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B1-2-2 無窮等比級數與循環小數

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本節介紹數列的極限,無窮等比級數及其應用(循環小數)。

數列的極限

k /Nlim

c Ga

_k

= c Glim

k /N

a

_k

•

k /Nlim

a

_kGb_k = lim

k /N

a

_kGlim

k /N

b

_k

•

k /Nlim

a

_k# b_k = lim

k /N

a

_k# lim

k /N

b

_k

•

k /Nlim

a

_k

b

_k =

k /Nlim

a

_k

k /Nlim

b

_k 分母 lim

k /N

b

_ks 0

•

無窮等比級數 當 r ! 1時, lim

k/N

r

^k= 0 (收斂)

•

k = 1

>

N

a

_k=

lim

k /N

S

_k

•

首項為a,公比為r的無窮等比級數之和為

k = 1

>

N

a$r

^{k K 1}=

a 1 Kr

•

0.

a

=

a

9

0.ab=

ab

99

0.abc=

abc

•

999

0.abc=

abc K a

990 a.bcd

=

abcdKab

•

990

1 數列的極限

•

2 無窮等比級數

•

1 數列的極限

重點

數列的極限 數列 a_k ,越後面的項(當k值愈來愈大時),在數線上有"愈來愈接近某個 數值L"的趨勢,亦即當k

趨近

N時,a

_k

趨近

L),稱"數列 a

_k 的極 限(Limit)是L",記為

lim

k /N

a

_k

= L

•

[註]：lim是Limit的縮寫

k

愈大,

a

_k愈靠近

L k

愈大, 儘管左右跳動,

a

_k仍然是愈靠近

L

每個數列不一定都有極限。即使有,也只有一個。

• 數列與極限的 關係

一個有極限的無窮數列稱為"收斂數列",反之,一個數列若"極限不存在 (沒有極限)",便稱為"發散數列".

[例1]: lim

k /N

1

k

= 0 0

1

k

為收斂數列 [例2]: lim

k /N

k = N

0 k 為發散數列

•

極限的性質 lim

k /N

c Ga

_k

= c Glim

k /N

a

_k

•

k /Nlim

a

_kGb_k =

lim

k /N

a

_k

Glim

k /N

b

_k

•

k /Nlim

a

_k# b_k =

lim

k /N

a

_k

# lim

k /N

b

_k

•

k /Nlim

a

_k

b

_k =

k /N

lim a

_k

k /N

lim b

_k 分母 lim

k /N

b

_ks 0

•

例題

例題1A 數列的極限

老師講解 學生練習

試求數列 3

k

的極限 試求數列 1

2k 的極限

[簡答] :

0

例題1B 數列的極限

老師講解 學生練習

試求數列 3 2 K1

2k 的極限

例題2A 數列的極限

老師講解 學生練習

試求數列 1 2^k

的極限 試求數列 1

3^k 的極限

[簡答] :

0

例題2B 數列的極限

老師講解 學生練習

試求數列 1 C 1

2^k 的極限 試求數列 2 C K1 4

k

的極限

[簡答] :

2

例題3 數列的極限

老師講解 學生練習

試求數列

k K1

k

的極限

例題4A 數列的極限(發散數列)

老師講解 學生練習

試求數列 2^k 的極限 試求數列 3

2

k

的極限

[簡答] :

極限不存在

例題4B 數列的極限(發散數列)

老師講解 學生練習

試求數列 1 C2^k 的極限 試求數列 1 C K1 3

k

的極限

[簡答] :

極限不存在

例題5 數列的極限(跳動數列)

老師講解 學生練習

試求數列 K1 ^{k C 1}

k

的極限 試求數列 7$ K1

3

nK1

的極限

[簡答] :

0

例題6A 數列的極限(跳動收斂數列)

老師講解 學生練習

試求數列 K1 2

k

的極限 試求數列 K1

4

k

的極限

[簡答] :

0

例題6B 數列的極限(跳動收斂數列)

老師講解 學生練習

試求數列 2 C K1 4

k

的極限 試求數列 1 C K1

3

k

的極限

[簡答] :

1

例題7 數列的極限(跳動發散數列)

老師講解 學生練習

試求數列 K3 2

k

的極限

2 無窮等比級數

2-1 無窮等比數列

重點

無窮等比數列 的極限

k/limN

r

^k=

極限不存在

r O 1

1 r = 1

0

0 ! r ! 1

0 r = 0

0

K1 ! r ! 0 極限不存在

r = K1

極限不存在

r ! K1

0當 r ! 1時, lim

k/N

r

^k= 0

•

當 r ! 1時, lim

k/N

r

^k= 0 (收斂)

•

當 r O 1時, lim

k/N

r

^k發散(極限不存在)

•

說明

證明: lim

k /N

r

^k

r的範圍 說明 圖解

r O 1

(以r =

2為例) r

^k =

2

^k = ..., 2^N = ..

.,N

k /Nlim

r

^k= lim

k /N

2

^k=

2

^N=N

r = 1

(以r =

1為例) r

^k =

1

^k = ..., 1^N = ..

.,

1

k /Nlim

r

^k= lim

k /N

1

^k=

1

^N=

1

0 ! r ! 1 (以r =

1

2

為例)

r

^k =

1 2

k

= ..., 1

2

N

= ...,

0

k /Nlim

r

^k= lim

k /N

1 2

k

=

1 2

N

=

0

r的範圍 說明 圖解

r = 0

(以r =

0為例) r

^k =

0

^k = ..., 0^N = ..

.,

0

k /Nlim

r

^k= lim

k /N

0

^k=

0

^N=

0

K1 ! r ! 0 (以r =

K 1

2

為例)

r

^k =

K 1 2

k

= ..., K1

2

N

= ...,

0

k /Nlim

r

^k= lim

k /N

K 1 2

k

=

K 1

2

N

=

0 r = K1

(以r = K1為例)

r

^k =

K1

^k = ..., K1

N = ...,

1或K1

k /Nlim

r

^k= lim

k /N

K1

^k=

1或K1

=

極限不存在

r !K1

(以r =

K2為例) r

^k =

K2

^k = ..., K2

N = ...,N

k /Nlim

r

^k= lim

k /N K

2

^k

=

2

^N或 K2 ^N=N

筆記(Note)

•

例題

例題8A 無窮等比數列的極限 0 !r !1

老師講解 學生練習

試求 lim

k /N 0.99 ^k=?

例題8B 無窮等比數列的極限 K1 !r !0

老師講解 學生練習

試求 lim

k /N K0.8 ^k=?

例題8C 無窮等比數列的極限 r O1

老師講解 學生練習

試求 lim

k /N 1.1 ^k=?

例題8D 無窮等比數列的極限 r !K1

老師講解 學生練習

試求 lim

k /N K3 ^k=?

例題9 無窮等比數列的極限 0 !r ! 1

老師講解 學生練習

試求 lim

k /N 5 # 9 10

k

=? 試求 lim

k /N 7 # K1 3

k

=?

[簡答] :

0

例題10 無窮等比數列的極限應用

老師講解 學生練習

試求 lim

k /N

2^kC3^k 6^k =?

2-2 無窮等比級數

重點

無窮等比級數

k = 1

>

N

a

_k=

lim

k /N

S

_k

•

首項為a,公比為r的無窮等比級數之和為_{k = 1}

>

^N

^a$r

^{k K 1=}

1 Kr ^a

•

說明

證明: _{k = 1}

>

^N

^a

^{k=k /N}

^{lim S}

^k

由左圖可看出：

以 _{k = 1}

>

^{N 1}2

kK1

為例...

S₁= 1 =1 S₂= 1 C 1

2 = 1 1 2 =1.5 S₃= 1 C 1

2 C 1

4 = 1 3 4 =1.75 S₄= 1 C 1

2 C 1 4 C 1

8 = 17

8 =1.875

S4= 1 C 1 2 C

1 4 C

1 8 C

1 16 = 1

15

16 =1.9375z2

«

代表... _{k = 1}

>

^{N 1}2

kK1

= lim

k /NS

k=2

例題

例題11A 無窮等比級數 0 ! r !1

老師講解 學生練習

試求無窮等比級數 1 C

1

2

C 1

4 C...的和

試求無窮等比級數1 C

2 3

C 4

9 C...的和

[簡答] :

3

例題11B 無窮等比級數 K1 !r !0

老師講解 學生練習

試求無窮等比級數 1

K 2

3

C 4 9 K 8

27 C...的和

試求無窮等比級數 1

K 1

2

C 1 4 K 1

8 C...的和

[簡答] :

2 3

例題11C 無窮等比級數

老師講解 學生練習

試求無窮等比級數_{k = 1}

>

^N ₂^1kK₃^{1k 的和}

例題12 無窮等比級數(發散)

老師講解 學生練習

試求無窮等比級數 1 C

3

2

C 9

4 C...的和

試求無窮等比級數 1

K 3

2

C 9

4 K 27

8 C...的和

[簡答] :

無法求和

例題13 無窮等比級數應用

老師講解 學生練習

一皮球自離地面10公尺高處落下,每次 返跳高度為其落下時高度的 2

5 ,求此球 自落下到靜止所經過的總距離

一皮球自離地面30公尺高處落下,每次返 跳高度為其落下時高度的 1

3 ,求此球自落 下到靜止所經過的總距離

[簡答] :

60公尺

例題14* 無窮等比級數應用

老師講解 學生練習

如下圖, 已知一正方形S₁的邊長為4, 以 其各邊中點為頂點連成的四邊形S₂也是 正方形, 如此繼續下去, 得到一系序列 的正方形S₁, S₂, S₃,... ,求這些正方形的 面積總和

如下圖,已知正三角形A₁

B

₁

C

₁的邊長為30公 分,以各邊中點為頂點之三角形A₂

B

₂

C

₂也是 正三角形,如此繼續下去,得到一系列的正 三角形A₁

B

₁

C

₁, A₂

B

₂

C

₂, A₃

B

₃

C

₃,_....,求這些正 三角形的面積總和

[簡答] :

300 3

2-3 無窮等比級數之應用

2-3-1 循環小數

重點

循環小數 • 具有循環現象的小數,稱為"循環小數"

從小數點後第一位便開始循環的小數,稱為"純循環小數"

0.a =

a

9

0.ab=

ab

99

0.abc=

abc 999

•

從小數點後第二位以後才開始循環的小數,稱為"混循環小數"

0.abc=

abc K a

990 a.bcd

=

abcdKab 990

•

例題

例題15A 循環小數(純循環)

老師講解 學生練習

將循環小數0.5化成分數 將循環小數0.2化成分數

[簡答] :

2 9

例題15B 循環小數(純循環)

老師講解 學生練習

將循環小數0.12化成分數 將循環小數0.23化成分數

[簡答] :

23 99

例題16A 循環小數(混循環)

老師講解 學生練習

將循環小數0.235化成分數 將循環小數0.037化成分數

[簡答] :

37 990

例題16B 循環小數(混循環)

老師講解 學生練習

將循環小數2.015化成分數 將循環小數3.251化成分數

[簡答] :

3 249

990