109 學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（一）解答
一、【解】
2 4 2 2
1 1
A 1 ( 1)( 1)
n n
n
k k
k k
k k k k k k
= =
= =
+ + + + + +
∑ ∑
2 2
1
1 1 1
2 1 1
n
k= k k k k
=
∑
− + − + + 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 7 7 13 n n 1 n n 1
= − + − + − ++ − + − + +
2
2 2 2
1 1 ( 1)
2 1 1 2( 1) 2( 1)
n n n n
n n n n n n
+ +
= − + + = + + = + +
3 2
3 2
2 2
1 ( 1)( 1)
B =
+1 ( +1)(k 1)
n n
n
k k
k k k k
k k k
= =
− − + +
=
∏ ∏
− +2 2
2 2
1 1
1 ( 1) ( 1) 1
n n
k k
k k k
k k k
= =
− + +
=
∏
+∏
− + − +1 2 3 4 3 2 1
3 4 5 6 1 1
k k k
k k k
− − −
= × × × × × − × × + ×
2 2
2 2
4 2 1 9 3 1 16 4 1 ( 1) ( 1) 1 1
1 1 1 4 2 1 9 3 1 ( 2) ( 2) 1 ( 1) ( 1) 1
k k k k
k k k k
+ + × + + × + + × × − + − + × + +
+ + + + + + − + − + − + − +
2 2
2
1 2 1 2( +1)
( 1) 1 1 1 3k(k+1)
k k k k
k k
× + + +
= × =
+ + +
2 2
( 1) 2( 1) 1
A B
2( 1) 3 ( 1) 3
n n
k k k k
k k k k
+ + +
⇒ × = × =
+ + +
二、【解】
不妨在單位圓內討論即可。對於圓上兩點 B,C，可以設座標為
(cos ,sin )
B
θ θ
， ( cos ,sin )C −θ θ
，此時 A 的座標為(0,1)時， ABC∆ 的面積 最大。以下找出θ
使得 ABC∆ 的面積達到最大值。易知 ABC∆ 的面積為2
3
( ) cos (1 sin ) 1 sin (1 sin )
(1 sin ) (1 sin )
f
θ θ θ
θ θ
θ θ
= −
= − −
= − +
其中
3
3
4
(1 sin ) (1 sin )
27 1(1 sin ) (1 sin ) 3
1 1 1
27 (1 sin ) (1 sin ) (1 sin )
4 3 3
θ θ
θ θ
θ θ θ
− +
= − +
≤ − + − + +
4 4
1 27 27 2 2
= = (算幾不等式)
上述”=”成立於1
(1 sin ) 1 sin 3 −
θ
= +θ
即 1
sin
θ
= − ，此時 ABC2 ∆ 為正三角形.三、【解】
當連接兩點的線段是某三角形的最長邊時，將其著紅色，不然著成藍色。
我們證明必有一三角形的三邊都著同一顏色。任選一點P1，和它相連的五 邊必有三邊著同色，設這三邊的另一端點為P , P2 3和P4。若，P P , P P , P P2 3 2 4 3 4 皆著同色，則∆P P P2 3 4的三邊同著一色，因此和其中兩邊形成一同色三角 形。
以上兩種情形證明存在一同色三角形，在這三角行中必有一邊著紅色，即
它最長那邊，又因這三角形三邊同色，它的最短邊也是紅色，因此，這三 角形的最短邊也是某一三角形的最長邊。
四、【解】
令s= + − + ≥ a b c d 6 則 a b c d+ ≡ −
ac+bd ≡0
由ac+bd =(a+b c) −b c( −d) 得 (a+b b)( + ≡ c) 0
因為
0
2 ( ) ( ) 2 0 a b s c d
a b s c a c b d
+ − = − >
+ − = − + − − <
所以s< + <a b 2s 故 (a+b)≠ 0
因此t =gcd(b−c s, ) 1>
2 3 3 2
2 3 3 2 2 3 3
2 3 3 2
0 (mod )
0 (mod ) 0 (mod )
0 (mod ) , (mod )
0 (mod )
( ) 1
b c t
s a b c d t
b c t
a d t
b c a d t
a b c d t
a b c d d b c b c t
a b c d
∴ − ≡
= + − + ≡
∴ − ≡ + ≡
∴ ≡ ≡ −
∴ − ≡
∴ − > − > − > >
− 不是質數
五、【解】
連接 AE 與 DE ，
(1) 因為∠CBF = ∠EAB,而∠AEB = ° (因為 AB 是直徑)，又90 AB= AC， 得到∠ABE= ∠ACE,所以∠BAE= ∠CAE,於是BE=CE= DE。 (2) 觀察 BCF∆ 與∆ADE,而∠CBF = ∠DAE, 因為 CDE∆ 是等腰三角形，
所以∠BCF = ∠ADE,於是∆BCF ~ ∆ADE AA( 相似)，
所以AD BC 2
= AD CF=BC DE=2BE BE=2BE
DE CF ⇒ ⋅ ⋅ ⋅
