第貳部分、選填題（占 40 分）

高雄市明誠中學 104 學年度暑期 複習考 範

圍 第2 冊(全) 班級 二年 班 姓 名

科 目

數學 座號 高一

第壹部分：選擇題（占 60 分）

一、單選題（占30 分）

說明：第1 至 6 題為單選題，每題選出一個最適當選項。每題答對得 5 分。

1. 設一等差數列〈an〉： –5 , –9 , –13 , …, 則第幾項為–401？

(1) 96 (2) 97 (3) 98 (4) 99 (5) 100﹒

解答 5

解析 首項 a1 = –5 , 公差 d = –9 –( –5) = –4 ,

則 an = a1 + (n –1)d⇒ –401 = –5 + (n –1)( –4)⇒ 4n = 400，n = 100 . 2. 樓梯有 8 階, 一人登樓時, 每步只跨一階或二階, 則其登樓的方法有幾種?

(1) 30 (2) 32 (3) 34 (4) 36 (5)38﹒

解答 3 .

解析 設跨一階 x 次, 二階 y 次, 則 x＋2y＝8,

x 8 6 4 2 0

y 0 1 2 3 4

故所求 ^{8! 7! 6! 5! 4!} 34 8! 6! 4!2! 2!3! 4!

      （種）.

3. 若在 Y 對 X 的散佈圖中, 所有點(xi, yi) , i = 1 , 2 , …, n 均滿足方程式 y = – 0.5x + 6 , 試求 X , Y 的相關係數.﹖

(1) 1 (2) 1 (3) 0.5 (4) 0.5 (5) 無法算出﹒

解答 2

解析 所有點皆在斜率為負的直線上, 為完全負相關,故相關係數為 – 1 .

4. 設〈an〉為一等比數列, 每一項均為實數, 已知 S10 = 1 , S30 = 13 , 則 S60 =？.

(1)360 (2)364 (3)366 (4)368 (5)370﹒

解答 2

解析 S10 = 1 = ¹(1 ¹⁰) 1

a r

r



 ……①, S30 = 13 =

30

1(1 )

1

a r

r



 ……②

由②÷①得1 ₁₀³⁰ 13 (1 ¹⁰)(1 ₁₀^{10 20}) 13

1 1 1 1

r r r r

r r

      

 

⇒13(1– r¹⁰) = (1– r¹⁰)(1 + r¹⁰ + r²⁰)

⇒(1– r¹⁰)(r²⁰ + r¹⁰ –12) = 0⇒ (1– r¹⁰)(r¹⁰ + 4)(r¹⁰ –3) = 0

⇒r¹⁰ = 1（不合）或–4（不合）或 3 ,

將 r¹⁰ = 3 代入①得 ^{1(1 3)} 1 a

r



 = 1⇒ ^{1 1}

1 2

a r  

 ,

故 S60 =

60 10 6

1(1 ) 1[1 ( ) ] 1

1 1 2

a r a r

r r

 

  

  (1 –3⁶) = 364 .

5. 擲一枚不公正硬幣,若出現正面, 則自{1 , 3 , 5 , 7 , 9}中任選一數；若出現反面, 則自{2 , 4 , 6 , 8}中任選一數, 已知出現正面的機率為³

5.求被選中的數為 3 的倍數之機率為何？

(1) ¹⁷

50 (2) ¹⁸

50 (3) ¹⁹

50 (4) ²⁰

50 (5) ²¹ 50﹒ 解答 1

解析 ∴機率為^{3 2 2 1 34 17} 5 5 ＋5 4 100 ＝ ＝50.

6. 從 1 到 11 等 11 個數中, 取 3 個數, 且它們都不是相鄰的整數, 則有幾種取法？

(1) 72 (2) 84 (3) 96 (4) 108 (5) 120 解答 2 .

解析 從11－3＝8 個數中, 有 9 個空隙,

從此 1~9 個空隙中, 任選 3 個, 即為所求,即方法數有C₃⁹ 84（種）.

二、多選題（佔30 分）

說明：第7 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正

確選項填在答案卷之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得6 分，

只錯一個選項者可得3 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。

7. 設某印刷廠有三部印刷機：A、B、C, 其分別生產全部產品的^{1 1 1}, ,

2 3 4﹔又設 A、B、C 三 部印刷機所生產的瑕疵品分別為2%, 3%, 4%.從所有產品中任取一產品, 問﹖

(1) 此產品為瑕疵品的機率 ³ 100﹒

(2) 已知此產品為瑕疵品，且此產品來自於 A 印刷機的機率為¹ 3﹒ (3) 已知此產品為瑕疵品，且此產品來自於 B 印刷機的機率為¹

3﹒ (4) 已知此產品為瑕疵品，且此產品來自 C 印刷機的機率為⁴

9﹒ (5) 已知此產品為瑕疵品，且此產品來自於 C 印刷機的機率為¹

3﹒ 解答 1.2.3.5

解析 (1)P（瑕疵品）＝¹

2．2%＋¹

3．3%＋¹

4．4%＝ ³ 100.

(2)P（A│瑕疵品）＝

1 2% 1

2 3 3

100



＝ .

(3)P（B│瑕疵品）＝

1 3% 1

3 3 3

100



＝ .

(4)P（C│瑕疵品）＝

14 4% 1

3 3

100



＝ .

8. 設兩數 a , b 的等差中項為–2 且 a + 3b = 2 , 則:

(1) a + b = –4 (2) a  8 (3) b (4) 2 a b   (5) a b10  ﹒ 解答 1.4.5

解析 2

2 3 2 a b

a b

   



  







①

②

, 解①②得 a = –7 , b = 3 .

9. 如圖, △A 1B1C1是一個邊長為1 的正三角形,

取△A1B1C1的三邊中點 A2, B2, C2, 則△A2B2C2也是正三角形, 再取

△A2B2C2的三邊中點 A3, B3, C3, 則△A3B3C3也是正三角形, 如此下 去, 形成五個正三角形△A1B1C1, △A2B2C2, △A3B3C3, △A4B4C4,

△A5B5C5, 下列何者正確﹖

(1) 正三角形△A1B1C1,的面積為 ³ 2 ﹒

(2) 所形成這五個正三角形的周長數列公比為¹ 3﹒ (3) 所形成這五個正三角形的周長總和為⁹³

16﹒ (4) 所形成這五個正三角形的面積數列公比為¹

4﹒ (5) 所形成這五個正三角形的面積總和為^{341 3}

1024 ﹒ 解答 1.3.4.5

解析 (2)由三角形相似性質得 ^{2 2 2 2 2 2}

1 1 1 1 1 1

1 2 A B B C C A

A B  B C  C A  , 所以△A2B2C2邊長是△A1B1C1邊長的一半,

同理△A3B3C3邊長也是△A2B2C2邊長的一半,

所以此一連串的正三角形之周長形成一個首項 a1＝3, 公比 r＝¹ 2 的等比數列〈a 〉. 故這五個正三角形的周長總和為

5

2 3 4

3[1 ( ) ]1

1 1 1 1 2 93

3 3 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )

2 2 2 2 1 1 16

2

          



.

(1)(4)因為正三角形的面積為 ³

4 邊長², 所以正三角形△A1B1C1的面積為 ³ 1^{2 3}

4   4 , 又 兩相似三角形的面積比等於其邊長的平方比, 所以△A2B2C2面積是△A1B1C1面積的¹

4, 同理△A3B3C3面積也是△A2B2C2面積的¹

4, 此五個正三角形之面積形成一首項 b1＝ ³

4 , 公比 r＝¹

4的等比數列〈bn〉, 故這五個正三角形的面積總和為

5

2 3 4

3 1

[1 ( ) ]

3 3 1 3 1( ) 3 1( ) 3 1( ) 4 4 341 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1024

4

          



10. 試求(x²－4x＋5)¹⁰除以(x－2)³的餘式為ax²bxc.則下列何者正確﹖

(1) a  c  0 (2) b  2c < 0 (3) a10 (4) b  40 (5)a b c   ﹒11

解答 1.3.4.5 . 解析 (x²－4x＋5)¹⁰

＝[(x－2)²＋1]¹⁰

C₀¹⁰(x2)²⁰ C₁¹⁰(x2)¹⁸  C₈¹⁰(x2)⁴C₉¹⁰(x2)²C₁₀¹⁰, 故(x²－4x＋5)¹⁰除以(x－2)³的餘式為

C₉¹⁰(x2)² 1 10(x²4x  4) 1 10x²40x41.

11. 10 人參加數學考試, 已知總平均 71 分, 標準差 4 分, 若 10 人的成績如下﹕65, 67, 68, 69, 69, 71, 75, 78, a b, 其中 a b 試求另兩人的成績為何？﹖

(1)a b 148 (2) a b  4 (3) a76 (4) b72 (5) 變異數 2﹒

解答 1.2.3.4

解析 平移至71 分, 則新數據如右, －6, －4, －3, －2, －2, 0, 4, 7, x, y, （設 x>y）,則 x＋y－6＝0,又

2

( 0) 2

16 ( ) 160 10

i

i

x  x





36＋16＋9＋4＋4＋0＋16＋49＋x²＋y²＝160, x²＋y²＝26, 把 y＝6－x 代入, 得 x²＋(6－x)²＝26, 得 x＝1（不合）或 5, 即 x＝5, y＝1, 故原未平移前應是 71＋5, 71＋1, 即 76 分與 72 分.

第貳部分、選填題（占 40 分）

說明： 1.第 A 至 E 題，將答案填在答案卷之「解答欄」 格內。

2.每題答對得 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 明誠中學校長想了解教職員的健康情形, 於是他隨機抽取 10 名教職員, 觀察他們的年齡

（x）與收縮壓（y）的資料, 結果算得：

10 10 10 10 10

2 2

1 1 1 1 1

450, 1300, 21250, 171250, 59100,

i i i i i i

i i i i i

x y x y x y

    











年齡的最適直線為yaxb，試問數對( , )a b  __ .

提示：最適直線斜率 ¹

2 2

1

( )

n

i i

i n

i i

x y n x y m

x n x





 







－

－ 解答 3

( , 103) 5

解析 設收縮壓對年齡的最適直線為 y＝ax＋b, 則

10

1

10 2 2

1

10

600 3

,

1000 5 10

3 3

130 ( 45), 103 .

5 5

i i i

i i

x y x y

a

x x

y x y x





 







－

＝ ＝ ＝

－

－ ＝ － 即 ＝ ＋

B. 甲、乙兩人在排成一列的6 個空位中，任選相鄰的兩個座位就坐，其坐法共有 _______ 種﹒

解答 10

解析 六個空位中，選相鄰兩個空位的有(1,2).(2,3).(3,4).(4,5).(5,6)等 5 種，

此兩個空位再排甲、乙兩人，則坐法有5 ！2 10（種）。

C. 已知10 個產品中有 3 個不良品, 今逐個檢查, 則檢查到第 5 個時出現第 3 個不良品的機率 為 _______﹒

解答 1 20

解析 前四個有兩個不良品 故所求機率為 ₂⁴ (^{7 6 3 2}) ^{1 1} 10 9 8 7 6 20 C       .

D. 有一個很大的正整數, P = C¹⁰¹₀ C₁¹⁰¹C¹⁰¹₂ C₃¹⁰¹  C₅₀¹⁰¹, 則 P 是 _ 位數的正整數.

（已知log 2 ≈0.3010 , log 3 ≈0.4771）

解答 31

解析 因為C¹⁰¹₀ C₁¹⁰¹C¹⁰¹₂   C₁₀₁¹⁰¹ = 2¹⁰¹, 又C_k¹⁰¹C₁₀₁¹⁰¹_k, 所以

101

101 101 101 101 101

0 1 2 3 50

2

C C C C   C  2 = 2¹⁰⁰, 即 P = 2¹⁰⁰, 則 log P = log 2¹⁰⁰ = 100 log 2 ≈100×0.3010 = 30.1 , 故 P 為 31 位數.

E. 坐標平面的點 Pn, 設 P1(0,0), P2(1,0), P3(0,1), P4(0,2), P5(1,1), P6(2,0), P7(3,0), P8(2,1), P9(1,2), P10(0,3),…, 依此規則, 則當 Pn(34,9)時,自然數 n 之值為_______ ﹒

解答 956

解析 P2P3連線有2 個點,其坐標和均為 1,

P4－P5－P 6連線有3 個點, 其坐標和均為 2, P7－P10連線有4 個點, 其坐標和均為 3,

因 Pn(34,9), 其坐標和 34＋9＝43,故 Pn所在之斜線上有44 個點, 因 1＋2＋3＋……＋43＝^{43 44}

2

 ＝946, 又 43 為奇數, 故 P946(42,0),

在 x 軸上, P947(43,0), 故 Pn(34,9)為 P947(43,0)再朝左上方前進 9 點, ∴n＝947＋9＝956.