第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

(1)

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占18 分）

說明：第1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記在答案卡之

「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

( )1. 設x 、₀ y 為正實數。若坐標平面上的點₀



10 ,100x0 y 在函數0



y10^x的圖形上，則點



x0,logy0



會在直線 yax b 的圖形上，其中 a、b 為實數。試問2a b 的值為何？

(1) 4 (2) 9 (3) 15 (4) 18 (5) 22。

( )2. 研究團隊採用某快篩試劑的檢驗，以了解保護區內生物因環境汙染而導致體內毒素累積超過標準的比率。此試劑檢驗結果只有紅色、黃色兩種。

依據過去的經驗得知：若體內毒素累積超過標準，經此試劑檢驗後，有75%顯示為紅色；

若體內毒素累積未超過標準，經此試劑檢驗後，有95%顯示為黃色。已知此保護區的某類生物經試劑檢驗後，有7.8%的結果顯示為紅色。假設此類生物實際體內毒素累積超過標準 的比率為 p%，試選出正確的選項。

(1)1  p 3 (2) 3  p 5 (3) 5  p 7 (4) 7  p 9 (5) 9  。 p 11

( )3. 試求極限 ¹⁰ ⁹ ⁹ ⁹  ⁹

10

lim10 1 2 3 2

n n

 n     的值。

(1)10 ⁹

(2)₁₀⁹



₂¹⁰ ₁



(3)₂⁹_



₁₀¹⁰_₁



(4)10⁹2¹⁰



(2)

二、多選題（占40 分）

說明：第4 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，

該題以零分計算。

( )4. 某電子公司有數百名員工，其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發現：若當日用餐為自備的員工，則隔天會有10%轉為外食；若當日用餐為外食的員工，則隔天會有 20%

轉為自備。

假設x 、₀ y 分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例，其中₀ x 、₀ y 皆為正數，且0 x 、_n y 分別代表經過 n 日後用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比_n 例。在該公司員工不變動的情形下，試選出正確的選項。

(1)y₁0.9y₀ 0.2x₀ (2) ¹

1

0.9 0.2 0.1 0.8

n n

x x

y y



   

    

 

   

(3)若 ⁰

0

2 1 x

y  ，則 2 1

n n

x

y  對任意正整數 n 均成立 (4)若y₀  ，則x₀ y₁ x₁

(5)若x₀  ，則y₀ x₀  。 x₁

( )5. 假設 f x 為五次實係數多項式，且  _{f x 除以}  _xⁿ _{ 的餘式為  }₁

r x ，n 是正整數。試選出正n

確的選項。

(1)  r x₁  f 1

(2)  r x 是一次實係數多項式 ₂

(3)  r x 除以₄ x² 所得的餘式等於  1 r x ₂ (4)  r x₅ r x₆ 

(5)若 _f  _{  }_x _{f x} _{，則 }r₃   x r x₃ 。

( )6. 一個標有 1 至 12 號格子的 12 格戳戳樂遊戲，每回遊戲以投擲一枚均勻銅板四次來決定要戳哪些格子。規則如下：

（一）第一次投擲銅板，若是正面，則戳1 號格子；若是反面，則戳 3 號格子。

（二）第二、三、四次投擲銅板，若是正面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加1；若是反面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加 3，依此類推。

例如：投擲銅板四次的結果依序為「正、反、反、正」，則會戳編號分別為 1、4、7、8 號的四個格子。

假設p 代表在每回遊戲中 m 號格子被戳到的機率，試選出正確的選項。 _m

(3)

( )7. 設  F x 為一實係數多項式且_{F x}_ _ _{f x} _。已知 _f_ _x __x²__1.1對所有的實數 x 均成立，試選出正確的選項。

(1) _f_ _x _{為遞增函數} (2)_{f x 為遞增函數}  (3)  F x 為遞增函數 (4)



^{f x} 



²^{為遞增函數}

(5)^{f f x}



 



^{為遞增函數。}

( )8. 已知z 、₁ z 、₂ z 、₃ z 為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連成一個平₄ 行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？

(1)



z1z3



z2 z4



(2)z₁   z₂ z₃ z₄ (3)z₁   z₂ z₃ z₄ (4) ¹ ²

3 4

z z z z



 (5)

2

2 4

1 3

z z z z

  

  

  。

三、選填題（占18 分）

說明：1.第 A 至 C 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（9–22）。

2.每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 從 6、8、10、12 中任取三個相異數字，作為三角形的三邊長，且設此三角形的最大內角為 。在所有可能構成的三角形中，cos 的最小值為。（化成最簡分數）

B. 坐標平面上，一個半徑為 12 的圓與直線x  相交於兩點，且這兩點的距離為 8。若此圓與直y 0 線x y 24交於 P、Q 兩點，則線段 PQ 的長度為。（化成最簡根式）

C. 考慮一梯形 ABCD，其中 AB 與 DC 平行。已知點 E、F 分別在對角線 AC 、BD 上，且 2

AB5DC、 3

AE 2EC、 2

BF  3FD，如圖所示。

若將向量 FE



表示成 AC

 

 AD

，則實數  、  。（化成最簡分數）

○14 ○15

○9 ○10 ○11

○12 ○13

○16

○17 ○18

○19 ○20

○21 ○22

(4)

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題號

（(1)、(2)、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨識，該部分不予計分。每一子題配分標於題末。

一、坐標空間中，令 E 為通過三點A



0, 1, 1  、



B



1, 1, 2  、



C



0,1,0



的平面。假設 H 為空間中一點，

且滿足 ² ¹ 3

 

3 3

AH

    

 AB AC  ABAC

。根據上述，試回答下列問題。

(1) 試求四面體 ABCH 的體積。（4 分）（註：四面體體積為三分之一的底面積乘以高）

(2) 令點H 為點 H 相對於平面 E 的對稱點，試求H 的坐標。（4 分）

(3) 試判斷點H 在平面 E 的投影點是否位在△ABC 的內部？並說明理由。（4 分）（註：三角形的內部不含三角形的三邊）

二、坐標平面上，以 Γ 表示多項式函數yx³4x² 5x的圖形，且以 L 表示直線ymx，其中 m 為 實數。根據上述，試回答下列問題。

(1) 當m2時，試求出在x0的範圍內，Γ 與 L 的三個相異交點的 x 坐標。（2 分）

(2) 承(1)，試求 Γ 與 L 所圍有界區域面積的值。（4 分）

(3) 在x0的範圍內，若Γ 與 L 有三個相異交點，則滿足此條件的 m 之最大範圍為a m b，試 求 a、b 之值。（6 分）

(5)

試題大剖析

解題：陳清風老師

答案

第壹部分：選擇題一、單選題

1. (5) 2. (2) 3. (4) 二、多選題

4. (2)(3) 5. (1)(3) 6. (1)(3)(4) 7. (2)(5) 8. (2)(4) 三、選填題

A. ¹¹

24 B.8 7 C. 9 4 25, 25

    

第貳部分：非選擇題一、(1)9

2 (2) 16 4 , , 8 3 3

  

 

  (3)否，見解析二、(1) 0,1,3 (2)37

12 (3)a1,b 5 解析

第壹部分：選擇題一、單選題

1. 出處：【99 課綱】第一冊第三章指數、對數函數

【108 課綱】第 3A 冊單元 7 對數函數、第 3B 冊單元 5 對數函數難易度：易

解：因為點



10 ,100x0 y0



在函數y10^x的圖形上，所以100y₀ 10¹⁰^x⁰ 。兩邊取log，得log 100



y0



log10¹⁰^x⁰ log100 log y0 10 log10x0

0 0

2 logy 10x

   logy₀ 10x₀  。 2 因此a10,b  ，得2 2a b 22。

故選(5)。

(6)

2. 出處：【99 課綱】第二冊第三章機率

【108 課綱】第 4A 冊單元 7 條件機率與貝式定理、第 4B 冊單元 5 貝氏定理難易度：易

解：依題意，作樹狀圖如下：

因為有7.8%的結果顯示紅色，所以

 

% 75% 1 % 5% 7.8%

p   p  

% 75% 5% % 5% 7.8%

p p

     

75p 500 5p 780

    70p280，解得 p 。故選(2)。 4

3. 出處：【99 課綱】選修數學甲(下) 第二章多項式函數的微積分

【108 課綱】選修數學甲(上) 單元 5 積分難易度：中

解：由黎曼和，得原式

9 9 9 9

10 1 1 2 3 2

10 lim

n

n n n n n



        

          

       

 

  

10 2 1

10 lim ⁿ

n k

f k x

  n





    ^（其中 ^{f x}^{ }^{ ，}^x⁹ ^{  }^x ¹_n ^{2 0}₂^_n ^）

10 2 9

10 0 x dx





¹⁰ ¹⁰ ²

0

10 1

10x

 

   

10 1 10

10 2 0

10

 

    

9 10

10 2

  。故選(4)。

(7)

4. 出處：【99 課綱】第四冊第三章矩陣

【108 課綱】第 4A 冊單元 10 矩陣的應用難易度：中

解：依題意，得轉移矩陣 0.9 0.2 0.1 0.8

 

 

 。

(1) ╳：因為 ¹ ⁰ ⁰ ⁰

0 0 0

1

0.9 0.2 0.9 0.2

0.1 0.8 0.1 0.8

x x y

x

y x y

y

    

      

    

     ，所以y₁0.1x₀0.8y₀。 (2) ○：由轉移矩陣的意涵，得知此選項正確。

(3) ○：因為 ⁰

0

2 1 x

y  且x₀y₀  ，所以1 ₀ 2 ₀ 1 3, 3

x  y  。因此 ¹

1

2 2

0.9 0.2 3 3 0.1 0.8 1 1

3 3

x y

   

   

   

    

   

     

        

。

依此類推可得，

2 3 1 3

n n

x y

  

   

   

    

對任意正整數 n 均成立，即 2 1

n n

x

y  。

(4) ╳：例如當x₀ 0.45,y₀ 0.55時， ¹

1

0.9 0.2 0.45 0.515 0.1 0.8 0.55 0.485 x

y

       

 

       

     

  ，此時y₁ 。 x₁

(5) ╳：例如當x₀ 0.6,y₀ 0.4時， ¹

1

0.9 0.2 0.6 0.62 0.1 0.8 0.4 0.38 x

y

       

       

     

  ，此時x₀  。 x₁

故選(2)(3)。

5. 出處：【99 課綱】第一冊第二章多項式函數

【108 課綱】第一冊單元 8 多項式的除法原理難易度：中

解：設 _{f x 除以}  _xⁿ _{ 的商式為  }₁ _q_n _{x 。由除法原理，得} f x 



xⁿ 1



q_n x r x_n 。 (1) ○：因為   f x  x1  q x₁ r x₁ ，所以  f 1 r₁ 1 。

(2) ╳：例如當  f x 



x²1



x³  時，  1



2 r x₂  不是一次式。 2 (3) ○：因為  f x 



x⁴ 1



q₄ x r x₄ 



x²1



x²1



q₄ x r x₄ ，

且  r x 的次數可能超過 2 次， ₄

所以 _{f x 除以}  _x² 的餘式等於  ₁ r x 除以₄ x² 的餘式， 1 即  r x 等於₂ r x 除以₄  x² 的餘式。 1

(4) ╳：例如當  _{f x} _



_x⁵   時，  _{1 1 2}



r x₅  ，  2 r x₆  f x ，此時  r x₅ r x₆ 。 (5) ╳：例如當  f x x⁵ 



x³1

 

x²  時，滿足x² _f _{  }_x _{f x} _，

但  r x₃  不滿足 x² r₃   x r x₃ 。故選(1)(3)。

(8)

6. 出處：【99 課綱】第二冊第三章機率

【108 課綱】第 4A 冊單元 7 條件機率與貝式定理、第 4B 冊單元 4 條件機率難易度：中

解：依題意，作樹狀圖如下：

上圖中的數字表被戳中的格號。利用上圖，討論如下。

(1) ○：

2

1 1

2 4

p      。

(2) ╳：

3 3

1 1 5 2 2 8 p       。 (3) ○：因為 ₁ 1

p  ，2 ₃ 5 p  ，8

4 2 2

4

1 1 1 9

2 2 2 16

p              ，所以 ₄ 1 ₁ 1 ₃ 2 2 p  p  p 。 (4) ○：因為

4 8

1 3

2 6 8 p       ，

4 10

1 1

2 4 4

p       ，所以p₈  p₁₀。

(5) ╳：

  ^ _ _ ^

4 2

1 1

3 4 2 2 5

3 4

4 9 9

16 P P

P

   

   

   

 戳中號且戳中號  

戳中號戳中號

戳中號。

(9)

7. 出處：【99 課綱】選修數學甲(下) 第二章多項式函數的微積分

【108 課綱】選修數學甲(上) 單元 4 函數性質的判定難易度：中

解： (1)╳：例如當 _f_ _x __x²_{ 時，}₂ _f_ _x _{不是遞增函數。}

(2) ○：因為x²1.1恆正，所以 _f_ _x _{恆正，因此} f x 是遞增函數。   (3) ╳：例如當   ¹ ⁴ ²

F x 12x  ，x     ¹ ³ ₂

F x  f x 3x  x時，滿足 _f_ _x __x²_{ }₂ _x²__1.1_，但因為   ¹ ³ ₂

F x 3x  x不是恆正，所以  F x 不是遞增函數。

(4) ╳：例如當   ¹ ³ ₂

f x  3x  x時，滿足 _f_ _x __x²_{ }₂ _x² __1.1_。但



 



² ¹ ³ ² ² ¹ ⁶ ⁴ ⁴ ⁴ ²

3 9 3

f x  x  x  x  x  x 的導函數2 ⁵ 16 ³

3x  3 x 8x不是恆正，

所以



^{f x} 



²^{不是遞增函數。}

(5) ○：函數 ^{f f x}



 



^{的導函數為} ^f^



^{f x}^{ }



^ ^f^^{ }^x ^。

因為 ^f^



^{f x} 



^ ^f^^{ }^x ^

 

^{f x}^{ }



²^^1.1



^ ^f^^{ }^x 對所有實數 x 均成立，

且



f x 



²1.1恆正、 _f_ _x _{恆正，所以} ^{f f x}



 



的導函數恆正，

因此 ^{f f x}



 



是遞增函數。

故選(2)(5)。

8. 出處：【99 課綱】選修數學甲(上) 第二章三角函數

【108 課綱】選修數學甲(下) 單元 4 複數的幾何意涵難易度：中

解：設z z z z 在複數平面上所對應的點分別為₁, , ,₂ ₃ ₄ A B C D 。 , , , (1) ╳：例如當z₁0,z₂ 2,z₃  3 i z, ₄   時， 1 i

四邊形 ABCD 為平行四邊形，如圖所示。

此時



z1z3



z2z4



  ^ 3 i^1    不是實數。 i^ 4 2i (2) ○：因為z₁ 所代表的向量z₂ BA



與z₃ 所代表的向量z₄ DC



互為反向量，

所以BA DC

  

  0

。

因此z₁  z₂ z₃ z₄  為實數。 0

(3) ╳：承(1)的例子，z₁  z₂ z₃ z₄   不是實數。 6 2i (4) ○：因為z₁ 所代表的向量 BAz₂



與z₃ 所代表的向量z₄ DC



互為反向量（長度相等、夾角 180），所以 ¹ ²  

3 4

1 cos180 sin180 1 z z

z z i

      

 為實數。

(5) ╳，承(1)的例子，

2 2 2

2 4 1 1 2 3 4

z z i   i   i

      

  不是實數。

(10)

三、選填題

A. 出處：【99 課綱】第三冊第一章三角

【108 課綱】第二冊單元 12 三角比的性質難易度：易

解：因為 愈大cos 的值愈小，所以 的對邊選最長邊 12，另兩邊選最短的兩邊 6,8。

利用餘弦定理，得cos 的最小值為⁶² ⁸² ¹²² ⁴⁴ ¹¹

2 6 8 96 24

 

   

  。

B. 出處：【99 課綱】第三冊第二章直線與圓

【108 課綱】第一冊單元 7 圓與直線的關係難易度：中

解：利用兩平行直線的距離公式，

得x  與y 0 x y 24的距離為  

2 2

0 24 24

2 12 2 1 1

   

 。

利用畢氏定理，得OR 12²4² 8 2，

因為OH 12 2 8 2 4 2  ，所以PH  12²



4 2



² 4 7。故PQ2PH 8 7。

C. 出處：【99 課綱】第三冊第三章平面向量

【108 課綱】第 3A 冊單元 8 平面向量、第 3B 冊單元 6 平面向量難易度：中

解：連接 AF 。利用向量的分解及分點公式，得 FE

  

AEAF

3 3 2

5AC 5AB 5AD

   

  

3 3 2 2

5AC 5 5DC 5AD





 

 



 

3 6 2

5AC 25 AC AD 5AD







  

 

3 6 6 2

5AC 25AC 25AD 5AD



   

  

9 4

25AC 25AD



 



。

故 9 4

25, 25

    。

(11)

第貳部分：非選擇題

一、出處：【99 課綱】第四冊第一章空間向量

【108 課綱】第 4A 冊單元 3 空間向量的運算難易度：難

解：設 2 1 3 3 AQ

  

 AB AC

，如圖所示。因為AB







1,0, 1



，AC







0,2,1



，所以AB

 

AC



2, 1,2



且 AB

 

AC  2²  1 ²2² 3

。

(1) 因為 AB AC

 



垂直平面 E，所以四面體 ABCH 以△ABC 為底面的高為^{3 AB AC}

  

^



。

又因為△ABC 的面積為1 3 2 AB

 

AC  2

，且 ³



^AB

   

^^AC



^³ ^AB^^AC ^⁹

，

所以四面體 ABCH 的體積 1 1 3 9

3 3 2 9 2

 底面積高     。

(2) 設H 的坐標為



^{x y z 。因為}^{, ,}



² ¹ ³

 

3 3

AH

      

 AQQH AB AC  ABAC

，所以



^, ^1, ¹



²

^

^{1,0, 1}

^

¹

^

^0,2,1

^{ }

^{3 2, 1,2}

^

^{16 7}^{, , 7}

3 3 3 3

x y z         

 。

解得 16 4

, , 8 3 3

x  y z  。故H 的坐標為 ^{16 4}, , 8 3 3

  

 

 。

(3) 因為 QH 



垂直平面 E，所以 Q 為H 在平面 E 的投影點。

由圖可知 Q 點不在△ABC 的內部。

(12)

二、出處：【99 課綱】選修數學甲(下) 第二章多項式函數的微積分

【108 課綱】選修數學甲(上) 單元 5 積分難易度：中

解： (1) 解

3 4 2 5

2

y x x x

y x

   

 

 ，兩式相減得_x³_₄_x²_₃_x_{ }₀ _{x x}



²_₄_x_{  }₃



₀ _{x x} _₁_x_{  。}₃ ₀ 解得x0,1,3。故與 L 的三個相異交點的 x 坐標為 0,1,3 。

(2) 從圖可知：與 L 所圍有界區域有兩塊。

利用曲線間的面積公式，得

所求 ¹

 

³ ²

 

³

 ^

³ ²

^ 

0 x 4x 5x 2x dx 1 2x x 4x 5x dx





   



  

   

1 3 2 3 3 2

0 x 4x 3x dx 1 x 4x 3x dx





  



  

1

4 3 2

0

1 4 3

4x 3x 2x

 

   

3

4 3 2

1

1 4 3

4x 3x 2x

 

     5 8 37

12 3 12

   。

(3) 解

3 4 2 5

y x x x

y mx

   

 

 ，兩式相減得x³4x²5m x  0 x x



²4x5m



 。 0 得x0或x²4x 5 m 。因為在0 x0的範圍內，與 L 有三個相異交點，

所以x²4x 5 m 有兩個相異正根，因此0

 4 ² 4 1 5  0 4 0

0

D m

m

       

 

  



兩根之和兩根之積 5

1 5 m m

 

   ，

得1 m 5。故a1,b 。 5

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）