第3章　矩　　陣

3-1　一次聯立方程式與矩陣

1. 已知矩陣 _



 





2 4 3

4 3

1 經過列運算﹐得 _



 





b a 1 0

0

1 ﹐求a﹐b的值﹒

利用矩陣的列運算﹐得 1 3 4

3 4 2

 

 

 

1 3 4 0 5 10

 

    　　　　 1 3 4 0 1 2

 

  

 　　　　 1 0 2

0 1 2

  

  

 ﹐

故a  ﹐2 b ﹒2

2. 已知有一個^x﹐^y﹐z的三元一次聯立方程式的增廣矩陣﹐經矩陣的列運算

得

1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2

 

 

 

 

 

﹐求此聯立方程式的解﹒

因為題目中的矩陣表示聯立方程式

2 3 4 2 3 2 x y z y z z

  

  

 



﹐

所以聯立方程式的解為x ﹐0 y  ﹐1 z ﹒2

3. 利用矩陣的列運算﹐可將矩陣

1 1 0 5 0 1 1 7 1 0 1 8

 

 

 

 

 

化為

1 0 0 0 1 0 0 0 1

a b c

 

 

 

 

 

﹐求a﹐b﹐ c的值﹒

利用矩陣的列運算﹐得 1 1 0 5

0 1 1 7 1 0 1 8

 

 

 

 

 

1 1 0 5 0 1 1 7 0 1 1 3

 

 

  

  

 

1 0 1 2 0 1 1 7 0 0 2 10

 

 

 

  

 

 

1 0 1 2 0 1 1 7 0 0 1 5

 

 

 

  

 

 

1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 5

 

 

  

 

 

﹐

故a ﹐3 b ﹐2 c ﹒5

第 3 章　矩　　陣

1

2

 ¹

  1

 ³

 

1 5

 

  

 ³

 

 ¹

    ¹

1

 ¹

 

1 3

 

  

 ²

 

6

4. 利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式

2 10 2 3 3 1

4 13 x y z

x y z x y z

  

   

   



﹒

1 2 1 10 2 3 3 1 1 1 4 13

  

 

 

  

 

1 2 1 10 0 1 5 19 0 3 5 3

  

 

   

  

 

1 2 1 10 0 1 5 19 0 3 5 3

  

 

  

  

 

1 0 9 28 0 1 5 19 0 0 10 60

  

 

  

  

 

1 0 9 28 0 1 5 19 0 0 1 6

  

 

  

  

 

1 0 0 26 0 1 0 11 0 0 1 6

 

 

  

  

 

﹐

故x26﹐y  ﹐11 z  ﹒6

5. 利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式

2 5

2 7

7 8 31 x y z x y z x y z

  

   

   



﹒

利用矩陣的列運算﹐得

2 1 1 5 1 2 1 7 1 2 1 7 2 1 1 5 7 8 1 31 7 8 1 31

    

   

   

   

   

1 2 1 7

0 3 3 9

0 6 6 18

 

 

    

    

 

1 2 1 7 0 1 1 3 0 6 6 18

 

 

  

    

 

1 0 1 1 0 1 1 3 0 0 0 0

  

 

  

 

 

即原聯立方程式與聯立方程式 1

3 x z y z

  

  

 同解﹒

若令 z t ﹐則原聯立方程式的解為 1

3

x t

y t

z t

  

  

 



（ t 為任意實數）﹒

 ²

  ^{ } ⁷

 ²

    ¹

1 10

 

  

 ²

 

3

5 ^{ } ⁹

6. 利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式

2 3

3 2 1 7 4 5 4 x y z

x y z x y z

  

   

   



﹒

利用矩陣的列運算﹐得 1 2 1 3

3 1 2 1 7 4 5 4

  

  

 

  

 

1 2 1 3

0 5 1 8

0 10 2 17

  

 

   

   

 

1 2 1 3 0 5 1 8 0 0 0 1

  

 

   

  

 

﹐

由矩陣的第三列得知﹐原聯立方程式無解﹒

7. 已知k為實數﹐且聯立方程式



























k z y x

z y x

z y x

2 3

1 2

1 3 2

有解﹐求k的值﹒

將聯立方程式的增廣矩陣作列運算﹕

1 2 3 1 1 2 1 1 3 2 1 k

 

 

  

 

  

 

1 2 3 1

0 4 4 2

0 8 8 k 3

 

 

 

  

  

 

1 2 3 1

0 4 4 2

0 0 0 k 1

 

 

 

  

  

 

由矩陣的第三列推得﹐若聯立方程式有解﹐則k  ﹐解得1 0 k  ﹒1

8. 已知x1﹐y 1﹐z2為聯立方程式

6 0 2 2 1 0 2 3 1 0 ax by cz

ax by cz ax by cz

   

    

    



的一組解﹐求 a﹐b﹐^c的值﹒

因為x ﹐1 y  ﹐1 z 為原聯立方程式的一組解﹐所以2 2 6 0

2 4 1 0

2 6 1 0

a b c a b c a b c

   

    

    



j k l 由k j 得 a6c 7 0 m

由k l 得 4 a2c 2 0 n

再由 m…解得a ﹐1 c  ﹒代入 j 得1 b ﹒5 故a ﹐1 b ﹐5 c  ﹒1

 ¹

  ^{ } ³

 ³

  ^{ } ⁷   ²

 ²

 

3-2　矩陣的運算

1. 已 知 _A﹐_B都 是3 2 階 矩 陣 ﹐ 且 A   a_{i j} ﹐ B   b_{i j} ﹐ 其 中a_{i j}  i j﹐

i j 2

b  i j﹐求矩陣A B ﹒

由題意，得

11 12

21 22

31 32

2 3 3 4 4 5 a a

A a a a a

   

   

   

   

 

﹐

11 12 21 22 31 32

1 0 3 2 5 4 b b

B b b b b

   

   

   

   

 

﹒

故

3 3 6 6 9 9 A B

 

 

   

 

 

﹒

2. 已 知 6 5 1 0 1 0 0 1 0 1 7 2 a 0 1 b 0 1 c 1 0 d 1 0

         

   

          

         ﹐ 求 ^a﹐b﹐ ^c﹐ d的 值﹒

因為 6 5 0 0 0 0

7 2 0 0 0 0

a b c d a b c d

a b c d c d a b

 

           

              

           ﹐所以

6 2 a b a b

  

  

 　且　 5

7 c d c d

  

  

 .

解得a ﹐4 b ﹐2 c ﹐6 d  ﹒1

3. 已知 2 1 A  3 5

 　 ﹐ 1 4 B  4 0

  ﹐且³^{X A 2B} ^{X A﹐求矩陣}X ﹒

因為³^{X A 2B}^X ﹐所以^A

3X3A6BX 　　 2A X 2A6B﹒

故 2 1 3 12 1 11

3 3 5 12 0 9 5

X  A B      　     　  ﹒

第 3 章　矩　　陣

4. 已知矩陣 1 4 A x y

 

  

 ﹐ 1 1 B x

y

 

  

 ﹐ 1 0 I 0 1

  

 ﹐且A2B tI ﹐求 (1)實數^t﹐x﹐^y的值﹒ (2)矩陣3A2B﹒

(1)因為A2B tI ﹐所以

1 4 2 2 0

2 2 0

x t

x y y t

     

     

     　　 3 4 2 0

2 3 0

x t

x y t

    

    

   ﹒

因此 3 4 2 0

2 0 3

t x x

y t

 

  

  

 



﹐解得t ﹐3 x  ﹐2 y ﹒1

(2)因為 1 4 A  2 1

  ﹐ 1 2 1 1 B   

  

 ﹐所以

3 12 2 4 1 16 3 2

6 3 2 2 8 1

A B           ﹒

5. 已 知 0 1 2 2 1 0

A  

  

 ﹐ 3 2 1 1 2 3

B  

  

 ﹐ 且 X 2Y 5A﹐2X Y 5B﹐ 求 矩 陣X ﹐Y﹒

令 2 5

2 5

X Y A

X Y B

 

  



j k

由j k 2﹐得 5X5A10B﹐即 6 5 4 2 4 5 6 X  A B  

 ﹒

由j 2 k ﹐得 5Y10A5B﹐即 3 0 3

2 3 0 3

Y A B  

     ﹒

6. 已知 1 2 A 3 4

  

 ﹐ 2 3 1 B k 

  

 ﹐且_{AB BA} ﹐求k的值﹒

因為 AB BA ﹐所以 1 2 2 2 1 2 3 4 3 1 3 1 3 4

k k

       

       

       ﹐即 6 4 6 2 8

3 12 10 6 10

k k k

k

  

   

    

   ﹒

因此 2 8 4 3 12 6

k k

  

  

 ﹐解得k  ﹒2

7. 已知矩陣 2 1 2 1 0 3

A  

  

 ﹐ 1 1 0 1 2 2

B  

   ﹐

1 1 1 2 0 1 0 1 1 C

  

 

  

  

 

﹐求下列各矩

陣﹕

(1)^{A B C}  ^{(2)AC BC}

(1)由矩陣的加法與乘法定義﹐得

  ^{2 1 2 1 1 0 12 01 11}

1 0 3 1 2 2

0 1 1 A B C

  

     

         

1 1 1

1 2 2 5 1 1

2 0 1

2 2 1 6 1 3

0 1 1

  

    

     

﹒

(2)因為^{A B C}  ^{AC BC ﹐所以AC BC} _{ }^⁵₆ ¹_{1 3}^1﹒

8. 已 知

1 2 0 1 1 0 1 4 0 A

 

 

  

 

 

﹐

1 2 3 1 1 1 1 1 1 B

 

 

  

 

 

﹐

1 2 3 1 1 1 2 2 2 C

 

 

  

 

 

﹐ 求 矩 陣 AB AC

﹒

AB AC ^{A B C} ^  ¹1 ^{2 0}1 0 ⁰0 ⁰0 ⁰0 1 4 0 1 1 1

   

   

    

     

   

0 0 0 0 0 0 0 0 0

 

 

  

 

 

﹒

9. 已知矩陣 1 1 A  1 1 

  ﹐ 1 0 I 0 1

  

 ﹐求下列各矩陣﹕

(1)_A²﹒　　　　(2)A³﹒　　　　(3)^{I A} ³﹒

(1) ² 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2

A              ﹒

(2) ^{3 2} 2 2 1 1 4 4

2 2 1 1 4 4

A A A         

         ﹒ (3)因為 IA AI  ﹐所以A

^IA^{3I33I A2 3IA2A3 I 3A3A2A3}

1 0 1 1 2 2 4 4

3 3

1 1 2 2 4 4

0 1

  

       

         

1 0 3 3 6 6 4 4 14 13

3 3 6 6 4 4 13 14

0 1

   

         

               ﹒

10. 已知矩陣 _



 



  4 3

2

A 1 ﹐ _



 





1 0

0

B 2 ﹐ 3

C  4

  

 ﹒選出正確的選項﹕

(1)若矩陣D CA ﹐則_D為_{2 1} 矩陣　(2)矩陣BC為_{2 1} 矩陣

(3)矩陣ABC為2 1 矩陣　(4)AB BA 　(5)^{A B} ^{2 A22AB B 2}﹒

(1)因為 C 的行數1 不等於 A 的列數 2 ﹐所以 CA 不存在﹒

(2)因為 B 是 2 2 矩陣﹐ C 是 2 1 矩陣﹐所以 BC 是 2 1 矩陣﹒

(3)因為 A 是 2 2 矩陣﹐ B 是 2 2 矩陣﹐所以 AB 是 2 2 矩陣﹒

又因為C 是 2 1 矩陣﹐所以 ABC 是 2 1 矩陣﹒

(4)因為 2 2

AB 6 4

  ﹐ 2 4 3 4 BA   

  

 ﹐所以 AB BA ﹒

(5)因為^{A B}  ^{2 A B A B}   ^ ^{A2AB BA B  2﹐且 AB BA ﹐}

所以^{A B} ^{2A22AB B 2﹒}

故選項(2)(3)正確﹒

3-3　矩陣的應用

1. 已知 1 3 2 5

A a b

  

 是轉移矩陣，求a﹐b的値﹒

因為 5 5

3 2 5 5 a b A

 

 

  

 

 

 

﹐所以由轉移矩陣的定義﹐得

3 1 5 5

2 1 5 5 a

b

  



  



，

解得a ﹐2 b .3

2. 資料顯示﹐某城市在晴天之後隔天下雨的機率為1

5﹐而在雨天之後隔天也 是雨天的機率為1

3﹒

(1)寫出此天氣的轉移矩陣﹒

(2)若此城市星期日下雨﹐求星期二下雨的機率﹒

(1)此天氣的轉移矩陣為

4 2 5 3 1 1 5 3 A

 

 

  

 

 

 

﹒

(2)因為星期日下雨﹐所以 0

0 X  1

  

 ﹐於是

1 0

4 2 2

5 3 0 3 1 1 1 1

5 3 3

X AX

   

    

    

    

   

   

﹐ 2 1

4 2 2 34 5 3 3 45 1 1 1 11 5 3 3 45 X AX

     

     

      

     

     

     

﹐

故星期二下雨的機率為11 45﹒

第 3 章　矩　　陣

3. 小明從家裡到學校有甲﹑乙兩條路線可以走﹐他每天依下述方法決定上學 的路線﹕若某一天走乙路線上學﹐則次日一定走甲路線﹔若某一天走甲路 線上學﹐則次日丟一枚公正硬幣﹐出現正面就走甲路線﹐反面就走乙路線 上學﹒

(1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣﹒

(2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線﹐則他在星期三走甲路線上學的機 率為何﹖

(1)轉移矩陣

1 1 2 1 0 2 A

 

 

  

 

 

 

﹒

(2)因為星期一用丟硬幣決定上學路線﹐所以 0

1 2 1 2 X

  

  

  

 

﹐於是

1 0

1 1 3

2 1 2 4

1 1 1

2 0 2 4

X AX

     

     

      

     

     

     

﹐ 2 1

5

1 3

1 8

2 4

1 1 3

2 0 4 8

X AX

 

   

     

      

     

 

   

     

﹒

故小明在星期三走甲路線上學的機率為5

8﹒

4. 已知 4 5 A 7 9

  

 ﹐ 4 3 B 5 1

  

 ﹐求

(1)A的反方陣_A^1﹒ (2)滿足AX B的二階方陣_X ﹒

(1)由反方陣公式﹐得 ¹ 1 9 5 9 5

7 4 7 4

A^ 1     

      ﹒

(2)因為 AX  ，所以B ^A1^AX^{A B1 　}XA B^1 ﹒

故 9 5 4 3 11 22

7 4 5 1 8 17 X       

         ﹒

5. 已知 5 2 A 2 1

  ﹐求滿足 1 2 1 6 2 5

AX  

   的矩陣_X ﹒

由反方陣公式﹐得 ¹ 1 1 2 1 2

2 5 2 5

A^  1       ﹒

因為 1 2 1

6 2 5

AX  

  

 － ﹐所以

1 1 2 1 1 2 1 2 1 11 6 9

6 2 5 2 5 6 2 5 28 14 23

X A^        

        

       

－ －

－ － － － ﹒

6. 已知方陣 3 1 2 2 A a

a

 

 

    的反方陣不存在﹐求a的值﹒

因為 A 的反方陣不存在﹐所以^det ^A  ﹐即⁰ 3 1 ²

5 4 0

2 2

a a a

a

 

   

  ﹐

解得a 或 4 ﹒1

7. 已知 1 2 A 3 4

  

 ﹐ 2 1 1 1 B   

   ﹐ 2 1 C 1 3

  

 ﹐求滿足AX 3B C 的矩陣X

﹒

因為AX3B C ﹐所以AX C 3B　　^XA1^C3B﹐

即 1 4 2 2 1 2 1

3 1 1 3 3 1 1 X 2          

4 2 4 4 1

3 1 2 6 2

 

   

     

12 4 6 2

1

10 6 5 3

2

 

   

        ﹒