B1-3-5 多項式方程式
班號： 姓名：本章提要
本節介紹多項式方程式。
多項式方程式的根
y = f x 與x軸交點的x坐標就是方程式的根
•
代數基本定理 實係數方程式不一定有實數根
•
幾次方程式就有幾個根
•
整係數多項式方程式的有理根 若
ax C b a
nxnCanK1xnK1C...Ca2x Ca1x Ca0,則
a a
nb a
0a Cb f 1 aKb f K1
•
虛根成對定理
方程式若有虛根必成對(實係數時共軛)
•
勘根定理
若f x = 0是一個實係數多項式方程式,而 a, b是兩個相異實數,若f a $f b ! 0, 則方程式在a, b之間至少有一實根
•
1 多項式方程式的根
•
2 代數基本定理
•
3 整係數多項式方程式的有理根
•
4 虛根成對定理
•
5 勘根定理
•
Page 1 of 16
1 多項式方程式的根
重點
多項式方程式 若f x 是一個n次多項式,則f x = 0稱為"n次多項式方程式",簡稱"n次方程 式"
•
多項式方程式 的根
若a满足f a = 0,就稱a是方程式f x = 0是的"根"(或"解")
•
滿足方程式的根若為複數,便稱為"複數根"
•
滿足方程式的根若為實數,便稱為"實數根"
•
滿足方程式的根若為有理數,便稱為"有理根"
•
滿足方程式的根若為整數,便稱為"整數根"
• 多項式方程式 根的幾何意義
y = f x 與x軸交點的x坐標就是方程式的根
•
圖形 y =
f x
y =0 x軸 0 交點 x, y = a,
0
0 交點a,
0 2 y = f x0 f
a
=00 亦即 ...a 交點之x坐標 為f x = 0之根
•
Page 2 of 16
例題
例題1 多項式方程式的根
老師講解 學生練習
下列哪些是三次方程式 x3K2x2CxK2 = 0的根:
(1) 2 2 2 3 i 4 Ki 5 1 Ci
例題2 多項式方程式的根
老師講解 學生練習
設x = 2i為三次方程式
x3Cx2C4x Ca = 0的一根,求a的值.
Page 3 of 16
2 代數基本定理
重點
實係數與複係
數方程式 實係數方程式不一定有實數根,但一定有複數根.(亦即,實係數方程式一定 有根)
[例]： x2C1 = 0沒有實數根,但有複數根 x =Gi
•
代數基本定理 • 任意一個複數係數n次方程式,只要n R 1,就至少有一個複數根
每一個複係數n次方程式,都恰好有n個複數根(幾次方程式就有幾個根) 例： 二次方程式x2C1 = 0有2個複數根 x =Gi
•
多項式方程式 的公式解
一元一次方程式ax C
b
= 0 a s 0 之公式解為x = Kb•
a
一元二次方程式ax2C
bx C c
= 0 a s 0 之公式解為x = Kb G b2K4ac• 2a
一元三次方程式ax3C
bx
2Ccx C d
= 0 a s 0 之公式解如下計算：先計算
p =
bK a
33 q = 2a3
27 K
ab
3 Cc x = Kq2 C
q
44 C
p
3 273
C Kq
2 K
q
44 C
p
3 273
K
a
3•
至於,一元四次方程式ax4Cbx3Ccx2Cdx C
e
= 0 a s 0 之公式解為….想 必很複雜,那就...嘍!•
幸好,一元五次方程式ax5Cbx4Ccx3Cdx2Cex Cf= 0 a s 0 之公式解經 偉大的數學家Galois&Abel證明公式解其實不存在!!(請注意,根還是在,只 是很難求...)
•
Page 4 of 16
3 整係數多項式方程式的有理根
重點
牛頓定理(一次 因式檢查法)
若
ax C b a
nxnCanK1xnK1C...Ca2x Ca1x Ca
0,則a a
nb a
0a Cb f 1 aKb f K1
•
Page 5 of 16
例題
例題3 整係數多項式方程式的有理根
老師講解 學生練習
求方程式2x3K3x2K8xK3 = 0的有理根 求方程式x3Kx2Kx = 0的有理根
[簡答] : 1 2 , 3,K1
例題4 整係數多項式方程式有理根應用
老師講解 學生練習
求方程式2x4Cx3K7x2K9x C6 = 0的根 求方程式2x3C7x2K7xK5 = 0的根
[簡答] :
K
12或 K3 G 29 2
Page 6 of 16
例題5 整係數多項式方程式有理根應用
老師講解 學生練習
已知整係數方程式x3x2Cbx C5 = 0有三 個相異的有理根, 求a, b的值
Page 7 of 16
4 虛根成對定理
重點
方程式共軛根
的性質 設z1, z2為任意複數,其共軛複數分別以z1, z2表示,則:
(1)若z1為實數,則z1= z1 (2)z1Cz2= z1Cz2 (3)z1# z2= z1# z2 (4)zn= z n (5)f z = f z
•
虛根成對定理 方程式若有虛根必成對(實係數時共軛),亦即:
(1)若z為實係數方程式f x = 0的根,則必有另一共軛根為
z
(2)若aCbi為實係數方程式f x = 0之根,則必有另一共軛根aKbi
•
方程式ax2Cbx Cc = 0之根
當b2K4ac ! 0時,x = Kb G
b
2K4ac2 = Kb G 4acKb2$i 2
•
虛根成對定理
應用 • 奇數次方程式至少有一實根
偶數次方程式可能沒有實根
•
若a Cbi為實係數方程式f x = 0之根,則:
•
0 xK
a Cbi
xKaKbi
f x 0 x2K2ax C a
2Cb
2 f xPage 8 of 16
例題
例題6 虛根成對定理
老師講解 學生練習
設f x 為一實係數多項式.若
f 1 C 2i = 7 C 5i, f K3K4i =K6,試 求f 1K2i Cf K3 C4i 的值
例題7 虛根成對定理
老師講解 學生練習
設f x = x4K8x3C25x2K25x C9, 求 (1)f 2 Ci =?
(2)f 2Ki =?
Page 9 of 16
例題8 虛根成對定理
老師講解 學生練習
已知2 Ci為方程式
x4K5x3C8x2KxK5 = 0的一根,求其他根
已知2 Ci為方程式
x4K4x3C8x2K12x C15 = 0的一根,求其他根
[簡答] :
2Ki,G
3 i例題9 虛根成對定理
老師講解 學生練習
求作一個最低次實係數方程式,使 2Ki, K 3 皆為其根,且2 是一個二重根
例題10 虛根成對定理
老師講解 學生練習
已知實係數方程式
x4K3x3C6x2Cax Cb = 0有一根為1K3i, 求a與b的值,並解此方程式.
已知實係數方程式
x4C3x3Cax2Cbx C10 = 0有一根為K1 C2i,求a與b之值
[簡答] :
a = 9, b = 9
Page 10 of 16
5 勘根定理
重點
勘根定理 若f x = 0是一個實係數多項式方程式,而a, b是兩個相異實數,若
f a $f b ! 0,
則方程式在a, b之間至少有一實根(奇數次方程式至少有一實根)
•
若f x = 0是一個實係數多項式方程式,而a, b是兩個相異實數,若
f a $f b O 0,
則方程式在a, b之間可能沒有實根(偶數次方程式可能沒有實根)
•
勘根定理應用 • 設a O 0, n為一正整數,方程式xn= a恰有一正根
Page 11 of 16
例題
例題11 勘根定理
老師講解 學生練習
求方程式x3K8x C1 = 0在哪些連續整數之 間有實根
求方程式x3Cx2K2xK1 = 0在哪些連續整數 之間有實根
[簡答] :
-2與K1,K1與0, 1與2之間各一實根存
在Page 12 of 16
例題12A 勘根定理應用：二分逼近法求方程式的近似根
老師講解 學生練習
已知方程式x3K8x C1 = 0在0與1之間有一 個實根,求此根之近似值(正確至小數點以 下第一位)
[簡答] :
詳解
Round 1: 0, 1 0 0, 1 2
方程式x3K8x C1 = 0在0與1之間有一個實根...
取0與1之平均數 0 C1 2 = 1
2 令f x = x3K8x C1
f 0 = 1 f 1
2 = K23 8 f 1 =K6
範圍縮小到...
Round 2: 0, 1
2 0 0, 1 4 方程式x3K8x C1 = 0在0與 1
2 之間有一個實根...
取0與 1
2 之平均數
0 C 1 2 2 = 1
4 令f x = x3K8x C1
f 0 = 1 f 1
4 =K63 64 f 1
2 =K23 8
範圍縮小到...
Page 13 of 16
Round 3: 0, 1
4 0 1 8 , 1
4 方程式x3K8x C1 = 0在0與 1
4 之間有一個實根...
取0與 1
4 之平均數
0 C 1 4 2 = 1
8 令f x = x3K8x C1
f 0 = 1 f 1
8 = 1 512 f 1
4 =K63 64
範圍縮小到 Round 4: 1
8 , 1
4 0 1 8 , 3
16 方程式x3K8x C1 = 0在 1
8 與 1
4之間有一個實根...
取 1 8 與 1
4 之平均數 1 8 C 1
4 2 = 3
16 令f x = x3K8x C1
f 1
8 = 1
512 f 3
16 = 1 512 f 1
4 =K63 64
範圍縮小到 1 8 與 3
16 之間 很接近了...
Page 14 of 16
例題12B 勘根定理應用：二分逼近法求方程式的近似根
老師講解 學生練習
已知方程式x3Cx2K2xK1 = 0有一正根, 試 求與此正根最接近之整數
詳解
Round 1: 這個正根在那裏?
令f x = x3Cx2K2xK1
1 1 K2 K1 a
== == == == =#= ==
1 1 1 1 1
原來這個正根在...
Round 2:這個正根靠近那個整數 ?
方程式 x3Cx2K2xK1 = 0在 之間有一個根...
取 與 之平均數 2 = 令f x = x3Cx2K2xK1 = 0
f ` ` = ` ` f ` ` = ` ` f ` `` ` =
範圍縮小到...
故最接近此方程式正根的整數為...
Page 15 of 16
例題13 勘根定理應用
老師講解 學生練習
解方程式x4= 16 解方程式x2= 9
[簡答] :G3
Page 16 of 16
