变换：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

反射势存在时：

• b(k, 0)非零时GLM方程求解就很困难了，解析方法很少，多数用 数值方法和渐近分析方法。这里只是举例说明一些过程。

• (1) u(x, 0)=-u₀(x)，u₀>0是常数， (x) 是狄拉克函数。

• 对应u(x, 0)的薛定谔方程有分立本征值



；还有



• 最后的解包含两部分：沿x方向传播的孤波和沿-x方向传播的色散 波。孤波对应 B(x+y,t) 的求和项，色散波对应于积分项。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• (2) u(x, 0)=-4sech²x；数值结果如图示。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• (3) u(x, 0)=sech²x；数值结果如 图示。

• 重要结论：孤波是非线性演化 方程解的一部分，它只依赖于 相关散射问题的分立本征值。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

逆散射方法推广：

• Lax方法：1968年Lax将GGKM方法加以推广和标准化，称为Lax 方法。

• Zakharov和Shabat的推广矩阵方法。

• AKNS独立的推广矩阵方法。

• 下面还要介绍一些方法，包括Backlund变换，Backlund变换与逆 散射方法的关系。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理 Backlund

变换：

• 考虑如下sine-Gordon方程：

• 如果u和v都是方程的解，则有下面联立的一阶微分方程组：

• 我们称其为sine-Gordon方程的B变换。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 再考虑 u 和 v 分别是下面的Burgers方程和热传导方程的解：

• 为正的常数，则下面的一阶微分方程组为B变换：

• 所以B变换是联系方程两个解的微分方程。功利一些说，如果知 道一个方程的一个解及其B变换，我们可以搞定另外一个解。

• 这种变换在能够轻易看出一个平庸解的情况下非常有用，因为这 样就可以利用B变换求解另外一个可能很难得到的解。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 当然，这种捷径不是那么好看到的，因为对一个方程而言B变换 也不是容易得到的宝贝。Sine-Gordon方程：

• 显而易见，一个平庸解是v=0，利用其B变换得到：

• 各自积分得到：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• f(^)和g(^{)分别为针对}  ^和  的积分常数。为了自洽，可以猜出 tan(u/4)的一般形式：

• 这个可了不得，它就是sine-Gordon方程的孤子解，真是得来全不 费工夫。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 关于孤波方程的求解还有微扰方法和数值差分计算方法，限于时 间不再一一介绍，但这些工作依然是目前孤波理论研究的前沿，

同学们可以阅读相关文献。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理 KdV

方程的守恒律：

• 我们已经折腾了足够的数学，现在希望稍微物理一点。

• 讨论了这么多KdV方程，她有什么值得物理学家爱慕的呢？

• 有的，因为守恒规律存在于KdV方程之中！看到这，物理学家应 该会发疯或者发愤的，虽然只是一字之差。

• 其实就是将孤波看成准粒子啊！

• 假定(x,t)是流体密度，v(x,t)是沿 x方向的速度，质量演化满足：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 如果  和 (v)_x是可积的，则对空间 x 积分上式得到：

• 上述推理可以一般化：函数 T 是密度，X 是通量，它们不含对 t 的导数项，则有下面的守恒律存在：

• 应用到 u(x,t) 的演化，T 和 X 可以是x, t, u, u_x, u_xx, …的函数，但 必须与 u_t 无关，只要：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 就有下式和对应的运动常数：

• 对 KdV方程，作如下代换，就可以得到第一个守恒律：

• 因为u与浅水波幅度正比，所以上式就是质量守恒。

• 将KdV方程两端乘以 2u，得到：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 如果作下面的代换，并再次拥到守恒律：

• 因为 u 与水波幅度(质量)正比，而幅度又与速度正比，自然得到 动量守恒：

• 再对KdV方程施加运算：3u²(KdV)+u_x(KdV)/x，得到：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 变换一下，运算一下：

• 这是能量守恒！对于一个准粒子系统，全了！

• 已经证明，KdV方程有无穷个守恒律，但物理意义就不清了！

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 下面要干什么？既然是准粒子，既然质量、动量、能量守恒，就 一定是哈密顿系统！

• 一个动力学系统，如果其广义坐标 q(x,t)，广义动量 p(x,t)，其哈 密顿为 H(p,q,t)，则运动方程满足下式的就是哈密顿系统：

• 这里假定 H 是 p, q及其导数的泛函，(p, q)是共轭变量。一个系统 的哈密顿是：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 由此可以定义泛函导数：

• 现在来看KdV方程，其哈密顿量前人已经求出：

• 由此可以求出对应的动力学方程：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 这个哈密顿给出的是关于广义动量 p 的KdV方程，且 p=q_x一定为 这两个动力学方程所满足。对第一个方程，代入p=q_x并求导：

• 对第二个方程，同样运算得到：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 目前研究前沿还有关于二维KdV方程的很多研究，在此就不再一 一涉及了。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

光学孤立子：光纤中的光脉冲压缩

1. 与KdV方程描述的孤立子相类似，由非线性薛定谔方程描述的光 纤中的光学孤立子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效 应相平衡的结果。

2. 强激光在光纤中的传播可以由下图表示：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

1. 入射的激光可以看成是准单色光。中心频率为₀^{的准单色光在光} 纤中的传播表达式为：

包罗函数：

2. 在强激光作用下，光纤介质会出现非线性极化。这时的极化矢量 P 与光场的电场强度 E 的关系为：

式中⁽¹⁾, ⁽²⁾和⁽³⁾分别称为线性的与二次、三次非线极化率。通 常光纤的二次非线极化率为零。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 介质的电感应矢量 D 与极化矢量 P 的关系为D=^{E+P，忽略高次} 非线性效应，D可写为：

• 非线性介质的折射率为：

• 式中n₀为介质通常的线性折射率，n₁非线性折射系数。可见非线 性介质的折射率与光波的场强有关。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 因为激光光强I(t)与E²成正比，我们可以说因为非零n₁导致强激 光在光纤中传播时出现相移：

• 它导致光脉冲的不同部位有不同的相移，称为自相位调制(Self- phase modulation―SPM)。相应地就有频率移动：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 如果将光脉冲光强随时间的变化分成前沿与后沿等不同部分，则 可以发现，脉冲前、后沿产生的频率变化是不同的。对脉冲前沿 来说，^I/^t>0，<0；对脉冲后沿，^I/^t<0，^{>0。因为频率} 不同，由于色散，波包群速度不同，正是非线性效应，造成光脉 冲在光纤中传输时产生压缩。下图是光脉冲的自相位调制压缩：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

非线性薛定谔方程与孤立波解：

• 在线性情况下，光波的传播常数(波数)k只是频率的函数，与光 强无关。将准单色光的传播常数按中心频率₀^{处展开，有：}

省去高次项有：

• 注意到₀^{处的群速和色散常数：}

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 若考虑到非线性的影响，在k的表达式中需要加进与光强相关的 项，于是有：

式中=n₁/c，c为真空中的光速，上式右边第二项为色散，第 三项为非线性压缩项。利用波动方程与色散之间的对应关系：

• 我们得到光强所满足的薛定锷方程：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 变换一下坐标系x´_=x-vgt，并将 E 用光场表示，得到：

• 这是最后的非线性薛定谔方程的形式。

• 考虑其解为如下形式，=x-v₀ t：

• 将上述解的形式代入到薛定谔方程之中，注意到下面的关系后，

可以得到最后的方程形式：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 用简化的微分符号表示就是：

• 选 择 参 数 k 使 得 u的 系 数 为 零 ， 得 到 k=v₀/2^，=-(-k²)=(- v₀²/4)，最后得到如下关于实数u的方程：

• 对上式两边乘以u后进行一次积分，得到：

0 u

u ) k

( u

) v k

2 ( i

u    

   

  





式中积分常数H代表体系哈密顿，取H=0，我们得到：

H 4 u

2 u 2 u

1 















非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 利用椭圆函数积分公式并取积分常数c=0就得到：

这就是我们熟悉的孤立波波形。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• 结合非线性薛定谔方程的解：

可知非线性薛锷方程的解是受孤立波脉冲u()调制的光波，如图 所示，即包络为孤立波的光脉冲波。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理 相空间特性：

1. 前面提到非线性薛定谔方程描述的体系具有如下所示的哈密顿：

2. 体系势能V(u)为：

) u ( V 2 u

u 1 u 4

u 2 2

H  1 





 











非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

• V(u)是u的四次曲线，有三个奇点：两 个极小点和之间的一个极大点。在

[u,u]平面相图上，与极小点对应的是 中心点，其邻域是椭圆轨线。与极大 点对应的是鞍点，有四条轨线流过鞍 点，其中两条趋向鞍点，另两条离开 鞍点。当我们沿任一条离开鞍点的轨 线出发，则在绕了一圈之后又会回到 了鞍点，因此这个鞍点是同宿点，相 应的轨线为同宿线。非线性薛定谔方 程的孤立波解正是与这样的同宿线相 对应。

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

光学孤立子的传播特性：

1. 为了将光学孤立波应用于通信，需要考察孤立波光脉冲在光纤中 传播的特点。设在=0(x=0)处对光纤输入一双曲正割型脉冲波：

2. 当系数A为整数N时，具有稳定的孤立子解。N＝1称基本孤立子 它在传播中保持着稳定不变的波形。当输入光脉冲幅度超过稳 定的基本孤立子要求的幅度，这时光脉冲在传输中非线性压缩 超过色散，于是光脉冲会进一步压缩，形成N≥2的高阶孤立子

。高阶孤立子在传播中波形要发生周期的变化，例如，对于N＝

2的二阶孤立子解，其形式为 ：

) ( h sec )

, 0

(  A 

u 

u e

e

( , ) ( )

cos

/ /

   

  

 

 

 

4 3 4

4 4 2 3 4

2 2

ch ch

ch ch

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

1. 二阶孤立子要发生以=π/2周期的周期性波形变化。在半周期

=π/4处，在孤立子主峰的两侧，各出现有一个小峰。而N＝3时 的三阶孤立子在传播中的形状变化更为复杂。它在1/4与3/8周期 处，变成一个两侧各有一个小峰的高大尖峰，而在半周期处，那 个高大尖峰又进一步分裂为两个峰。下图给出了N=1,2,3时三种 孤立子在传播中的形状变化：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理 光学孤立子通讯：

1. 拉曼泵浦技术中采用了特殊的掺铒光纤，如下图所示为传播示意 图：

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

正弦

高登方程：一维原子链振动问题

1. 正弦—高登方程处理外场中的一维原子链模型，即一串周期地束 缚在长长的弹簧上的原子：

2. 在外场V(y)下，原子链的哈密顿可以写成下式，m为原子质量，

y_k为第k个原子的坐标，(y)为原子作用势。







k

k k

1 - k k

k 1

+ k k

2

k [ ( ) ( )] V( )

2 1 2

= 1 y y y y y y

m ^

 

H

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理 1. 考虑周期势：

2. 设m=1， (y)作用势为：

V( y

+ a ) = V(

y

)

3. 这样，第k个原子的运动方程可以写为：

 



) ( V )

( ) (

= _{k+1 k k k-1 k}

k

k y y y y y

y  y     



_H



4. 将上式由分离变量过渡到连续变量并设V(y)=cos(y)，并考虑一般 变形：m=1和v₀=1：

y

 ( , ) y x t

k  k-1 













2 2

2

2 0

y t

y

x y

  sin 









2

2 0

2 2

2

2 0

u

t v u

x m u

  sin 

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理 孤立波解

1. 假定正弦-高登方程具有行波解，代入正弦-高登方程得常微分方 程，可得解析解 ：

 为椭圆函数的模数，C为积分常数 。 2. C2m²，则snx ^thx，

u  u x (  v t )  u ( )  _ ^

^

^

0

2 0

 m  v v

sin u m

v v

2 ²

0

   2

 sn     C

m 2 ²

sin u )

2  th(    _^{ }_^

e e

e e

u



 





 th( ) _^ sin 2

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

1. 最后得到正弦-高登方程的两个解：u₊和u_-，它们分别称为扭折解 (kink)与反扭折解(anti-kink)，它们的图象是一种冲击波(impulse wave)的形式 ：

e_ e e_ e u

  

   

sin 2 ^e

u e u

^ (1 sin )  ^ (  sin )

2 1

2



e

u u

  



2

1 2

1 2

 ( sin ) ( sin )

e

u u

u u

   u



 

 

 ^{( sin )} 

( sin )

)

1 2

1 2

1 4

4

4 4

tg 1 - tg

tg(

u

    4 tg (

e

)

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

1. 正弦—高登(sine—Gordon)方程的解可以解释许多物理学现象。

例如可以用以描述表示晶格位错传播、磁体中畴壁运动、超导约 瑟夫逊结的列阵构成的传输线，电荷密度波、基本粒于模型。

稳定性分析：

• 正弦高登方程具有与单摆方程类似的形式，因此我们可以采用与 单摆相图类似的方法来讨论其解。

• 写成如下相空间的形式：

• 相空间轨迹如右图所示：



 sin

u v

v u



 

 

 