數學傳播
30
卷3
期, pp. 87-88
關於 Shapiro 迴 圈對稱不等式的引申
鄔 天泉
我們知道如下的迴圈不等式[1]:
已知 x1 ≥ 0, xi+ xi+1 > 0, i = 1, 2, · · · , n, xn+1 = x1, 則 x1
x2+ x3
+ x2
x3+ x4
+ · · · + xn
x1+ x2
≥ n 2. 僅當 n ∈ {n ∈ N | 3 ≤ n ≤ 13} ∪ {15, 17, 19, 21, 23} 時成立。
下面我們先將 n = 4 的情形作出引申, 然後推廣到一般情形。
從四個正數 x1, x2, x3, x4 中任選出二數求和, 再從剩餘二數中選一數除以此二數的和 (例如: x3
x1+ x2), 得到一新數
(1) 若有 m 種得到新數的方法, 則求 m;
(2) 同 (1) 這 m 種方法得到的 m 個新數依小而大組成一數列 {a1, a2, · · · , am}, 設其總和為 S, 試證: S ≥ 6。
分析:
(1) m = C34C13 = 12;
(2) 證法 1: 注意由柯西不等式 (
n
X
i=1
aibi)2 ≤
n
X
i=1
a2i
n
X
i=1
b2i 可得P a
2i
bi
≥ (P ai)2 P bi
。 (這裏 ai > 0, bi > 0, i = 1, 2, · · · , n)。 所以
i,j,k互不相同, j<k
X
i,j,k=1,2,3,4
xi
xj+ xk
=
i,j,k互不相同, j<k
X
i,j,k=1,2,3,4
x2i xixj + xixk
≥ [3(x1+ x2+ x3+ x4)]2
4[(x1x2+ x2x3+ x3x4 + x4x1) + x1x3+ x2x4]
=9[x21+ x22+ x23 + x24+ 2(x1x2+ x2x3+ x3x4+ x4x1) + 2(x1x3+ x2x4)]
4[x1x2+ x2x3+ x3x4+ x4x1) + x1x3 + x2x4]
≥9
4 ·hx21 + x22+ x23+ x24 P x2i + 12P4
i=1x2i + 2i
= 6。
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數學傳播30
卷3
期 民95
年9
月證法 2:
S =x3+ x4
x1+ x2
+x1+ x2
x3+ x4
+x2+ x4
x1+ x3
+x1+ x3
x2+ x4
+x1+ x4
x2+ x3
+x2+ x3
x1+ x4
≥ 2+2+2 = 6.
一般地, 我們有如下
命題: 從 n 個正數 x1, x2, · · · , xn 中任選出二數求和, 再從剩餘的 n − 2 個數中選一數 除以此二數的和 (例如: x3
x1+ x2
), 得到一新數 xi
xj + xk
(i, j, k ∈ {1, 2, · · · , n}, j < k, 且 i, j, k 互不相同) (1) 若有 m 種得到新數的方法, 則求 m;
(2) 同 (1) 這 m 種方法得到的 m 個新數依小而大組成一數列 {a1, a2, · · · , am}, 設其總和為 S, 試證: S ≥ 1
4n(n − 1)(n − 2)。
證明:
(1) m = C3nC13 = 1
2n(n − 1)(n − 2);
(2) 我們容易得到 P
1≤i<j≤n
xixj ≤ n − 1 2
n
X
i=1
x2i。 再據P a
2 i
bi
≥ X ai
2
/X
bi。 (這裏 ai > 0, bi > 0, i = 1, 2, · · · , n) 有:
S =
i,j,k互不相同, j<k
X
i,j,k=1,2,··· ,n
xi
xj + xk
=
i,j,k互不相同, j<k
X
i,j,k=1,2,··· ,n
x2i xixj + xixk
≥ [12(n − 1)(n − 2)(x1+ x2+ · · · + xn)]2 2(n − 2) P
1≤i<j≤n
xixj
=
(n − 1)2(n − 2)h
x21+ x22+ · · · + x2n+ 2 P
1≤i<j≤n
xixj
i 8 P
1≤i<j≤n
xixj
= 1
8(n − 1)2(n − 2)hXn
i=1
x21. X
1≤i<j≤n
xixj
+ 2i
≥ 1
8(n − 1)2(n − 2) 2
n − 1 + 2
= 1
4n(n − 1)(n − 2).
參考文獻
1. 盛立人, 嚴鎮軍, Shapiro 迴圈不等式,「初等數學前沿」vol.1(1995), 陳計, 葉中豪 主編。
—本文作者任教於浙江省台州市洪家中學; E-mail: [email protected]—
