學科能力測驗（111 學年度起適用） 數學 A 考科參考試卷 試題解析

學科能力測驗（111 學年度起適用）

數學 A 考科參考試卷 試題解析

試題編號：1 參考答案：(2)

學科內容：N-10-2 絕對值 測驗目標：求解絕對值不等式。

試題解析：由 2x139   9 2x139  2 x 11，得知：所求區間的長度為9。

試題編號：2 參考答案：(5)

學科內容：S-11A-1 空間概念、G-11A-2 空間坐標系 測驗目標：利用空間中兩點的距離公式求點坐標。

試題解析：因P點在xy平面上，故可設 ( , ,0)P x y 。

由PA PB 13，可列式： (x5)²y²12²  (x5)²y²12² 13 解得唯一解x y 0，故所求的P點坐標為 (0,0,0) 。

試題編號：3 參考答案：(4)

學科內容：N-10-6 數列級數與遞迴關係、N-10-3 指數、N-10-4 常用對數 測驗目標：計算等比級數和，並估算數的大小。

試題解析：依題意推得這30 天所獲得的錢為

30

2 3 29 2 1 30

1 2 2 2 2 2 1

2 1

        

 ，

以下提供兩個方法估計2³⁰。

【解法一】：2³⁰(2 )^{10 3}(1024)³(10 )^{3 3}10⁹。

【解法二】：log 2³⁰30 log 2 30 0.3010 9.030，推得2³⁰為10 位數。

故答案為選項(4)。

參考答案：(5)

學科內容：N-10-4 常用對數、A-11A-4 對數律 測驗目標：結合指對數概念，評量對數的計算。

試題解析：由題意x₂ 2x₁，可得 ₂ ² 2 ^{1 1} ₁

20 log( ) 20 log 20(log 2 log ) 20 log 2

2 2 2

x x x

y          。 y

試題編號：5 參考答案：(2)

學科內容：G-11A-3 空間向量、G-11A-9 平面方程式、G-11A-10 空間中的直線方程式 測驗目標：評量空間直線參數式、直線與平面的交點。

試題解析：過點 (1, 1, 1)P 沿著方向 (1, 2, 2) 前進的直線參數式為 1 1 2 1 2

x t

y t

z t

  

  

  



，t為實數。

1. 此直線與平面x y 3z28相交時，t會滿足 (1  t) (1 2 ) 3(1 2 )t   t 28，解得 5

t  ，即當t 5時質點到達平面x y 3z28上的點 (6, 11, 11)。所以每秒走a  。 3

2. 因為 a b ，所以質點將從點 (6,11,11) 沿方向 ( 2, 2, 1)  走s秒的位置為直線參數

式

6 2 11 2 11

x s

y s

z s

  

  

  



，s為實數，前進後碰到平面x 2時，s須滿足62s2，解得s 2。

故s 2秒即為所求時間。

試題編號：6 參考答案：(5)

學科內容：A-11A-3 矩陣的運算、F-11A-3 矩陣的應用 測驗目標：評量線性變換的矩陣表示法及其性質。

試題解析：原直線的方向向量為 (2,3) 映至斜率為2 的直線，其方向向量為 (1, 2) ， 故由 1 0 2 2

8 3 2 24

a a

     

       

     與 (1, 2) 平行，得a 14。也可取L上兩點，例如 (1,1)、(3,4)，

被此線性變換分別送到點 (1,a 8)、(3,3a 32)。由此兩點決定的直線斜率為2，可列

參考答案：(4)

學科內容：D-10-4 複合事件的古典機率、D-11A-2 條件機率

測驗目標：結合機率概念應用在生活中的血液檢驗，評量檢驗次數之期望值。

試題解析：1. 9 件血液樣本所需要的檢驗次數可能 1 次或 10 次。其中若需要 1 次檢驗，表示這 9 件血液樣本都呈陰性反應，則其機率為(1 0.1) ⁹0.9⁹；而若需要 10 次檢驗，表示這 9 件血液樣本中至少一件呈陽性反應，則其機率為1 (1 0.1)  ⁹ 1 0.9⁹。

2. 檢驗這 9 件血液樣本所需要的檢驗次數之期望值為1 0.9 ⁹10(1 0.9 ) 10 9 0.9 ⁹    ⁹。

試題編號：8 參考答案：(2)(3)

學科內容：N-10-3 指數、N-10-4 常用對數、A-11A-4 對數律 測驗目標：評量指數、對數性質的應用。

試題解析：【解法一】

1. 依題設可知10¹⁰ab10¹¹、10 a 10²

 b ，

同 取 對 數 可得：10 log ₁₀alog₁₀b11 ... (i)

10 10

1 log alog b2 ... (ii) 2. 由(i)(ii)兩式相加除以 2 得：5.5 log ₁₀a6.5。

3. 可知a為6 位數或 7 位數。

【解法二】

1. 依題設可知：10¹⁰ab10¹¹ ... (i) 10 a 102

 b ... (ii) 由(i)(ii)兩式相乘可得：10¹¹a²10¹³，即10^5.5 a 10^6.5。 2. 可知a為6 位數或 7 位數。

參考答案：(3)(4)

學科內容：F-10-2 三次函數的圖形特徵

測驗目標：評量三次函數的對稱性概念及圖形的平移。

試題解析：選項(1)： (1) 2 6 10f         。 k 5 k 1

選項(2)：點( , )r s 在 y f x( )的圖形上的充要條件為點(2r,10s)也在 y f x( )的 圖形上。

選項(3)：由題意可設 f x( )2(x1)³b x(  1) 5，比較係數後得b 4。得 ( ) 2( 1)3 4( 1) 5

f x  x  x  ，可推得近似直線為 y4(x 1) 5。 選項(4)：將 y f x( )往左平移一單位，可得 y2x³4x5的圖形。

選項(5)：可以從圖形判斷沒有交點，也可解方程式2x³6x²10x 1 2x³4x5，即

2 1 0

x   x ，方程式無實數解，判斷兩圖形沒有交點。

試題編號：10 參考答案：(1)(5)

學科內容：D-10-2 數據分析 測驗目標：判讀與處理一維數據。

試題解析：選項(1)：直接讀表，四個年齡範圍中，以 40~44 歲的失業率(13.17%)最高。

選項(2)：僅由失業率的高低，無法判讀哪一個年齡範圍的勞動力人數較多。

選項(3)：因為不知道 40~44 歲與 45~49 歲的勞動力人數是否相同，所以在計算 40~49 歲的失業率時，不可以直接取上述兩範圍的失業率的算術平均數。

選項(4)：一個年齡範圍失業率的改變，不見得是另一個年齡範圍失業率變化的原因。

選項(5)：【解法一】

如果35~39 歲與 40~44 歲的勞動力人數相同，則 35~44 歲的失業率會是 9.80%與 13.17%

的平均，即11.485%。但 35~44 歲的失業率 12.66%，比 11.485%大，故 40~44 歲的勞 動力人數較35~39 歲為多。

【解法二】

假設35~39 歲與 40~44 歲的勞動力人數分別有m n, 人，

35~39 歲失業人數為9.8%m，40~44 歲失業人數為13.17%n， 且由失業率的定義知35~44 歲失業率應為9.8% 13.17%

12.66%

m n

m n

 

 ，

展開化簡後得 9.8m13.17n12.66(mn)，整理得2.86m0.51n，

參考答案：(2)(4)

學科內容：G-11A-1 平面向量

測驗目標：運用向量的加法及係數積的運算及線性組合的意涵來解決問題。

試題解析：ABCD是一平行四邊形，因此滿足 AX  pAB qAD 的點X 在BCD的內部(不含邊界) 之充要條件為0 p 1，0 q 1且p q 1。

(1) 1 2 3 3

AX  AB  AD 的點X 在邊BD上。

(2) 2 2 3 3

AX  AB  AD 的點X 在BCD的內部。

(3) 1 2 2

3 3 3

AX  AB  AC AB  AD 的點X 在邊BC上。

(4) 1 3 4 3

5 5 5 5

AX  AB  AC  AB  AD 的點X 在BCD的內部。

(5) 2 1 1 1

3 3 3 3

AX  AB  BD  AB  AD 的點X 在

 A

BD的內部，會在BCD的外部。

試題編號：12 參考答案：(1)(3)

學科內容：F-11A-1 三角函數的圖形、F-11A-2 正餘弦的疊合 測驗目標：評量三角函數的疊合與其函數圖形。

試題解析： ( ) 3sin( ) sin( ) = 3

2 2 2 2

f  _  _  _

，

( ) 3sin sin( ) = 3sin cos 2cos( )

2 3

f x  x  x x x x ， 故最大值為2，最小值2，週期為2 ，

圖形經過左 移 3

 會與y2cosx重合。

試題編號：13 參考答案：(4)(5)

學科內容：G-10-2 直線方程式、G-10-3 圓方程式、G-10-4 直線與圓 測驗目標：評量坐標平面上圓、點與直線的距離關係與二元一次不等式。

前兩式可得x²y² (x 2)²(y6)²。所以x y, 滿足不等式4x12y400，化簡可 得x3y100。

2. 這個區域（x3y100）與第二象限有交集；與第三象限無交集；與第一象限交集 可到無窮遠處；與x軸交點的x坐標x 10。事實上，直線x3y100為兩點 (0,0) 與 (2,6) 連線段的中垂線。

3. 圓心可能在第四象限，此時圓心到 (2,6) 的距離必大於點 (10,0) 到 (2,6) 的距離 10。

試題編號：14 參考答案：5

學科內容：D-10-3 有系統的計數

測驗目標：利用樹狀圖分類計數或列式解題。

試題解析：設選購1 組踏板x元 、1 組輪架 1200 元及 2 組相同的滑輪各y元。

依題意得：x12002y3000，其中x 



300, 400,500



,^{y }



^600,700



^。

因此，x2y1800。當y 600時， x有3種選擇；當y 700時，x 有2種選擇。

故由加法原理，可有5種不同的搭配方式。

試題編號：15

參考答案：a1,b4,c1,d 2

學科內容：A-11A-2 三元一次聯立方程式 測驗目標：評量高斯消去法的運算。

試題解析：此方程組之增廣矩陣

1 2 3 0 2 1 3 6 1 1 0 6 1 2 1 8

 

 

 

  

   

 

，利用列運算，第一式乘 ( 2) 加到第二式，第一式

乘 ( 1) 加到第三式，第一式乘 ( 1) 加到第四式，

1 2 3 0 1 2 3 0 1 0 1 4 0 3 3 6 0 1 1 2 0 1 1 2 0 3 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0

     

         

   

       

       

     

，得a1,b4,c1,d 2。

參考答案：3 2

學科內容：G-10-7 三角比的性質

測驗目標：評量正弦與餘弦定理的應用。

試題解析：【解法一】

ABC外接圓的半徑 4 2

R  7 。令BCx。 由餘弦定理，得

2 2 2 2

2 4 20

cos 2 2 4 16

x x

A    

  ^。

又由正弦定理，得 7

sin 2 8 2

x x

A R  。

因此，

2 2 2 4 2

2 2 (20 ) 7 26 400

1 cos sin

256 128 256

x x x x

A A   

     ，

即x⁴26x²1440。分解得(x²8)(x²18)0，故x ² 8或x ² 18，

可得x 2 2 或x 3 2 。當x 2 2 時，ABC為鈍角三角形(其中B為鈍角)，

不合；而當x 3 2 時，ABC為銳角三角形；故所求BC 3 2。

【解法二】

由外接圓的半徑 4 2

R  7 ，由正弦定理知 2 4 8 2 sin sin 2R 7

C  B  ，

所以 7 1

sin cos

8 8

B  B ， 7 5

sin cos

32 32

C  C  ，

推得 5 7 1

cos cos( ) cos cos sin sin

16 16 8 A  BC   B C B C    ，

利用餘弦定理

2 2 2

1 2 4 cos 8 2 2 4

A   BC

  ，故BC 3 2。

參考答案： 6 25

學科內容：D-10-3 有系統的計數、D-10-4 複合事件的古典機率

測驗目標：結合整數點的奇偶性應用在打地鼠遊戲的情境，評量機率的計算。

試題解析：將25個格子點依奇偶性分成四類，使每一類中的任兩點之中點仍為格子點：

1.



^{x y 為 奇,偶,}

  

^: A 1



(1, 2),(1, 4),(3, 2),(3, 4),(5, 2),(5, 4)



； 2.



^{x y 為 偶,奇,}

  

^: A 2



(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)



；

3.



x y 為 奇,奇,

  

: A 3



(1,1), 1,3), 1,5), 3,1), 3,3), 3,5), 5,1),(5,3),(5,5) ( ( ( ( ( (



； 4.



^{x y 為 偶,偶,}

  

^: A 4



(2, 2),(2, 4),(4, 2),(4, 4)



因此，所求的機率為

6 6 9 4

2 2 2 2

25 2

72 6 300 25

C C C C

C

     。

試題編號：18-19

參考答案：18.(1)(2)(3)(4)；19. 7 萬元

學科內容：A-10-2 多項式之除法原理、F-10-1 一次與二次函數、F-10-2 三次函數的圖形特徵 測驗目標：結合多項式函數應用在成本與獲利情境，利用因式定理找出函數模型，並能用配方法求

二次函數的最大值。

試題解析：1. 因為 ( )C x 是三次多項式函數，可設其首項係數為k  ，故函數 0 ( ) ( ) (18 4 ( ))

f x C x  x g x 也是三次多項式函數，且首項係數為k 0_。 另一方面，由條件： (1)f  f(2) f(3) 及因式定理，可得： 0

( ) ( 1)( 2)( 3) f x k x x x 。

因此， ( )C x k x( 1)(x2)(x 3) 18x4 ( )g x 。…..…….(*)

令x 4代入上式，得 51C(4)6k724 (4)g ，解得 21 6 21 (4) 4 4

g   k  (萬元)。

選項(4)利用 ( ) 0f x  的三根為x 1, 2, 3及三次多項式函數圖形特徵，當k 0時，

(0) 0

f  且 (4) 0f  ；而當k 0時， (0)f  且 (4) 00 f  ；故可得 (0) (4) 0f f  。

由(*)式以及題意所給 1 ^{3 2} 1

( ) 5

2 2

C x  x x  x 知 1 k 2，且 ^{( ) 1}



^{( 1)( 2)( 3) 18 ( )}



^{2 6 2}

g x 4 k x x x  x C x   x x   (x 3)² 7 7；

即進貨3 台儀器時，該經銷商可獲利的最大金額為 7 萬元。

【解法二】

設g x( )ax²bx ，並以c x 1,2,3分別代入 ( ) 18C x  x4 ( )g x ，得

6 (1) 18 4( ) 12 (2) 36 4(4 2 ) 26 (3) 54 4(9 3 )

C a b c

C a b c

C a b c

    

     

     



。

解得a 1,b6,c 2，即獲利函數g x( )  x² 6x 。 2

又g x( )  x² 6x   2 (x 3)²  ，即進貨 3 台儀器時，該經銷商可獲利的最大7 7 金額為7 萬元。