關於

關 於

∞ 型的 L’ Hospital 法則 的一個註記

姚雲飛

摘要. 本文對現行的數學分析, 微積分及其高等數學的教材中的 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法 則進行了一個改進, 論證了該法則在無須考慮分子是否趨於 ∞ 的條件時, 仍舊成立, 利用了 這個減弱了的 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法則給出了一大類的極限問題的簡單解法。

關鍵詞: 改進的 L’ Hospital 法則; 減弱; 極限。

在現行的數學分析、 微積分及其高等數學的教材中 ^[1−5] 關於 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法則 是指: 若

(I) lim

x→x⁺₀

f(x) = ∞;

(II) lim

x→x⁺₀ g(x) = ∞;

(III) f , g 在 U₊⁰(x0) 內可微分, g^′(x) 6= 0, 其中 U+⁰(x0) 為 x0 之右鄰域;

(IV) lim

x→x⁺₀ f^′(x)

g^′(x) = A (A 可為實數, 也可以為 +∞ 或 −∞), 則 lim

x→x⁺₀ f(x)

g(x) = lim

x→x⁺₀ f^′(x) g^′(x) = A。

本法則對於 x → x⁻0 或 x → x⁰ 或 x → ∞, ±∞ 等情形也有同樣的結論, 該法則對處 理 ^∞_∞ 型的不定式極限是一個強有力的工具, 但是在使用時, 需要四個條件同時滿足方可。 事實 上該法則的條件 (I) 是可以去掉的。 本文將證明該法則在保留 (II)、(III)、(IV) 而在沒有條件 (I) 之下, 結論仍然成立。 同時給出其一些應用, 進而簡化了一些文獻中的一大類極限命題的證 明。 使這個法則適用範圍更廣、 更便利、 更具有一些靈活性。 為此本文稱這樣的法則為減弱了一 個條件的 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法則。 下面證其成立, 事實上, 只要仔細考察 [2] 中 P.128-129 的推理過程知不需要用到條件 (I)。

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首先設 A 為實數, 由條件 (II) 知 ∃U+⁰(x0), 使得 ∀x ∈ U+⁰(x0), 恆有 g(x) 6= 0, 由 (IV) 知對 ∀ε > 0, ∃x¹ ∈ U+⁰(x0) 使得 ∀x ∈ (x⁰, x₁), 均有

    

f^′(x) g^′(x) − A

    

< ε

4 (1)

根據柯西均值定理^[1] 知 ∀x ∈ (x0, x₁), ∃ξ 滿足 x0 < x < ξ < x₁, 使得 f(x1) − f(x)

g(x1) − g(x) = f^′(ξ) g^′(ξ) 由 (1) 知

    

f(x1) − f(x) g(x₁) − g(x) − A

    

< ε

4 (2)

另一方面 f(x)

g(x) − A =f(x) − f(x1) − A(g(x) − g(x1)) + f (x₁) − Ag(x1) g(x)

=g(x) − g(x¹) g(x)

f(x) − g(x¹) g(x) − g(x1) − A

!

+f(x1) − Ag(x¹) g(x)

= 1 − g(x1) g(x)

!

f(x) − g(x¹) g(x) − g(x¹) − A

!

+f(x1) − Ag(x¹)

g(x) (3)

對固定的 x1, 由條件 (II) 知當 x → x⁺0 時, ^f(x1)−Ag(x_g(x) ¹⁾ 與 ^g(x1)

g(x) 均為無窮小量, 因此, 必

∃δ > 0, 使得 x0 < x < x₀+ δ ≤ x¹ 時, 有

    

f(x1) − Ag(x¹) g(x)

    

<ε

2, (4)

    

g(x1) g(x)

    

<1 (5)

由 (3) 式知綜合 (2)、(4)、(5), 對一切滿足不等式 x0 < x < x0 + δ 的 x 有

    

f(x) g(x) − A

    

≤ 1 +

    

g(x₁) g(x)

    

!     

f(x) − f(x1) g(x) − g(x¹) − A

    

+

    

f(x) − Ag(x1) g(x)

    

<2 · ε 4+ ε

2 < ε

故 lim

x→x⁺₀

f(x) g(x) = A.

類似地可證, 當 A = +∞ 或 A = −∞ 的情形。 同時不難看出, 對於 x → x⁻0 或 x → x0

或 x → +∞ 或 x → −∞ 或 x → ∞ 過程仍成立。

現舉例說明 ^∞_∞ 型 L’ Hospital 法則在去掉條件 (I) 之後應用起來多麼方便, 並且可以大 大簡化一些文獻中的極限命題的證明。

例1:^[6] 若 (i) ϕ(x) 在 [a, +∞) 具有一階連續的導函數: (ii) lim_x→+∞(ϕ^′(x)+ϕ(x)) = A, 則 lim

x→+∞ϕ(x) = A。

特別當 A 為有限數時, 則 lim

x→+∞ϕ^′(x) = 0。

證明: 設 ψ = ϕ^′(x)+ϕ(x), 於是由於題設條件知 ψ(x) 在 [a, +∞) 連續, 且 lim_x→+∞ψ(x)

= A, 而 (e^xϕ(x))^′ = e^xψ(x)

任意固定 x0, (x0≥a), 將上式從 x⁰ 到 x(x > x0) 積分得

Z

x x0

(e^tϕ(t))^′dt=

Z

x x0

e^tψ(t)dt, 於是 e^xϕ(x) = e^x0ϕ(x0) +

Z

x x0

e^tψ(t)dt 從而

ϕ(x) =

R

x

x0e^tψ(t)dt + e^x0ϕ(x0) e^x

因 lim

x→+∞e^x = +∞, 由已知條件與減弱的 L’ Hospital 法則知

x→+∞lim ϕ(x) = lim

x→+∞

R

x

x0e^tψ(t)dt + e^x0ϕ(x0)

e^x = lim

x→+∞

 R

x

x0e^tψ(t)dt + e^x0ϕ(x₀)

^

^′ (e^x)^′

= lim

x→+∞

e^xψ(x)

e^x = lim

x→+∞ψ(x) = A.

此處證法比 [6] 中簡單得多。

例 2:^[7−8] 設函數 f 在 (a, +∞) 內可微分, 證明: 若 lim_x→+∞f^′(x) =A, 則 lim

x→+∞

f(x) x

= A。

證明: 顯然本題滿足減弱的 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法則, 故有

x→+∞lim f(x)

x = lim

x→+∞

f^′(x)

(x)^′ = lim

x→+∞f^′(x) = A 可見本處證法較 [7, 8] 簡潔多了。

推論:^[8] 設函數 f 在 (a, +∞) 可微分, 若 lim_x→+∞f(x) = B, lim

x→+∞f^′(x) = A, 則 A= 0 同時不難發現仿例 2 之證法同理可論下面的例 3。

例3: ^[9] 若 f (x) 在 (−∞, a] 內可微分, lim_x→−∞f^′(x) = 0, 則 lim

x→−∞

f(x) x = 0。

證明: 顯見本題滿足減弱的 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法則, 於是有

x→−∞lim f(x)

x = lim

x→−∞

f^′(x)

(x)^′ = lim

x→−∞f^′(x) = 0

顯然這個例 3的證法簡化了 [8] 的解法。

例4: ^[2] 若 f (x) 在 [0, +∞) 連續, lim_x→+∞f(x) = A。 則

x→+∞lim 1 x

Z

x

0 f(t)dt = A.

證明: 由 f 在 [0, +∞) 連續, 知

^R

0^xf(t)dt 可微分, 在本文法則中取 g(x) = x, 則

x→+∞lim g(x) = +∞, g^′(x) = 1, 從而有

x→+∞lim 1 x

Z

x

0 f(t)dt = lim

x→+∞

R

x 0 f(t)dt

x = lim

x→+∞

(

^R

₀^xf(t)dt)^′ (x)^′

= lim

x→+∞f(x) = A 例5: ^[10] 求下列極限

(i) lim

x→0⁺x

Z

1 x

cos t t² dt.

(ii) lim

x→+∞

R

x 0

√1 + t⁴dt x³ . (iii) lim

x→0⁺

R

+∞

x e^−t t dt ln_x¹ . (iv) lim

x→0⁺x^a

Z

1 x

f(t)

t^a+1dt (其中 a > 0, f ∈ C[0, 1])。 (符號 C[0, 1] 表示定義在 [a, b] 的 連續函數的全體)。

解: 應用本文的減弱的 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法則很容易求出本題的解。

(i) lim

x→0⁺x

Z

₁

x

cos t

t² dt= lim

x→0⁺

R

1 x cos t

t² dt

1 x

= lim

x→0⁺

 R

1 x cos t

t² dt

^

^′



1 x



^′ = lim

x→0⁺

−^{cos x}_x²

−_x¹²

= lim

x→0⁺cos x = 1 (ii) lim

x→+∞

R

x 0

√1 + t⁴dt

x³ = lim

x→+∞

 R

x 0

√1 + t⁴dt

^

^′

(x³)^′ = lim

x→+∞

√1 + x⁴ 3x²

=1 3 lim

x→+∞

s

1

x⁴ + 1 = 1 3. (iii) lim

x→0⁺

R

+∞

x e^−t

t dt

ln¹_x = lim

x→0⁺

 R

+∞

x e^−t t dt

^

′



ln_x¹

^

= lim

x→0⁺

−^e−x_x

−¹_x = lim

x→0⁺e^−x = 1

(iv) lim

x→0⁺x^a

Z

₁

0

f(t)

t^a+1dt= lim

x→0⁺

R

1 x

f(t) t^a+1dt

1 x^a

= lim

x→0⁺

 R

1 x

f(t) t^a+1dt

^

^′



₁

x^a



^′ = lim

x→0⁺

−_x^f(x)a+1

−_x^a+1a

= lim

x→0⁺

1

af(x) = 1 a lim

x→0⁺f(x) = f(0) a . 本文諸例說明了減弱了一個條件的 ^∞

∞ 型的 L’ Hospital 法則應用起來多麼方便, 因此建 議今後在編寫數學分析、 微積分和高等數學教科書時, 用這個減弱的 ^∞_∞ 型的 L’ Hospital 法 則。

參考文獻

1. L. Salas Saturnino, Einar Hille Calculus 2[M], Xero College Publishing USA, 1971:476.

2. 華東師範大學數學系, 數學分析 (上) [M], 北京: 高等教育出版社, 2001: 128-129, 237。

3. 江澤堅, 數學分析 [M], 北京: 人民教育出版社, 1978。

4. 趙樹嫄, 微積分 (第 2 版) [M], 北京: 中國人民大學出版社, 1993。

5. 田根寶等, 高等數學 (第 2 版) [M], 上海: 上海科技出版社, 1993。

6. 孫本旺等, 數學分析中的典型例題和解題方法 [M], 長沙: 湖南科技出版社, 1981: 223-224。

7. 鄭英元等, 數學分析習題課教程 (上) [M], 北京: 高等教育出版社, 1991: 96-97。

8. 吳良森等, 數學分析習題精解 (單變數部分) [M], 北京: 科學出版社, 2002 年 2 月, 116-117, 123 頁。

9. 鄒節銑等, 1978-1983 年全國招考研究生高等數學試題選解 [M], 長沙: 湖南科技出版社。

10. 黃定暉、 周學聖編演, 郭大鈞、 邵品琮主審, B. II. 吉米多維奇著, 數學分析習題集解 (三) [M], 濟 南: 山東科技出版社, 1979: 490-493。

—本文作者任教安徽省阜陽師範學院數學系_—