幾何與證明

幾何與證明

【中垂線作圖】：

【範例】過直線上一點作此直線的垂線。

【已知】直線 L 和 L 上一點 A。

【求作】畫一直線通過 A，且與 L 垂直。

【作法】步驟一: 以適當長為半徑，A 為圓心畫圓弧，

交 L 於 C、D 兩點。

步驟二: 以 CD 為半徑，C、D 為圓心畫兩圓弧，設其交點為 B（如圖一） 。 步驟三: 連 AB ，即為所求（如圖二） 。

圖一 圖二

【平行線作圖】：

【範例】給定任一直線及線外一點，作出過此點且與此直線平行的直線。

【已知】直線 L 與線外ㄧ點 A（如右圖） 。

【求作】過 A 點作ㄧ平行線 M 與 L 平行。

【作法】步驟一: 過 A 點作 AH suur

^L（如圖一） 。 步驟二: 過 A 點作直線 M 垂直 AH suur

，則 M//L（如圖二） 。

圖一 圖二 

A 

L 

C  A  D  L 

A 

L  B 

C  D  A 

L  B 

C  D 

L  A 

L  A 

H 

L  A 

H 

M

【角平分線作圖】：

【範例】給一任意角度作此角的平分線。

【已知】某任意角∠ABC。

【求作】∠ABC的角平分線。

【作法】步驟一:以適當長為半徑，B 點為圓心畫弧交 BA 、BC 於 X、Y 兩點（如圖一） 。 步驟二:以相同的半徑，X、Y 為圓心畫兩個圓弧，設其交點為 Z（如圖二） 。 步驟三:連 BZ ，即為 Ð ABC 的角平分線（如圖三） 。

圖一 圖二 圖三

中垂線(垂直平分線)性質：

(1)一線段的垂直平分線上任一點到線段兩端點等距離。

(2)與線段兩端點等距離的點在它中垂線上。

角平分線(分角線)性質：

(1)一個角的角平分線上任一點到角的兩邊等距離。

(2)與一個角的兩邊等距離的點在這個角的角平分線上。

外心的定義與性質：

1.定義：三邊中垂線之交點。

2.性質：(1)外心到三頂點等距離。

(2)外心即為外接圓的圓心。

(3)若O為 D ABC 的外心，則：

○ ¹ Ð A 為銳角時， ÐBOC= Ð 2  A 。

○ ² Ð A 為銳角時， ÐBOC=306^o - Ð 。 2  A (4)三角形外心的位置

○ ¹ 銳角三角形：外心在三角形內部。

○ ² 直角三角形：外心在三角形斜邊中點。

○ ³ 銳角三角形：外心在三角形外部。 

A

C  B 

A  X 

B 

Y  C 

Z  A 

X 

B 

Y  C 

Z  A 

X 

B 

Y  C 

A 

O 

B  C 

A 

B  O 

C

內心的定義與性質：

1.定義：三個角平分線之交點。

2.性質：(1)內心到三邊等距離。

(2)內心的位置恆在三角形的內部。

(3)內心即為內切圓的圓心。

(4)設I 為 D ABC 的內心，則：

○ ¹ 三角形面積△AIB：△AIC ：△ BIC= AB : AC : BC 。

○ ² 設△ABC的周長等於 s ，其內切圓半徑等於 r ，則△  1  ABC= 2 rs 。

○ ^{3  o}  1  90 +  BIC 2  A Ð = Ð 。 重心的定義與性質：

1.定義：三中線之交點。

2.性質：(1)重心到三頂點之距離為其中線長的  3  2 倍。

(2)重心的位置在三角形的內部。

(3)設G 為 D ABC 的內心，則：

○ ¹  2  2  3 

AG = DG = AD 。

○ ² △ABG =△BCG =△  1 

ACG = 3 △ABC。

○ ³ △AGF =△BGF =△BGD =△CGD =△CGE =△  1 

AGE = 6 △ABC。

※補充：1.正三角形的外心、內心、重心三心在同一點上。

則：(1) 正三角形的高＝  3  2 a  (2) 內切圓半徑  ¹ 

r = 3 高。

(3) 外接圓半徑  ²  R = 3 高。

2.直角三角形中，若 ÐA= 90 ^o ， 則：(1) 內切圓半徑 

2 

斜邊長 兩股長之和 -

= 

r  。

(2) 外接圓半徑 

2 

= 斜邊長

R  。 

A

I 

B  C 

A 

G 

B  D  C 

R  A 

B  C 

r  A 

B  C 

G  D  R  a 

r

1. 如右圖， AB是圓O的直徑，BC 是過B 點之切線，D 在 ^» AB 上。求作：在BC 上取P 點，使 得 AP平分△ ABC的面積。下列有四個尺規作圓的方法，何者錯誤？【90 年第一次基測】 

(A)  取BC 的中點P ，連 AP 

(B)  作∠A 之角平分線交BC 於P 點  (C)  作BD 的中垂線交BC 於P 點，連 AP 

(D)  過O點作直線平行 AC交BC 於P 點，連 AP 

重點：要將三角形一分為 2，則必須找邊長上的中點 

AP 把△ABC分為相等的兩部分，P當然是 Ð A 對面 BC 的中點 答案選（B）

2. 如附圖，已知直線CD 為 AB的中垂線，且交 AB於D 點。

則下列哪一個敘述是錯誤的？ 【90 年第一次基測】 

(A)  以C 為圓心，CB 為半徑畫圓，則圓必過 A點  (B)  以 A為圓心， AB為半徑畫圓，則圓必過C 點  (C)  以B 為圓心， AC為半徑畫圓，則圓必過C 點  (D)  以D 為圓心， AD為半徑畫圓，則圓必過B 點 重點：作圖概念：中垂線定理

如右圖，即可判斷答案。

答案選（B）

3. 如圖(一)，△ABC中，D、E、

F

AG ： AC =1：3，H 為 AB 之中點。下列哪一個點為

△ABC的重心？ 【90 年第一次基測】 

(A)X  (B)Y  (C)Z  (D)W  重點：重心定理

重心為三邊中線的交點，即為 AE 與 CH 之交點 Þ  Z 點即為重心

答案選（C） 

A 

C 

D  B 

A  O 

D 

B 

A 

C 

D  B 

C 

H 

B  D  E  F  C 

G  W  Y  X 

Z  A 

圖(一)

4. 如圖(十一)，已知在△ABC中， ÐACB = 90 ^o 且 BC ＞ AC 。 求作：一圓與 AC、BC 相切，且圓心O在 AB 上。

下列四個取得圓心O的作圖方法，何者正確？【90 年第一次基測】 

(A)  取 AB 中點為O  (B)  作 AC 中垂線交 ^AB於O  (C)  作 BC 中垂線交 ^AB於O  (D)  作∠ACB 平分線交 AB 於O  重點：圓、相切 Þ 等距離 Þ 半徑就是「垂直距離」

一圓與 AC 、 BC 相切 Þ 就是該圓心到 AC 、 BC 等距離。

\圓心必在 Ð C 的平分線上。 ( 已知 ÐC = 90 ^o ，如右圖 )  答案選（D）

5. 如圖，△ABC 為直角三角形，∠B＝90˚， AB ＝8， BC ＝6，

O 為△ABC 的內切圓圓心，則 OB ＝？【90 年題本一】

(A)2 (B)  8  (C)  3 

10  (D)  3  20 

重點：三角形的內心性質

∵O 為△ABC 的內切圓圓心 ∴O 為△ABC 的內心 Þ  ¹ 

ABC 2 sr

D = Þ ¹ 6 8 ¹  (8 6 10) 

2´ ´ = 2 ´ + + ´ r Þ r = 2  OB ＝  2²+2² = 8 答案選（B）

6. 坐標平面上直線 4 x +  y 3  = 12 交 x 軸於 A點，交y軸於B點。

若O為原點，  I 為△AOB 之內心，則△AIB 的面積=？  (A) 2  (B) 

2 

5  (C) 4  (D) 5  【90 年第二次基測】

重點：內心到三邊是「垂直」距離相等 Þ

= + 3  12 

4 x  y  所以圖形如右圖(一)：

如右圖(二)，設圓I 半徑 r 

∵△ABO 為直角三角形 ∴ AO = 3²+4² = 5 

∵ AO ＋ BC ＝ AB ＋2r Þ 3＋4＝5＋2r Þ r＝1 則△AIB＝ 

2 

1 ×5×1＝ 

2  5 

答案選（B） 

A 

B  C 

O 

A 

B  C 

O 

圖(十一) 

O  A 

B  C 

O  A 

B  C  r 

r 

x  y 

0  4 

3  0 

圖(二)  I  O 

B 

A  5  4 

3  r  y 

O  x 

A (3  0) ,  B (0  4) , 

4 

3  圖(一)

7. 如右圖，在坐標平面上有A、B、C三點，O是原點， OA^ AB  且 OA¹ AB 。今想在第一象限內找一點D，使得D到 x 軸的距離 與D到y軸的距離相等，且 DB = DA ，則D點要用下列何種方法

求得？ 【90 年第二次基測】 

(A)  作 AB 中垂線與 OA 中垂線的交點。 

(B)  作 AB 中垂線與 Ð BAO 平分線的交點。 

(C)  作 AB 中垂線與 Ð COA 平分線的交點。 

(D)  作 Ð COA 平分線與ÐBAO平分線的交點。

重點：1.到兩邊距離相等是角平分線。

2.到兩點距離相等是中垂線。 

)  1 

(  到 x 軸及到y軸距離一樣，則作 Ð COA 角平分線，D點在其角平分線上。 

)  2 

(  DB = DA ，則須 AB 之中垂線上任一點才會到A、B等距離。 

)  3 

(  兩線之交點即為D點。 ( D點到 x 、y軸距離相同，D點到A、B距離相同 )  答案選（C）

8. 如圖(十五)， AD 是圓O的直徑，B、C兩點在 » AD 上，

如要在 BC 上取一點^»  M ，使得 BM^¼ = CM ^¼  ，則下列四個 作法中，哪一個是錯誤的？ 【91 年第一次基測】

(A)作 Ð BAC 之平分線交 BC 於^»  M  (B)作 BC 中垂線交 BC 於^»  M 

(C)自A作 BC 邊的中線延長交 BC 於^»  M 

(D)作O與 BC 邊的中點連線，延長交 BC 於^»  M  重點：若弧度相同，則所對應的角度也要相同

（A）對，在同圓中，若圓周角相同，則所對應弧度數相同 ( 如右圖 ) 。

（B）對， BC 的中垂線垂直平分 ^» BC  ( 且經過圓心O ) ，則 BM^¼ = CM ^¼ 

（C）錯，  N Q 是 BC 中點，但延長線所交的點M 不見得是 ^» BC 的中點

（D）對，O與 BC 中點連線垂直平分 BC  答案選（C） 

O 

B 

A  x 

y 

C  D  O 

B 

A  x 

y 

C 

C  B 

A 

M  N 

O  D 

C  B 

A 

圖(十五)

9. 如圖(六)，有一質地均勻的三角形鐵片，其中 一中線 AD 長 24 公分。若阿龍想用食指撐住此 鐵片，如圖(七)，則支撐點應設在 AD 上的何處 最恰當？【91 年第一次基測】 

(A)距離D點 6 公分處  (B)距離D點 8 公分處 (C)距離D點 12 公分處 (D)距離D點 16 公分處 重點：三角形的重心定理

只有重心可以達成圖(七)所示，而重心距離D點為  8  3  24 ´ 1 =

答案選（B）

10. 如圖(十六)，梯形 ABCD 中， AD// BC ， AB¹ DC 。請問下列 哪一種作圖法，可將此梯形分割為兩個面積相等的圖形？ 

(A)連接 AC  (B)作 BC 的中垂線 L  【91 年第二次基測】 

(C)分別取 AB 和 CD 的中點 P、Q，連接PQ  (D)分別取 AD 和 BC 的中點 H、K，連接 HK  重點：等面積作法

分別取 AD 和 BC 的中點H 、K，連接H 、K  HD 

AH =

Q 、 BK = KC 

\ 梯形AHKB與梯形HDCK 面積相等(上底、下底、高皆相同)  答案選（D）

11. 如附圖，已知△ABC中， AB < AC < BC 。

求作：一圓的圓心O，使得O在 BC 上且圓O與 AB 、 AC 皆相切。

下列四種作法中，哪一種是正確的？ 【92 年第一次基測】 

(A)作 BC 的中點O  (B)作 Ð A 的平分線交 BC 於O點 

(C)作 AC 的中垂線，交 BC 於O點  (D)自A點作一直線垂直 BC ，交 BC 於O點 重點：角平分線定理。

與 AB 、 AC 相切，圓心O兩邊距離即為圓的半徑，如下圖。

∵ OE = OF ， Ð OEA Ð = OFA ， AE = AF 

∴△ OEA @ △OFA  ( SAS全等三角形 ) Þ Ð OAE Ð = OAF  答案選（B） 

A 

B  C 

O  E 

F  A 

B  C 

24 公分 

A 

D 

圖(六) 圖(七) 

C  B 

A  H  D 

K 

C  B 

A  D 

圖(十六)

12. 如圖(十五)，△ABC中， ÐABC = 90 ^o ，O為△ABC的外心， 

60 o 

=

ÐC  ， BC = 2 。若△AOB的面積  a = ，△OBC的面積 = b ， 則下列敘述何者正確？ 【92 年第一次基測】 

(A)  a > b  (B)  a < b  (C)  a - b = 0 (D)  a + b = 4 重點：三角形的外心到三頂點等距離

如右圖 

O為直角△ABC的外心  Þ OA = OB = OC  將原圖形改為以 AC 當底邊，如右圖。

△AOB面積 =  ´ OA ´ 2 

1  高

´

´

=  OC  2 

1  高=△OBC面積  ( 等底同高 )  b 

a =

\

答案選（C）

13. 如圖(九)，圓上三弦 AB 、 CD 、 EF ，欲在圓內找一點，

使其到三弦的距離相等。下列四種作法中，哪一種是正確

的？ 【92 年第二次基測】 

(A)作 AB 中垂線與 CD 中垂線的交點 

(B)作 Ð FAB 角平分線與 Ð ABC 角平分線的交點 

(C)取 AB 、 CD 、 EF 三邊中點M 、N 、L，作 MN 中垂線與 ML 中垂線的交點  (D)分別延長 AB 與 CD 交於P，分別延長 AB 與 EF 交於 Q ，作 Ð P 角平分線與  Q Ð 角

平分線的交點

重點：到邊 ( 弦 ) 等距離，則想到角平分線

（A）該交點是到A、B、C、D四點等距離

（B）無意義，完全錯的作法

（C）該點到M 、N 、L三點等距離 答案選（D） 

O  A  C 

B 

60 ^o  A 

O 

C  B 

60 ^o  2  圖(十五) 

Q  A  B  P 

M  C  L  F 

N  E  D 

圖(九)

14. 如圖(二)， BD 為圓 O 的直徑，弦 AC 未過圓心 O，

則下列哪一個敘述是正確的？ 【93 年第一次基測】 

(A) O 是△PCD 的外心  (B) O 是△APD 的外心  (C) O 是△ACD 的外心  (D) O 是△BCP 的外心

重點：外心的意義 圖(二) 

∵外心為三角形外接圓圓心 ∴O為△ACD之外心 答案選（C）

15. △ ABC 中，∠A=40°，∠B=40°，∠C=100°。若 I 為△ABC 的內心，

則下列有關△AIB、△AIC、△BIC 之面積關係的敘述何者正確﹖【93 年第二次基測】 

(A) △AIC 的面積=△BIC 的面積  (B) △AIB 的面積=△BIC 的面積  (C) △AIB 的面積=△AIC 的面積 

(D) △AIC 的面積  + △BIC 的面積=△AIB 的面積 重點：內心到三邊等距離

Q  I 為△ABC的內心 \ ID = IE = IF  Q Ð A Ð = B  \ AC = BC 

△AIC面積 =  ´ AC ´ IF  2 

1  =  ´ BC ´ IE  2 

1 =△BIC面積

答案選（A）

16. 如圖(一)，四邊形 ABCD 中，∠B = 60 ^o 、∠DCB = 80 ^o 、∠D = 100 ^o 。 若 P、Q 兩點分別為△ABC 及△ACD 的內心，則∠PAQ =？

(A) 60 ^o (B) 70 ^o (C) 80 ^o (D) 90 ^o 【94 年第一次基測】

重點：三角形的內心定理

Q ∠DAB = 360 ^o - 60 ^o - 80 ^o - 100 ^o = 120 ^o 又 P、Q 兩點分別為△ABC 及△ACD 的內心

\ Ð 1 Ð = 2 ， Ð 3 Ð = 4 

\ ÐPAQ = Ð 2 Ð + 3  2 

= 1 (∠DAC+∠BAC ) 

2 

= 1 ∠DAB  2 

= 1 ´ 120 ^o = 60 ^o 答案選（A） 

B 

C 

D  A 

O  P

F  C 

E 

B  D 

A 

L 

D  A 

C  Q 

P 

B 

1  2 3  4 

D  A 

C  Q 

P 

B

17. 如右圖，有一∠A 及一直線 L，其中∠A=80 ^o ，L 上有一點 O。

小敏想以 O 為頂點、L 為角的一邊，作一角與∠A 相等。

已經進行的步驟如下： 

(1)  以 A 為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交∠A 的兩邊於  B、C 兩點。 

(2)  以 O 為圓心， AB 為半徑畫弧，交 L 於 P 點。

請問小敏繼續下列哪一個步驟後，連接OQ，∠QOP 即為所求？ 

(A)  以 O 為圓心， AC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點  (B)  以 O 為圓心， BC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點  (C)  以 P 為圓心， AC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點 

(D)  以 P 為圓心， BC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點 【94 年第二次基測】

重點：尺規作圖 ( 利用等角作圖 ) 

作相同的角：  ) (  取相同的標準長畫弧。  ) 1  (  取原角上的「開口」大小，在新角上作記號。 2  答案選（D）

18. 如右圖，有一∠A 及一直線 L，其中 ÐA = 70 ^o ，L 上有一點O。

甲：以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交 Ð A 的兩邊於 B、C 兩點。

乙：以O為圓心， AB 為半徑畫弧，交 L 於 P 點。

丙：以P為圓心， AC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點。

丁：以P為圓心， BC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點。

戊：連接 OQ ，可得  QOP Ð 。

若小名的作圖步驟為甲 Þ 乙 Þ 丙 Þ 戊，小芬的作圖步驟為甲 Þ 乙 Þ 丁 Þ 戊，

則有關於兩人所得的  QOP Ð 的敘述何者正確？【94 年第二次基測模擬試題】 

(A)  兩人所得的  QOP Ð 均為 70 ^o  (B)  小名所得的  QOP Ð 為 70  ，小芬為 ^o  60 ^o  (C)  兩人所得的  QOP Ð 均為 60 ^o  (D)  小名所得的  QOP Ð 為 60  ，小芬為 ^o  70 ^o  重點：尺規作圖 ( 利用等角作圖 ) 

作相同的角：  ) (  取相同的標準長畫弧。  ) 1  (  取原角上的「開口」大小，在新角上作記號。 2  其中小名的作法皆以 AC 為半徑畫弧，此作為正三角形的作法，

所以小名的 ÐQOP = 60 ^o  答案選（D） 

O  P  L 

A  B 

C 

70 ^o 

O  P  L 

A  B 

C 

80 ^o

19. 如圖（十二） ， AD 是△ABC 的中線，H 點在 AC 上且 BH ⊥ AC 。 若 AB = 12 ， BC = 10 ， AC = 14 ，連接 DH ，則 DH =？ 

(A) 4      (B) 5      (C) 6      (D) 7  【94 年第二次基測】

重點：直角三角形的外心恰是斜邊中點

Q △BCH 為直角三角形且D為斜邊 BC 之中點 圖（十二）

\  D為直角△BCH 之外心 Þ  DH = DB = DC 

2 

= 1 BC  2 

= 1 ´ 10 = 5 

答案選（B）

20. 如圖（六）， AB = BC ， BC > AC ，P、 Q 兩點在 AM 上，

其中 AP = PQ ，且 Q 為 D ABC 的重心。若兩直線BP、 BQ 與  AC 分別交於S 、R兩點， 則下列關係何者正確？

（A） AS = SR  （B） AR = RC 

（C） QB = QC  （D） QR = 2 PS  【95 年第一次基測】

重點：重心應用 （重心定義：三角形三中線的交點） 

Q

Q 為重心  \ BQ 的延長線交 AC 於R，R為 AC 之中點  RC 

AR =

\ 答案選（B）

21. 如圖(九)，△ABC中， ÐC = 90 ^o ，D在 BC 上， 

E為 AB 之中點， AD 、 CE 相交於F ，且 AD = DB 。 若 ÐB = 20 ^o ，則 ÐDFE = ？【96 年第一次基測】 

(A)  40 ^o  (B)  50 ^o  (C)  60 ^o  (D)  70 ^o  重點：外心性質的應用 

E

Q 為 AB 之中點  \ 即為△E ABC之外心  Þ AE = BE = CE 

\ △ABD與△BCE 皆為等腰三角形  Þ  Ð DCE = Ð EAF = 20 ^o 

\ Ð CAF = Ð CAE - Ð EAF = 70 ^o - 20 ^o = 50 ^o 

o  o 

o  20  70 

90 - =

= Ð

- Ð

=

РACF  ACD  DCF 

故 Ð DFE = Ð AFC = 180 ^o - 50 ^o - 70 ^o = 60 ^o  答案選（C） 

H  A 

D  C 

B 

H 

D  C 

B 

圖(六) 

B  M  C 

Q  P 

A  S 

R 

B  D  C 

F  E 

A 

圖(九)  20 ^o

22. 如圖(十)，△ABC的內切圓分別切 AB 、 BC 、 AC 於  D、E、F 三點，其中P、 Q 兩點分別在 DE 、 » ^»  DF 上

。若 ÐA = 30 ^o ， ÐB = 80 ^o ， ÐC = 70 ^o ，則 DPE 弧長與 ^¼  DQF ¼  弧長的比值為何？ 【96 年第一次基測】 

(A) 3 

2  (B)  7 

8  (C)  3 

4  (D)  3  8 

重點：內心與內切圓之應用

如右圖，假設圓心為O且半徑為 r ，連接 OD 、 OE 、 OF Q 由圓的切線定理可得 OD ^ AB 、 OE ^ BC 、 OF ^ AC 

o  o 

o  30  150 

180 - =

= Ð

\  DOF  且 ÐDOE = 180 ^o - 80 ^o = 100 ^o  故 DPE 弧長與 ^¼  DQF ^¼  弧長的比值  ) 

360  2  150  (  :  360  )  2  100 

(  _o 

o  o 

o

´

´

=  p r p r  150 

:  100

=  = 2 : 3 

3 

= 2

答案選（A）

23. 圖（九）是 10 個相同的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形。

根據圖中各點的位置，判斷 O 點是下列哪一個三角形的外心？

（A）△ABD （B）△BCD （C）△ACD （D）△ADE

重點：三角形的外心到三頂點的距離會相等 【96 年第二次基測】

(A) (B) 

BO  DO 

AO =  ¹ CO = DO ¹ BO  (C) (D) 

DO  CO 

AO =  = AO = DO ¹ EO  答案選（C）

A B

C D

E

O A

B

C D

E O

A B

C D

E

O A

B

C D

E O

A B

C D

E O 圖(九) 

B  E  C 

F  P 

Q  D 

A 

圖(十)  O 

30 ^o 

80 ^o 

B  E  C 

F  P 

Q  D 

A 

圖(十)

24. 如圖， AC 是 BD 的中垂線，O 為 AB 中點，若 BD ＝6 公分， 

AB ＝5 公分，則四邊形 BCFO 的面積是多少？

(A)4 平方公分 (B)5 平方公分 (C)6 平方公分 (D)7 平方公分 重點：三角形重心性質

因 AC 是 BD 的中垂線且 O 為 AB 中點 所以 F 為△ABC 的重心 Þ △BCF＝△BOF＝ ¹ 

6 △ABD 

2 2 

5 3 4 

AC = - = ，△ABD＝ ¹  6 4 12  2 ´ ´ = Þ 四邊形 BCFO＝△BCF＋△BOF＝2× ¹ 

6 △ABD＝2× ¹ 

6 ×12＝4 答案選（A）

25. 如圖，正△ABC 的邊長為 3 公分，已知 G 為△ABC 的重心，則 AG ＝？

(A)2 公分 (B)1 公分 (C)  2 

3 

3  公分 (D)  3 公分 重點：三角形重心性質 

2 

2  3 3 3 

3  2 2  AD æ ö

= -ç ÷ = è ø

因 G 為△ABC 的重心，所以  ² 

AG= 3 AD Þ  2 3 3  3 2  3  AG = ´ = 答案選（D）

26. 如圖，△ABC 中，∠C＝90˚，D 為 AB 上一點，G ₁ 、G ₂ 分別為△BCD 與

△ADC 之重心， AC ＝9， BC ＝12，則 G ₁ G ₂ ＝？

(A)12ˉ(B)9ˉ(C)5ˉ(D)3 重點：三角形重心性質

作 AG ₁ 、 AG ₂ 分別交 BC 於 D  、 ₁  D ₂ 

∵ G  、 ₁  G  為重心 ₂  ∴  AG ₁ : AD ₁  = AG ₂ : AD ₂  = 2 : 3 

∴  G ₁ G ₂ // D ₁ D ₂  且 G ₁ G ₂ : D ₁ D ₂  = 2 : 3 

∵ BC = 12²+9² = 15 

∴  _{1 2} ¹⁵  _{1 2}  5  D D = 2  Þ G G = 答案選（C） 

C 

B  A 

G2 

G 1 

D 

C 

B  A 

D  D 1 

D 2 

G 2 

G 1 

A 

O  F 

C  D  B 

A 

O  F 

C  D  B 

5 

3 

A 

B  C 

G 

A 

B  C 

G  D

27. △ABC 中，A 為（－2，6），B 為（1，7），C 為（5，5），求△ABC 的外心坐標未多少？

(A) (1，3) (B) (1，2) (C) (2，1) (D) (2，2) 重點：三角形的外心到三頂點距離相等

設△ABC 外心 O 的坐標為（x，y）

Þ  AO ＝ BO ＝ CO 

則

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 

2 2 2 2 

2 2 2 2 

2 6 1 7 

1 7 5 5 

x y x y 

x y x y

ì + + - = - + - ï í

- + - = - + - ï î

ï î ï í ì

+ - + + -

= + - + + -

+ - + + -

= + - + + + 

25  10  25 

10  49 

14  1 

2 

49  14  1 

2  36 

12  4 

4 

2  2 

2  2 

2  2 

2  2 

y  y 

x  x 

y  y 

x  x 

y  y 

x  x  y 

y  x 

x

î í ì

= -

= + 

0  4  8 

10  2  6 

y  x 

y 

x Þ 

(2)  0 

2 

(1)  5 

3 î í ì

= -

= +

L L

L L  y  x 

y  x 

利用加減消去法，將(1)＋(2)可得：

5x＝5 Þ x＝1 ， 將 x＝1 代入(1) ， 得 y＝2 故外心坐標為（1，2） 答案選（B）

28. 承上題，△ABC 外接圓的面積為何？

(A) 25p (B) 26p (C) 27p (D) 27p 重點：三角形外心性質

外接圓半徑＝

(

) (

) 

故外接圓面積為 5 ² ×p ＝25p 答案選（A）

29. 如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ＝13、 BD ＝ CD ＝5，若 G 為△ABC 的重心，

I 為△ABC 的內心，則 IG 的長為多少？

(A)  ¹⁰ 

3  (B) 2 (C)  ⁵ 

3  (D)  3  2 

重點：三角形重心與內心的應用

∵G 為△ABC 的重心 ∴ GD  AD  3 

= 1 ＝4

∵I 為△ABC 的內心 ∴△ABC＝ 

2  1 sr 

12  5  13 ² - ² =

= 

AD Þ △ABC＝ 

2 

1 ×10×12＝60 且 s＝13＋13＋10＝36

∴60＝ 

2 

1 ×36×r Þ r＝ 

3 

10 Þ IG ＝ GD - ID ＝4－ 

3  10 ＝ 

3 

2  答案選（D） 

A(­2,6) 

B(1,7) 

C(5,5) 

O(x,y) 

X  Y 

A 

B  D  C 

G  I