第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

(1)

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占18 分）

說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

( )1. 已知45    50 ，且設a 1 cos²、 1 cos cos

b 

   、 tan₂ tan 1

c 

 

 。關於 a、b、c 三個 數值的大小，試選出正確的選項。

(1)a b c  (2)a c b  (3)b a c  (4)b c a  (5)c a b 

( )2. 有 A、B 兩個箱子，其中 A 箱有 6 顆白球與 4 顆紅球，B 箱有 8 顆白球與 2 顆藍球。現有 三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）：

（一）先在A 箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從 B 箱中抽取一球；

（二）先在B 箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從 A 箱中抽取一球；

（三）同時分別在A、B 箱中各抽取一球。

給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得50 元獎金；若只抽到藍球得 100 元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得100 元獎金；若都沒抽到，則無獎金。將上列（一）、

（二）、（三）這3 種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為E 、₁ E 、₂ E ，試選出正確的選₃ 項。

(1)E₁E₂ E₃ (2)E₁ E₂ E₃ (3)E₂ E₃E₁ (4)E₁E₃ E₂ (5)E₃ E₂ E₁ ( )3. 根據實驗統計，某種細菌繁殖，其數量平均每 3.5 小時會擴增為 2.4 倍。假設實驗室的試管

一開始有此種細菌1000 隻，根據指數函數模型，試問大約在多少小時後此種細菌的數量會到達4 10 ¹⁰隻左右？（註：log 2 0.3010 ，log3 0.4771 ）

(1) 63 小時 (2) 70 小時 (3) 77 小時 (4) 84 小時 (5) 91 小時

(2)

二、多選題（占40 分）

說明：第 4 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，

該題以零分計算。

( )4. 在坐標平面上，設 O 為原點，且 A、B 為異於 O 的相異兩點。令C 、₁ C 、₂ C 為平面上三個₃ 點，且滿足OC

  

_n OA nOB

，n1, 2, 3，試選出正確的選項。

(1)OC

 

₁  0

(2)OC₁ OC₂ OC₃

(3)OC OA OC OA OC OA

     

₁  ₂  ₃

．．．

(4)OC OB OC OB OC OB

     

₁  ₂  ₃

．．．

(5)C 、₁ C 、₂ C 在同一直線上 ₃

( )5. 對一實數 a，以

 

^a ^{表示不大於}a 的最大整數，例如：

 

^1.2 ^^_ ²^_^¹^，



^^1.2



^{ }²^。考慮無

理數  10001，試選出正確的選項。

(1)^a^{ }¹

 

^a ^^a^{對任意實數}^{a 均成立}

(2)數列

 

n

b n n

  發散，n 為正整數

(3)數列

 

n

c n

n



  發散，n 為正整數

(4)數列d_n n n

 

   發散，n 為正整數 (5)數列e_n n

n



 

   發散，n 為正整數

( )6. 設  F x 、  f x 皆為實係數多項式函數。已知F x  f x ，試選出正確的選項。

(1)若a0，則       0 0^a

F a F 



f t dt

(2)若  F x 除以x 的商式為  Q x ，則  Q 0  f  0

(3)若  f x 可被x1整除，則  _{F x} __F ₀ 可被 x1²整除 (4)若對所有實數 x，  

2

F x  x 都成立，則對所有實數x，  f x  也都成立 x

(5)若對所有x0，  f x  都成立，則對所有x x0，  

2

F x  x 也都成立

(3)

( )7. 在複數平面上，設 O 為原點，且 A、B 分別表示坐標為複數 z、z 的點。已知點 A、點 B1 都在以O 為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。

(1)直線 AB 與實數軸平行 (2)△OAB 為直角三角形 (3)點 A 在第二象限 (4)z³  1

(5)坐標為 1

1 的點也在同一單位圓上 z

( )8. 設二階實係數方陣 A 代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足 ³ 0 1 A  1 0 

  ；另設二階實係數

方陣B 代表坐標平面的一個（以原點為中心的）旋轉變換且滿足 ³ 1 0 0 1 B  

   ，試選出正確的選項。

(1) A 恰有三種可能 (2) B 恰有三種可能 (3)AB BA

(4)二階方陣 AB 代表坐標平面的一個旋轉變換 (5) 1 0

BABA 0 1

  

  三、選填題（占18 分）

說明： 1.第 A 至 C 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（9–19）。

2.每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 在坐標空間中，設O 為原點，且點 P 為三平面x3y5z 、0 x3y2z 、0 x y t  的交點，其中t0。若OP10，則t

⑨ ⑩ ⑪

^。（化成最簡根式）

B. 考慮坐標平面上相異三點A、B、C，其中點 A 為

 

1, 1 。分別以線段AB 、AC為直徑作圓，此兩圓交於點A 及點^P



^{4, 2}



^。已知^PB^^{3 10}^且點B 在第四象限，則點 B 的坐標為

 ^⑫

^,

^{⑬ ⑭} 

^。

C. 有一個三角形公園，其三頂點為O、A、B，在頂點 O 處有一座 150 公尺高的觀景台，某人站在觀景 台上觀測地面上另兩個頂點A、B 與 AB 的中點 C，測得其俯角分別為 30、60、45。則此三角形 公園的面積為

⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲

^{平方公尺。}^{（化成最簡根式）}

(4)

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題號

（(1)、(2)、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題末。

一、坐標平面上，由A、B、C、D 四點所決定的「貝茲曲線」（Bézier curve）指的是次數不超過 3 的多 項式函數，其圖形通過A、D 兩點，且在點 A 的切線通過點 B，在點 D 的切線通過點 C。令y f x  是由^A



^{0, 0}



^、^B

 

^{1, 4} ^、^C

 

^{3, 2} ^、^D



^{4, 0}



四點所決定的「貝茲曲線」，試回答下列問題。

(1)設y f x 的圖形在點D 的切線方程式為 y ax b  ，其中 a、b 為實數。求 a、b 之值。（2 分）

(2)試證明多項式  f x 可以被x² 4x所整除。（2 分）

(3)試求  f x 。（4 分）

(4)求定積分 ⁶  

2 8f x dx



^之值。^{（4 分）}

二、一個邊長為 1 的正立方體 ABCD-EFGH，點 P 為稜邊CG的中點，點 Q、R 分別在稜邊 BF 、 DH 上，且A、Q、P、R 為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。

今設定坐標系，使得D、A、C、H 的坐標分別為



^{0, 0, 0 、}

 

^{1, 0, 0 、}

 

^{0, 1, 0 、}

 

0, 0, 1 ，且 BQ t



 ，試回答下列問題。

(1)試求點 P 的坐標。（2 分）

(2)試求向量 AR



（以t 的式子來表示）。（2 分）

(3)試證明四角錐 G-AQPR 的體積是一個定值（與 t 無關），並求此定值。（4 分）

(4)當 1

t 時，求點 G 到平行四邊形 AQPR 所在平面的距離。（4 分） 4

(5)

試題大剖析

桃園高中／陳清風

答案

第壹部分：選擇題一、單選題

1. (5) 2. (3) 3. (2) 二、多選題

4. (4)(5) 5. (1)(5) 6. (1)(2) 7. (1)(4)(5) 8. (2)(5) 三、選填題

A. 4 10 B.



^{7, 7}^{ C.}



^{7500 2}

第貳部分：非選擇題

一、(1)a 2,b (2)見詳解 (3)  8



² ₄



¹ ₁

f x  x  x 8x  (4) 56 二、(1) 1

0, 1, 2

 

 

  (2) 1 1, 0,

2 t

  

 

  (3)見詳解 (4) 2 3

解析

第壹部分：選擇題一、單選題

1. 出處：第三冊第一章三角難易度：易

解：利用三角恆等式，得

2 2

1 cos sin a     ，

2 2

1 1 cos sin cos cos cos cos

b   

  

     ，

2 2

tan tan sin

tan cos cos sin cos

1 tan sec cos

c        

  

       

 。

因為45    50 ，所以

①a cos 1

b      。 a b

② sin

tan tan 45 1 cos

a a c

c

 

        。綜合①、②，得c a b  。

故選(5)。

(6)

2. 出處：選修數甲(上) 第一章機率與統計難易度：易

解：① 計算E ： ₁

取球紅 白，白 白，藍 X 50 0 100 P ⁴

10

6 8

10 10 6 2 10 10

得 ₁ 4 48 12

50 0 100 20 0 12 32 10 100 100

E           （元）。

② 計算E ： ₂

取球藍 白，白 白，紅

X 100 0 50 P 2

10

8 6

10 10 8 4 10 10

得 ₂ 2 48 32

100 0 50 20 0 16 36 10 100 100

E           （元）。

③ 計算E ： ₃

取球白白紅白白藍紅藍

X 0 50 100 100

P 6 8

10 10 4 8

10 10 6 2

10 10 4 2 10 10

得 ₃ 48 32 12 8

0 50 100 100 0 16 12 8 36 100 100 100 100

E              （元）。綜合①、②、③，得E₂ E₃E₁。

故選(3)。

3. 出處：第一冊第三章指數、對數函數難易度：中

解：設經 t 小時後細菌數量到達4 10 ¹⁰隻。

依題意，得1000 2.4^3.5 4 10¹⁰ 2.4^3.5 4 10⁷

t t

      。

等號兩邊取對數，得 log 2.4 7 log 4 3.5

t   ，解得



^{7 log 4}



^3.5



^{7 2log 2}



^3.5

log 2.4 3log 2 log3 log10

t    

 

 

7.6020 3.5 26.607 0.9030 0.4771 1 0.3801 70

   

  。

故選(2)。

(7)

二、多選題

4. 出處：第三冊第三章平面向量難易度：中

解：(1) 錯。例如：若^A

 

^{1, 0} ^、^B



^^{1, 0}



^，則^OC

   

₁^^{OA OB}^ ^ ⁰

。 (2) 錯。例如：若^A



^{4, 0}



^、^B



^^{1, 0}



^，則

^OC

  

₁^^{OA OB}^ ^

 

^{3, 0}

，^OC

  

₂ ^^OA^²^OB^



^{2, 0}



，^OC

  

₃ ^^OA^³^OB^

 

^{1, 0}

。得OC₁ OC₂ OC₃。

(3) 錯。承(2)，得

^{OC OA}

 

₁ ^

  

^{3, 0} ^{4, 0}



^¹²

．．，^{OC OA}

 

₂ ^



^{2, 0}

 

^{4, 0}



^⁸

．．，^{OC OA}

 

₃ ^

  

^{1, 0} ^{4, 0}



^⁴

．．，

得OC OA OC OA OC OA

     

₁  ₂  ₃

．．．。

(4) 因為

 

²

OC OB

       

1  OA OB OB OA OB   OB

．．．，

 

²

2 2 2

OC OB

       

 OA OB OB OA OB  OB

．．．，

 

²

3 3 3

OC OB

       

 OA OB OB OA OB  OB

．．．，

所以OC OB OC OB OC OB

     

₁  ₂  ₃

．．．。

(5) 因為

   

1 2 2 1 2

C C

       

OC OC  OA OB  OA OB OB

，

   

1 3 3 1 3 2

C C

       

OC OC  OA OB  OA OB  OB

，所以C C

 

_{1 2} //C C_{1 3}

。因此C 、₁ C 、₂ C 在同一直線上。 ₃ 故選(4)(5)。

5. 出處：選修數甲(下) 第一章極限與函數難易度：中

解：(1) 根據

 

^a ^{的定義，得知}^a^{ }¹

 

^a ^^a^。

(2) 因為ⁿ^ ^{ }¹

 

ⁿ^ ^ⁿ^ ^，所以ⁿ ¹

 

ⁿ

n n

 ^    。 

根據夾擠定理，因為 1

lim lim

n n

  

 

   ，所以_lim

 

n

n n

 

  。

因此數列

 

n

b n n

  收斂。

(8)

(3) 因為^ⁿ^ ^{  }¹



ⁿ^



^{ }ⁿ^^，所以 ⁿ ¹



ⁿ



n n

 ^  

 

   。

根據夾擠定理，因為 1  

lim lim

n n

  

 

 

    ，所以_lim

 

n

n n

 



   。

因此數列

 

n

c n

n



  收斂。

(4) 因為100  101，所以100 101 n n n

  。

當n101時， 0 n

  

   ，得lim 0

n n

n



      。因此數列d_n n

n

 

   收斂。

(5) 因為100  101，所以 101 100

n n n



    。

當n101時， 1 n



   

 

  ，得lim lim 

n n n n

n



 

    

 

  不存在。

因此數列e_n n n



 

   發散。

故選(1)(5)。

6. 出處：選修數甲(下) 第二章多項式函數的微積分難易度：中

解：(1) 根據微積分基本定理，得知此選項正確。

(2) 設  F x a x_n ⁿ a x_n_₁ ⁿ^¹a x a₁  ₀為n 次多項式。

因為F x  f x ，所以  f x na x_n ⁿ^¹n1a x_n_₁ ⁿ^²2a x a₂  ₁。根據除法原理，因為  



¹ 1 ² 1



0

n n

F x x a x． ^ a x_ ^ a a ，所以  Q x a x_n ⁿ^¹a x_n_₁ ⁿ^² a₁。

因此  Q 0  f 0  。 a₁

(3) 錯。例如：若  F x x²2x3，則  f x 2x 。 2

雖然  f x 可被x1整除，但  _{F x} __F ₀ __x²_₂_x不可被 x1²整除。

(4) 錯。例如：若  F x x²，則  f x 2x。雖然  

2

F x  x 恆成立，但當x0時，  f x  不成立。 x

(5) 錯。例如：若  F x x²3，則  f x 2x。

當x0時，雖然  f x  都成立，但  x ² 2

F x  x 不會都成立（如x1時）。故選(1)(2)。

(9)

7. 出處：選修數甲(上) 第二章三角函數難易度：中

解：(1) 因為點  A z 向右平移 1 單位到達點 B z ， 1 所以AB 且直線 AB 與實數軸平行， 1

如圖一、圖二所示。

(2) 因為OA OB  AB1，所以△OAB 為正三角形。

(3) 點 A 在第二或第三象限。

(4) 因為zcos120 isin120或cos 240 isin 240，所以z³ cos360 isin 360 或cos720 isin 720。因此z³  。 1

(5) 因為 1 1

1 1 z z

   

   

1 cos 120 isin 120

       或_{1 cos 240}_ _ _{ } _i_{sin 240}_ _，

1 3

1  2  2 i

     

    或1 ¹ ³ 2 2 i

 

  

  1 3

2 2 i

  或1 3 2 2 i，所以 1 1 3

1 1

4 4

 z    ，即坐標為 1

1 的點也在同一單位圓上。 z 故選(1)(4)(5)。

8. 出處：第四冊第三章矩陣難易度：中

解：(1) 因為一個點連續鏡射變換二次其坐標不變，所以A²  。 I 因此A³ A A IA A²   ，得 0 1

A  1 0 

  。

(2) 因為 ³ 1 0 cos180 sin180 0 1 sin180 cos180 B      

       ，且180 , 540 , 900   為同界角，

所以 cos60 sin 60 sin 60 cos60 B    

   ， cos180 sin180 sin180 cos180

  

 

   

 或 cos300 sin 300 sin 300 cos300

  

 

  

 。

(10)

(3) 當 cos 60 sin 60 sin 60 cos 60 B    

   時，

1 3 3 1

0 1 2 2 2 2

1 0 3 1 1 3

2 2 2 2

AB

   

  

   

      

       

，

1 3 3 1

0 1

2 2 2 2

3 1 1 0 1 3

2 2 2 2

BA

   

 

     

   

   

 

   

   

，

此時AB BA 。

(4) 承(3)，因為 AB 不能改寫成 cos sin sin cos

 

  

 

 的形式，所以AB 不是旋轉變換。

(5) 令 60 , 180  或 300。

因為 cos sin 0 1 sin cos sin cos 1 0 cos sin

BA    

   

  

     

         ，

所以 sin cos sin cos 1 0

cos sin cos sin 0 1

BABA    

   

 

     

         。故選(2)(5)。

三、選填題

A. 出處：第四冊第二章空間中的平面與直線難易度：易

解：解聯立方程式

3 5 0

3 2 0

x y z x y z x y t

  

   

  



，得 3 1

, , 0

4 4

x t y t z  ，即 3 1 , , 0 P4 4t t 

 

 。

因為OP10，所以 ⁹ ² ¹ ² 0 10 ¹⁰ ² 100 ² 160 16t 16t   16t   t ，又因為t 0，所以t4 10。

B. 出處：第三冊第三章平面向量難易度：中

解：因為直徑的圓周角為直角，所以PB



與AP





 

3, 1

垂直。

因此可設^PB



^



^t^{, 3}^ ^t



。

因為PB3 10，所以 t²9t² 3 1010t² 90 t² 9，解得t 3，即^PB



^



^{3, 9}^



或



^^{3, 9}



^，

再得B 點的坐標為



^{7, 7}^{ 或}

 

^{1, 11 。}



 

(11)

C. 出處：第三冊第一章三角難易度：中

解：設h150，則 3 , , 3

OA h OB h OC h 。

在圖二中，利用餘弦定理，得

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 8 2

4 3 4

3 3 3 3

cos 2 2 2 1 2

3 3

h h h h

x h x h x x

B h h

x x

       

   

   

2 2

2 2 2 2

4 8 2

2 4

3 3 3

h h

x x x h

        ，

解得 6

x 3 h。再利用餘弦定理，得

2

2 2

2 3 3

cos 0

2 6 3 3 h h h

B h

h

 

 

 

，即ABO 90 。

故△ABO 的面積為1 1 2 6 2 ²

2 7500 2

2 3 2 3 3 3

h h

x h h

       （平方公尺）。

(12)

第貳部分：非選擇題

一、出處：選修數甲(下) 第二章多項式函數的微積分難易度：中

解：(1) 由題意得知，過 D 點的切線為直線 CD。

利用點斜式，得直線 CD 為 0 2 

0 4

y  4 3 x

 ，即y   。 2x 8 故a 2,b 。 8

(2) 因為圖形通過^A



^{0, 0}



^與^D



^{4, 0}



^{，所以  }^f ⁰ ^^0, ^f ^{ }⁴ ^{ 。}⁰

根據因式定理的推廣，得知 _x_₀_x_₄__x²_₄_x是  f x 的因式。

因此  f x 可以被x²4x所整除。

(3) 設  f x 



x² 4x mx n



  ，則 _{f x}   ₂_x₄_{mx n} 



_x² ₄_x



 。 _m 因為 f  0  直線 AB 的斜率 4 0

1 0 4

  

 ， f  4  直線 CD 的斜率 0 2

4 3 2

   

 ，所以  

4 0 4 1

16 4 2

4 4 0 2

n n

m n m n

    

 

        

 ，

解得 1

, 1

m8 n  。故  



² ₄



¹ ₁

f x  x  x 8x 。

(4) 函數8f x 



x² 4x x



 8x x 4x 的正、負值如下圖。 8

故 ⁶   ⁴   ⁶  

2 8f x dx 2 8f x dx 4 8f x dx

  

   

4 6

28f x dx 4 8f x dx





 



   

4 3 2 6 3 2

2 x 12x 32x dx 4 x 12x 32x dx





  



 

4 6

4 3 2 4 3 2

2 4

1 1

4 16 4 16

4x x x 4x x x

   

       

   

_{64 36} _{36 64}

   

56。

(13)

二、出處：第四冊第二章空間中的平面與直線難易度：中

解：(1) 因為 P 為CG的中點，所以P 點的坐標為 1 0, 1,

2

 

 

 。 (2) 因為 BQ t ，所以^Q



^{1, 1,}^{t 。}



又因為AQPR 為平行四邊形，所以 1

1, 0, AR QP   2t

 

 

。 (3) 因為



^{0, 1,}



^{1, 0,}¹

AQ AR  t   2t

 

 

1 0 0 1

, ,

1 1 1 0

0 1

2 2 t t

t t

 

 

       1 , , 1

2 t t

 

   ，

所以平行四邊形AQPR 的面積為 1 ²  ² ² 2 1

AQ AR  t t

        

 

  

。 又因為平面 AQPR 的一個法向量為 AQ AR

 



且通過點A，

所以其方程式為 1 1

2 t x ty z 2 t

      

 

  。

利用點到平面距離的公式，得點^G



^{0, 1, 1}



^到平面^{AQPR 的距離為}

2  

2 2

1 1

0 1

2 2 1

1 2 2 1

t t

d

t t

   

  

     

 

 

 

^。

故四角錐G-AQPR 的體積為1 1 1 1 3    



d 3

 

2 6^，是一個定值，與t 無關。

(4) 承(3)，因為 1

t ，所以4

2 2

2

1 1

2 2 2

3 2 3

1 1

1 4

4 4

d   

     

   

   

。

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）