第六章 結論和建議
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第六章 結論和建議
第一節 結論
由於課堂教學的複雜程度是與情境脈絡相關，教師一方面可以藉由她的思考、決策 和專業自主能力來調整教學的複雜度，另一方面，教師也可以在教學中透過反思自己所 扮演的角色、教學情境和課堂活動，來促使教學實作更加順利（Richardson & Placier, 2001）。所以，課堂情境中的教學脈絡是教師教學活動的一環，而且學生在解題、理解 數學概念或規律時，經常需要置身在數學學習的經驗脈絡中，使用自己過去或其他的經 驗來協助學習，因此，教師就必須隨著教學環境的改變以及不同素質的學生來構思最合 適的教學策略。本研究中的周老師對美術班的教學構思和實作就會同時強調課內基本概 念和課外相關的數學觀念，而在普通班的教學則重視課內的基本概念與能力；王老師為 了配合體育班學生的程度，其教學構思和實作會著重在課內基本概念，而在普通班則會 另外補充內容。這似乎反應了，對於資質比較好的學生，教師宜施行補充教學與個別指 導以發展其數學才能的主張（教育部，2001）。兩位個案教師對程度比較好的學生不只 重視課內數學概念，也會適時補充課外的數學觀念，而相對地在其他班級則是強調基本 能力。
另外，在學校情境中對教師的教學最具有影響力的就是課本內容。以七年級的幾何 課程來說，我們可以從表 6-1 的幾何能力指標發現，其內容傾向讓學生透過形體的分割、
拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質以學習關於幾何的空間能力及視覺 推理（教育部，2001）。而且，多數的數學教師皆強調在幾何直觀的思考過程中，具體 物對學生學習的重要性，因此，教師大半會認同「利用學生視覺上的感受來操作具體物 是可以發展 6-9 年級學生的幾何概念」的主張（Fuys et al., 1988）。在本研究中我們也可 以發現，王老師的幾何教學活動正是讓學生藉由操作來建立視覺心像，以進行非形式化 的推理。雖然周老師認為操作應只具有驗證幾何性質的功能，但是她改用生活工具或實
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例來協助學生進行視覺推理，再透過講述簡單的幾何性質以理解圖形彼此之間的關係。
而這樣的教學實作就如同 Duval（1999）所說的，在國中階段要讓學生從數學口語表達 過渡到利用書寫文字的方式來理解是一個複雜的過程。
表 6-1：七年級幾何能力指標
S-3-8 能瞭解平面圖形線對稱的意義。
S-3-9 能辨識基本圖形間對應邊長成比例時的形狀關係。
S-3-10 能透過實測辨識三角形、四邊形、圓的性質。
S-3-11 能操作圖形之間的轉換組合。
對教師的數學教學實作和教學專業成長而言，利用適當的教學程序來監督學生的理 解過程是主要的核心教學活動，而且對於在職教師來說，擁有透徹和整合的知識系統對 其教學活動更是重要（Artzt & Armour-Thomas, 1999）。而且，教師應該瞭解數學抽象的 本質是一般人學習數學的最大障礙（教育部，2003）。正因為如此，在課堂中創造具有 數學效用的真實情境，以表達抽象的數學形式對教師的教學是必要的（Jaworski, 2001）。
本研究中的兩位個案教師的教學也是如此，她們會藉由數學故事將抽象的數學式子簡 化，或是利用生活上常見的圖片讓學生體驗到生活中的數學。所以，教師會傾向利用自 己的專業知識、教學經驗和學習經驗，來將數學與生活情境連結，以協助學生擺脫數學 形式規則的束縛。然而，對大多數的數學教師來說，以前多半是藉由記憶和重複演練來 進行幾何教學，因此，為了促進教師的專業發展就應該讓他們擁有適當的經驗來洞悉幾 何概念的內涵與本質（Fuys et al., 1988）。此外，在本研究中周老師和王老師之所以會展 現出不同風格的幾何教學活動，以及她們在教學前會針對不同類型班級構思最適合學生 學習的教學決策，皆是受到她們對於數學、教學、學生學習和課程內容知識的理解，以 及她們對於數學學習和教學信念的影響。這是因為，教師的認知和信念每天驅動著她們 的教學實作，不僅如此，教師長期對教學的反思到後來也會影響其教學活動的設計與進 行（Richardson & Placier, 2001）。
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個人認為，教師的數學教學是與學生的數學學習一同成長，因此，在構思和進行教 學活動時自然會考量學生的學習情況，進而思索如何提升自己的教學成效。雖然，教師 在教學前就已規劃好如何進行教學活動，但是，在教學過程中教師一旦發現學生的回饋 並非先前所預期時，大都會利用自己的教學經驗和對學生學習的理解來調整之前預想的 教學策略與內容。在本研究中我們可以觀察到，周老師會在教學的同時思考著學生當下 的學習情況，進而反思她預想的教學方式，並且臨場立即作出調整，因而使得她的教學 實作與教學前的構思有些微的不一致。這樣的不一致對教師整體的教學來說，應該是屬 於常態。因為，教師若是能在教學中思考或反思各種與學生學習相關的訊息來源，應該 有助於教師學習如何教學，而且當教師更加瞭解自己的教學時，就可以形成與學生學習 相關的教學原則（Jaworski, 2001）。由此可見，在職教師的教學專業發展是與其在教學 實作上的反思功力息息相關（許秀聰，2005）。而且，深化教師的教學功力是可以提升 其課堂教學的實作能力（黃乃文，2005）。
第二節 建議
從本研究結果中可以發現，當教師在進行數型關係的教學時，是可以利用圖示或操 作來分解或拼湊複雜的圖形，這樣的教學可以先讓學生藉由圖示或操作來觀察出規律，
以引起學生對數學學習的動機並減少學生對於題意的迷思，進而讓他們利用數學式子來 表達數與型的關係。所以，教師在教學時應該注重形與數量的聯繫，使學生在實測與直 觀中獲得概念，並逐步抽象化（教育部，2001）。然而，多數的學生對於數學語言多半 是不熟悉且容易誤解，所以教師在進行教學時，可以先利用詳細且直觀（或直覺）的口 語敘述來解釋數學概念，讓學生產生正確的概念心像之後，再學習以數學語言或方法來 分析。這是因為，直觀對於數學的學習行為有很大的支配力，尤其是在空間概念的教學 和學習初期，直觀也是一項很重要的影響因素（Nickson, 2000）。事實上，許多學生是 利用視覺思考來表徵和運思幾何概念（Clements & Battista, 1992）。而且 van Hiele（1999）
也指出，非口語思考（nonverbal thinking）對幾何學習的重要性，很多合理的思考都是
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依據它來發展的。而大多數學生是從判斷圖形的外觀來開始學習幾何，也就是說，學生 視覺期是幾何發展的學習基礎。他們的幾何學習大多從非口語思考開始，因此，教師就 應該要依據學生的幾何思考層次的發展來進行教學（van Hiele）。以平面圖形的幾何教 學而言，教師可以藉由培養學生的視覺心像以進行幾何概念的教學，而且，無論是透過 具體物的操作、繪圖或是視覺感官上的訊息接收，皆有助於學生的幾何思考。另外，教 師在歸納幾何性質前，也可以提供幾何形體的觀察或討論的活動，來幫助學生的學習，
也就是教師不應該只採用講述的方式來進行幾何單元的教學（教育部，2001）。
由於多數的研究皆指出（例如 Moyer, 2001；Prigge, 1978；Sowell, 1989），使用操作 物有助於學生的空間概念察覺，而且也會影響學生對數學的態度和學習成效。而 van Hiele 的幾何思考層次理論可以用來描述學生的幾何發展（Clements & Battista, 1992）。 所以，未來的研究應該可以擴大至操作物的使用與學生幾何思考層次發展的關係。也可 以利用 van Hiele 的幾何思考層次來評估教師的幾何思考能力、學生的學習成效和幾何 教材內容之間的影響（Fuys et al., 1988）。另外，在職教師也可以進一步去思索：透過反 思自己的幾何教學和學生的幾何概念學習，是否能夠提升學生的幾何思考層次？雖然，
多數的學生其平面幾何學習大多是依賴視覺心像，這是否意味著學生在幾何證明的學習 也是如此？以及教師在空間形體的教學，是否也會利用操作活動或是具體物的觀察來發 展學生的幾何概念？因此，教師除了關心學生的幾何學習之外，也要注意採用何種教學 方式可以幫助學生發展幾何思考。事實上，無論是哪一個單元的教學，教師都應該將學 生的學習視為教學的重心，並且時時反思與學生的互動過程，這樣不只可以讓學生的學 習更有成效，教師也可以因此提升本身的專業水準。
