无穷级数

无穷级数

无穷级数

无穷级数是研究函数的工具

表示函数 研究性质 数值计算 数项级数

幂级数 付氏级数

第十二章

常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件

* 四、柯西审敛原理

第一节

一、常数项级数的概念

引例 1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 . 依次作圆内接正 3  2

( n  0 , 1 , 2 ,  ) _{边形 ,}

这个和逼近于圆的面积 A . a

 a

 a

   a

设 a

表 示

时 ,



 n

即 A  a

 a

 a

   a

  内接正三角形面积 , a

表示边数

增加时增加的面积 , 则圆内接正 时 时 时 时 时

2

3 

引例 2. 小球从 1 米高处自由落下 , 每次跳起的高度 少一半 , 问小球是否会在某时刻停止运动 ? 说明道 减

理 . 由自由落体运动方程 g

2

1 t

s  _知

g t  2 s

则小球运动的时间为 t

T   2t

 2t

 

 

 g 2 1 



 



  2

2 1

) 2 (

 1  

 ^{1 2} 

2 

 g  ^{2  1}  ^{ 2 . 63 ( s )}

 

设 t

表示第 k 次小球落地的时间 ,

定义： 给定一个数列 u

, u

, u

,  , u

,  _将各项依 ,





n

u

_即



1

n

u

 u

 u

 u

   u

 

称上式为无穷级数，其中第 n 项 u

_{叫做级数的一般项 ,} 级数的前 n 项

和 





k

k

n

u

S

1

称为级数的部分和 .

u

u u

u    





次相加 , 简记为

,

lim 时 时

时 S

S

n







收敛 ,

则称无穷级数

并称 S 为级数的和 , 记作







1 n

u

S

当级数收敛时 , 称差值

 









n

S S u u

r

为级数的余项 .

, lim 时 时 时

时

n

S





则称无穷级数发散 .

显然

0 lim 



 n

n

r

例 1. 讨论等比级数 ( 又称几何级数 )

) 0

2

(

0



















a q

a q

a q

a a

q

a

n

n

 

( q 称为公比 ) 的敛散性 . 解 : 1) 若 q  1 ,

1

2

 







n

a a q a q a q

S  

时，

当 q  1 lim  0 ,





n

n

q

由于 _从而

n

S







lim 因此级数收敛 ,

;

, 1 时

当 q  lim   ,





n

n

q

由于 从而 lim   ,



 n

n

S

则部分和

因此级数发散 .

其和为

2). 若 q  1 , , 1 时

当  q S

 n a _{因此级数发散 ;} ,

1 时 当 q  



   







 a a a

a

a ( 1 )

因此 S

    ^{n 为奇数}

n 为偶数

从而

n

S



lim

综合 1) 、 2) 可 知 ,

 1

q 时 , 等比级数收敛 ;

 1

q 时 , 等比级数发散 .

则

 ,



级数成为

, a

, 0

不存在 , 因此级数发散 .

例 2. 判别下列级数的敛散性 :

) . 1 (

) 1 2 (

1 ; ln

) 1 (

1

1















n

n

n n n

n

解 : (1) 1 ln 2

n

 S

 ^{ln( n 1 ) ln n} 

) 2 ln 3

(ln )

1 ln 2

(ln       

 

) 1 ln( 

 n   ( n   ） 所以级数 (1) 发散 ;

技巧 :

利用 “拆项相消” 求和

2 ln 3

 3

ln 4

 n

ln n 1 

 

(2) ( 1 ) 1

4 3

1 3

2 1 2

1 1



 

 

 

 

 n n

S



 

 

  

 2

1 1

1 1 1

 

 n  1 ( n   ） 所以级数 (2) 收敛 , 其和为 1 .

 

 

  

 3

1 2

1 



 

  

 4

1 3

1 



 





 



 1

1 1

n

 n

技巧 :

利用 “拆项相消” 求和

例 3. 判别级数 

 





2 2

1 1 ln

n

n ^{的敛散性 .} 解 :

 ^{1 1}



ln  n



2

1 ln n

n 

  ln( n  1 )  ln( n  1 )  2 ln n





2

1 1

ln k S

n k

n

 

 



] 2 ln 2 1

ln 3

[ln  

  [ln 4  ln 2  2 ln 3 ]

] ln 2 )

1 ln(

) 1

[ln( n   n   n

 



 [ln 5 ]

4 ln 2 3

ln 

 2

 ln

  ln( n  1 )  ln n  ln( 1 

)  ln 2 ,

2 ln lim  



n

S 故原级数收敛 , 其和为  ln 2 .

二、无穷级数的基本性质

性质 1. 若级数 

1

n

u

_{收敛于 S ,} ,







n

u

S _则各项

乘以常数 c 所得级

数 

1 n

u

c _{也收敛 ,} 证 : 令 ,







k k

n

u

S _则 





k

k

n

c u

1

  c S

,

n





 lim

 c S

这说明 

1 n

u

c 收敛 , 其和为 c S .

n

S

c

 lim

说明 : 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .

即

其和为 c S .

性质 2. 设有两个收敛级数 ,







n

u

S 





1 n

v



则级数 ( )

1 n

n



u

 v



也收敛 , 其和为 S   .

证 : 令 ,







k k

n

u

S ,







k k

n

v

 _则

) (

1

k n

k

k

n

  u  v



  _S

 

 S   ( n   )

这说明级数 ( )

1 n

n



u

 v



也收敛 , 其和为 S   .

说明 :

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( )

1

n n

n

v

u 



必发散 .

但若二级数都发散 , ( )

1

n n

n

v

u 





不一定发散 . 例如 , 取 u

 (  1 )

, v

 (  1 )

,

 0



n

v

而 u

(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或减 .

( 用反证法可证 )

性质 3. 在级数前面加上或去掉有限项 , 不会影响级 的敛散性 . 数

证 : 将级数 

1

n

u

的前 k 项去掉 , 

  1

n

u

的部分和为





l

l k

n

u

1

  S

 S

n k n

与 S

, 

时 由于 n   数敛散性相同 .

当级数收敛时 , 其和的关系为   S  S

. 类似可证前面加上有限项的情况 .

极限状况相同 , 故新旧两级

所得新级数

性质 4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 .

证 : 设收敛级数 ,







n

u

S 若按某一规律加括弧 ,

 







 ) ( )

( u

u

u

u

u

则新级数的部分和序列 

( m  1 , 2 ,  ) _{为原级数部分和} 序列 S

( n  1 , 2 ,  ) _{的一个子序列 ,}

n n

m m

S









 lim

lim   S

推论 : 若加括弧后的级数发散 , 则原级数必发 散 . 注意 : 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛

. ( 1  1 )  ( 1  1 )    0 , ^但 1  1  1  1   _{发散 .} 因此必有

例如 ，

用反证法可证

例如

例 4. 判断级数的敛散性 :

 









 _{    }

 4 1 1

1 4 1 1

3 1 1

3 1 1

2 1 1

2 1

解 : 考虑加括号后的级数

 













) ( ) ( )

(

1 41 1

31 1

31 1

21 1

21

1 1 1

1

 

 

n a

n

1 2

  n

n n



a





2 _n

n 发散 ,从而原级数发散 . 2 1







三、级数收敛的必要条件

设收敛级数 ,







n

u

S _则必有 lim  0 .



 n

n

u

证 : u

 S

 S

lim

lim

lim













 



n n n n

n

u S S  S  S  0

可见 : 若级数的一般项不趋于 0 , 则级数必发散

. 例如 , ,

) 1 1 5 (

4 4

3 3

2 2

1



 

 











n

n

n 其一般项为

) 1 1

(

 



n u

n

不趋于 0,因此这个级数发散 . u

n 时 ,

时  

注意 : lim  0



 n

n

u 并非级数收敛的充分条件 . 例如 , 调和级数 

       



n n

n

1 3

1 2

1 1 1

1

虽然 1 0 时

lim

lim  









u n

n n

n

但此级数发散 .

事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 lim (

 )  0



 n n

n

S S

n n

 2 n n

n

n 2

1 3

1 2

1 1

1  

 

 

 

但 S

 S



矛盾 ! 所以假设不真 .

2

 1