繩波實驗

繩波實驗

目的

觀察在弦上形成的駐波，並且研究繩子張力、線密度與波動傳遞、波長間的關係。

原理

一、駐波：

設有兩列振幅、頻率完全相同的波沿相對方向在介質中行進，在某些特定情況下，當兩 行進波重疊時會產生駐波（standing wave）。描述波動的波函數通常可用 sin(kxωtφ_)或

φ) ωt (kx _

cos 來表示，其中k=2π/λ，k稱為波數（wave number）；ω=2f，f 為波動的頻率，

ω 稱為角頻率（angular frequency）。ωt之前若取負號，表示向正 x方向傳遞的行進波；取正 號時則表示向負x方向傳遞的波。φ 表示對應的起始相位（initial phase）。_

現在，我們來討論在一條兩端固定且張緊的弦線（或細繩）上，行進波產生駐波的條件。

假設在長度為的弦線上，有兩個橫波，一向正x方向傳遞，一向負x方向傳遞，其數學形式可 寫成：

ωt) (kx

A y

ωt) (kx

A y

2 1







 sin sin 這兩波疊加後成為

ωt kx)

2A y

y

y₁₂( sin cos 當 kx 0,,2,n, n0,1,2 時 y=0。因為k  /2所以 當 , n 0,1,2

2 , n 2, , 0

x    時振幅為零，稱為節點。

假設線長為，在弦上生成的駐波有n段，則由n/2與v=f（波速＝頻率×波長）的關 係得

v f 2

n (1)

波速為

Fμ

v (2)

其中F為繩上的張力，為繩的線密度。由(1)與(2)式可得 Fμ Fμ

1λ

f 2

n

 (3)

由(3)式可得

2 2 μf

λF  (4)

張力與波長平方的比值恆為一常數，這個關係在本實驗中可以驗證。

儀 器

訊號產生器一台、繩波震盪器一台、線(線A，線B)、三角底座一個、鋁棒一根、滑輪一個、

電子秤一台、砝碼一盒、砝碼吊盤一個、BNC香蕉接頭連接線一條、捲尺一個。

圖1 儀器裝置圖

繩波振盪器之儀器說明

繩波振盪器利用了一個線圈與磁鐵來振盪金屬片，也就是實驗中線與振盪器 連接的地方。我們利用訊號產生器提供一交流訊號給繩波振盪器，金屬片將以與 所提供交流訊號相同的頻率振動。

步驟

儀器的架設與設定：

1. 取一段適當長度的線(不要短於 1.3m)，測量實際線長與質量，計算此線的線密度。

2. 測量你的砝碼吊盤重量。

3. 如圖 1 所示裝置儀器：

a. 將滑輪固定在桌子邊緣。再將繩波振盪器裝在鋁棒與三角底座上(繩波振盪器的振盪金 屬片朝向側面)，放在距離滑輪適當距離處。振盪金屬片上圓孔高度需與滑輪凹槽的最 高點齊高，且金屬片指向滑輪凹槽，兩者相互平行。

b. 將線的一端綁在金屬片上(註一)，另一端繞過滑輪的最高點垂下，吊上砝碼吊盤。

c. 利用 BNC 香蕉接頭連接繩波振盪器的「OUT PUT」。

d. 將訊號產生器接上電源。

4. 測量線從金屬片上打結處到滑輪最高點的長度 L 並記錄之。

5. 訊號產生器操作面板如圖 5 所示。按下「POWER」按鈕以開啟電源、選擇輸出波形為正 弦波，頻率範圍選在 100(或 10)，如此即可開始以下實驗。

(I) 頻率 f 與波速 v 的關係

1.在砝碼吊盤中放入 50g 砝碼，調整訊號產生器的「FREQUENCY」旋鈕，找出可在線上產 生不同個波數 n 駐波之頻率 f。記錄繩張力 F、波長與頻率 f。

2.計算不同頻率時的波速 v，並作波速 v 對頻率 f 的關係圖。

圖 2 訊號產生器操作面板

(II) 固定頻率，求波遠 v 與繩張力 F 的關係

1. 旋轉訊號產生器「FREQUENCY」旋鈕，調整頻率為 80Hz。

2. 利用改變吊盤中砝碼重量的方式改變線的張力 F，當線上出現駐波時，記錄此時的線的吊 重 F 與駐波波長。

3. 計算不同波長時的波速 v，並作波速 v 對繩張力 F 的關係圖。

(III)換 不 同 的 線 ， 比 較 線 密 度與 波 速 v的 關 係

1. 選 取 另 一 段 不 同 材 質 的 線 ， 測 量 實 際 線 長 與 質 量 ， 計 算 線 密 度 。 2. 如 同 之 前 實 驗 裝 置 ， 重 複 實 驗 (II)的 步 驟 。

3. 比 較 實 驗 (11)與 實 驗 (III)的 波 速 v對 繩 張 力 F的 關 係 圖 有 何 差 別 。

(註 一 )實 驗 過 程 中 ， 請 注 意 線 與 振 盪 金 屬 片 連 接 處 是 否 為 一 個 點 (如 圖 三 之 左 圖 )。

而 非 (像 圖 三 之 右 圖 般 )線 隨 著 金 屬 片 振 盪。為 避 免 出 現 後 者 的 情 況，請 注 意 ： 1.將 線 綁 在 金 屬 片 上 時 ， 綁 的 結 盡 量 簡 單 ， 也 不 要 綁 太 大 太 複 雜 的 結 。 (譬

如，兩 個 平 結 即 可。)線 從 綁 的 結 連 出 來 的 方 向 要 可 以 直 接 朝 向 滑 輪 方 向，

不 要 有 複 雜 的 扭 轉 。

2.若 第 1點 做 到 了 ， 仍 出 現 如 圖 三 右 圖 的 情 形 ， 可 藉 由 調 整 砝 碼 吊 盤 掛 重 、 繩 長 或 頻 率 的 方 式 ， 將 圖 形 調 整 到 圖 三 左 圖 的 樣 子 。

3.果 你 已 做 到 第 1點，也 嘗 試 過 第 2點 的 方 法，靠 近 振 盪 器 那 邊 的 節 點 仍 然 不 理 想 (但 離 振 盪 器 較 遠 地 方 的 節 點 己 變 成 很 乾 淨 的 一 個 點 了 )時，請 將 這 個 因 素 放 在 實 驗 誤 差 中 討 論 。

圖 3 理想的節點(左圖)與不理想的節點(右圖)

實驗紀錄

(I) 頻率 f 與波速 v 的關係 線密度(g/cm)

線張力 F(dyne)

駐波波長(cm) 頻率 f(Hz) 波速 v(cm/s)

(II) 固定頻率 f，求波速 v 與張力 F 的關係 線密度(g/cm)

頻率 f(Hz)

駐波波長(cm) 線張力 F(dyne) 波速 v(cm/s)

(III) 換不同的線，比較線密度與波速 v 的關係(與實驗(II)比較) 線密度(g/cm)

頻率 f(Hz)

駐波波長(cm) 線張力 F(dyne) 波速 v(cm/s)