從用直線平分凸五邊形的面積談起
劉任昌
這篇文章的緣起, 是因為筆者在網路 bbs 的數學討論群, 回答網友的問題:「如何 在一凸五邊形內, 作一直線, 等分該五邊形面 積?」 筆者在網路上, 說明使用等面積轉換的 過程, 以為這個問題解答。 但因網路不便於圖 形說明, 且考慮到網路數學討論群上的問題, 往往會由其他網友重複提出, 因此筆者認為, 如果這個問題可以藉由數學傳播的詳細圖解 說明, 且經由數學傳播編輯群嚴密的檢視, 則 以後筆者, 或其他同時閱讀過數學傳播的網 路使用者, 再次碰到有人提出這個問題時, 就 可以請網路討論者直接去參閱數學傳播季刊。
這篇文章是平面三角幾何學的應用, 適 合高中生閱讀。
這篇文章是筆者個人利用過去數理訓練 的解題應用, 並沒有去尋找參考資料, 所以, 這篇文章沒有列出任何參考文獻。
這篇文章是針對:「在一個凸多邊形上, 做一條直線, 將該多邊形等面積分開。」 的問 題, 用問答的方式, 循序漸進的由簡單到複 雜, 歸納出一個通式解。
問題一 : 在△ABC上, 作出一條等面 積分割線
這個問題容易, 只要畫出相對應於任意 邊 (角) 的中線就可以, 如圖 1 中的 AD 或 BE。
C
E D
A B
圖1
問題二 : X為△ABC邊上的任意點, 作一 條過X點的等面積分割線
我們可以輕易的發現, 不管 X 在任何 位置 (包括三角形內, 或三角形外), 都會存 在一條將 △ABC 等面積分割的直線。 如果 X 在 △ABC 邊上移動, 這相對應的等面積 分割線也會移動。
73
C Y
E D
A X B
圖2
如圖 2 的△ABC中, 中線之一的AD已 經將它等面積分割成兩個三角形。 我們再 連DX, 然後由A為起點, 作出一條與DX平 行的 AY , 且與BC相交於Y 。 因
△AXD與 △ XDY 同底, 且高相等
=⇒ △AXD面積 = △XDY 面積
=⇒ △XBY 面積 = △ABD面積
= △ABC面積×1 2. 也就是說:XY 將△ABC等面積分割了。
問題三 : 作出凸四邊形ABCD 的等 面積分割線
在三角形的情況, 我們只要畫出任意一 條中線, 就可以等面積分割該三角形。 對於四 邊形 (或其他 n > 3 的凸 n 邊形), 我們 可以考慮先將它轉換成等面積的三角形, 以 找出這個等面積三角形的中線。
如圖 3 的四邊形 ABCD 中, 假設 △ ABD 的面積大於 △CBD 的面積。 我們先 連 BD, 再由 C 為起點, 作出一條與 BD 平 行的 CF , 且與 AB 相交於 F 。 因
△DBC與 △ DBF 同底, 且高相等
=⇒△DBC面積 = △DBF 面積
=⇒△DAF 面積 = 四邊形ABCD面積. (1) 然後在AF 上, 找出AF 的中點F′, 因此而作 出△DAF 的中線DF′, 則
△DAF′面積 = 四邊形ABCD面積 × 1 2. 也就是說:DF′將四邊形ABCD等面積分割 了。
D
C
A F′ B F
圖3
在圖 3 中, 假設 △ABD 面積大於
△CBD 面積的目的, 就是要確保 △AF D 的中線 DF′ 落在 AB 線段上。 萬一在作圖 過程中, 發現 F′ 點沒有落在四邊形內, 他的 處理方法, 是後文圖 5 要討論的。
我們可以仿照問題二的作圖過程, 在 AF′ 上任意選擇一點 H, 亦可作出等面積分 割線通過 H。 如圖 4, 在 AF′ 定出任意一點 H, 再於 DC 找出相對應的 I, 使得 IDHF′ 成為一個梯形。
觀察圖 4 的四邊形AHID, 我們用類似 於上述式 (1) 的推論,
△DHI與 △ DHF′同底, 且高相等
=⇒ △DHI面積 = △DHF′面積
=⇒ △DAF′面積 = 四邊形DAHI面積.
=⇒ 四邊形DAHI面積
= 四邊形ABCD面積 × 1 2.
也就是說: IH 與 DF′ 同樣都是四邊形 ABCD 等面積分割線。
上面這個類似式 (1) 的 「等面積轉換」
步驟, 仍然要在後文一直被應用, 我們會提醒 讀者, 但不再如上式般的詳細列出。
D
I C
A H F′ B 圖4
圖 4 的I或H中的一點 (也可能同時兩 點), 可以分別和C或A重合, 這樣有助於我們 作圖操作時的準確性; 更重要的是, 這樣方便 我們進行更進一步的找出其他分割線, 這在 後文其他凸多邊形的作圖時, 就可以應用。
基本原理
從以上的內容中, 我們已經可以歸納出 尋找凸多邊型等面積分割線的原理了:
原理一: 任意凸 n 邊形是由 n − 2 個 三角形所組成。
原理二: 兩個有共同邊的三角形: △1
與 △2, 可以用作圖法轉換成一個面積等於
△1 面積與 △2 面積和的大三角形 △。
以上兩個原理都可以在歐氏平面上輕易 得證, 我們不再這裡多做說明。 但我們可以 再用圖 3 的另一個方向, 來看上述兩個原理 的應用, 即圖 3 是將四邊形ABCD先切割 成: △ABD與△BCD; 而圖 5 是將四邊 形ABCD先切割成: △ABC與△ACD。 然 後依照前面類似式 (1) 的步驟, 我們在圖 5 中, 得到:
△BCE面積= 四邊形ABCD面積.
在EB上, 作出△BCE的中線CE′, 則
△BCE′面積 = 四邊形ABCD面積 × 1 2.
D
C
E E′ A B
圖5
可是 CE′ 超出四邊形 ABCD 的範圍, 我們只好在圖 6中, 再使用類似前述 (1) 的步 驟, 作出梯形 ACJE′, 使得:
四邊形ABCJ面積 = △BCE′面積
= 四邊形ABCD面積 × 1 2,
即AJ是四邊形ABCD的等面積分割線。
D
J C
E′ A B
圖6
四 邊 形ABCJ是 由△ABC與△ACJ 組合而成, 所以上述步驟有可以讓我們歸納 出:
原理三: 原理二的逆向操作亦成立。
這個原理也是可以很輕易的證明。
D
J C
A K B
圖7
問題四 : 找出凸五邊形ABCD E的 等面積分割線
步驟如圖 8所示: 將五邊形ABCDE轉 換成等面積的△DRS後, 找出RS的中點T ; DT 在該五邊形內, 所以, 它就是等面積分割 線。
D
E C
R A T B S
圖8
為了畫出等面積分割線, 將原來圖形 轉換成一個等面積的三角形是一個必經過 程。 在圖 8 中, 我們也可以將它轉換成為 以BC(或其他任意邊) 為固定邊線的鈍角三 角形, 但以此過程找出的三角形中線, 就容易 超出原圖形的範圍 (類似圖 6) 的情形, 因而 需要使用更多次類似式 (1) 的步驟, 才能找 出原圖形第一條等面積分割線。 在下一節的 推廣說明中, 我們要使用這個過程, 但在實際 操作上, 我們應該使用圖 8 的過程。
說明 : 任意凸多邊形都可以用作圖法 求得等面積分割線
對於任一凸 n 邊形 A1A2A3· · · An, 如 圖 9, 我們可以使用類似式 (1) 的原理, 將 他轉換成圖 10 的等面積凸 n − 1 邊形 R1A3A4· · · An; 然後, 又可以轉換成等面積 的凸 n − 2 邊形 R2A4· · · An 如圖 11。
A4
A3
An−1
A2
An A1 R1
圖9
A4
A3
An−1
A2
An A1 R1 R2
圖10 A4
A3
An−1
A2
An A1 R1 R2
圖11
我們最後可以將它轉換成等面積的 △ Rn−3 An−1 An, 因而畫出此三角形的等面 積分割線 LLn−3; 以上的步驟是利用原理一 與原理二完成的。 接下來, 我們要逐步找出原 來凸 n 邊型的等面積分割線。 首先:
如果 LLn−3在四邊形Rn−4An−2An−1
An內, 則 LLn−4= LLn−3。 如果 LLn−3 超出四邊形 Rn−4An−2
An−1An 的範圍, 就利用原理三, 得到四邊形 Rn−4An−2An−1An
的等面積分割線 LLn−4, 過程類 似圖 6。
在接下來的一般化情形, 假設我們已經 畫出凸n − m邊形RmAm+2Am+3· · · An等 面積分割線LLm, 我們接下來要找凸n−m+
1邊形Rm−1Am+1Am+2· · · An 的等面積分 割線LLm−1。
如果 LLm在凸n − m + 1 邊形 Rm−1 Am+1Am+2· · · An 內, 則LLm−1
= LLm。
如果 上述狀況不成立, 使用原理三, 將 LLm 旋轉成LLm−1, 如圖 12 所 所示, 使LLm−1 位於Rm−1Am+1
Am+2· · · An的內部, 而畫出凸 n
−m+ 1 邊形等面積分割線。
LLm LLm−1
An−1 Am
An Rm−1 Rm
圖12
依照上述過程, 就可以得到凸 n 邊 形的等面積分割線 LL0。 當然上面這個過 程只是證明任意凸 n 邊形的等面積分割 線存在的證明, 在實際需要作圖時, 因為
△Rn−3An−1An 可能是一個極其扁平的鈍 角三角形, 而是作圖過程容易有誤差。 所以, 應該使用類似圖 8 的 「左右開攻」 過程, 將他 轉換成一個較 「類似於」 於正三角形的等面積 三角形, 當然, 這個過程所付出的代價是作圖 的輔助線會複雜許多。
如果要找出通過特定點 X 的等面積分 割線, 也是依照前面的原理, 將 LL0 沿著邊, 逐步旋轉, 最後得到與 X 點重合的等面積分 割線。
結論
上一節的內容, 等於是證明: 在歐氏平 面上, 任意凸多邊形的等面積分割線, 可以藉 由作圖法求得。 實際上, 利用前文三個原理, 我們同樣可以用作圖法為任意多邊形 (不需 要是凸) 找到等面積分割線。
這個問題在實際生活上, 應用很廣, 例
如: 兄弟二人要等面積分割一塊土地, 且此 分割線要經過一個共用的井。 只要利用我們 這篇文章所說的方法, 就可以決定出這條分 直線。
— 本文作者為國立臺灣大學財務金融系研究 生—
