 第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占74分）

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 74 分）

一、單選題（占18 分）

說明： 第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記在答案卡之

「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題 以零分計算。

( )1. 下列選項分別為甲、乙、丙、丁、戊等五個地區 1 至 10 歲（以整數計）兒童罹患某疾病的 人數散佈圖。試選出罹患某疾病的人數與年齡相關係數值最大的選項。

(1) (2)

(3) (4)

(5)

( )2. 已知實係數二次多項式函數 ^{f x 滿足}

 

^{f    ，  1 k f 1 9k，  f 3  15k，其中k  。設0}

函數^y f x 圖形頂點的 x 坐標為 a，試選出正確的選項。

 

(1)a  1 (2) 1   a 1 (3)a 1 (4)1  a 3 (5) 3 a 。

( )3. 某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為 1 至 6 的六張牌中隨機抽取兩張。假設每張 牌抽到的機會均相等，且規則如下：

（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金100 元，此時抽獎結束；

（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張牌，且 其號碼之和為奇數，則可得獎金50 元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。

依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？

(1) 50 (2) 70 (3) 72 (4) 80 (5) 100。

二、多選題（占32 分）

說明：第4 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項劃記在答案 卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個 選項者，得4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，

該題以零分計算。

( )4. 設alog 8₂ ，blog 1₃ ，clog 8_0.5 ，試選出正確的選項。

(1)b 0 (2)a   b c 0 (3) a b c  (4)a² b²  c² (5) 1 2 3 ( )

2

a  b  c。

( )5. 某便利商店將甲、乙、丙三個積木模型和 a、b、c、d、e 五個角色公仔，共八個玩具，分 成兩袋販售。每袋均裝有四個玩具，其分裝的原則如下：

（一）甲和 a 必須裝在同一袋。

（二）每袋至少裝有一個積木模型。

（三）d 和 e 必須裝在不同袋。

根據以上敘述，試選出正確的選項。

(1)每袋至少裝有兩個角色公仔 (2)乙和丙必裝在不同袋

(3)如果乙和 d 裝在同一袋，則丙和 e 必裝在同一袋 (4)如果乙和 d 裝在不同袋，則 b 和 c 必裝在不同袋 (5)如果 b 和 c 裝在不同袋，則乙和丙必裝在同一袋。

( )6. 已知實數數列 a 滿足_n a₁  ，1 ₁ 2 1 2 1

n n

a n a

 n

 

 ，n 為正整數。試選出正確的選項。

( )7. 已知某人每次飛鏢射中的機率皆為1

2，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，

選出發生機率為1

2的事件。

(1)連續射 2 次飛鏢，恰射中 1 次 (2)連續射 4 次飛鏢，恰射中 2 次

(3)連續射 4 次飛鏢，射中的總次數為奇數

(4)連續射 6 次飛鏢，在第 1 次沒有射中的條件下，第 2 次有射中

(5)連續射 6 次飛鏢，在前 2 次恰射中 1 次的條件下，後 4 次恰射中 2 次。

三、選填題（占24 分）

說明：1.第 A 至 C 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8–13）。

2.每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 數線上有原點 O 及三點 A  、  2 B 10 、  C x ，其中 x 為實數。

已知線段 BC 、 AC 、 OB 長度大小關係為 BC ACOB， 則 x 的最大範圍為

⑧

 x

⑨

。

B. 設矩陣

1 2 1 0 1 2 1

0 1 0 6 0 1 A

  

     

      

      ，

1 2 6 0 1 2 1

0 1 0 1 0 1 B

  

     

      

      ，其中

1 2 1

0 1

 

 

 

  為矩陣 1 2 0 1

  

 

 的

反方陣。若 a b

A B

c d

 

   

 ，則a b c d   

⑩ ⑪

。 C. 已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為1

3，出現反面的機率為2

3。今在坐標平面上有一顆 棋子，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位置，規則如下：

（一）若擲出為正面，則從目前位置依著向量



^1,2



的方向與長度，前進至下一個位置；

（二）若擲出為反面，則從目前位置依著向量

 

1,0 的方向與長度，前進至下一個位置。

例如：棋子目前位置在坐標



2,4 ，若擲出反面，則棋子前進至坐標

  

3,4 。

假設棋子以原點

 

0,0 為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板 6 次，且每次投擲均互相獨立，則 經過6 次移動後，棋子停在坐標

 ^{⑫ ⑬} , 

^{的機率最大。}

第貳部分：非選擇題（占 26 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題號

（(1)、(2)、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較 粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致 評閱人員無法清楚辨識，該部分不予計分。每一子題配分標於題末。

一、 坐標平面上有兩點A



3,4



，B

 

3,2 及一條直線 L。已知 A、B 兩點在直線 L 的兩側且



n 



4, 3



是 直線 L 的法向量。設 A 點到直線 L 的距離為 B 點到直線 L 的距離的 5 倍。根據上述，試回答下列 問題。

(1) 試求向量 AB



與向量



n

的內積。（4 分）

(2) 試求直線 L 的方程式。（4 分）

(3) 設 P 點在直線 L 上且 PA PB ，試求 P 點坐標。（4 分）

二、 已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成 本如下表（單位：萬元）：

電池成本 馬達成本 其他成本

甲型 56 26 48

乙型 40 20 56

今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 x 倍」、「馬達成本的 y 倍」與「其他成本的 2

x y

倍」之總和，即

售價電池成本 x  馬達成本 y  其他成本 2 xy



其中倍數 x、y 需滿足「1  ，1x 2   ，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。 y 2 該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。

(1) 試寫出甲、乙兩型電動車的售價（以 x、y 的式子來表示），並說明「甲型電動車的售價必定高於 乙型電動車的售價」。（4 分）

(2) 試在坐標平面上，畫出滿足題幹條件



x y,



的可行解區域，並以斜線標示該區域。（4 分）

(3) 試求當倍數 x、y 分別為多少時，甲、乙兩型電動車的售價差距最大？此時甲、乙兩型電動車的 售價差距為多少萬元？（6 分）

試題大剖析

解題：陳清風老師

答 案

第壹部分：選擇題 一、單選題

1. (4) 2. (2) 3. (2) 二、多選題

4. (1)(3) 5. (1)(5) 6. (1)(4)(5) 7. (1)(3)(4) 三、選填題

A. 4  B. 14 C.x 8



2,4



第貳部分：非選擇題

一、(1) 30 (2) 4x3y  (3)1 0



^{  2, 3}



二、(1)甲的售價為80x50y（萬元），乙的售價為68x48y（萬元），說明見詳解 (2)見詳解

(3)當 15 , 1

x 8 y 時，售價差距最大為 24.5 萬元 解 析

第壹部分：選擇題 一、單選題

1. 出處：【99 課綱】第二冊 第四章 數據分析

【108 課綱】第二冊 單元 9 二維數據分析 難易度：易

解： 依散布圖中各點的分布狀況，討論相關係數 r 的值：

(1)因為各點幾乎落在一水平線上，所以r  。 0

(2)因為各點都落在一條斜率為負的直線上，所以r  。 1 (3)因為各點的分布有左下往右上的趨勢，所以 0  。 r 1 (4)因為各點都落在一條斜率為正的直線上，所以r  。 1 (5)因為散布圖呈現左右對稱，所以r  。 0

故選(4)。

2. 出處：【99 課綱】第一冊 第二章 多項式函數

【108 課綱】第一冊 單元 9 一次與二次函數 難易度：易

解： 設  f x  Ax² Bx （C A ）。依題意，得0

 

 

  1

1 9

3 9 3 15

f A B C k

f A B C k

f A B C k

     

    

     



，

解得A 4 ,k B4 ,k C9k。利用配方法，得

  ₄ ² _{4 9 4}  ²  ₉

f x   kx  kx k  k x x  k

2

2 1 1

4 9 4 10

4 2

k x x  k k k x  k

             ，

因此y f x 的圖形是頂點的 x 坐標為1

2的拋物線，即 1 a 。 2 故選(2)。

3. 出處：【99 課綱】選修數學乙(上) 第一章 機率與統計

【108 課綱】第二冊 單元 7 數學期望值 難易度：中

解： 兩數的和為奇數必為一奇數一偶數；兩數的和為偶數必為二奇數或二偶數。

每人參加抽獎活動所得的金額及其對應的機率如下：

①

 

¹³₆¹³

2

3 3 3

100 15 5

P C C

C

   

元 。

②

 

²³₆ ¹¹₄^{13 23}₆ ¹¹₄¹³

2 2 2 2

3 3 3 3 1

50 15 6 15 6 5

C C C C C C P

C C C C

        

元 。

③



⁰



^{1 3 1 1}

5 5 5 P 元     。

根據數學期望值的定義，得期望值 3 1 1

100 50 0 70

5 5 5

E       （元）。 故選(2)。

二、多選題

4. 出處：【99 課綱】第一冊 第三章 指數、對數函數

【108 課綱】第 3A 冊 單元 6 對數與對數律、第 3B 冊 單元 4 對數 難易度：易

5. 出處：【99 課綱】第二冊 第二章 排列、組合

【108 課綱】第二冊 單元 3 計數原理 難易度：中

解： 依題意，可分成以下二類，共 8 種分法：

①甲、a 與 d 同袋： ②甲、a 與 e 同袋：

故選(1)(5)。

6. 出處：【99 課綱】選修數學乙(下) 第一章 極限與函數

【108 課綱】選修數學乙(上) 單元 1 數列的極限與無窮等比級數 難易度：中

解： (1)○： ₂ 2 1 1 ₁ 3 2 1 1 1 1 3 a    a   

  。

(2)╳： ₃ 2 2 1 ₂ 5 2 2 1 3 3 5 a    a   

  ， ₄ 2 3 1 ₃ 7 2 3 1 5 5 7 a    a   

  。

(3)╳：因為 ^{2 3}

1 2

3 5 1 3

a a

a    a ，所以 a 不是等比數列。 _n (4)○：利用累乘法：

a1 2

1

 a 3 ₁

 a1 a3 5 ₂

 a3

 

 

¹

2 1 1 ) 2 1 1 ^

   

 



n n

a n a

n

a_n  1 3 1

 5 3

 

  2 1 1 2 1 1

   

 n  n

 

2 1 1 2 1 2

 n   n ，n 。 因為n1代入亦成立，所以a_n 2n1，n1，

即 a 是首項為_n 1，公差為 2 的等差數列。利用等差級數求和公式，得

 

  

^{ }



^{ }

20 1

1

2 1 20 2 1 20 1 2 20 2 38

2 2 2 400

n n

n a n d

a



        

   



^。

(5)○：lim ⁿ lim^{2 1} lim 2 ¹ 2

n n n

a n

n n n

  

  

     。 故選(1)(4)(5)。

7. 出處：【99 課綱】選修數學乙(上) 第一章 機率與統計

【108 課綱】選修數學乙(下) 單元 2 二項分布 難易度：中

解： 利用二項分布，得 (1)○： ₁^{2 1 1 1}

2 2 2 C         。 (2)╳：

2 2

4 2

1 1 3

2 2 8

C            。 (3)○：

3 3

4 4

1 3

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 4 4 2

C        C             。 (4)○：因為每次射飛鏢的結果均互相獨立，

所以第2 次射中的機率與第 1 次的結果無關，機率為1 2。 (5)╳：因為每次射飛鏢的結果均互相獨立，

所以



^{4 2 2 1}

 ^

^{4 2}

^

^{24 1 2 1 2 3}

2 2 8

P 後 次恰中 次 前 次恰中 次 P 後 次恰中 次 C            。 故選(1)(3)(4)。

三、選填題

A. 出處：【99 課綱】第一冊 第一章 數與式

【108 課綱】第一冊 單元 2 絕對值 難易度：易

解： 因為 BCAC，所以 C 點在 AB 的中點M 4 之右邊，

因此x 。 4

又因為 AC OB，所以x   2 10，即x 。 8 故4  。 x 8

B. 出處：【99 課綱】第四冊 第三章 矩陣

【108 課綱】第 4A 冊 單元 9 矩陣的運算、第 4B 冊 單元 6 矩陣的運算 難易度：易

解： 利用二階反方陣的公式，得

1 2 1 1 1 2 1 2 0 1 1 0 0 1 0 1

 

      

      

     。 1 2 1 0 1 2 1 12 1 2 1 10

           

C. 出處：【99 課綱】選修數學乙(上) 第一章 機率與統計

【108 課綱】選修數學乙(下) 單元 2 二項分布 難易度：中

解： 設隨機變數 X 表示出現正面的次數。因為這是n ，6 1

p 的二項分布， 3 所以 X 的期望值為 1

6 2

np   （次）。 3

因為 X 的期望值 2（次）是整數，所以由二項分布的性質得知，

機率的最大值會發生在X  時，即擲此銅板 6 次出現 2 次正面 4 次反面時。 2 根據棋子前進的規則，

此時棋子所停位置的 x 坐標為2     ，y 坐標為 2 2 4 0 4 1 4 1 2     。 故棋子停在坐標



2,4 的機率最大。



第貳部分：非選擇題

一、出處：【99 課綱】第三冊 第三章 平面向量

【108 課綱】第 3A 冊 單元 9 平面向量的運算、第 3B 冊 單元 7 平面向量的運算 難易度：中

解： (1)因為AB







6, 2



，所以AB

 

n       6 4  2  3 30

． 。

(2) 如圖，因為△AHQ △BRQ，所以AQ :QBAH : BR5 : 1。 利用坐標的分點公式，得 1  3 5 3 1 4 5 2 7

, 2,

5 1 5 1 3

Q          Q 。 又因為 L 的法向量



n 



4, 3



，所以可設L : 4x3y  。 k 0 將 Q 點代入 L，得 7

4 2 3 0 3 k

     ，解得k   。 1 故 L 的方程式為 4x3y  。 1 0

(3) ①因為 PA PB ，所以 P 點在 AB 的中垂線上。因此 P 點為直線 L 與 AB 中垂線的交點。

②因為直線 AB 的斜率為 4 2 1 3 3 3

  

  ，所以 AB 中垂線的斜率為 3，

又中垂線通過 AB 的中點 ^{3 3 4 2},

 

0,3

2 2

  

  

 

  ，

因此 AB 中垂線的方程式為y 3 3x ，即30 x   。 y 3 0

③解 4 3 1 0 3 3 0

x y x y

  

   

 ，得x 2,y  。故 P 點的坐標為3



  。 2, 3



二、出處：【99 課綱】第三冊 第二章 直線與圓

【108 課綱】選修數學乙(下) 單元 5 線性規劃 難易度：中

解： (1) 依售價的算式，得

甲的售價為56 26 48 80 50 2

x y

x y  x y

     （萬元）， 乙的售價為40 20 56 68 48

2 x y

x y  x y

     （萬元）。

因為



^80x50y

 

^{ 68x48y}



^{12x2y （因為0 1 x 2且1 y 2），}

所以甲的售價必定高於乙的售價。

(2) 依題意，得

1 2 1 2

1 2 1 2

80 50 200 8 5 20 68 48 200 17 12 50

x x

y y

x y x y

x y x y

   

 

     

 

     

 

     

 

，

可行解區域為圖中的斜線區域。

(3) 目標函數：甲、乙售價的差距



^80x50y

 

^{ 68x48y}



^{12x2y。}

利用頂點法：



x y,

  

1,1 ^15,1 8

 

 

 

5,2 4

 

 

 

 

1, 2 12x2y 14 24.5 19 16 故當 15

, 1

x 8 y 時，售價差距12x2y有最大值為24.5 萬元。