本節提要

(1)

B1-3-1 多項式的四則運算

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本節介紹n次多項式的定義與相關名詞及多項式的四則運算。

多項式的定義及其性質

若f x = a_n

x

ⁿCa_{n K 1}

x

^{n K 1}C...Ca₁

x Ca

₀

f 0

=

a

₀ (常數項)

•

f 1

= a_nCa_{n K 1}C...Ca₃

Ca

₂

Ca

₁

Ca

₀ (各項係數總和)

•

f K1 = a_n K1 ⁿCa

n K1 K1 ^{n K1}C...Ka₃Ca

2

Ka1C a

0

(偶奇次項係數差)

•

f 1 Cf K1

2

=...Ca₄Ca₂Ca₀ (偶次項係數和)

•

f 1 Kf K1

2

=...Ca₅Ca₃Ca₁ (奇次項係數和)

•

多項式的四則運算

設f x , g x 為二多項式,已知 deg f x O deg g x 且g x s 0

零多項式

則 f x

被除式= g x

除式 # q x

商式 Cr x

餘式 且 r x = 0 或

deg r x ! deg g x

•

1 多項式的定義及其性質

•

2 多項式的四則運算

•

(2)

1 多項式的定義及其性質

重點

多項式的定義 每一個x的一元多項式(Polynominal)都可以寫成

f x = a

_n

x

ⁿCa_{n K 1}

x

^{n K 1}C...Ca₁

x Ca

₀,其中

•

其中n為正整數或零, 且a_n, a_{n K 1},..., a₁, a₀2 R

(1)a_n

x

ⁿ, a_{n K 1}

x

^{n K 1},..., a₂

x

², a₁

x, a

₀分別為此多項式的n次項,n K1次項,...,,2次 項,1次項及零次項(常數項)。

(2)a_n, a_{n K 1},..., a₂, a₁,

a

₀分別叫做xⁿ, x^{n K 1},..., x², x¹, x⁰的「係數」, 其中a_n稱為「首項係數」。

(3)a_ns 0時,n叫做多項式f x 的「次數」,以符號degf x = n表示, 稱f x 為

n次多項式,

[例如]: 2x³C5 x K4是x的3次多項式,其3次項係數為2, 2次項係數為0(缺項) , 1次項係數為5, 常數項為K4

多項式的種類 • 只含一個未知數的多項式叫「一元多項式」。

含有多個(一個以上)未知數的多項式叫「多元多項式」。

•

僅含常數項的多項式叫「常數多項式」。其中,常數項不為零的常數多項式又稱「零次多項式」。反之,常數項為零的常數多項式則稱「零多項式」。

[例如]: 3 = 3 #

1

= 3 # x⁰為零次多項式

0 = 0 # 1

= 0 # x⁰= 0 # x¹= 0 # x²=...為零多項式

•

多項式的排序多項式的排序分為兩種:

(1)將多項式的每一項, 按照x的次方, 由高而低排序,稱為「降次排 序」。

[例如]：4 x⁵

K5 x

⁴

Cx

³

K2 x

²

K3 x C3

(2)將多項式的每一項, 按照x的次方, 由低而高排序,稱為「升次排 序」。

[例如]：3 K3 x K2 x²

Cx

³

K5 x

⁴

C4 x

⁵

•

多項式相等 若兩多項式f x 與g x 的次數相同且同次項的係數都相等, 則稱「

f x 與g x 相等」, 以f x = g x

表示

•

多項式係數與函數值的關係

f 1 C f K1

2

=...Ca₄Ca₂Ca₀ (偶次項係數和)

•

f 1 K f K1

2

=...Ca₅Ca₃Ca₁ (奇次項係數和)

•

(3)

例題

例題1 多項式的係數

老師講解學生練習

已知

ax

⁵Kx⁴Cx²Kx C2 C bx⁴K2x C1 是x的二次多項式,求a, b之值．

例題2 多項式的排序

將P x = 3 K2x²C4x⁵K3 x Cx³K5 x⁴ (1)依降次重新排序

(2)依升次重新排序

將P x = 3x⁷K4x²Cx⁵K6 x C9 Kx³ (1)依降次重新排序

(2)依升次重新排序

³Ccx²K2x Cd.

若f x 與g x 是相等的多項式, 則數對

a, b, c, d)=?

設a, b, c, d為實數, 且

f x =K2x

²Kax C b C4 ,g x = c C3 x³ Cdx²C5 x K3.若f x 與g x 是相等的 多項式, 則數對 a, b, c, d =?

[簡答] :

a, b, c, d = K5,K7,K3,K2

(4)

例題4A 多項式的係數

求

x

⁴C2x³C3x²C4x C5 5x⁴C4x³ C3x²C2x C1

中x⁴項的係數

求

x

⁴C2x³C3x²C4x C5 5x⁴C4x³C3x² C2x C1

中x⁷項的係數

[簡答] :

14

試一下 歷屆考題1

已知二多項式P x = 1 C2x C3x²C...C10x⁹C11x¹⁰=

>

_{i = 0}¹⁰

^{i C1 x}

ⁱ^與

Q x = 1 C3x

²C5x⁴C...C9x⁸C11x¹⁰=

>

_{i = 0}⁵ ^{2i C1 x}²ⁱ.則P x 和Q x 的乘積中,x⁹的 係數為______ [84學測]

[

簡答] :

110

例題4B 多項式的係數

若 x³Cax C2 2x Ca 的展開式中,

x

³項的係數為9,求a之值

(5)

例題5 多項式係數與函數值的關係

設多項式

f x = x C2 x

³Cx²K2 x C1 ³, 求 (1)各項係數總和

(2)偶次項係數總和 (3)奇次項係數總和

設多項式f x = x²K x C1 ⁴, 求 (1)各項係數總和

(2)偶次項係數總和 (3)奇次項係數總和

[簡答] :

(1)1 (2)41 (3)K40

例題6 多項式係數與函數值的關係

設多項式

f x = x

²Ckx C1

x

³K2 x²Cx C1 , 且f x 的偶次項係數和為4, 求實數k之值

(6)

2 多項式的四則運算

2-1 多項式的加法

重點

多項式的加法 • 求兩多項式之和,就是將"同次項係數相加"

兩多項式相加,其次數為原兩多項式中次數較高者,但當兩多項式次數相同時,卻有可能因為最高次項相互抵消,而使得次數低於原次數.

deg f x Cg x % max deg f x , deg g x

•

(7)

例題

例題7 多項式的加法

設f x = 3x⁴K2x²C4 x K5 ,

g x =Kx

³K7 x C9, 試求f x Cg x

設f x = x³Kx²K2 ,g x = 2x²K3x C1, 試求f x Cg x

[簡答] :

x

³

Cx

²

K3 x K1

詳解

(一)橫式算法

f x Cg x

= 3x⁴K2x²C4 x K5 C Kx³K7 x C9 = 3x⁴Kx³K2x²C 4 K7 x C K5 C9 =

3x

⁴

Kx

³

K2x

²

K3x C4

(二)直式算法...

將同次項的位置上下對齊, 然後作運算(缺項補0）

(三)分離係數法(略去文字符號x)

(8)

2-2 多項式的減法

重點

多項式的加法 • 求兩多項式之差, 就是將"同次項係數相減"

兩多項式相減,其次數為原兩多項式中次數較高者,但當兩多項式次數相同時,卻有可能因為最高次項相互抵消,而使得次數低於原次數.

deg f x Kg x % max deg f x , deg g x

•

(9)

例題

例題8 多項式的減法

設f x = 3x⁴K2x²C4 x K5 ,

g x =Kx

³K7 x C9, 試求f x Kg x

設f x = x³Kx²K2,g x = 2x²K3x C1,試 求f x Kg x

[簡答] :

x

³

K3x

²

C3 x K3

詳解

(一)橫式算法

f x Kg x

= 3x⁴K2x²C4 x K5 K Kx³K7 x C9 = 3x⁴Cx³K2x²C 4 C7 x C K5 K9 =

3x

⁴

Cx

³

K2x

²

C11 x K14

(二)直式算法...

將同次項的位置上下對齊, 然後作運算(缺項補0）．

(三)分離係數法(略去文字符號x)...

(10)

2-3 多項式的乘法

重點

多項式的乘法 • 求兩多項式之積, 就是將"同次項係數相減"

兩多項式相乘, 其次數為其最高次項的次數,亦等於原來兩多項式的次

數之總和( m Cn

ax

^mC...

bx

ⁿC... =

ab x

^{m C n}C...

•

(11)

例題

例題9 多項式的乘法

設f x = 4x²C5x K1,

g x = 2x

³Cx C1,試求f x # g x

設f x = x³Kx²K2,g x = 2x²K3x C1,試 求f x # g x

[簡答] :

2x

⁵

K5x

⁴

C4x

³

K5x

²

C6 x K2

詳解

(一)橫式算法

f x # g x

=

4x

²

C5 x

K1 2x³Cx C1

=

4x

² 2x³Cx C1

C5x

2x³Cx C1 K 2x³Cx C1 = 8x⁵C4x³C4x² C 10x⁴C5x²C5x C K2 x³Kx K1 = 8x⁵C10x⁴C 4 C K2 x³C 4 C5 x²C 5 K1 x K1 =

8x

⁵

C10x

⁴

C2x

³

C9x

²

C4x K1

(二)直式算法

(三)分離係數法

(12)

2-4 多項式的除法

2-4-1 多項式的除法

重點

多項式的除法

多項式相除, 其次數為其商的最高次項的次數,亦等於原來兩多項式

的次數之差

•

deg f x Og x = deg f x K deg g x

•

綜合除法綜合除法的步驟如下：

• 係數分離

• 缺項補零

除式變號: (1)除式為

x Cb

時, 用去Kb除 (2)除式為

ax Cb

時, 用

Kb

a

去除

•

(13)

例題

例題10 多項式的除法(長除法與分離係數法)

分離係數法

被除式A x = x⁴K7x²C5 x K6 除式B x = x²C2 x K2

x

⁴K7x²C5 x K6 = x²C2 x K2

x

²

K2 x K1

C

3x K8

商式Q(x) =

x

²

K2 x K1

餘式R x =

3x K8

(14)

例題11 多項式的除法(綜合除法)

試求

2x⁴K7x³C14 x C4 O x K2 之商 式與餘式

試求 x³K2x²K2x C3 O x K3 之商 式及餘式

[簡答] :

商式x

²

Cx C1, 餘式6

詳解

綜合除法除法進化曲

ver. 1.0 ver. 1.1 ver. 1.2 ver. 1.3

ver. 2.0 ver. 2.1 ver. 2.2

ver. 3.0 ver. 3.1

綜合除法

被除式A(x) = 2x⁴K7x³C14x C4 除式B x = x K2

(15)

例題12 多項式的除法(除式為一次式, 首項係數為1)

試求

2x³C5x²Cx C5 O x C2 之商 式及餘式

試求 x²C4x C2 O x C1 之商 式及餘式

[簡答] :

商式x C3,餘式K1

例題13A 多項式的除法(除式為一次式, 首項係數不為1)...Print

試求 3x²C2 O

x K 1

2

之商式及餘式

試求 6x²K5xK1 O x K 1

²

Kx C5,餘式K18 x C14

例題14B 多項式的除法(除式為二次式,首項係數不為1)

試求

6x³K7x²K4x C8 O 3x²CxK2 之商 式及餘式

(17)

2-4-2 多項式的除法原理及其應用

重點

除法原理 設f x , g x 為二多項式,已知deg f x O deg g x 且g x s 0

零多項式

則

f x

被除式

= g x

除式

# q x

商式

Cr x

餘式 且 r x = 0 或 deg r x ! deg g x

•

整除 若多項式f x 除以g x 的餘式為0時, 稱"f x 被g x 整除"或"g x 整 除f x ", 記為g x f x

•

因式定理 •

x C b f x 0 f K b

= 0

ax C b f x 0 f Kb

a

= 0

•

餘式定理 •

f x 被 x C b

除所得之餘式為f

Kb f x

被

ax C b

除所得之餘式為f

K b

•

a

換底 • 換底公式:

(18)

例題

例題15 多項式除法原理應用(求除式)

若多項式x³C4x²C5x K3除以g x 的 商式為x C2, 餘式為2x K1, 則g x =?

若多項式x³C2x²C4x K3除以g x 的商 式為x C3, 餘式為4x K12, 則g x =? [ 復興高一95₂

]

[簡答] :

x

²

K x C3

試一下 歷屆考題1

若多項式x³C4x²C5x K3除以f x 的商式為x C2, 餘式為2 x K1, 則f x =?

[87日社]

[簡答] :

(19)

例題16A 多項式除法原理應用(求被除式)

某多項式除以 2xK1 ,得商式

x

²K2x C1 及餘式3,求此多項式

例題16B 多項式除法原理應用(求被除式)

若多項式x³Cx²Cax C7除以

x

²K2x Cb的商式為x C3, 餘式為Kx

C1, 則a, b之值為何?

例題16C 多項式除法原理應用(求被除式)

若多項式2x³Kx²Cax Cb除以

x

²K2x K1 的餘式為5x C8, 則a, b之 值為何?

(20)

例題17A 多項式除法原理應用(整除)

若4x³K13x Ck可被 2x C1 整除,求

k之值.

例題17B 多項式除法原理應用(整除)

若x³C4x²Cax Cb可被x²C2x K1整 除,求a, b值

若2x⁴Kx³Cax²C4x Cb可被

x

²K x C3整除,求a, b值.

[簡答] :

a = 4, b =K3

例題18 多項式除法應用(換底)

若a, b, c是整數,且

2x²C3x C5 = a xK1 ²Cb xK1 Cc, 求a, b, c之值

(21)

例題19A 多項式除法應用(換底)

設f x = x⁵C2x²K3x K1, 試求 (1)

a, b, c, d, e, f =?

(2)f 2.003 =?(取近似值四捨五入 至小數點以下第3位)

設

f x = x⁴C8x³K25x²C30 x K8 = a x K2 ⁴ Cb x K2 ³Cc x K2 ²Cd x K2 Ce ,試求

(1)

a, b, c, d, e =?

(2)f 2.003 =? (取近似值四捨五入至小 數點以下第3位)

[簡答] :

(1) 1, 16, 47, 58, 32 (2)K0.060

(22)

例題19B 多項式除法應用(換底)

設

3x³C2x²C9x C6 = a 3x C2 ³Cb 3x C2 ²Cc 3x C2 Cd

,試求

(1)

a, b, c, d =?

(2)f K0.666 =?(取近似值四捨五入 至小數點以下第3位)

設

81x⁴K54x³K62x²C39 x C5 = a 3x K2 ⁴ Cb 3x K2 ³Cc 3x K2 ²Cd 3x K2 Ce

,試求

(1)

a, b, c, d, e =?

(2)f 0.666 =?(取近似值四捨五入至小 數點以下第3位)

[簡答] :