§　５．１　原函数　

第 五 章 不 定 积 分

§　５．１　原函数　

考虑质点沿直线运动，已知位移s=s(t)^{，求即时速度：}v(t)=s′(t)^{是求导运算；反过} 来，如果知道每个时刻的即时速度v(t)，求位移s(t)，则是个逆运算，即要找一个函数s(t)，

使得s′(t)=v(t)^。这个s(t)就是v(t)的不定积分，也称为原函数。

定 义

在区间I 上 给定函数 f(x)^，若存在 F( x)^使得 F′(x)= f(x)^，x∈I ^或 dx

x f x

dF( )= ( ) ^，x∈I^，则称F( x)^是 f(x)^{的一个原函数，}f(x)^{的全部原函数称为} f (x) 的不定积分，记作

∫

^{f(x)dx， 若f(x)存在原函数，称 f(x)可积。}

定理

设F( x)是f(x)的一个原函数，则

∫

f⁽x⁾dx=F⁽x⁾+C 其中C为任意常数。

注

我们只要找到f(x)的一个原函数，那么它的不定积分就有形式F(x)+C，即任二 个原函数之间仅相差一个常数。

证

由(F(x)+C)′=F′(x)= f(x)^{，即对任何常数}C，F(x)+C都是 f(x)的原函数，

再证它们是全部原函数。设G( x)为f(x)另一原函数，G′(x) = f(x)，那么

[

^F(x)−G(x)

]

^{′ = f (x)− f(x)=0，我们得到G(x)=F(x)+C。}

几何上看是明显的，曲线F(x)+C₁^和F(x)+C₂^在点x有相同切线斜率。

y

F(x)+C2

F(x)+C₁

x

实际问题中，加上某些初值条件（如F(x₀)=a）可以把常数C确定下来。

不定积分既然是求导逆运算，从求导数的表我们可以导出如下不定积分表，它是我们计 算不定积分的基础，务必牢记。

( 1)

1

1 1 + ≠−

= + ⁺

∫

^xαdx _α ^{x α C α}

x C

x

dx = +

∫

^{ln| |}

∫

^{exdx =ex +C}

∫

^{cosxdx=sin x+C}

∫

^{sin xdx =−cosx+C}

tgx C x

dx = +

∫

_cos²

arctgx C x

dx = +

∫

₁+ ²

x C

x

dx = +

∫

₁− 2 ^arcsin

∫

^shx=chx+C

∫

^chx=shx+C

thx C x

ch

dx = +

∫

²

Arshx C x x C x

dx = + = + + +

∫

+ ^{ln( 1)}

1

2 2





−

<

+

−

−

>

= + +

− +

− =

∫

_x^dx2 ₁ ^{ln|x x2 1| C} _Arch^Arch₍^x_x) ^C_C ⁽₍^x_x ¹⁾₁₎







>

+

<

+

=

− +

= +

∫

₁− ² ₂^1ln₁^{1 1} _C ⁽₍^|_|x^|_| ¹₁⁾₎ Arthx

x C x Arth x C

x x

dx

性质 １　

设f (x),g(x)^可积，则 f(x)±g(x)^{也可积，且}

∫

^{[f(x)±g(x)]dx=}

∫

^f(x)dx±

∫

^g(x)dx。

性质 ２

设f(x)可积，则k f(x)可积，且

∫

^{k f(x)dx=k}

∫

^{f(x)dx (k≠0)。}

注

这两条性质说明不定积分是一种线性运算，即与加法和数乘可交换。

我们只给出性质 1 的证明，另一个可用同样方法证明：令

∫

^{f(x)dx= F(x)+C 或 F′(x)= f(x)}

∫

^{g(x)dx=G(x)+C 或 G′(x)= f(x)}

则 [F(x)±G(x)]′= f(x)±g(x)^。所以

∫

^{[f(x)±g(x)]dx= F(x)±G(x)+C。}

§　５．２　换元法　

２．１　第一换元法　

　　　　定理 １

如果

∫

^{f(u)du=F(u)+C，又u=u(x)是x可微函数，则}

∫

^{f[u(x)]⋅u′(x)dx =F[u(x)]+C。}

证

由条件，我们有 dF(u)= f(u)du，一阶微分有不变性：

dF[u(x)]= f[u(x)]du(x)= f[u(x)]u′(x)dx^， 所以

∫

^{f[u(x)]u′(x)dx =F[u(x)]+C。}

例１　 ∫

_ax¹_+b^dx

解 ∫

_ax¹_+b^{dx =} _a¹

∫

^d(_ax^ax₊⁺_b^{b) =} _a^{1ln|ax+b|+C。}

例 ２

∫

_a^2dx_+x²

解

C

a arctgx a d

a x a

dx

ax ax

+ + =

+ =

∫

∫

^{2 2 1} ₁ ⁽₍ ⁾₎^{2 1 。}

例 ３

∫

^(ax+b)ndx

解

)。 1 ) (

1 (

) (

) ( ) 1 (

) (

1 + ≠−

+

= +

+ +

= +

+

∫

∫

n n C

a b ax

b ax d b a ax

dx b ax

n n n

总结

（1）复合函数求导：

(

^F[u(x)]

)

′ = ^F′^[u(x)]u′^(x)是直接的，在不定积分换元法 中应用的是同一原理，但现在是倒着走，即要把被积函数人为地拆成f[u(x)]与u′( x)^乘积，

如何拆，要灵活掌握，目标是往已知积分表里的公式靠。

（2）若u =ax+b^，则adx=^d(ax+^b)是一种常用换元。

（3）在实际运算中不必一定写出u =u(x)这步代换，自己看清就行了。

例 ４

∫

_a^2dx_−x²

解

C。 x a

x a a

a C d

a x a

dx

axax ax

ax

− +

= +

− +

= +

= −

∫

−

∫

2 ln 1

1 ln1 2

1 ) ( 1

) ( 1

2 2

2

另一种解法：

C。 x a

x a a

x a

x a d a x

a a x d a

x dx a x a x a

a dx

− +

= +

−

− − +

= +

+ −

= +

−

∫ ∫

∫ ∫

2 ln 1

) ( 2

1 ) ( 2

1

1 ] [ 1

2 1

2 2

例 ５　　　 ∫

_x²₊^x₂^dx_x+3

解

x C arctg x

x

x x

dx x

x x x d x

x dx x

+ +

− + +

=

+

− + + +

+

= + +

+

∫ ∫

∫

2 1 2

) 1 3 2 2ln(

1

3 2 3

2 ) 3 2 ( 2 1 3 2

2

2 2

2 2

例 ６　　　

^{I =}

∫

_3x² ₋^dx_2x−1

解

_C

x dx x

x

I x +

+

= −





− −

− +

= ¹₄

∫

₃ ³ ₁ ¹_{1 4}^1ln₃ ¹₁ ^。

又一解法：

x C x

C x

x x

x d I

+ +

= −

− +

= −

−

−

= −

+

−

∫

1 3 ln 1 4 1

3 3 4ln 1

) 3

(

) 3

( 3 1

3 2 3 1

3 2 3 1

3 4 3 1

3 1

2

例 ７　　　

( 0)

2

2 >

=

∫

_a^dx−_x ^a

I

解

C

a d x

I

a x a x

+

− =

=

∫

^arcsin

1 ( )² ) (

。

例 ８　　

^{I =}

∫

_x(^dx_1−x)

解

x C

x

I dx = − +

−

=

∫

−_{( )}2 ^{arcsin(2 1)} 2

1 4

1

。

又一解法：

x C

x x d x

x

I dx = +

= −

−

=

∫

⋅

∫

^2arcsin

) ( 1 2

1 ²

事实上这两个答案恰相差一个常数。

例 ９ 　　

^{I =}

∫

^tgxdx

解

x C

x x

I =−

∫

d_cos^cos =−^{ln|cos |}+ ^。

例 １０

^{In =}

∫

^tgnxdx

解

2。

1

2 2

2 2 2

1 1

cos cos 1

−

−

−

−

−

− −

=

−

− =

=

∫ ∫ ∫

n n

n n

n n

I x n tg

dx x tg tgx d x tg x dx

x x tg I

这个递推公式非常有用，比如

C。 x x

tg dx tgx x tg

I³ =¹₂ ² −

∫

=₂^{1 2} +^{ln|cos |}+

C。 x tgx x tg

dx tgx

x tg dx x tg x tg I

+ +

−

=

+

−

=

−

=

∫ ∫

3

3 2

3 4

3 1

3 1 1 3

1

例 １１

^{I =}

∫

_cos^dx_x

解

C

x x x

x d x

dx

I x +

−

= +

= −

=

∫

^cos_cos²

∫

_{1 sin}^sin2 ₂^1ln₁¹ _sin^sin

C。 tgx x x C

x + = + +

= + lnsec

cos sin ln1 2

1 ²

又一解法：

⁼

∫

_{cos −sin} ⁼²

∫

_{cos (1}⁽₋⁾ ₎

2 2 2

2 2

2 2 2

2 x x

x x

x tg

dx d I

C。 tg

tg C tg tg

tg d

x

x x x

x

+ +

=

− +

= +

=

∫

−

) ( ln

1 ln1 ) 1

(

) 2 (

4 2

2 2

2 2 2

π

例 １２　　　

^{I =}

∫

₁₊^dx_x^{3 , J =}

∫

₁^x₊^dx_x³

解

C。 arctg x

x dx x

x dx dx

x J x

I

− +

=

+

= − +

= − +

= +

+

∫ ∫ ∫

3 1 2 3

2

) ( 1

1 1

4 2 3 2 2 1

3

C。 x x

x dx x x dx dx

x J x

I

+ +

− +

=

− +

= + +

= −

−

∫ ∫ ∫

| 1

| ln

| 1

| ln

1 1

1 1

3 3

1

3 2 3

所以 x x x C。

arctg

I = − + + − ln|1+ |+

6

| 1 1

| 2ln 1 3

1 2 3

1 3

x x x C。

arctg

J = − − + + ln|1+ |+

6

| 1 1

| 2ln 1 3

1 2 3

1 3

2

．第二换元法

∫

f[u(x)]⋅u′(x)dx=

∫

f(u)du (u=u(x))

Ⅰ　　　　　　　Ⅱ 已知Ⅱ求Ⅰ，是

第一换元法

；

已知Ⅰ求Ⅱ，是

第二换元法

。

定理 ２　　

设x =x(t)^{在开区间上导数}>0^{或＜０，又如果}

∫

f^[x⁽t^)]x′⁽t⁾dt=G⁽t⁾+C^，

则

∫

^{f(x)dx=G[t(x)]+C，其中t=t( x)为x =x(t)的反函数。}

证

已知G′(t)= f[x(t)]x′(t)^，又x′(t)≠0，所以x(t)连续，严格单调，因此反函数

) ( x t

t= 存在，也连续，严格单调，且

)]

( [ ) 1

(x x t x

t′ = ′ ^。于是

(

^G[t(x)]

)

′ =^G′^[t(x)]t′^(x)= ^f(x)x′^[t(x)]t′^(x)= ^f(x)_， 所以

∫

^{f(x)dx=G[t(x)]+C。}

第二换元法主要用来求含有 的积分。

例 １３　　　

^{I =}

∫

^{a2 −x2dx}

解

令x=asint^， 2

<π

t ，则

C。 x a a x

x a

C a t

a t dt t a

I

+

− +

=

+ +

=

=

∫

2 2 2

2 2 2

2

2 arcsin 1 2

2 4 sin cos 2

　例 １４　　

⁼

∫

x2 ₋a2

I dx (a>0, x >a)

解

令x =asect (0<t <^π₂)

C。 a x x

a C a x a x

C t tg t

t dt dt

t tg a

t tg t I a

+

− +

=

− + +

=

+ +

=

⋅ =

=

∫ ∫

2 2

2 2

ln ln

sec ln

cos sec

又一解法： 令 x=acht^，0<t <+∞，t=ln x+ x²−a²

^{I =}

∫

_a^a_sht^{sht dt=t+C =ln x+ x2 −a2 +C。}

注：上面是对x>a^{进行的，对于}x<−a^{同样方法。}

例 １５

⁼

∫

x2 ₊a2

I dx (a>0)

解

^令x=asht^，

^{I =t+C =Arcsh}_a^{x+C =ln}

(

^{x+ x2 +a2}

)

^+C。

例 １６

^{I =}

∫

_x^dx₊³ _x

解

令 x =t⁶

C t t

t t

t dt t

t tdt

t t

t dt I t

+ +

− +

−

=

− + +

− + =

+ =

=

∫ ∫ ∫

| 1

| ln 6 6 3 2

1 ] 1 1 [

1 6 6 6

2 3

2 3

2 3

5

=2 x −3³ x+6⁶ x −6ln|1+⁶ x |+C。 　

§５．３　　分部积分法　

定理

^设u(x)^，v(x)^可导，若

∫

^{u′(x)v(x)dx存在，则}

∫

^{u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−}

∫

^{v(x)u′(x)dx}

证

由(uv)′=u′v+uv′，我们有uv′=(uv)′−vu′，右端两项原函数存在，左端项原 函数也存在，且

∫

^{uv′dx=uv−}

∫

^vu′dx。

注

公式也常写成

∫

^{udv =uv−}

∫

^vdu。

用分部积分法求不定积分之步骤：1．把被积函数拆成uv′^，将v′^放入d后面成dv，通 常v′=e^±x,sin x,cosx,xⁿ,shx,chx等；2．用公式；3．把u′v积出来，如积不出来，设 法建立函数方程来求解。

例 １　　　

^{I =}

∫

^x3lnxdx

解

令u=lnx^，

4

3dx d x4

x

dv= = ^，即

4

x4

v = ^，则

I = ¹₄x^4lnx−¹₄

∫

x³dx =₄¹x^4lnx−₁₆¹ x⁴ +C^。

例 ２

^{I =}

∫

^arctgxdx

解

C。 x x

arctg x

x x xdx arctg x darctgx x

x arctg x I

+ +

−

=

− +

=

−

=

∫ ∫

) 1 ln(

1

2 2

1

2

例 ３

^{I =}

∫

^{x2sin xdx}

解

C。 x x

x x x

xdx x

x x x

x xd x

x

xdx x

x x d x I

+ +

+

−

=

− +

−

=

+

−

=

+

−

=

−

=

∫

∫

∫ ∫

cos 2 sin 2 cos

sin 2 sin 2 cos

sin 2

cos

cos cos

cos

2 2 2

2 2

2

例 ４

^{I =}

∫

^{x2 −1dx}

解

I x

x x

x

x dx dx

x x

x

dx x x x

x x

xd x

x I

−

− +

−

−

=

− −

−

−

−

=

− −

−

=

−

−

−

=

∫

∫

∫

∫

1 ln

1

1 1

1

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

所以 I = x x − − ln x+ x −1+C 2

1 1 2

1 2 2

。

又一解法：令x =cht，

C。 x

x x

x

C t t sh t dt

dt ch t sh I

+

− +

−

−

=

+

−

− =

=

=

∫ ∫

1 2ln

1 1 2

1

2 2 1 4 1 2

1 2

2 2

2

例 ５

^{I =}

∫

^{eaxcosbxdx，J =}

∫

^eaxsinbxdx

解

J

b bx a be

bx d b e

I = ¹

∫

^{ax sin} = ^{1 axsin} −

I

b bx a be

bx d b e

J =−¹

∫

^{ax cos} =−^{1 axcos} +







=

−

= +

bx e

bJ aI

bx e

aJ bI

ax ax

cos sin

C，

b a

bx b bx a I e

ax +

+

= ( cos₂ +₂ sin )

C。

b a

bx b bx a J e

ax +

+

= ( sin₂ −₂cos )

例 ６

^{Kn =}

∫

^{cosn xdx}

解

n n

n

n n

n

n n

n n

n n

K n K

n x x

xdx n

dx x n

x x

dx x x

n x x

x xd

x x

x d x K

) 1 ( )

1 ( cos

sin

cos ) 1 ( cos

) 1 ( cos

sin

cos sin ) 1 ( cos

sin

cos sin

cos sin sin

cos

2 1

2 1

2 2

1

1 1

1

−

−

− +

=

−

−

− +

=

− +

=

−

=

=

− −

−

−

−

−

−

−

−

∫

∫

∫

∫

∫

所以 ¹ 1 ₂

cos 1sin

− + − −

= n

n

n K

n x n n x

K 。

例 ７

^{In =}

∫

_(x² ₊^dx_a²₎ⁿ

解

1 2 2

2

1 2 2

2 2

2

2 ) 2

(

) 2 (

) (

+ +

− + +

=

+ +

= +

∫

n n n

n n n

I na a nI

x x

a dx x n x a

x I x

所以 _{n n} I_n

na n a

x na

I _{1 2} x_{2 2 2}

2 1 2 ) (

2

+ −

= +

+ 。

特别地 C

a arctgx a

a x

x a a

x

I dx + +

= +

=

∫

² + ^{2 2 2 2 2 3}

2 2

1 2

1 )

( ^。

初等函数都是可积的，如果其原函数仍为初等函数，我们称为能积出来，如果其原函数 不再是初等函数，我们称之为积不出来。

积不出来的有 ：

∫

^e−x2dx,

∫

^sin_x^xdx,

∫

^cos_x ^xdx,

∫

_ln^dx_x^,

∫

^{sin x2dx ,}

∫

^cosx2dx,

dz z bz

a ^{p q}

∫

^{( + ) 其中p, q, p+q}非整数，再有椭圆积分

dx d cx bx ax x

R( , ^{3 2} )

∫

^{+ + + 和}

∫

^{R(x, ax4+ Λ +e)dx}

都是积不出来的。

§　５．４　　有理函数积分　

有理函数

) (

) ) (

( Q x

x x P

R = 是两个多项式之比，理论上它一定可以积出来。

有理函数可分为真分式和假分式，真分式是指分子次数小于分母次数；假分式是分子次 数大于或等于分母次数，用除法，假分式=多项式+真分式。

真分式总可以写成最简真分式之和，后者是形如

a x

A

− ^， x a ^m A

)

( − (m>1)和

q px x

C Bx

+ +

+

2 ，

q k

px x

C Bx

) ( ² + +

+ (k >1)

的分式，其中p² −4q <0。最简真分式是指：分母为素多项式或素多项式之幂，分子次数

小于分母中素多项式次数。在实数中，素多项式只有两种：x−a^和x² +px+q，其中。

0

2 −4q<

p 。

所以有理式 R( x)=多项式+最简真分式之和。这个分解过程称为分项分式，通常 可用待定系数法求得。

例 １

^{I =}

∫

_(x² ₊^xdx_1)(x−1)

解

设

1 1

) 1 )(

1

( ^{2 2} + −

+

= +

−

+ x

C x

B Ax x

x x

将右端通分，比较分子同次幂的系数，得







= +

−

= +

−

= +

0 1

0

C B

B A

C A

解之，得

2

−1

=

A ^，

2

= 1

B ^，

2

= 1

C 。我们有

C。 x

x arctg x

x dx dx

x I x

+

− +

+ +

−

=

+ − +

− −

=

∫ ∫

| 1

| 2ln 1 2

) 1 1 4ln(

1

1 2 1 1 1 2

1

2 2

例 ２

^{I =}

∫

_x⁴ _−3x^x33₊⁺₃¹_x² _−x^dx

解

将分母作因式分解，得x⁴ −3x³ +3x² −x= x(x−1)³。设

1 )

1 ( ) 1 ( )

1 (

1

2 3

3 3

+ − + −

+ −

− = +

x D x

C x

B x

A x

x x

将两边乘x^，令x=0，得A=−1^；两边乘(x−1)^3，令x =1，得B=2^；两边乘x−1， 令x→+∞^，得D=2^；最后令x =−1，得C =1。

C。 x

x x

x

x dx x

dx x

dx x

I dx

− +

− +

−

=

+ − + −

+ −

−

=

∫ ∫ ∫ ∫

|

| ) 1 ln ( ) 1 (

2 1 ) 1 ( ) 1 2 (

2 2

2 3

设

) (

) ) (

( Q x

x x P

R = ^{是一个真分式，}Q(x)^是n^{次多项式，有}n个零点，可以是实的，也

可以是复的，如果Q(x)是实系数的，复零点共轭成对出现，我们可以设

( ) ( ) ( ) ( ² 4 0)

1 1

2 + + − <

−

=

∏ ∏

= = j j

j j

k j j m

j x p x q p q

a x x

Q

s t

j

j ，

其中 m k n

t s

j j j

j +

∑

=

∑

=1 =1

2 。

令

∑

∑

=

=













+ + + + + +

+ + +













+ −

− +

− +

=

t s

j

k j j

j k j k

j j

j j j

m j j m j

j

j j

j j j

j j

q x p x

C x B q

x p x

C x B

a x

A a

x A a

x A x

Q x P

1 2 2

1 1 1

2 2 1

) (

) ) (

( )

( ) (

Λ Λ

未知数(A^j,B^j,C^j)^共有 m k n

t s

j j j

j +

∑

=

∑

=1 =1

2 ^个，P( x)^可认为是(n−1)^{次多项式，通分}

后比较两边xⁿ⁻¹,Λ ,x^{0的次数，得}n^{个方程的方程组，恰好}n^{个未知数，}n^{个方程，实际}

上它们是非退化的，能解出这n个未知数。具体问题中可用其它方法求出待定系数。

§　５．５　　三角函数有理式的积分　

二元有理函数是形如

) , (

) , ) (

,

( Q u v

v u v P

u

R = ^{的函数，其中}P(u,v)^和Q( vu, )^{是二元多项式，}

即uⁱv^j的有限线性组合，三角有理函数是形如R(sin x,cosx)的函数，其中R(u,v)为二元 有理函数，它是由基本三角函数sin x，cosx^，tgx，ctgx经有限次四则运算所得的函数。

但

x

x ²

2 5cos

sin 1

+ ^，

sin x2^，

x x

sin 显然不属此列。

∫

= R x x dx

I (sin ,cos ) 一定可以积出来。令

2 tg x

t= ^{（称为万能代换）}，或

t arctg

x =2 ^，注意到

₂

2

2 1

2

1 2 2 2 sec 2

2 2 cos2 sin 2 2

sin t

t tg x

tg x x

tgx x x x

= + +

=

=

=

₂

2

2 2 2

2

1 1

1 2 1 2 sin 2

cos 2

cos t

t tg x

tg x x

x x

+

= − +

= −

−

=

₂ 1

2 t dx dt

= + 。

所以 2 2

2

2 1

) 2 1 1 1 ( 2

t dt t

t t R t

I + +

−

=

∫

+ ^， ，这样变成通常的有理函数积分，一定可以积出来。但这

种“万能公式”往往比较复杂，如果R(u,v)有某种对称性，可以用简单地代换，具体地说

如果R(u,−v)=−R(u,v)^，这时R(u,v) =vR₁(u,v²)^{，可用代换}t =sin x^。

)。 (sin

) 1 , (

) cos , (sin cos

) cos , (sin

2 1

2 1

t x dt

t t R

dx x x

R x dx

x x R

=

−

=

=

∫

∫

∫

若R(−u,v)=−R(u,v)^，这时R(u,v) =uR₁(u²,v)^{。 我们用代换}t =cosx^，

。

，) (cos )

1 (

) cos , (sin sin

) cos , (sin

2 1

2 1

t x dt

t t R

dx x x R

x dx

x x R

=

−

−

=

=

∫

∫

∫

化成有理函数积分，可以积出来。

若R(−u,−v)=R(u,v)^，这时 



 



= 1 , ² )

,

( v

v R u v u

R ^{。我们用代换}tgx=t^，

)。 1 (

1 ) , 1 (

) cos , ( )

cos , (sin

2 1 2

2 1

t x t tg

dt t t

R

dx x x

tg R dx x x R

+ =

= +

=

∫

∫

∫

也化成有理函数积分，可以积出来。

上述三种代换一般比“万能代换”简单的多，使分子分母最高次减半。

例 １

^{I =}

∫

₅₊₄^dx_{sin x}

解

令t =tg₂^{x ，则}

dt

t dt t

t t

I

∫

t ⁼

∫

_{+ +}

+ +

= +

5 8 5

2

1 5 8

1 2

2 2

2

t C arctg

t

dt + +

+ =

= ₅²

∫

₍ + _{) 3}^{2 5} ₃ ⁴

25 2 9 5 4

tg C。

arctg

x

+

 

 +

= 3

4 5

3

2 ₂

例 ２

dx x I ⁼

∫

₁₊^cos_sin³x²

解

^{I =}

∫

₁¹₊⁻_t^{t22 dt (sin x =t)}

C。 x x arctg

C t t arctg

t dt dt

+

−

=

+

−

= + −

=

∫ ∫

sin sin 2

2 2 1 ₂

例 ３

^{I =}

∫

^{sin nxdx}

解

n n

n

n n

n n

I n I

n x x

dx x x

n x x

x d x I

) 1 ( ) 1 ( cos sin

sin cos ) 1 ( cos sin

cos sin

2 1

2 2

1 1

−

−

− +

−

=

− +

−

=

−

=

− −

−

−

−

∫

∫

₂。

1 cos 1

sin

−

− + −

−

= ⁿ _n

n I

n n n

x I x

I₀ =x+C

x x x C

I =− + +

2 2

cos sin

2

x x x x x C

I =− − + +

8 cos 3 8sin

3 4

cos sin³

4

I₁ =−cosx+C

x x x C

I =− − cos +

3 2 3

cos sin²

3

x x x x x C

I =− − − cos +

15 cos 8 15sin

4 5

cos

sin 2

4 5

例 ４　　　

^{I =}

∫

_acos^sin_x+^xdx_{bsin x}^{， J =}

∫

_acos^cos_x+^xdx_{bsin x}^。

解

bI+aJ =x+C^，

a x b x C

x b x a

x b x a bJ d

aI = + +

+

= + +

−

∫

⁽ _cos^cos _sin^{sin ) ln| cos sin |}

所以 bx a a x b x C

b

I a − + +

= +1 [ ln| cos sin |]

2 2

ax b a x b x C b

J a + + +

= +1 [ ln| cos sin |]

2

2

例 ５

dx

r x r

I ^{= 1}₂

∫

₁₋₂¹_cos⁻r² ₊ ^{2 (0<r<1，|x|<π )。}

解

)

( 2 )

1 ( ) 1 ) ( 1

( ² _{2 2 2} x t

t tg r r

r dt

I =

− +

− −

=

∫

t C

r arctg r +



 





−

= +

1 1

x C

rtg arctg r +



 





−

= +

2 1

1 。

§　５．６　无理函数的积分　

1． I =

∫

R x ^m ++ dx

d cx

b

ax )

( ， ，m^正整数，ad −bc≠0。令 t^m

d cx

b

ax =

+

+ ，

m m

ct a

b x dt

−

= − ，

ct dt a

t bc ad

dx m _m

m 2

1

) (

) (

−

= − ^{− ，则}

dt

ct a

t bc ad t m ct a

b R dt

I _m

m m

m

2 1

) (

) (

−

 −

 



−

=

∫

− ^{， −}

变成有理函数积分，可以积出来。

2．^{I =}

∫

^xm(a+bxn)pdx 二项式微分式积分，a^，b为常数，m^，n^，p有理数。令 t

xⁿ = ^，dx= ¹_ntⁿ¹⁻¹dt，则

^{I =}

∫

^tmn(a+bt)p _n^1tn1−1dt

⁼ _n¹

∫

^{tmn+1−1(a+bt)pdt}

⁼ _n¹

∫

^{tmn+1+p−1(a+}_t^bt)pdt

（Ⅰ）当p是整数时，(a+bt)^p可展成t多项式，故可积出来；

（Ⅱ）当 n m 1+

为整数时，归结到前一类积分，也可积出来；

（Ⅲ）当 p

n m+1+

是整数时，也归结到前一类积分，可以积出来。

为便于记忆，这类积分都可变换成

∫

^{(a+bz)pzqdz，当p，q，p+q有一个为整数}

时，可以积出来；全都为非整数时，积不出来（切比雪夫证明的）。比如

∫

1₋x4

dx 就积不

出来。

例 １

dx

x I ⁼

∫

₁¹₊⁻³ x₊⁺₁¹

解

令 ⁶ x+1=t，^{I =6}

∫

^t₁⁵₊⁻_t^{t28 dt，设t}₁⁵₊⁻_t^{t28 = P6(t)+ Bt}₁₊⁺_t^{2C，P6(t)可用除}

法得出：

1 1

1 0 1 )

0 1 1

1 0 1 )

0 1 1

1 0 1 )

0 1 1

1 0 1 )

0 1 1

1 0 1 )

0 1 1

1 0 1 )

1 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1

− + +

−

+ +

− +

−

−

+ +

−

− +

−

−

+

−

− + +

−

+

− + +

−

+ +

− +

−

−

+

−

− + + +

−+ + + + + + +

+

− + +

所以

₂ ^{6 4 3 2} ₂

8 5

1 ) 1 1

1 ( t

t t t t t t t

t t

+ + − +

−

− + +

− + =

− ，

C t arctg t

t t t t t t

I =− + + −2 −3 +6 +3ln(1+ )−6 + 2

3 5 6 7

6 7 5 4 3 2 2

. ) 1 ( 6 ) ) 1 ( 1 ln(

3

1 ( 6 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 2( ) 3 1 5( ) 6 1 7( 6

6 1 3

1

6 1 3

1 2

1 3

2 6

5 6

7

C x arctg x

x x

x x

x x

+ +

− + + +

+ + +

− +

− + + + + +

−

= ）

例 ２

dx

x x

I ⁼

∫

^{2 + 12 。}

解

^{I =}

∫

^{x−1(1+x4)12dx，m}_n⁺¹⁼ ₄^{0 =0整数，可以积出来}

1 ( )

2 1 1

2

1 ₂ ² ₂

2 4

t x t dt

dx t x

I =

∫

+x =

∫

+ =

⁼

∫

₊^{+ =}

∫

₊ ⁺

∫

₊

2 2

1 2 2 1

2 2

2 1 1 2 1

1 )

1 (

1 2 1

t t

dt t

dt tdt t t

t

C

t

t t +







 + +

− +

= ² 1₂

1 1 2ln 1 1

2 1

C

x

x x +









 + +

− +

= ⁴ 1 1₂ ⁴

2ln 1 1

2

1 。

3． Euler 代换， ^{I =}

∫

^{R(x, ax2 +bx+c )dx。}

R(u,v)^是u^，v的有理函数，总能积出来。有三种代换

情形Ⅰ．　a>0， 令 ax² +bx+c =tµ ax^，

情形Ⅱ．　c>0， 令 ax² +bx+c = xt± c^，

情形Ⅲ．　b² −4ac>0，　令 ax² +bx+c =t(x−λ)，其中

ax² +bx+c=a(x−λ)(x−µ)。

Ⅰ．　 ax² +bx+c =t− ax tx a t

c

bx+ = ² −2 ^，

b t a

c x t

+

= − 2

2

，

b t a

a c bt t c a

bx

ax +

+

= + +

+ 2

2

2 ， dt

b t a

a c bt t dx a

2 2

) 2

(

) (

2

+ +

= + ^。

Ⅱ．　 ax² +bx+c = xt+ c