關於 “ 問 題解決 ” 的再思考
鄭毓信
“問題解決”是美國數學教育界在八十 年代的主要口號, 即是認為應當以“問題解 決”作為學校數學教育的中心, 這一思想在八 十年代後期興起的美國新的數學教育改革運 動中又得到了進一步的確認, 從而就在更大 規模上得到了實踐。 這種教育實踐即就構成 了本文的直接基礎; 另外, 本文在總體上則又 可以說是對於“問題解決”這一口號的一個自 覺反思。
具體地說: 在先前的一篇文章 「『問題解 決』 與數學教育」(載 「數學傳播」, 十七卷第 四期, 1993 年 12 月) 中筆者曾集中地對這一 口號的合理性進行了分析, 即認為對於“問題 解決” 的強調正是數學觀的現代演變和數學 教育研究深入發展的直接產物, 同時也集中 地體現了數學教育的時代特徵。 筆者現今仍 然認為這一基本觀點是正確的; 但是, 我們 又可從一些新的角度提出一些更為深入的問 題, 從而進一步深化我們的認識, 並以直接指 導有關的教學實踐活動。
一. “問題解決”與“問題提出”
數學觀的現代演變, 也即由靜態的數學 觀向動態的數學觀的轉變, 無疑有著十分重 要的教育涵義, 特別是, 這清楚地表明了在數 學教學中我們不應唯一地強調數學活動的最 終產物, 而應更為注意數學活動本身; 但是, 作為進一步的思考, 我們在此又可提出這樣 的問題: 所說的數學活動是否就“等同於”“問 題解決”, 也即是否就是指如何綜合地、 創造 性地應用各種數學知識去解決那種並非單純 練習題式的問題 (包括實際問題和源於數學 內部的問題)?
儘管後一立場在許多關於新的數學教 育改革運動的指導性文件中都得到了肯定, 例如, 這就正如美國數學教師全國委員會 (NCTM) 所特設的關於學校數學課程標準 的專門委員會的主席倫伯格 (T. Romberg) 所指出的, 在 「行動的議程」(An Agenda for Action, NCTM, 1980) 和 「學校數學課程 和評估的標準」(Curriculum and Evalua- tion Standards for School Mathematics, NCTM, 1989) 及其它一些文件中, “問題解 決突出地被看成是數學家的主要活動”([1], 第294頁); 但是, 如果就實際數學活動進行分
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析, 我們又可看出這一結論仍然具有一定的 局限性。 例如, 一個明顯的問題就在於: 我們 應當如何去看待“問題解決”(problem solv- ing) 與“問題提出”(problem posing) 的關 係? 特別是, 那些有待於解決的問題是從何 而來的?
事實上, 這是一個公認的觀點, 即提出 問題的能力應當被看成創造性才能的一個十 分重要的組成成分 (或主要表現)。 特殊地, 這 又正如愛因斯坦等所指出的, “提出一個問題 比解決一個問題更為重要, 因為解決問題也 許是一個數學上或實驗上的技能而已, 而提 出新的問題、 新的可能性, 從新的角度去看 舊的問題, 卻需要創造性的想像力, 而且標 志著科學的真正進步。”(The Evolution of Physics, 1938, New York: Simon and Schuster, 第 92 頁。)
另外, 從數學教育的角度看, 這顯然也 應被看成傳統的“傳授–接受”式教學思想的 一個具體表現, 即學生總是被要求去解決由 其它人 (教師、 教材編寫者、 出考題者等) 所提出的問題— 特別是, 在筆者看來, 這 事實上也就是“問題解決”這一口號何以常常 與“應試教育”表現出一定的相容性、 甚至為 後者所利用的一個重要原因。
鑒於以上的原因, “問題提出”近年來在 數學教育界中獲得了越來越多的重視就是十 分自然的了 (對此例如可見雪爾弗 [E. Sil- ver]的綜述性文章 [2])。 從“問題解決”的 角度看, 我們在此並應特別調以下的事實:
在“問題解決”與“問題提出” 之間事實上並 存在著相互制約、 互相依賴的辯證關係。 例
如, 正如波利亞所提出的, 在解決問題的過程 中, 我們常常需要引進輔助問題:“如果你不能 解決所提出的問題, 可先解決一個與此有關 的問題。 你能不能想出一個更容易著手的有 關問題? 一個更普遍的問題? 一個更特殊 的問題? 一個類比的問題?” (《怎樣解題》, 科學出版社, 1982 年, 第 XIV 頁)— 顯然, 這事實上就屬於“問題提出”的範圍。 也正因 為此, 在現今的研究中, 人們常常就對“問題 解決”作廣義的理解, 即把“問題提出”也包括 在“問題解決”這一口號的具體內涵之中。
二. “問題解決”與“數學地思 維’
如果說上面的討論主要涉及到了實際數 學活動的出發點, 那麼, 作為進一步的思考, 我們在此顯然又應考慮這樣的問題:“問題解 決”—–在此是指具體解答, 包括肯定性解答 (即如求得了所要求的未知量) 和否定性解 答 (即如證明了原來的問題是不可能得到解 決的) 的獲得—– 能否被看成相應的數學活 動的結束? 或者說, 這是否應當被看成數學 活動的主要目標?
顯然, 如果從小範圍進行分析, 特別是僅 僅著眼於數學知識的實際應用, 那麼, 對於上 述的問題也許可以作出肯定的答覆; 但是, 如 果我們著眼於更大的範圍, 特別是考慮到數 學的理論研究, 在此無疑就應作出否定性的 答覆, 因為, 這正是數學家 (或者說, 數學思 維) 的一個重要特點, 即數學家總是不滿足於 某些具體結果或結論的獲得, 並總是希望能
獲得更為深入的理解, 而這不僅直接導致了 對於嚴格的邏輯證明的尋求, 而且也促使數 學家積極地去從事進一步的研究, 即如在這 些看上去並無聯繫的事實背後是否隱藏著某 種普遍的理論? 這些事實能否被納入某個統 一的數學結構? 等等; 他們也總是希望能達到 更大的簡單性和精緻性, 即如是否存在有更 為簡單的證明? 能否對相應的表述方式 (包 括符號等) 作出適當的改進? 等等。
也就是從上述的立場出發, 一些數學家 對現行的數學教育中所出現的一些偏向提出 了尖銳的批評。 例如, 為了使數學對大多數 學生來說成為更有吸引力和力所能及的, “開 放性問題”在現代的數學教育中得到了廣泛 的應用, 因為, 普遍認為, 與具有唯一正確解 答、 甚至唯一正確解題方法的“傳統問題”相 比, 開放性問題更適於使所有的學生參與到 解題活動之中: 他們可以依據各自的水平去 進行求解。 但是, 在實踐中卻又經常可以看到 這樣的現象, 即學生們 (甚至包括教師) 只是 滿足於用某種方法 (包括觀察、 實驗和猜測) 求得了問題的解答, 而不再進行進一步的思 考和研究, 甚至未能對所獲得結果的正確性 (包括完整性) 作出必要的檢驗或證明。 從而,
“在現實中, 開放性問題在某些場合正在成為 不求甚解和不加檢驗的猜測的同義詞”; 而這 當然引起了數學家們的不安:“儘管這一討論 僅限於開放性問題, 但對於新改革的某些方 面的大致了解已經使數學家對數學教育的前 進方向產生了疑慮” (H. Wu); “我所擔心 的是: 通過使數學變得越來越易於接受, 最 終所得出的將並非是數學, 而是什麼別的東 西。”(A. Cuoco)(詳可見另文 [8])
當然, 我們並不能因為在實踐中出現了 一些偏差就對的改革運動持絕對否定的態度;
但是, 在筆者看來, 這又的確從另一側面表 明了“問題解決”這一口號的局限性。 這就是 指, 與單純地強調“問題解決”相比, 我們應當 更為明確地提出這樣的主張:“求取解答並繼 續前進”([3], 第 45 頁); 另外, 從更深入的層 次看, 這也就是指, 與“問題解決”這一口號相 比, “數學地思維”應當說是更為恰當的, 也即 我們應當把幫助學生學會數學地思維看成數 學教育的主要目標。
進而, 作為“數學思維”的內涵的具體分 析, 我們則又應當強調指出, 這不僅是指各 種具體的解題策略 (包括元認知的調節能力), 而且也包括了更為廣泛的內容。 事實上, 正如 上面所已提及的, 這正是數學思維的一個重 要特點, 即數學家們總是不滿足於已有的工 作, 並總是希望通過新的研究去發展和深化 認識, 即如達到新的更大的普遍性、 更大的嚴 格性、 更大的簡單性等—– 由於後者與解題 策略相比顯然屬於一個更高的層次, 即主要 體現了數學的研究精神, 從而, 在筆者看來, 對於所說“數學思維”, 我們就可區分出兩個 不同的層次 (詳可參見另文 [7]):
第一層次, 解題策略 (包括元認知的調 節);
第二層次, 數學的研究精神。
(特殊地, 我們又可看出, 所說的“數學的研 究精神”並是與“問題提出”密切相關的, 而 後者並非是指如何在解題過程中去引進適當 的“輔助問題”, 而是指如何去確定進一步的 研究方向。)
最後, 從教育的角度看, 筆者認為, 強 調“數學地思維”也就更好地體現了這樣一個 基本的思想, 即數學不應被看成單純的工具, 而且也對思維訓練有著十分重要的意義, 而 後者則又直接關係到了數學的文化價值, 即 直接關係到了人類理性精神的發展。 這也就 如克萊因 (M. Kline) 所指出的:“在最廣 泛的意義上說, 數學是一種精神, 一種理性 的精神。 正是這種精神, 使得人類的思維得 以運用到最完善的程度, 亦正是這種精神, 試圖決定性地影響人類的物質、 道德和社會 生活; 試圖回答有關人類自身存在提出的問 題; 努力去理解和控制自然; 盡力去探求 和確立已經獲得知識的深刻的和最完美的內 涵。”(Mathematics in Western Culture, George allen and Uuwin Ltd. 1954, 前 言。)
三. “問題解決”與數學教學
以下我們再來對數學教學方面的有關問 題作一分析。
這 方 面 首 先 應 提 及 的 一 個 事 實 是:
就“問題解決”的專門教學而言, 現今已經表 現出了一定的重點轉移。 例如, 作為美國“問 題解決”的主要代表人物之一, 舍費爾德 (A.
Schoenfeld) 在談及自己所開設的“問題解 決”課程時就曾指出, 其早期的課程主要集中 於數學啟發法; 然而, “與啟發法相比, 現今 的課程更加關注於一些基本的思想, 即如數 學推理和證明的重要性, 及持續的數學探索 (這時問題就不只是有待於解決的任務, 而主 要被用作更為深入的研究的出發點)。” 這也
就是說, 後者的主要目的就是為了幫助學生 獲得“什麼是作數學”的直接體驗。([3], 第43- 44 頁。) 顯然, 這一變化與以上的分析是完全 一致的。
其次, 應當強調的是, 與“問題解決”的 專門課程相比, 以下的問題顯然是更為重要 的, 即我們應當如何以“問題解決”(或者說,
“數學地思維”) 為中心去組織整個的數學教 學?
顯然, 上 述 問 題 的 一 種 可 能 解 答 就 是:“問題解決”不僅涉及到了數學教育的基 本目標, 而且也直接決定了數學教學的基本 形式: 全部學校數學課程都應採取“問題解 決”的形式。 一般地說, 這事實上也就是美國 新的數學教育改革運動的一個重要內容, 在 這一方面並已取得了一些積極的成果。 但是, 在採取上述作法的同時, 在此顯然又存在這 樣的問題: 我們應當如何去處理好“問題解 決”與數學基本知識和基本技能的教學之間 的關係。 例如, 正是出於這樣的考慮, 倫伯格 提出了關於課程設計的五條原則: 第一, 應當 清楚地指明我們所希望學生掌握的若干個概 念領域 (conceptual domain); 第二, 這些 領域應被分解成若干個課程單元, 每個單元 各有一個主題, 並用兩至三個星期來學習; 第 三, 對學生來說, 這些概念領域應當由一定 的“問題情境” (problem situation) 自然而 然地引出; 第四, 各單元中的活動安排應當 與學生的思維活動相適應; 第五, 課程單元 應當根據學生的知識情況及教學環境不斷地 加以調整。([1], 第 300-302 頁。) 更為一般地 說, 這事實上也就是九十年代數學教育界的
一個共識, 即認為“數學教育應當‘過程’與‘結 果’並重” ([5])—–由於這即可以被看成經由 對這十幾年“問題解決” 的教學實踐進行自覺 反思所得出的一個結論, 因此, 在筆者看來, 這也就在一定程度上反映了上述的作法在實 踐中存在有一定的偏廢或不足之處。
事實上, 在筆者看來, 我們在此應當 對“基本的教育思想”和“數學教學的基本形 式”作出明確的區分。 這也就是說, 強調提 高學生解決問題的能力並不意味著數學課程 必須唯一地採取“問題解決”的形式。 另外, 如果我們把著眼點由狹義的“問題解決”轉移 到“數學地思維”, 那麼, 筆者認為, 另一種教 學形式就是更為可取的。
具體地說, 筆者在此所強調的是這樣一 個事實, 即數學的思維方法並不是什麼高度 抽象、 不可捉摸的東西, 而是滲透於各種具體 的數學活動之中, 後者既包括問題解決, 也包 括各種基本的數學知識和技能的教學, 從而, 儘管在某些特定的條件下確有必要進行“問 題解決”(或者說, 數學思維方法) 的專門教 學, 即如相對集中地通過典型例子進行啟發 法的教學; 但是, 與這種相對集中的專門教學 相比, 如何將數學思維方法的教學與具體數 學知識內容的教學密切地結合起來, 也即以 思維方法的分析來帶動、 促進具體的數學知 識內容的教學則是更為重要的。 因為, 第一, 只有將數學思維方法的分析滲透於具體數學 知識內容的教學之中, 我們才能使學生真正 看到思維方法的力量, 並使之真正成為可以 理解的、 可以學到手的、 可以加以推廣應用 的; 反之, “數學思維方法”也才不會變成一
門紙上談兵、 借題發揮的空洞“學問”。 第二, 又只有通過深入地揭示隱藏在具體數學知識 背後的思維方法, 我們才能真正做到把數 學課“講活”、“講懂”、“講深”—–所謂“講活”, 即是指教師應通過自己的教學活動向學生展 現“活生生的”數學研究工作, 而不是死的數 學知識; 所謂“講懂”, 則是指教師應當幫助學 生真正理解有關的教學內容, 而不是囫圇吞 棗, 死記硬背; 所謂“講深”, 是指教師在數 學教學中不僅應使學生掌握具體的數學知識, 而且也應幫助學生領會內在的思維方法。
(從而, 即使單純從教學方法的角度看, 以思維方法的分析來帶動、 促進具體數學知 識內容的教學也應被看成改進數學教學的一 個有效手段。 特殊地, 在筆者看來, 這也就清 楚地表明了, 那種關於強調數學思維方法是 否會影響數學知識和技能的教學的擔心是不 必要的。 應當強調的是, 這一結論並已由中國 關於用數學方法論指導數學教學的實踐得到 了證實。 對此例如可見 [9],[11]。)
四. “被動的接受”與“主動的建 構”
最後, 應當強調的是, 以上所論述的第 二種教學形式並不意味著重新回到“傳授–接 受”的傳統模式。 例如, 數學基本知識的學 習在很多情況下也可採取“問題解決”的形式, 從而讓學生在其中發揮積極的作用。 然而, 這 又的確是筆者的一個基本觀點, 即認為“數學 地思維”在大多數情況下並不能通過單純的 解題活動“自發地”形成。 事實上, 在筆者看
來, 這正是中國古代數學發展所給予我們的 一個重要教益; 另外, 從認識論的角度看, 這 也應當被看成“建構主義”(更為準確地說, 應 是“社會建構主義”) 的數學學習觀的一個重 要結論, 即數學學習是主體在一定社會環境 之下的建構活動, 而教師的示範作用則就應 當被看成“良好的學習環境”的一個重要組成 成分。
為了清楚地說明問題, 在此可以舉出以 數學思維方法促進、 帶動具體數學知識內容 教學的一個實際例子 (它取自筆者從事微積 分教學的親身實踐), 特別是, 教師在其中即 發揮了重要示範作用:
當時的教學內容是基本初等函數的導 數, 在弄清了線性函數、 冪函數、 正弦函數、
餘弦函數和對數函數的導數以後, 餘下的問 題就是如何去求得指數函數 y = ax(a > 0) 的導數。
教材上對此是這樣處理的:
△y = ax+△x− ax= ax(a△x − 1),
△y/△x = ax[(a△x− 1)/△x], y′= lim
△x→0(△y/△x)
= ax lim
△x→0[(a△x− 1)/△x]。
現令 a△x− 1 = t, 則 △x = loga(1 + t), 又當 △x → 0 時 t → 0, 於是
△x→0lim [(a△x − 1)/△x] = lim
t→0[t/ loga(1 + t)] = 1/ lim
t→0loga(1 + t)1/t = 1/ logae = ln a。
所以 y′ = axln a。
對以上過程進行分析, 容易看來, 其中的 關鍵一步即在於引進了 t = a△x − 1; 但這
一步是怎樣想出來的呢? 我們又怎樣才能使 其對於學生來說是“可以理解、 可以學到手的 呢?”
在實際教學中筆者是這樣做的: 在得出 了
y′= lim
△x→0(△y/△x)
= ax lim
△x→0[(a△x− 1)/△x]
的表達式後, 教師似乎“忘記了”應當如何去 引進 t 這樣一個新的變量; 這樣, 面前的問 題就成了一個真正的挑戰! 而且, 教師最初的 兩次嘗試都失敗了—–從而, 這就引起了學生 們的極大興趣: 全班學生都提起了精神看教 師是如何處理這一難題的。
這時, 教師放棄了盲目追隨教材的作法, 而開始了“新”的思考: 「讓我們來看一下什麼 是已經解決了的? 特別是, 什麼與目前所面 臨的問題是密切相關的?」 顯然, 這時容易想 到以下的事實: 對數函數的導數 (logax)′ = (1/x) · logae, 因為, 指數函數即可看成對數 函數的反函數。
正是通過這樣的分析, 教師提出了這樣 的想法: 「我們是否暫時‘放棄’眼前的問題, 而 從更為一般的角度去考慮以下的問題: ‘已知 一個函數的導數, 如何去求得它的反函數的 導數?’」
顯然, 從純形式的角度看, 以下的問題是 容易解決的, 即有
反函數的導數等於直接函數的導數的倒 數。
進而, 將上述的一般性結論應用於指數函數 這一“特例”, 就立即獲得了以下的結果:
(ax)′= 1/(logay)′ = 1/[(logae)/y]
= axln a.
這樣, 原來的問題就獲得了解決。
在筆者看來, 儘管以上的作法脫離了教 材, 甚至也違背了教材的“邏輯順序”, 但卻 使學生看到了真正的數學活動, 特別是, 以 上的解題活動對於學生深刻領會“一般化方 法”是十分有益的: 這就正如希爾伯特所指出 的, “在解決一個數學問題時, 如果我們沒有 獲得成功, 原因常常在於我們沒有認識到更 一般的觀點, 即眼下要解決的問題不過是一 連串有關問題中的一個環節。”(“數學問題”, 載 「數學史譯文集」, 上海科學技術出版社, 1981 年, 第 63 頁。) 另外, 筆者認為, 由以 上的事例我們也就可以看出, 美國著名教育 心理學家奧蘇貝爾 (D. Ausubel) 關於“講 授式教學”與“意義學習” 的分析是很有道理 的, 即決定“意義學習”(也即能否使學習活動 對於學生來說成為真正有意義的) 的主要因 素並不在於我們所採取的是什麼樣的教學形 式; 特別是, 以教師的講授為基礎的學習 (奧 蘇貝爾稱為“接受學習”) 未必一定是“無意 義的” (按奧蘇貝爾的話說, 就是“機械的”), 反之, 發現法也未必一定是“有意義的”(詳可 見“奧蘇貝爾的教學論思想”, 載 「當代國外 教學論流派」, 福建教育出版社, 1990 年, 第 205-235 頁)。 事實上, 由以上的分析我們已 經知道, “意義學習”就意味著主動的建構, 而 教師的講授 (以及有待於解決的“問題”) 則
就應當被看成是為學生的主動學習提供了必 要的外部條件。
最後, 還應提及的是, 除去有意識的工 作以外, 我們在此並應看到教師的“示範作 用”所產生的“無形”影響, 特別是, 教師的日 常言行 (這正是其數學觀、 教學思想等的具體 體現) 對學生可能產生潛移默化的影響。 顯 然, 這也就更為清楚地表明了數學學習作為 一種建構活動的社會性質。
參考文獻
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—本文作者任教於南京大學哲學系—
