部分為正方形丙，試問正方形丙的邊長是多少公分？

圖一

甲 乙

圖二 丙

設正方形丙的邊長是 x 公分，則長方形乙的長為 （x＋2） 公分、寬為 x 公分。

由甲、乙的面積相等可得 4＝x（x＋2）

x²＋2x＝4

（x＋1）²＝4＋1²＝5 x＋1＝± 5

x＝－1± 5 （－1－ 5 不合）

所以正方形丙的邊長是（－1＋ 5 ）公分。

設原正方形的邊長為 x 公分。

（x－3）•2x＝x²＋7 2x²－6x－x²－7＝0 x²－6x－7＝0

（x－7）（x＋1）＝0 x－7＝0 或 x＋1＝0 x＝7 或 x＝－1 （不合）

所以原正方形的邊長是 7 （公分）。

黃金分割比

例題 5 中的比值 1＋ 5

2 （約為 1.618）是一個有趣的數，其倒數為 2

1＋ 5 ＝ 5 －1

2 （約為 0.618），兩數相差 1＋ 5

2 － 5 －1

2 ＝1，

古希臘人稱它們為黃金分割比。

相傳公元前六世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯發現把單弦琴的弦線 在約五分之二長度的地方用承托托著時，兩邊就能彈出極美妙的和音。

他認為，既然琴弦有一個完美的分割點（或比例），那麼所有線條、形 狀、物體，萬事萬物，乃至宇宙，都應該有同一個完美的比例。

因此，以畢氏為首的許多古希臘數學家，窮畢生 精力去研究比例。他們把美妙的比例分為十級，最高級 的，亦即最美麗的比例，就是黃金分割比。

在畢氏學派的正五邊形標幟中（如圖一），共含不等 長的四類線段 a、b、c、d（註：d＝a＋2b），其中 a：b 與 b：c 與 c：d 都符合黃金分割比，充分表達出他們的信念。

圖二

圖一 b

a b

c

數學萬花筒

×÷

－

畫家當然也不例外，文藝復興時期 義大利畫家達文西，在其名畫人體比例 圖中（如圖三），即以此分析人體各部分 的比例，法國還產生了名為黃金分割畫 派的立體主義畫家集團。甚至婦女的服 裝設計，也可與它有關。

圖三

圖四

　　這個代表著最能滿足人類視覺的分配比，自然被引用在建築、造 型等藝術中，如圖二，古希臘時期的偉大建築帕德能神廟（Parthenon at Athens），或名雕刻家費底亞斯（Phidias）的雕像作品，都有其蹤跡。

其實，在古希臘之前，古埃及人早已發現這個神秘的數字，他們在 金字塔的建築設計上，便大量的用到這個數值。直至今日，在建築設計 上仍處處可見。

圖四是兩件四層式的女裙，左邊是每層長度一樣的裙子，右邊的每 層長度與上一層長度的比滿足黃金分割比，你喜歡哪一件呢？