阻尼振盪

阻尼振盪

目的

本實驗是要瞭解阻尼振盪與受迫阻尼振盪的現象。實驗用的振盪器有兩 種:一是機械式的扭擺，另一是 RLC 振盪電路。

原理

一、阻尼振盪子

實際的振盪系統中常常有耗散的現象，如摩擦力、空氣阻力等的存在，

系統的力學能會隨時間的變化而減小，我們稱此類系統為阻尼振盪子

(damping oscillator)。一般較常見到的最簡單狀況為阻力正比於運動速度，而 阻力方向和速度方向相反。考慮一簡單的一維簡諧振盪子，恢復力(restoring force)為-kx，加上阻力R=-bv，則由牛頓運動定律可得

2 2

dt x md dt bdx kx ma

bv kx

F =− − = ⇒− − =

∑

將上式整理一下可得 0 2 ₀²

2

2 + + x=

dt dx dt

x

d γ ω (eq. 1)

其中 m

= b 2γ 、

m

= k

2

ω0 ，均為正數。

解此類型的微分方程時，我們可以令解為 Ae t

t

x( )= ^λ

再將此一般解形式代入方程中可得特徵方程 0

2 ₀²

2x+ γλx+ω x=

λ ⇒λ² +₂γλ+ω₀² =₀ 此特徵方程的兩個解為

02 2 2

,

1 γ γ ω

λ =− ± − (eq. 2) 微分方程式的解可以寫為

t

t Ae

e A t

x( )= ₁ ^λ1 + ₂ ^λ2 (eq. 3) 根據解的形式，我們可分為幾個情況來討論:

（一） 過阻尼情況(overdamped oscillator) γ² >ω₀²

此時特徵方程(eq. 2)的兩個解為不相等之負實數。系統的振幅可以寫為

t

t Ae

e A t

x( )= ₁ ^−λ1 + ₂ ^−λ2 (eq. 4)

其中之A₁及A₂可由起始條件（在時間為0時之振幅及速度）求得。振幅隨時間 的變化如圖1中(c)曲線。

圖1 阻尼振盪子的三種解

（二） 臨界阻尼情況(critical damped oscillator) γ² =ω₀² 此時特徵方程的兩個解相等λ₁ =λ₂ =−γ ，振幅可以寫為

Ae t

x= ^−γ (eq. 5) 振幅隨時間作指數衰減，如圖1中之(b)曲線。

（三） 欠阻尼情況(underdamped oscillator) γ² <ω₀² 此時特徵方程的兩個解為共軛複數，振幅可寫為

(

)

t C e C e

e

x= ^−γ ₁ ^ω' + ₂ ^−ω'

其中ω^' = ω₀² −γ ² 。x要為實數，故C₁和C₂必為共軛複數，可以寫成

θ

θ i

i C A e

e A

C₁ = _{0 2} = ₀ ⁻

2 , 1

2

1

最後解可以寫成比較簡單的形式

(eq. 6) )

cos( ^'

0 ^γ ω +θ

= A e⁻ t

x ^t

A₀和θ由起始條件決定。在欠阻尼的情況下，振子的振動幅度隨時間呈指數衰 減，如圖1 之(c)，或圖 2。

圖2 欠阻尼振盪

二、受迫阻尼振盪子(forced damping oscillator)

接下來我們將介紹一阻尼振盪子受到一週期函數形式的外力驅動，例如 t

F

F = _0cosω 時的情況，其中ω 為外力週期之角頻率，而 為常數。所以受 迫諧振子的運動方程為

F0

t dt F

bdx dt kx

x md ma

F = = ²₂ =− − + _0cosω

∑

為計算方便起見，我們將之改寫為 m t

x F dt

dx dt

x

d²₂ +₂γ +ω₀² = ⁰ _cosω (eq. 7)

其中 m

≡ b 2γ 、

m

≡ k

2

ω0 。

實驗時我們觀察到的是穩定狀態(steady state)的解，也就是不隨時間而衰 減的解。這裡穩定狀態的解也與系統的起始條件無關。我們令

] Re[ e^{i t}

x= A ^ω (eq. 8)

A是一包含相位e^iφ的複數。代入(eq. 7)，注意(eq. 7)的右邊可寫為Re[e^iωtF₀/m]。

(

) (

)

2 _{2 2}/

0 0 2 0

2

0 i

m F m

i F

+

= −

⇒

= +

− A

A

由此我們解得

(

)

^[

^]

0 2 2

0

0 Re

2 4

Re ^{ω ω φ}

ω γ ω

γω ω ω

ω

+

+

−

=











+

= − ^{i t} F m e^{i t}

e i m x F

其中 











= ⁻ − ₂

2 0

1 2

tan ω ω

φ γω ，為振幅與驅動訊號間的相位差。

振幅的穩定狀態解為

(

)

=c t

x cos (eq. 9)

其中振幅為

(

)

0

4γ ω ω

ω − +

= F m

c =

(

)

0



 

 +

− m

b m F ω ω ω

(eq. 10)

為了便於討論，上式可整理後寫為

(

)

(

)

2 0

0

4

2γ γ ω γ

ω

ω − + + −

= F m

c (eq. 11)

由(eq. 10)可以看出，當外加驅動力的頻率ω為

ω_max= ω₀² −₂γ² (eq. 12)

時，c有最大值c_max=

2 2 0 0

2γ ω −γ m F

2 2 0

2γ <ω

。假設這裡討論的是在沒有外力時，系統是

在欠阻尼的情況，而且 。這裡我們稱ω_max為共振頻率(resonance frequency)，而此時系統處於共振(resonance)狀態。共振頻率與響應振幅的大 小與阻尼有關。阻尼越小時，共振頻率越接近自然頻率，而響應振幅將越大。

相對的，當阻尼變大時，共振頻率與響應振幅皆隨之減小，而當γ →ω =γ_c 2

0

時ω_r →₀。圖3為對於不同的γ之振幅c對驅動頻率ω的圖，γ愈小，圖形愈尖。

γ增加 γ=₀

ω₀ ω

c

圖3 對於不同的γ，振幅c對驅動頻率ω的圖

三、RLC共振電路

接下來我們將討論另一個受迫振盪的例子---RLC 串聯共振電路（如圖 4），基本上它和受迫振盪的諧振子有一樣的微分方程式的形式，

t C V

Q dt RdQ dt

Q Ld

C R

L υ υ ω

υ +∆ +∆ = ²₂ + + = _0cos

∆ ，

其中 Q 是電容儲存的電荷。整理後可得 L t

V LC

Q dt dQ L R dt

Q

d²₂ + + = ⁰ _cosω (eq. 13)

V₀cosω_t

圖4 RLC 串聯共振電路

比較(eq. 7)與(eq. 13)即可發現二者類似之處，以及對應之參數。表一是兩個系 統的比較表。

表一 機械系統與電磁系統的比較

我們可以利用表一將在一維受迫振盪子系統得到的結果，馬上應用在 RLC 振盪系統，下面就是一些簡單的例子。

L R m

b

2 2 ⇔ =

= γ

γ

LC m

k 2 1

0 2

0 = ⇔ω =

ω (eq. 14)

同學可以利用上面阻尼振盪子的結果，寫出 RLC 電路中對於不同參數振盪的 情形。同樣的 RLC 電路的結果一樣可以應用在一維受迫振盪子系統。

根據參考資料中的 交流電路，RLC 串聯電路中平均消耗功率為

2 02 2 2 2 2

2 rms2 2

2

rms2

av ( 1 ) ω (ω ω )

ω

ω ω ^{+ −}

=

− +

= R L

R V L C

R

R

P V (eq. 15)

其中V_rms² 是驅動電壓源的方均根(root-mean-square)值。當ω在ω₀時，

R P V

rms2 av = 為最大。圖5 是消耗功率對頻率的關係圖，注意此圖和圖 3 的差別。半功率 點（消耗功率為最大值之半的頻率）之間的寬度記為∆ω，由(eq. 15)可求得

L

= R

∆ω _{(eq. 16)}

R 愈大，∆ω愈大；R 趨近於0，∆ω趨近於0。

圖5 消耗功率對頻率的關係圖 這裡我們要定義一個振盪子的品質因子(quality factor)Q

ω ω

≡ ∆⁰

Q _{(eq. 17)}

對於RLC 電路，品質因子就是

C L R R

L 1

0

0 = =

≡ ∆ ω

ω

Q ω _{(eq. 18)}

品質因子Q愈高，圖5 中之圖形就愈尖。

由表一我們可以得到對應的一維振盪子的品質因子Q為

γ ω ω

ω ω

2⁰

0

0 = =

≡ ∆

b

Q m _{(eq. 19)}

品質因子還可以看成是共振時，平均儲存在系統中的能量和消耗能量的比值 再乘2π。

儀器裝置

實驗裝置一 A、電流計 B、扭擺

C、光電門(參考資料) D、馬達 E、電源供 應器

實驗步驟

扭擺 一、阻尼震盪

1.設 =0，移動扭擺指標至底端，記錄此時的振幅 A。開始振盪後記錄下振 幅A 及光電門測得振盪週期 T，並描繪出振幅 A 對時間 t 的關係圖。

Id

2.設電流 為 0.3A，移動指標至底端，開始振盪後記錄下振幅 A 及光電門測 得振盪週期 T，並描繪出振幅 A 對時間 t 的關係圖。

Id

3.調整電流 到 0.6A，重複實驗步驟(2)。 Id

4.於 1.1~1.7A 的電流範圍，以 0.2A 為區間增加電流大小，移動指標至底端，

振盪時分別記錄下振幅 A 及光電門測得振盪週期 T，繪出振幅 A 和時間 t 的關係圖，並找出發生臨界阻尼的條件。

二、受迫阻尼震盪

1. 設 Id=0，慢慢增加馬達轉速，即增加外力的振盪頻率，記錄下振幅大小隨 外力振盪頻率增加時的變化情形，並請繪出振幅頻率響應曲線關係圖，由 於我們想得知的是系統在穩態時的情形，故取振幅大小值時要注意需等待 一段較長的時間讓振幅大小穩定。同時注意高頻與低頻部分驅動力與振幅 的相位差。(註:馬達的頻率需要重新測量)

2. 設 Id=0.6A、1.7A，重複以上實驗步驟。

預習問題

1. 本實驗所使用的是扭擺，在原理中討論的振幅必須換成角度θ，恢復力必 須換成恢復力矩，阻力矩的大小變成和角速度大小成正比。請你寫出正 確的牛頓運動方程式，並清楚寫出對應的常數及其單位。經過適當的整 理，可以獲得和(eq. 1)類似的方程式，請確認γ和ω₀²的形式，及他們的單 位。

2. 用Origin 或 Excel 軟體（或其他類似軟體），畫出(eq. 11)對於不同γ值的 c 對ω的圖。方便起見，F/m 令為1，ω₀也令為1，γ值選0.01、0.1、1/ 2 及 1，都畫在同一張圖中，以便比較。γ值變成多少時，便沒有最高點存 在，c 變成頻率的單調函數。

3. 將一維阻尼簡協振盪子對應(eq. 15) 的能量消耗率寫出。然後和上題一 樣，畫出對於不同γ值的 P_av對ω的圖。和上題的圖比較有何不同之處？

數據分析與思考問題

1.扭擺阻尼振盪驗中，於不同 Id（阻力）下，描繪出振幅 A 對時間 t 的關係圖，

並求出對應之係數γ 並計算其誤差。

2.請將受迫扭擺阻尼振盪實驗中，不同 I （阻力）下的頻率響應圖繪出，(振 幅對馬達驅動頻率作圖)，比較並討論不同 I 阻力下所得的圖形，振幅與共 振頻率如何變化？

3.比較一下在不同阻尼條件的情況下，扭擺受迫震盪時的頻率振幅響應曲線 和RLC共振電路的頻率響應曲線（電容輸出的部分），是不是很類似？