第參章 研究方法
第一節 研究設計
本研究目的有兩大部份，第一部份是瞭解中學生對於平行線概念的認知 結構，第二部份是以認知負荷為理論架構訂定教學策略並進行平行線單元的 教學，使學生能克服邏輯推理所面臨的困難的鴻溝，從實驗幾何跨到演繹幾 何。圖3-1-12 為此研究之研究架構：
圖 3-1-12 研究架構
所以我們的研究設計也從這兩大部份來著手，分成兩個階段來進行。
第一階段：平行線的認知結構
本研究欲觀察中學生平行線的認知結構，所採用的方式是個案訪談和問 卷施測，會採用個案訪談的原因是我們嘗試用深度訪談去對學生的認知結構 做質性的詮釋分析，以觀察研究的方式，從深度訪談中觀察學生的學習反 應。問卷施測則可以取得量化的研究資料。
平行線 認知結構
概念結構
推理認知
概念心像與 概念定義
幾何認知模式
（Duval）
抽象思考類型 (Piaget)
推理層式 (van Hiele)
起源分解
（ Dubinsky ）
提升推理層式 達到演繹幾何
理論背景：
認知負荷理論
教學策略
教學 目的一
目的二
Î局部推理
Î動態幾何軟體的引入 設計
(一)個案深度訪談
研究者針對大臺北地區的中小學選擇五位個案，包含中學每年級各一名 (七、八、九年級)以及小學五年級和專科一年級(國十)各一位個案，會選擇 這些不同學齡層的個案，是因為我們想要參考學生在學校所學平行線單元的 前後有沒有什麼差異。從小五剛學過國小平行單元，七年級還沒上到中學幾 何單元，到八年級才會學到平行單元，九年級學了幾何論證，到十年級已學 過所有國中課程。每位個案的學習背景都有所不同，這對於認知結構也會有 所影響。搭配個案的學習特性，去觀察個案對平行線的概念認知結構，並且 從中去發現是否有典範心像、迷思概念，或學習上的困難，對照於受測者的 概念心像以及認知結構，藉此來做為將來第二階段研究教材設計和教學活動 之參考。
本研究採取「半結構性訪談」，訪談前先將研究者想要瞭解的問題以問 卷的方式列舉出來，訪談時即以問題為主，再配合學生答案深入訪問。訪談 全程都有錄音，我們針對錄音檔中訪員與個案互動對話的過程及訪談問卷的 成果去做分析。
在訪談過程中，我們使用問卷請受測者解題，並使用「放聲思考法」， 要求學生不僅是把解答過程寫下來，還要儘量將自己可察覺的思考運作情形 口述出來。研究者並不會特別介入學生的思考過程，除非學生答題結束後有 模糊或是產生認知困難的地方，研究者才會介入提示，這部份也會在訪談過 程中紀錄下來。此外，研究者提供三角板、直尺、量角器及圓規這些構圖工 具，讓學生自由取用，並將使用過程記錄下來。
(二)量化問卷施測
除了五位個案之外，我們另外設計一份問卷，內容是去調查八年級學生 對於平行線的概念心像及推理方式，受測樣本是臺北縣某國中88 位八年級 學生。這些學生尚未學到國中的平行線單元，而我們藉這些問卷資料去看這 些尚未學習國中平行線單元的學生的概念心像及推理方式，以及是否有典範 現象及迷思概念，並從中調查是否具備推理中可能所需要的先備知識(譬如 垂直的概念、三角形的內角和等等)，以做為第二階段研究中實驗教學的參
考。此外，這份問卷也是第二階段實驗教學時對實驗班級學生的前測問卷。
第二階段：平行線問題的推理發展
Dubinsky(1991)描述教師用來幫助學生獲得數學知識所發展的教學發 法，首先教師應該在其自身的腦中建構出一個此概念的描述，這個概念是教 師希望學生能從中學習到哪些知識，並且利用這一個概念做為教導此數學知 識的方針。當要有系統達到高等數學的概念和技能的方式時，這個概念有三 個主要的來源：
1. 研究者對此數學概念的瞭解 2.認知發展理論
3. 對學生在試圖瞭解此概念的歷程之觀察
Dubinsky 也強調研究者對概念的瞭解在剛開始時是最重要的，在獲得 學生的任何觀察之前，研究者應該以其個人的反思為基準，配合學科的本 質，以及學生的認知基礎，去設計一開始的活動。
因此，在第一階段的研究中，我們從個案訪談和問卷資料中所得知學生 的概念認知結構，並且從學生面對題目的推理方式及所產生的困難，去表現 出實驗幾何跨入演繹幾何的必要性。之後才能去設計出平行線的教學活動，
並藉此來做為將來研究和教學活動之參考。
(一)教學實驗
我們參考第一階段所獲得資料，根據受訪者的發展歷程、研究者對平行 線單元的瞭解，以及數學學科的本質(參考學科教材和數學史)，然後再以上 述資料為參考設計教學活動。教學活動分兩部份，第一部份以教學平行線定 義與角度性質為主，以觀察操作方式，去學習平行線的定義，並用觀察實作 的方式觀察平行線的性質(角度的判別) ，之後做一些關於平行性質的解題 活動。第二部份設計了四個活動，都偏重於推論的題型。
這個教學活動有兩個操作變因，第一個是局部推理的建置，第二個是動 態幾何軟體(GSP)的引入，每一個變因去配置實驗組及對照組，由有無局部 推理的學習活動和有無GSP 電腦輔助教學等 2×2 所組合而成的教學情境，
分成四個班級去做教學實驗。我們找了四個班級，分別使用不同的教學策
略，班級代號中有G 的表示使用 GSP 引入教學，N 表示未引用 GSP。班級 代號中有 C 的表示運用局部推理的方式，W 則是用全控的方式教學(表 3-1-9)。
表3-1-9 教學實驗的分組命名 局部(completion) 全控(work) 使用GSP 引入教學 GC 班級 GW 班級 不使用GSP 教學 NC 班級 NW 班級
所謂加入局部推理的教學方式就是在學習單中，將證明的步驟放上去，
但是將部分內容挖空，讓學生去思考填寫，隨著活動的深入進行，挖空的部 分 也 會 愈 來 愈 多(如圖 3-1-13、圖 3-1-14) （此為局部式）(completion example)；另外兩組則以直接授予整個推理方式，將證明過程整個放上去，
並完整教授解釋證明的過程（此為全控式）(work example)，之後讓學生反 思所學到的知識進行統整，並嘗識挑戰隨堂測驗（全部空白讓學生填寫，題 型和活動內容類似），我們利用隨堂練習和後測的應答情況去觀察學生的學 習情況和認知模式，以及看學生是否能夠進行演繹幾何。最後以量表去詢問 學生的心智努力、困難指數和信心程度。
圖 3-1-13 局部推理組學習單部分內容
圖 3-1-14 局部組在局部證明的比重
（圖3-1-14：局部組在局部證明的比重，灰色部分是學習單上有給予證明的部分，白色則是 挖空讓學生填寫；至於全控組是把所有證明全部放上去）
而引入 GSP 進行教學的部份，研究者針對課堂中的每一個概念介紹以 及例題示範，都用 GSP 設計出圖形的模擬，並利用動態呈現的功能，去表 達一些性質(圖 3-1-15)。譬如在講解到平行線截角性質時，直接以動畫方式
呈現角度的平移，並且將角度的數據展示出來，我們也可以利用拖曳的功能 將圖形去做改變，讓學生看到無論怎麼截一直線都會是符合截角性質(圖 3-1-16)。
圖 3-1-15 GSP 教學圖示(一)
圖 3-1-16 GSP 教學圖示(二)
(二)學習單
在教學實驗中，我們會發給每位同學一份學習單，學習單上除了有上課 會進行的活動標題之外，之後的兩堂課是檢測學生的推理行為，因此學習單 上會有四個例題，每個例題後面會附上一個隨堂練習，例題部份根據局部推
理策略的不同而有一點差異(挖空與否)，隨堂練習作答區則是全部空白，題 型和例題是雷同的。課堂後我們收集四個班級的學生的學習單，以獲得學生 的推理表現及認知負荷程度(九分量表)。
(三)前後測
為了測出實驗的成效，研究者參考第一階段研究的發現以及教學的內 容，設計前後測的問卷，前測問卷的設計目的是檢測學生有沒有學習所需的 先備知識，以及看學生的概念心像及概念定義。我們對前測資料中，學生所 使用的推理方式去做個分類及編碼，然後對四個班的前測中學生的推理層次 做起點行為檢測，以表示任意兩個班級的起點行為是一致的。在教學結束之 後，將前後測的問卷，以及課堂中進行的隨堂測驗(置於學習單中每個例題 之後)的推理方式做編碼，並看推理層次在前測、隨堂練習、後測這三個階 段是否有提升。
另外在前後測問卷中都置入了一些量表，去看學生的認知負荷，由於認 知負荷的多層面性，我們選擇三種指標去觀察分析，包括信心指數(解題的 信心)、困難指數和心智努力(努力指數)這三種指標，困難指數和心智努力代 表學生認知負荷的依據之一，而信心指數是學生在面對問題的解題信心，我 們認為解題信心會與學生的認知負荷有關，信心低落會造成學生的壓力和不 安，而造成認知負荷增高。在教學結束之後，在後測時觀察學生能否使用演 繹幾何，並根據學生的程度和認知理解方式，和前測進行比較。（前後測題 型見附件三、六）
第二節 研究樣本
第一階段的研究，研究者選擇五個學生，從小五、國七、國八、國九、
專一(國十)的學生各一名，對個案進行訪談，個案描述見表 3-2-10。
表3-2-10 訪談個案的描述 訪 談 對 象
編號
年級 個案描述
P1(男) 五年級 小學五年級，但是已經學完小學數學課程，資質優 異，班上數學成績在前三名，腦筋轉的很快，但是比較 缺乏耐心，家長描述為邏輯能力強，但是很懶得計算，
而最弱的部份就是幾何，目前學校剛剛教過平行與平行 四邊形的課程。
教材版本：康軒
P2(女) 七年級 國中七年級，家長描述她在一個程度還不錯的班級，
班上數學成績在十名左右(前四分之一)，個性文靜內 向，不愛說話，但是很愛畫畫，繪畫能力很好，數學方 面學習尚可，國中尚未學及平行的課程。
教材版本：部編版(國小:南一)
P3(女) 八年級 國中 8 年級，班上數學成績在中間(十幾名左右)，家 教老師描述為沈默寡言，能夠配合學習並且給予回饋，
很喜歡寫字，訪談期間很少講話…大多在寫，老師額外 問的時候會回答。據學生表示平行和平行四邊形的東西 好像是在國一下的時候學到的。
教材版本：南一
P4(男) 九年級 國中9 年級，正準備考國中基測，學習意願佳，但 是理解能力並沒有很好，在班上成績中下，平行線單元 因為有做複習的關係，所以還算有印象。
教材版本：未知
P5(女) 十年級 心思細膩…有耐心解決問題…以前在國中的成績大該都 在班上的中間…數學成績大致都在二十幾名(全班四十 多個)
教材版本：因為他們是教改的第一屆…有很多版本(南 一、康軒、翰林…)加上學校每學年都會換教材…所以也 不記得是用哪個版本來上平行
量化問卷資料部份，我們選擇了臺北縣某國中 88 位八年級學生進行填 寫，至施測時間為止，這些學生尚未學到國中的平行線單元。
第二階段的教學，我們有兩個操作變因，其中一個變因是局部推理的部 分，另外一個是引入 GSP 幾何軟體，所以我們需要四個班級，因此我們找
了三個在臺北市某國中八年級，一個七年級的班級。四個班均未上過中學的 平行線單元(表 3-2-11)。
表3-2-11 實驗班級的人數及描述
班級人數 有效問卷（學 習單）
班級學生描述
NC 組 31 人 22 人 以數學導師的描述，這個班級的學生的程度並 沒有很好，但是上課時的表現還算是配合。填前 後測問卷的時間是在早自習，所以會有人未到而 沒寫問卷。
GC 組 34 人 29 人 上課秩序良好，上課互動情況佳，導師認為此 班學生有幾位程度還蠻好的，不過施測時間接近 學生段考，所以部份學生有些心浮氣燥。
NW 組 32 人 27 人 學生配合程度高，不過因為施測時間接近考 試，所以學生心情有些浮躁，不過數學老師有幫 忙管理秩序。
GW 組 29 人 22 人 上課風氣自由，學生的配合度有高有低，是四 個班中唯一一個七年級的班級，上課時間是聯課 活動，所以學生的組合來自各個班級。
在此教學中，研究者即擔任教師的角色，因為在教學前與學生尚未有所 接觸，因此對於學生的瞭解是從這幾個班級的導師或數學老師方面去得知。
第三節 研究工具
一、第一階段的研究工具 (一)設計理念
在第一階段中，我們對五位個案進行深度訪談，為了要瞭解學生對於平 行線的認知結構，研究者從三方面去設計訪談問卷，第一部份是關於學生的 概念心像與概念定義，這部份我們從訪談以及學生填寫問題當中嘗試去瞭解 學生的心智圖像以及概念定義及屬性。這部份也可以從學生在平行線構圖中 去觀察，甚至可以看到學生對於平行線的典範現象及建構方式，第二部份是 測試學生對於平行線概念屬性的瞭解，譬如平行線的截角性質或是平行線之 間處處等距，依照九年一貫課程綱要及教材編排，五位個案中有三位(五~
八年級)沒有截角性質這方面的概念屬性，所以我們去看這些個案在面對問
題的時候會怎麼應對和說明。最後一部份是概念屬性應用在解決平行線問 題，我們將觀察個案在平行線問題中如何運用既有概念和推理去進行解題。
(二)編製過程
在題目設計方面，主題是平行線的相關問題，我們不只去探討個案的概 念分解，另外從回答的方式中去看個案對平行的推理思維。舉例來說，當問 題中問到「如何…」(how)時，代表解題的方式，個案可能會運用外在幾何 作圖操作的話，但也有可能個案運用之前學習到的東西放到問題中來運用，
去做一些推理演繹。另外問題中有問到「為什麼…」(why)會請個案去解釋 圖形操弄的原因或是觀察到的一些現象，從個案的應答當中也可以去看個案 的一些推理思維。
而我們要針對本研究的研究問題來設計問題，所以研究者不僅從現在的 教材編制及九年一貫課程綱要去作參考，並且針對研究問題設計問題形式，
所以本學習單設計五個活動，分成六大部份：
1.概念心像與概念定義 2.平行線構圖
3.平行線判別
4.簡易推理(文字陳述判別平行線) 5.角度判別(截角性質)
6.綜合推理
第一點是去瞭解中學生平行線的概念心像與定義，第二和第三點主要是 瞭解中學生平行線圖形及基本的操作模式，後面主要是瞭解中學生平行線性 質的推理結構。最後我們針對整體的認知結構來作出平行線的起源分解。
表3-3-12 為訪談問卷設計目的：(訪談問卷請見附錄一)
表3-3-12 訪談問卷設計目的 單元 學科目的 研究目的 活動1-1 對平行線的印象及瞭解
(心像)
調查個案對平行概念的概念心像及 表徵形式
活動1-2 對平行線的印象及瞭解 (定義)
調查個案平行概念的定義
活動1-3 對平行線的印象及瞭解 (性質)
調查個案平行概念的性質
活動2-1 平行線的構圖 調查個案平行概念的典範現象 活動2-2 平行線的構圖 調查個案平行概念的典範現象或排
它性 活動2-3 從實驗操作及觀察幾何
特性去建構平行
1. 調查個案是否會使用概念定義 2. 用操弄性理解方式來認知概念 活動3-1 從觀察及幾何特性去判
斷平行
1. 調查個案是否會使用概念定義 2. 是否用論述性理解方式表達推
導
活動3-2 平行線的判別 1. 調查個案是否會使用概念定義 2. 是否用構圖性理解方式來判別 活動3-3 平行線的判別 1. 概念定義或概念屬性
2. 調查個案對文字上的描述可否 判斷，亦或是要轉成其他形式的 表徵
活動4-1 平行線角度的判別 調 查 個 案 可 否 用 知 覺 性 理 解 來 判 斷，或是用概念屬性來判斷
活動4-2 平行線角度的判別與解 釋為何角度相等
調查個案是否會使用概念定義並用 何種理解模式來解決問題
活動4-3 利用角度性質推導平行 1.4-2 的逆證明，調查個案部份和全體 的關係
2.構圖性理解
活動5-1 利用角度性質推導平行 1.調查個案是否會使用概念屬性?
2.構圖性理解 活動5-2 利用平行線角度性質來解
題
調查個案是否會使用操弄性理解來解 決問題
活動5-3 利用平行線角度性質來推 理
調查個案是否會使用概念屬性及操弄 性理解來解決問題
二、第二階段的研究工具 (一)設計理念
第二階段我們要探討四組學生在認知負荷的教學策略之下的推理層次 是否有所提升，所以研究者不僅要設計教學活動內容，還要編制出前後測的 問卷以檢測教學成效。前測問卷的設計上有兩個功用，第一個就是去瞭解學 生的先備知識和概念心像的調查，因此前測問卷也拿來做為第一階段的量化 問卷。第二個功用就是藉由平行線相關問題去瞭解學生的推理形式，由於前 測問卷是開放性做答，除了題目之外做答過程全由學生來寫，因此可以看到 學生的推理方式，我們也可以從這些推理方式去做分類和編碼。
後測部份，有些問題和前測是相同或是同質性高的問題，用來和前測做 比較(譬如活動四的面積問題和截角問題)，另外一個目的是要檢測學生的學 習成效和推理行為，因此佈置了一些計算問題和證明問題，讓學生嘗試運用 所學定義或性質進行推理。
每一組的課程分成三堂課，第一堂課為平行線定義及屬性的教學，我們 設計出學習單給學生在課堂中填寫及作答，所以學習單內容大致是根據課程 設計而編排教材。第二堂課和第三堂課偏重於推理論證，我們設計五個活 動，前四個活動分別是和平行線相關的概念性質的推理或是性質的應用，最 後一個活動則是情意部份的調查。所以我們希望從這些活動當中看到學生的 推理形式，和前後測去做個對照。
(二)設計方式
在前測問卷上面，我們設計三個活動，要特別說明的是活動二的部份，
為了避免學生對活動一的問題作答不清，所以活動二的問題和活動一的某些 問題重覆，只是差在於活動一是開放性問答，活動二是用選項的方式做答，
但是為了避免活動二的選項影響到活動一的作答，所以在活動一做完進行活 動二之後，就不能再做答或更動活動一的問題了。
表3-3-13 為前測問卷的設計說明：(問卷題目請見附錄三) 表3-3-13 前測問卷設計說明
活動 內容說明
一 調查學生的概念心像、概念定義及構圖方式。另外調查學生關於 角度的概念，以及是否有三角形內角和等於180 度的概念屬性。
二 將活動一的問題以勾選的方式呈現，另外提供幾個圖形讓學生去 判斷哪些是平行線，並請學生說明原因。調查學生的判斷方式及 是否有迷思概念。
三 有三個問題，分別是遞移律問題、面積問題和截角問題，從這三 個問題中去看學生的推理方式。
後測問卷總共有五個活動，表 3-3-14 為後測問卷的設計說明：(問卷題 目請見附錄六)
表3-3-14後測問卷設計說明
活動 內容說明
一 調查學生的概念心像、概念定義及構圖方式。另外提供幾個圖形 讓學生去判斷哪些是平行線，並請學生說明原因。調查學生的判 斷方式及是否有迷思概念。
二 有三個問題，分別是遞移律問題、平行線判別問題和截角問題，
從這三個問題中去看學生的推理方式。
三 圖形的計算問題，從給予的圖形和題目條件去推得所求角度或是 面積。
四 三個證明問題，檢視學生的推理形式。
五 調查學生對此問卷和課程的難易和心得。
學習單依課程分成兩份，第一份是概念教學，第二份是概念推理，表 3-3-15、表 3-3-16 為兩份學習單的設計說明：(學習單請見附錄四、五)
表3-3-15 學習單一設計說明 活動 內容說明(學習單一)
一 平行線的概念定義。
二 平行線的構圖。
三 兩條線截一條直線的截角名稱介紹(同位角…) 四 截角性質—兩條平行線截一條直線的截角關係。
五 兩個挑戰問題，讓學生去使用截角性質去做解題。
六 自我心得評估
表3-3-16 學習單二設計說明 活動 內容說明(學習單二)
一 利用平行線之間距離處處相等來推導面積相關問題。
二 平行線之截角性質：證明同位角相等。
三 平行線截角性質之應用。
四 平行線截角性質之相關證明。
五 自我感想評估。
(三)教學工具
在實驗教學中運用了兩個變因，第一個是局部推理，第二個是 GSP 的
引入，我們運用這兩個變因在研究工具的設計中。局部推理部分，沒有使用 局部推理的兩個全控組（GW、NW），我們在學習單（二）的例題部分給予 全部的推理證明過程，而另外有使用局部推理的兩組（GC、NC），我們在 例題中的推理證明過程中挖掉一部份，讓學生去自行填寫，而在課程結束 時，將學習單回收後再把整個證明結果製成講義給學生（全控組也有）。GSP 的部分，我們在課堂的例題演練時，有 GSP 介入的兩個組（GC、GW）會 用GSP 將例題的圖形展現，並且拖曳 GSP 平臺上的點和線，來變化圖形，
加上測量的功能，可以展示像平行線任意截一直線的話同位角相等之類的性 質，另外搭配按鈕的功能，可以將一些條件隱藏起來，要展示時再按鈕將圖 形顯示出來。譬如講到平行線面積問題時，可以將三角形高的部份用按鈕呼 叫出來，並拖曳三角形頂點的部份讓圖形改變，學生就可以看到任意三角形 只要滿足此題給予的條件都可以做的出來(圖 3-3-17)。
圖 3-3-17 GSP 教學圖示(三)
第四節 教學活動
本研究的教學活動分成兩大部份，第一部份是教學生平行線相關概念，
包括平行線的定義、構圖，以及截角性質的介紹和應用。在第一堂課中，四 個班級的教學內容的編排都一樣，差別在於有 GSP 引入的兩個班級(GC、
GW)，在教學時也會用 GSP 做展示，而另外兩個班就單純使用板書上課。
表3-4-17 為教學活動的教案：
表3-4-17 教學活動教案(第一部份)
第一部份活動(45mins)
教師活動 學生活動及注意事項 時間
(mins) 1-1 引入：什麼是平行線（引
導學生填寫量表：對於平行 線的瞭解程度）
讓學生回想前測時所回答的東西，可先看學生回答的情 況作一個統整，然後和所有同學作個討論（帶討論之前 先說明學習單填寫方式）
5
1-2 平行線的定義：兩直線 共同垂直於同一直線
延續上一個階段，統一用這樣的定義（寫在黑板上，學 生只要聽不用抄）(GSP 組：動畫展示)
5
2-1 畫平行線：用尺和三角 板，配合定義畫出平行線
發給每位學生一組三角板和量角器組，請學生依照指示 畫出平行線，並觀察為什麼這樣畫就會是平行線
5
3-1 角度的介紹-對頂角 利用一直線截另一直線，分出四個角(GSP 組：動畫展 示)
3
3-2 介紹同位角、內錯角和 同側內角
利用兩直線截另一直線，分出八個角(GSP 組：動畫展 示)
5
4-1 介紹平行線的截角性 質：同位角相等、內錯角相 等和同側內角相加180 度
可讓學生直接去觀察，也可以利用三角板去測量，介紹 完後請學生去作下面的量表（同位角真的會相等 嗎？…）(GSP 組：動畫展示)
7
5-1 挑戰 1：利用截角性質來 解題
教師直接教學(GSP 組：動畫展示) 5
5-2 挑戰 2：利用截角性質來 解題
讓學生來隨堂練習 5
6-1 填寫心得問卷 5
第二部份分成兩堂課來上，利用學習單和教師教學 (其中兩組有 GSP 引入)，讓學生進行平行線問題推理的活動，表 3-4-18 為教學活動的教案：
表3-4-18 教學活動教案(第二部份)
第二部份活動(90mins)
教師活動 學生活動及注意事項 時間
(mins) 0-1 引入：接下來要挑戰推
理證明
說明學習單填寫方式 5
0-2 示範什麼叫證明：平行 線距離處處相等
如果學生反應不好，可以證明對頂角相等 5
1-1 活動一：平行線距離處 處相等
學生先聽教師的證明過程，然後實驗組要嘗試把空格填 上自己的答案（記得填寫量表）
10
1-2 牛刀小試 1：隨堂練習 只給題目，答案讓學生全部填寫 5 2-1 活動二：平行線之截角
性質
此活動較難，注意學生的學習狀況及反應 10
2-2 牛刀小試 2：隨堂練習 10
3-1 活動三：平行線截角性 質之應用
提醒學生截角性質，必要時要作複習 10
3-2 牛刀小試 3：隨堂練習 比較困難的牛刀小試（可能要畫輔助線）可提示學生畫 輔助線
10
4-1 活動四：平行線截角性 質之相關證明
10
4-2 牛刀小試 4：隨堂練習 10
5-1 活動五：填寫心得問卷 5
第五節 研究過程
四個班教學進度如表 3-5-19：
表3-5-19 四組教學進度流程
NC 組 GC 組 NW 組 GW 組 使用時
間 30~45 Mins
45 Mins
45 Mins
45 Mins
45 Mins
上課時間為三堂課，NC、GC、NW 這三組都集中在一個禮拜上完，上 課前一週前測，上課後一週做後測，GW 的上課時間和施測時間配合聯課活 動的時間，為一週一次。
第六節 資料收集與處理
第一階段的個案訪談，我們將五位個案的問卷及錄音檔中的對話以文字 方式記錄下來，從中去做分析(見附錄二)。而量化問卷資料則將學生的回答
前測
第二部份 教學活動（上）
（局部）
後測 第二部份
教學活動（上）
（局部）(GSP)
第二部份 教學活動（上）
（全控）
第二部份 教學活動（上）
（全控）(GSP)
第二部份 教學活動（下）
（局部）
第二部份 教學活動（下）
（局部）(GSP)
第二部份 教學活動（下）
（全控）
第二部份 教學活動（下）
（全控）(GSP) 第一部份
教學活動
第一部份 教學活動 (GSP)
第一部份 教學活動
第一部份 教學活動 (GSP)
L1 L2 A
B C
A' 方式做分析統整(見研究發現)。
第二階段中，我們除了對施測班級學生所做的前後測問卷收集統整之 外，在教學過程中的學習單以及上課的錄影檔案也收集過來，至於小組教學 的部分則是全程錄音下來，利用這些資料來做紀錄和分析。
一、資料分析與編碼
因為我們要對於量的資料去對學生的推理層次作分析，所以我們要作編 碼的動作，我們想要看不同的策略教學活動，對學生的推理層次是否有所提 升。研究者將推理層次分成知覺辨識、實驗操作和邏輯推理這三大部份，我 們將幾何操作推理類型及編碼順序分述如表3-6-20：
表3-6-20 幾何操作推理類型編碼
推理形式 幾何推理類型 補充描述 編碼
未填寫 未寫或用其他填寫方式 0
知覺辨識 知覺推理 感官或直覺判斷 1
特例的操弄推理 利用操作推得圖形特性 2 實驗操作
實驗歸納推理 利用實驗資料歸納所得 3 不完備的推理證明 嘗試做邏輯推理，但是邏
輯有誤或不完整
4
描述型推理 用口語方式將邏輯推理過 程描述出來
5 邏輯演繹
正確的形式推理 可用數學語言將邏輯推理 過程列出來
6
我們以前後測問卷均出現的一個問題為例，中將每一種編碼方式去詳細 解釋，並用實際例子去作說明，以下為「面積問題」：
問題：在右圖中，L1//L2，
【求證】∆ABC 的面積和∆A’BC 的面積相等
(一)未填寫
學生未在此題做答(留下空白)或是寫出和題目不相關的解法。
圖 3-6-18 推理層次(編碼：0)
(二)知覺推理
學生純粹利用直覺回答，或是利用外觀去作判別，因為學生不曉得圖形 的組合要素，所以此時尚不能利用性質和定義去做任何策略回答。
圖 3-6-19 推理層次(編碼：1---直覺)
有時候還會因為視覺化的影響產生特別的性質：
圖 3-6-20 推理層次(編碼：1---視覺)
(三)特例的操弄推理
學生已經知道圖形的一些性質和組成要素，或是利用其他圖形的性質去 做判別，不過學生尚不能直接利用性質去做推理，而是利用操作的方式去判 斷題目的需求，或是嘗試用觀察到的性質去做描述分析。
圖 3-6-21 推理層次(編碼：2)
圖 3-6-22 推理層次(編碼：2---用拼湊法)
(四)實驗歸納推理
學生知道圖形的一些性質和組成要素之外，可以利用圖形的性質去做簡 單的推理，但是推理的方式可能是用其他性質歸納出所求的性質，譬如正方 形對角線分出兩個面積相同的三角形，歸納出四邊形都有此特性。
圖 3-6-23 推理層次(編碼：3) (五)不完備的推理證明
學生嘗試根據性質去做出邏輯推理，但是推理過程有錯或是不完備。譬 如下面例子，他可以使用面積公式，但是三角形的高取錯了。
圖 3-6-24 推理層次(編碼：4) (六)描述型推理
學生知道圖形的一些性質和組成要素之外，可以利用圖形的性質去做簡 單的推理，推理的方式可能是用文字去陳述，還沒辦法用抽象的數學語言去 表示出來。
圖 3-6-25 推理層次(編碼：5) (七)正確的形式推理
學生可以用抽象的數學語言去做推理的動作，利用圖形的性質去做推 導，得到新的結果。
圖 3-6-26 推理層次(編碼：6)
二、起點行為檢測
因為我們第二階段的研究要對四組班級的學生做推理層次的比較，所以 我們要檢測這四組起點行為是否一致，我們針對四個班級每一位學生的前測 問卷中的兩個問題，從學生回答的情況去進行推理層次的編碼，然後對這四 個班級的學生做一致性的檢定。
這兩個問題，第一個就是上面所提到的面積問題，第二題是和截角相關 的問題。編碼方式和面積問題所使用的方式一樣。
3. 如右圖，已知 L 和 M 平行，一直線 K 和直線 L、M 相交，
形成八個角(如右圖所示)，則
(1)這八個角中有哪些角的角度會相等?
(2) 接上題，∠ = ∠2 6嗎？為什麼？請說明你的理由。
4. 如右圖，一直線 K 和直線 L、M 相交，
形成八個角(如右圖所示)，已知∠ + ∠ =4 6 180°， 則L 和 M 平行嗎？為什麼？請說明你的理由。
研究者使用的是SPSS 軟體中的無母數檢定，利用 Mann-Whitney 去檢 查兩獨立樣本是否一致，虛無假設為兩組資料沒有差異，顯著水準為0.05，
我們將四組的雙尾顯著性P_value 列出來，如果有小於 0.05 代表兩組是有差 K
K
異的。檢定結果如表3-6-21、表 3-6-22。
表3-6-21 四個班級對面積問題的起點行為檢定(P_value)
GC GW NW NC
GC 0.429 0.937 0.555
GW 0.465 0.217
NW 0.564
NC
表3-6-22 四個班級對截角問題的起點行為檢定(P_value)
GC GW NW NC
GC 0.726 0.829 0.999
GW 0.647 0.822
NW 0.908
NC
從兩個問題中，四個班級兩兩互相的對照，發現每一組都沒有推翻虛無 假設，也就是說四組的起點行為沒有顯著差異，因此這四組的行為可以說是 一致的。
我們接下來要看四組的推理層次是否有所提升，所要檢測的就是這兩個 問題，所以接下來的研究就是看學生在前測、隨堂測驗和後測的這兩個問題 的推理層次為何，並做統計分析。
第七節 研究限制
本研究的研究限制如下：
一、本研究在第二階段的教學實驗中，因為每一組都只選取一個班級做 教學，加上因為配合教學班級的上課情況，所以四個班級的教學時間間距並 沒辦法做一致的控制，因此可能會因為施測時間的原因造成研究結果的誤 差。
二、接上一點，因為每一組只有一個班級，加上每一組在施測或教學過 程中部份學生可能因為某些因素而無法全程參與或配合(身體不適、失戀等 等)，因此我們把無法全程參與的學生扣除掉之後，剩下每一組學生大約二 十多人左右，因為人數不多，在統計研究上的準確度可能就會有一些誤差。
三、研究期間會對學生做認知負荷的檢測，所使用的是學生自行評估然 後勾選九分量表，但是有些學生並非因為課程教學因素或數學本質而影響到 認知負荷，也有可能受到外在其他因素干擾，所以在信度上不一定會一致，
此外有些學生可能會隨意勾選，而影響到資料的效度。
