合情推理引領探究 解題反思滿載而歸

數學傳播 41 卷 3 期, pp. 93-96

合情推理引領探究 解題反思滿載而歸

一一一一 一道例題教學的感想

陳 波

很多數學的新發現大都是從猜想、 估計開始的, 這些猜想再經過嚴密的論證推理, 獲得數 學上的新結論。 因此, 在數學問題的探究中滲透合情推理的思想顯得尤為重要。 合情推理的學習 不但可以豐富人們的科學思想, 也可以提高人們的辯證思維能力。 中學階段, 教師在數學教學過 程中除了教授學生基礎知識, 更應該注重學生思維品質的形成, 注重把合情推理的思想貫穿於 整個教學過程。 本文以一道例題教學實際談談合情推理在數學發現中的應用。

1. 例題及解答

例題: A(1, 2) 為 Γ⁰: y²= 4x 上一定點, 過 P (5, −2) 作 Γ⁰ 的弦 BC, 判斷 △ABC 的形狀。

教師引導學生思考如下問題:

問題1: 觀察題目中的條件, 指出隱含條件是什麼; 如何用數量關係刻畫這一隱含條件。

學生討論得: (隱含條件) B, C, P 三點共線; 可以用直線 BP 的斜率與直線 CP 的斜率相等 刻畫三點共線; 也可以用向量−⇀

BP, −⇀

CP 共線刻畫三點共線。

問題2: 判斷 △ABC 的形狀有哪些方法。

學生討論得:

方法 1: 若知道 △ABC 三邊的長, 則可用餘弦定理求 cos A, cos B, cos C。 通過 判斷 cos A, cos B, cos C 與 0 的大小, 從而判斷 △ABC 的形狀。

方法 2: 利用向量知識求 −⇀

AB ·−⇀

AC, −⇀

BC ·−⇀

BA, −⇀

CA ·−⇀

CB。 通過判斷 −⇀

AB ·−⇀

AC,

−⇀BC·−⇀

BA, −⇀

CA·−⇀

CB 與 0 的大小, 從而判斷 △ABC 的形狀。

93

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教師分析: 設 B(x¹, y1), C(x², y2), y¹ 6= y²。

∴ −⇀

BP = (5 − x1,−2 − y1), −⇀

CP = (5 − x2,−2 − y2),

∵ B, C, P 三點共線, 所以向量−⇀

BP, −⇀

CP 共線,

∴ (5 − x¹)(−2 − y²) = (5 − x²)(−2 − y¹), 即 5(y¹− y²) + 2(x¹− x²) + x¹y2− x²y1 = 0.

代入 x1 = y1²

4, x² = y2²

4 化簡得: 20 + 2(y1+ y²) + y¹y2 = 0。

接著, 嘗試計算−⇀

AB ·−⇀

AC 。

∵ −⇀

AB = (x¹ −1, y¹−2), −⇀

AC = (x²−1, y²−2),

∴ −⇀

AB·−⇀

AC= (x¹−1)(x² −1) + (y¹−2)(y²−2)

= x¹x2−(x¹+ x²) + y¹y2−2(y¹+ y²) + 5

= 1

16y1²y2²− 1

4(y1²+ y²2) + y¹y2−2(y¹+ y²) + 5

= 1

16[−20 − 2(y¹+ y²)]²− 1

4(y1²+ y²2) − 4(y¹+ y²) − 15

=1

2y1y2+ (y¹+ y²) + 10 = 0.

∴ AB ⊥ AC, △ABC 是直角三角形。

2. 問題與思考

通過這道例題的教授, 能否使學生的思維在縱向和橫向上都得到發展? 學生將知識遷移和 整合的能力是否提高? 這是數學教師應該深入思考的問題。 在數學教學中, 從特殊到一般, 利用 合情推理的方式進行數學發現, 是一種常見的數學研究方法。 因此, 我們在合情推理的引領下進 一步探究這道題目。

3. 合 情推理引領探究

探究1: A(1, 2) 為拋物線 y² = 4x 上一定點, B, C 為拋物線上的點, 若 AB ⊥ AC, 則直線 BC 有什麼特徵?

合情推理引領探究 解題反思滿載而歸 — 一道例題教學的感想 95

設直線 BC 的方程為 x = ty + s。 代入 y² = 4x, 得:

y²−4ty − 4s = 0 ∴ y1+ y² = 4t, y¹y2 = −4s.

x1+ x² = t(y¹+ y²) + 2s = 4t²+ 2s, x1x2 = 1

16y1²y1² = s². 由 −⇀

AB·−⇀

AC = (x¹−1)(x²−1) + (y¹−2)(y²−2)

= x¹x2−(x¹+ x²) + y¹y2−2(y¹+ y²) + 5

= s²−6s + 5 − 8t − 4t² = [(1 − s) − 2t][(5 − s) + 2t] = 0.

∴ t= 1 − s

2 或 t = −5 − s 2 . 若 t =1−s

2 , 則直線 BC 的方程為 x =1−s

2 y+s, 即 2(x−1)−(1−s)(y−2) = 0(捨去)。

若 t = −5−s

2 , 則直線 BC 的方程為 x = −5−s

2 y+ s, 即 2(x−5)+(5−s)(y+2) = 0。 顯然 直線 BC 過定點 (5, −2)。

接著, 思考一般情況。

探究2: A(m, n) 為拋物線 y² = 4cx (c > 0) 上一定點, B, C 為拋物線上的點, 若 AB ⊥ AC, 則直線 BC 有什麼特徵?

類比探究 1, 有:

設直線 BC 的方程為 x = ty + s, 代入 y² = 4cx, 得:

y²−4tcy − 4sc = 0 ∴ y1+ y² = 4tc, y¹y2 = −4sc.

x1+ x² = t(y¹+ y²) + 2s = 4t²c+ 2s, x1x2 = 1

16c²y₁²y₁² = s². 由−⇀

AB ·−⇀

AC= (x¹− m)(x²− m) + (y¹− n)(y²− n)

= x¹x2− m(x¹+ x²) + m²+ y¹y2− n(y¹+ y²) + n²

= s²+ m²+ n² −2ms − 4sc − 4nct − 4cmt²

= s²+ m²+ 4cm − 2ms − 4sc − 4nct − n²t²

= [(m − s) − nt][(m + 4c − s) + nt] = 0.

∴ t= m− s

n 或 t = −m+ 4c − s n . 若 t =m−s

n , 則直線 BC 的方程為 x =m−s

n y+s, 即 n(x−m)−(m−s)(y−n) = 0(捨去)。

若 t = −m+4c−s

n , 則直線 BC 的方程為 x = −m+4c−s

n y+s, 即 n(x−m−4c)+(m+

4c−s)(y+n) = 0。

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顯然直線 BC 過定點 (m + 4c, −n)。

4. 結論提煉

由上面探究過程, 得到如下結論:

結論1: A(m, n) 為拋物線 y² = 4cx (c > 0) 上一定點, B, C 為拋物線上的點, 若 AB ⊥ AC, 則直線 BC 過定點 (m + 4c, −n)。

結論2: A(m, n) 為拋物線 y² = 4cx (c > 0) 上一定點, 過定點 (m + 4c, −n) 的直線 BC 交拋物線於 B, C 兩點, 則 AB ⊥ AC。

結論 2 的證明是容易的, 本文就不再給出證明過程。

進一步思考, 發現結論 1 中 「AB ⊥ AC」 即直線 AB 的斜率 kAB 與直線 AC 的斜率 kAC 滿足 「kABkAC = −1 (定值)」。 若 kABkAC = k (定值), 那麼直線 BC 是否仍過定點。

實際上, 類似與探究 2 的解答過程就得到:

結論3: A(m, n) 為拋物線 y² = 4cx (c > 0) 上一定點, B, C 為拋物線上的點, 若直線 AB 的斜率 kAB 與直線 AC 的斜率 kAC 滿足 kABkAC = k (定值), 則直線 BC 過定點 (m − 4c

k ,−n)。

再逆向思考問題, 又得到:

結論4: A(m, n) 為拋物線 y² = 4cx (c > 0) 上一定點, 過定點 (m − 4c

k ,−n) 的直線 BC 交拋物線於 B, C 兩點, 則直線 AB 的斜率 kAB 與直線 AC 的斜率 kAC 滿足 kABkAC = k (定值)。

結論 4 的證明也是容易的, 本文就不再給出證明過程。

5. 結束語

正如數學家波利亞所說:「我們靠論證推理來肯定我們的數學知識, 而靠合情推理來為我們 的猜想提供依據」。 因此, 在數學教學中教師要持之以恆、 循序漸進的培養學生合情推理的意識。

—本文作者任教中國陝西省漢中市略陽縣天津高級中學—