第九章 不等式及其應用
9-1 一元二次不等式與絕對不等式
一元一次不等式 1. 不等式之基本性質：設a、b、c為實數
(1)若a>b且b>c，則a>c。 (2)若a>b，則a+ > +c b c。 (3)若a>b且c>0，則ac>bc。 (4)若a>b且c<0，則ac<bc。 2. 一元一次不等式：
設a、b∈R且a≠0，則ax+ ≥b 0、ax+ >b 0、ax+ ≤b 0、ax+ <b 0稱為一元一次不等式。 (1)ax+ ≥b 0 ⇒ ax≥ −b。
①若a>0，則 b
x≥ − 。 a ②若a<0，則 b x≤ − 。 a
(2)ax b+ >0 ⇒ ax> −b。
①若a>0，則 b
x> − 。 a ②若a<0，則 b x< − 。 a
空心圓圈「o」表示圖形不包含此點；實心圓圈「•」表示圖形包含此點。
★ 一元一次不等式 ★
解不等式4x− <5 2x+6，並圖示其解。
原式 ⇒ 4x−2x< +6 5 ⇒ 2x<11
⇒ 11 x< 2
解不等式 1
2 3 3 x x
− + ≤ − ，並圖示其解。
不等式兩邊同乘 6
原式 ⇒ −6x+ ≤3 2x−18 ⇒ −8x≤ −21 ⇒ 21
x≥ 8
★★ 一元一次不等式之應用 ★★
設不等式ax− ≥3 5x+1之解為x≤ −2，試求a 之值。
原式 ⇒ (a−5)x≥4 又x≤ −2 ⇒ −2x≥4
∴ a− = −5 2 ⇒ a=3
設不等式3x− >2 ax+4之解為x>3，試求a 之值。
原式 ⇒ (3−a x) >6 又x>3 ⇒ 2x>6
∴ 3− =a 2 ⇒ a=1
一元二次不等式
1. 一元二次不等式的定義：
設a、b 、c為 實 數 ， 且a≠0， 則ax2+bx+ > 、c 0 ax2 +bx+ ≥ 、c 0 ax2+bx+ < 、c 0
2 0
ax +bx+ ≤ 等形式，均稱為一元二次不等式c 。
解一元二次不等式可先限制a> ，若0 a< 可將不等式兩邊同乘以 10 − ，使二次項 係數為正。以下討論均限制a> 。 0
2. 一元二次不等式的解法與圖示：
(1)當b2−4ac> 時（如圖一）0 ：ax2+bx+ 可化為 (c a x−
α
)(x−β
)（其中α
<β
）①(x−
α
)(x−β
)< ，其解為0α
< <xβ
。②(x−
α
)(x−β
)≤ ，其解為0α
≤ ≤xβ
。③(x−
α
)(x−β
)> ，其解為 x0 >β
或x<α 。④(x−
α
)(x−β
)≥ ，其解為 x0 ≥β
或 x≤α
。(2)當b2−4ac= 時（如圖二）0 ：ax2+bx+ 可化為c a x( −
α
)2，且(x−α
)2 ≥ 0①
(x−
α
)2 < ⇒ 0 x無解。②
(x−
α
)2 ≤ ⇒ 0 x=α。③
(x−
α
)2 > ⇒ 0 x之解為所有實數，但 x≠α
。④
(x−
α
)2 ≥ ⇒ 0 x之解為所有實數。(3)當b2−4ac< 時（如圖三）0 ：ax2+bx+ 恆為正數 c
①
2 0
ax +bx+ > 、c ax2 +bx+ ≥ 之解為所有實數。 c 0
②
2 0
ax +bx+ < 、c ax2 +bx+ ≤ 無解。 c 0 對任意實數 x ，
(1) f x( )=ax2+bx+ 恆為正 ⇔ c ax2+bx+ > 恆成立 ⇔ c 0 a> 且0 b2−4ac< 。 0 (2) f x( )=ax2+bx+ 恆為負 ⇔ c ax2+bx+ < 恆成立 ⇔ c 0 a< 且0 b2−4ac< 。 0
★ 一元二次不等式 ★ 試求下列不等式之解：
(1)3x2+2x+ <1 4x2− (2)2 x2−4x+ ≤ 。 1 0 (1)原式 ⇒ x2 −2x− >3 0
⇒ (x−3)(x+1)>0 ⇒ x>3或x< −1 (2)令x2−4x+ =1 0
⇒
4 ( 4)2 4 1 1 x ± − 2− × ×
=
4 2 3
2 3
2
= ± = ±
∴ 2− 3≤ ≤ +x 2 3
試求下列不等式之解：
(1)−x2+3x+ ≥ (2)4 0 x2+ − > 。 x 1 0 (1)原式 ⇒ x2−3x− ≤4 0
⇒ (x−4)(x+1)≤0 ⇒ − ≤ ≤1 x 4 (2)令x2+ − =x 1 0
⇒
1 12 4 1 ( 1) 1 5
2 2
x − ± − × × − − ±
= =
∴ 1 5
x − +2
> 或 1 5
x − −2
<
★★ 一元二次不等式 ★★
試求下列不等式之解：
(1)x2−4x+ ≥ (2)4 0 x2+ + < 。 x 1 0 (1)原式 ⇒ (x−2)2 ≥0恆成立
∴ x為任意實數 (2)∵ 2 1 0 2
4 1 4 1 1 3 0
a
b ac
= >
− = − × × = − <
⇒ 恆為正，即x2+ + >x 1 0
∴ x2+ + <x 1 0無解
試求下列不等式之解：
(1)4x2−4x+ < (2)1 0 x2−2x+ > 。 3 0 (1)原式 ⇒ (2x−1)2 <0
∴ x無解
(2)∵ 2 1 0 2
4 ( 2) 4 1 3 8 0
a
b ac
= >
− = − − × × = − <
⇒ 恆為正，即x2−2x+ >3 0
∴ x為任意實數
★★★ 一元二次不等式的恆正、恆負 ★★★
設m 為 實 數 ， 若 對 任 意 實 數 x ， 二 次 式
2 3 0
mx +mx− < 恆成立，試求m的範圍。
2 3 0
mx +mx− < 恆成立
⇒ 2 0
4 ( 3) 0
m
m m
<
− × × − <
⇒ 0
12 0
m m
<
− < <
⇒ −12<m<0
設 k 為 實 數 ， 若 對 任 意 實 數 x ， 二 次 式
2 10
kx + x+ 恆為正，試求k k的範圍。
2 10
kx + x+k恆為正
⇒ 2 0
10 4 0
k
k k
>
− × × <
⇒ 0
5 5
k
k k
>
> < −
或
⇒ k >5
★★ 反求一元二次不等式 ★★
若 不 等 式 −x2+ax b+ <0 的 解 為 x>2 或 3
x< − ，試求a+b之值。
∵ x>2或x< −3
∴ (x+3)(x−2)>0
⇒ x2+ − >x 6 0
⇒ −x2− + <x 6 0
∴ a= −1，b=6
⇒ a+ =b 5
若不等式ax2+bx− < 的解為6 0 − < <1 x 3，試 求a+b之值。
∵ − < <1 x 3
∴ (x+1)(x−3)<0
⇒ x2−2x− <3 0
⇒ 2x2−4x− <6 0
∴ a=2，b= −4
⇒ a+ = −b 2
絕對值不等式與分式不等式 1. 絕對值不等式：設a>0，則
(1) | ( ) |f x < ⇔ a − <a f x( )< 。a (2) | ( ) |f x ≥ ⇔ a f x( )≥ 或 ( )a f x ≤ − 。 a (3) | ( ) |f x >| ( ) |g x ⇔ [ ( )]f x 2 >[ ( )]g x 2。
2. 分式不等式：
(1) ( ) ( ) 0 f x
g x > ⇔ f x( )⋅g x( )> （ ( )0 g x ≠ ）0 。 (2) ( ) ( ) 0 f x
g x < ⇔ f x( )⋅g x( )< （ ( )0 g x ≠ ）0 。
★ 絕對值不等式 ★
試求下列不等式之解：
(1)| 2x−3 |>9 (2) |x+2 |≤ 。 7 (1)原式 ⇒ 2x− >3 9或2x− < −3 9
⇒ x>6或x< −3 (2)原式 ⇒ − ≤ + ≤7 x 2 7
⇒ − ≤ ≤9 x 5
試求下列不等式之解：
(1)| 3 2 |− x <7 (2) |x−5 |≥ 。 2 (1)原式 ⇒ − < −7 3 2x<7
⇒ −10< −2x<4 ⇒ − < <2 x 5
(2)原式 ⇒ x− ≥5 2或x− ≤ −5 2 ⇒ x≥7或x≤3
★★ 絕對值不等式 ★★
試求不等式|x+5 | | 2≤ −x|之解。
兩邊平方得(x+5)2 ≤(2−x)2
⇒ x2 +10x+25≤x2 −4x+4
⇒ 14x≤ −21
⇒ 3
x≤ −2
試求不等式| 2x+1| |> x−1|之解。
兩邊平方得(2x+1)2 >(x−1)2
⇒ 4x2+4x+ >1 x2 −2x+1
⇒ 3x2+6x>0
⇒ 3 (x x+2)>0
⇒ x>0或x< −2
絕對不等式
1. 算幾不等式：（算術平均數≥幾何平均數）
設a 、1 a 、…、2 a 均為正數，則 n
1 2
1 2
n n
n
a a a
a a a
n + + +
≥ × × ×
L L ，等號成立 ⇔ a1 =a2 =L=an。 2. 柯西不等式：
設a 、1 a 、…、2 a 及n b 、1 b 、…、2 b 均為實數，則 n
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
(a +a +L+an )(b +b +L+bn )≥(a b +a b +L+a bn n) ， 等號成立 ⇔ 1 2
1 2
n n
a a a
b = b =L= b 。
★★ 算幾不等式 ★
設a、b為二正數，且a b2 =27，試求2a b+ 的 最小值。
∵ a、b為二正數
⇒ 3 2
3 a a b
+ + a b
≥ ⇒ 2 3
27 3 3
a b+
≥ =
⇒ 2a+ ≥b 9
∴ 2a b+ 的最小值為 9
若x>0，y> ，且0 x+y= ，試求6 x y 的最2 大值。
∵ x>0，y>0
⇒ 2 2 3( )( )( )
3 2 2
x x
y x x
y + +
≥
⇒ 2 3 1 2 4x y
≥ ⇒ 1 2
8≥4x y
⇒ 32≥x y2
∴ x y2 的最大值為 32
★★ 算幾不等式的應用 ★★
若x> −1，試求 1
4 1
x+ + x
+ 的最小值。
∵ x> −1 ⇒ x+ >1 0
所求 ⇒ 1
( 1) 3 ( ) x 1
+ + + x + 2 ( 1)( 1 ) 3
x 1
≥ + x +
+ = + =2 3 5
∴ 最小值為 5
若x> −3，試求 16
5 3
x+ + x
+ 的最小值。
∵ x> −3 ⇒ x+ >3 0
所求 ⇒ 16
( 3) 2 ( ) x 3
+ + + x + 2 ( 3)( 16 ) 2
x 3
≥ + x +
+ = × + =2 4 2 10
∴ 最小值為 10
★★ 柯西不等式 ★★
若x、 y 為實數，且x2+y2 =20，試求 2x y+ 的最大值與最小值。
2 2 2 2 2
(2x+y) ≤(2 +1 )(x +y )
⇒ (2x+y)2≤ ×5 20
⇒ −10≤2x+ ≤y 10
∴ 最大值為 10，最小值為−10
若x、 y 為實數，且 3x+4y=15，則x2+y2的 最小值。
2 2 2 2 2
(3x+4 )y ≤(3 +4 )(x +y )
⇒ 152 ≤25 (× x2+y2)
⇒ x2+y2 ≥9
∴ 最小值為 9
★★ 柯西不等式 ★★
設x、 y 、 z 為實數，且x+ + = ，試求y z 6
2 2 2
x +y +z 的最小值。
2 2 2 2 2 2 2
(x+ +y z) ≤(1 +1 +1 )(x +y +z )
⇒ 62 ≤ ×3 (x2+y2+z2)
⇒ x2+y2+z2 ≥12
∴ 最小值為 12
若x、 y 、 z 為實數，且x2+y2+z2 =12，試 求x− +y z的最大值與最小值。
2 2 2 2 2 2 2
(x− +y z) ≤[1 + −( 1) +1 ](x +y +z )
⇒ (x− +y z)2 ≤ ×3 12=36
⇒ − ≤ − + ≤6 x y z 6
∴ 最大值為 6，最小值為−6
( Ｃ ) 1. 下列何者之解為任意實數解？ (A)| |x > (B)0 x2 +6x+ > (C)9 0 x2+ + > x 1 0 (D)x2− − < 。 x 1 0
( Ａ ) 2. 滿足不等式|1 2 |− x < 之整數解有 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 個。 5 ( Ｃ ) 3. 滿足不等式3 | 2< x−1|≤ 之整數解有 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 個。 9 ( Ｄ ) 4. 求|x−2 |+|x+6 |的最小值為 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。
＊題目難度較高
5. 不等式4
( 6) 1 2 5
3 x− + > x− 之解為 x< −3 。 6. 求滿足不等式2 3
4 7 x− x
< 之最大整數為 2 。 7. 設a<1，則ax+ < +a x 1之解為 x> −1 。 8. 不等式 3 8 4
2 5 1 x
x
− ≤
+ >
之解為 − < ≤2 x 4 。
9. 不等式8 2+ x−3x2 > 之解為0 4 3 x 2
− < < 。
10. 設a、b為實數，若ax2+bx− ≤ 之解為3 0 − ≤ ≤3 x 1，則a+ =b 3 。 11. 若ax2+bx+ > 之解為6 0 1 3
4 x 2
− < < ，則2a b+ = −12 。 12. 不等式|x−5 |≤ 之解為2 3≤ ≤x 7 。
13. 不等式| 2x−1| | 2 3 |< − x 的解為 3
1 5
x> 或x< 。
14. 聯立不等式 | 2 3 | 5
| 3 1| 4 x
x
− ≤
+ ≥
之解為 1≤ ≤x 4 。
15. 設a>0、b>0，若a+ =b 10，則ab的最大值為 25 。
16. 設a>0、b>0、c>0，若abc=64，則a+ +b c的最小值為 12 。 17. 若x> −4，則 1
x 4 +x
+ 之最小值為 −2 。
18. 若x、 y 為實數，且 2x+y=5 3，則x2+y2之最小值為 15 。 19. 若x、 y 為實數，且x2+y2 =20，則x−2y之最大值為 10 。
＊20. 利用柯西不等式，求3sinθ+4 cosθ的最大值為 5 。 21. 若x、 y、z 為實數，已知x2+y2+z2 =27，則
(1)x+ +y z的最大值為 9 ，(2) xyz 的最大值為 27 。 22. 若a、b、c為實數，則 2 2 2
2 2 2
1 1 1 (a b c )( )
a b c
+ + + + 的最小值為 9 。
＊23. 設x、y> ，若0 x+y=12，則
6 6
log x+log y的最大值為 2 。
＊24. 設0
2
θ π
< < ，則tanθ+cotθ的最小值為 2 。
9-2 二元一次不等式的圖形
二元一次不等式的圖形
1. 二元一次不等式的定義：
設a、b、c為實數，且a、b不同時為 0，則ax by+ + > 、c 0 ax by+ + ≥ 、c 0 ax by+ + < 、c 0 ax by+ + ≤ 等形式，均稱為二元一次不等式c 0 。
2. 二元一次不等式的圖形：（左、右側半平面）
設直線 L ：ax by+ + = ，且c 0 a>0，則
(1)ax by+ + > 的圖形為直線c 0 L的右側半平面。
(2)ax by+ + ≥ 的圖形為直線c 0 L及直線L的右側半平面。 (3)ax by+ + < 的圖形為直線c 0 L的左側半平面。
(4)ax by+ + ≤ 的圖形為直線c 0 L及直線L的左側半平面。
(1)若二元一次不等式中 x 的係數a< 時，務必移項整理，使得 x 的係數為正。 0 (2)若圖形包含直線 L ，則直線 L 以實線畫出；若圖形不包含直線 L ，則直線 L 以虛線
畫出。
L ：ax by+ + = 且c 0 a>0 L ：ax by+ + = 且c 0 a>0 3. 二元一次不等式的圖形：（上、下側半平面）
設直線 L ： y k= ，（即直線 L ：ax by+ + = 中，當c 0 a=0時），則 (1) y> 的圖形為直線k L的上側半平面。
(2) y≥ 的圖形為直線k L及直線L的上側半平面。 (3) y< 的圖形為直線k L的下側半平面。
(4) y≤ 的圖形為直線k L及直線L的下側半平面。
4. 二元一次聯立不等式的圖形：
(1)兩個或兩個以上的二元一次不等式並列，稱為二元一次聯立不等式。 (2)二元一次聯立不等式的圖形為各二元一次不等式圖解的交集。
★ 二元一次不等式的圖形 ★ 圖示下列二元一次不等式的解：
(1) 3− x− + < (2)y 6 0 y≤ 。 3 (1)原式 ⇒ 3x+ − >y 6 0
令3x+y=6 x 0 2 y 6 0
(2)令y=3 x 0 3 y 3 3
圖示下列二元一次不等式的解：
(1) 4x+3y− ≤4 2x+4y (2)x> −3。 (1)原式 ⇒ 2x− ≤y 4
令2x− =y 4 x 0 2 y −4 0
(2)令x= −3 x −3 −3 y 0 −3
★★ 聯立不等式的圖形 ★★
圖解二元一次聯立不等式 3 6 0
2 6 0 x y
x y
− − <
+ − ≥
。
令3x− − =y 6 0 x 0 2 y −6 0 令x+2y− =6 0 x 0 6 y 3 0
圖解二元一次聯立不等式 3
2 3 6 x y
x y
− ≥
+ <
。
令x− =y 3 x 0 3 y −3 0 令2x+3y=6 x 0 3 y 2 0
★★★ 二元一次不等式的圖形 ★★★
圖示二元一次不等式| 4x+3 | 12y ≤ 的解。
原式 ⇒ −12≤4x+3y≤12 ⇒ 4 3 12
4 3 12
x y
x y
+ ≤
+ ≥ −
圖示二元一次不等式 4 | | 3 | | 12x + y ≤ 的解。
(1)x≥0，y≥0，作4x+3y≤12之圖形。
(2)x以−x代替，不等式不變，圖形對稱 於y軸。
(3)y以−y代替，不等式不變，圖形對稱 於x軸。
由(1)(2)(3)得不等式的解如下圖：
★★ 聯立不等式區域面積 ★★
試求不等式組：x≥0，y≥ ，0 x+3y≤30， 2x+ ≤y 20所圍成的區域面積。
令x+3y=30 x 0 30 y 10 0 令2x+y=20 x 0 10
y 20 0 3 30
2 20
x y
x y
+ =
+ =
⇒ 交點(6,8)
∴ 所圍區域面積=2個三角形面積之和
1 1
10 8 10 6
2 2
= × × + × ×
=70
試求聯立不等式 0
3 6
2 3 6 0
y x x y
≥
≤ ≤
− + ≥
所圍成的區
域面積。
令2x−3y+ =6 0 x 0 −3 y 2 0
3 x= x=6
∴ 所圍區域面積 (4 6) 3 2 15 + ×
= =
★★★ 不等式區域面積 ★★★
試求不等式| | | | 6x + y ≤ 所圍成的區域面積。
令| |x +|y|=6 當x=0，y= ±6 當y=0，x= ±6
∴ 所圍區域面積 1
4 4 6 6 72
= ∆ = × × × =2
求 聯 立 不 等 式 | | 6
| | 6 x y x y
+ ≤
− ≤
所 圍 成 的 區 域 面 積。
原式 ⇒
6 6
6 6
x y x y
− ≤ + ≤
− ≤ − ≤
⇒
6 6 6
6 x y x y x y x y
+ ≤
+ ≥ −
− ≤
− ≥ −
∴ 所圍區域面積
1
4 4 6 6 72
= ∆ = × × × =2
同側、異側
設直線 L ：ax by+ + = ，且平面上相異兩點c 0 A x y 、( ,1 1) B x y( ,2 2)， 1. 若 A 、 B 兩點在 L 的同側 ⇔ (ax1+by1+c ax)( 2+by2+c)> 。 0 2. 若 A 、 B 兩點在 L 的異側 ⇔ (ax1+by1+c ax)( 2+by2+c)< 。 0 3. 若 AB 與 L相交（異側或線上） ⇔ (ax1+by1+c ax)( 2+by2+c)≤ 。0
★★ 同側、異側 ★★
若 (3, 2)A 、 (1, 2)B − 兩點在 L ：3x−4y+k =0 的 (1)同側 (2)異側，試求k的範圍。
(1)∵ A、B在L的同側
∴ (9 8− +k)(3 8+ +k)>0
⇒ (k+1)(k+11)>0
⇒ k> −1或k< −11 (2)∵ A、B在L的異側
∴ (9 8− +k)(3 8+ +k)<0
⇒ (k+1)(k+11)<0
⇒ −11<k< −1
若 ( ,5)A a 、 (6, )B a 兩點在L ：x+3y− = 的9 0 (1)同側 (2)異側，試求a的範圍。
(1)∵ A、B在L的同側
∴ (a+15 9)(6 3− + a−9)>0
⇒ (a+6)(3a−3)>0
⇒ a>1或a< −6 (2)∵ A、B在L的異側
∴ (a+15 9)(6 3− + a−9)<0
⇒ (a+6)(3a−3)<0
⇒ − <6 a<1
★★ 同側、異側 ★★
設 (1,0)P 、 ( 2, 2)Q − ，若 PQ 與 L：x−3y−k =0 不相交，試求k的範圍。
∵ 不相交 ⇒ 同側
∴ (1 0− −k)( 2 6− − −k)>0
⇒ (1−k)( 8− −k)>0
⇒ (k−1)(k+8)>0
⇒ k>1或k< −8
若直線 L ：x+2y− = 與 AB 相交於一點，5 0 且 (A k−2,1)、 (3, )B k ，試求k的範圍。
∵ 相交於一點
∴ (k− + −2 2 5)(3 2+ k−5)≤0
⇒ (k−5)(2k−2)≤0
⇒ 1≤k ≤5
( Ｃ ) 1. 不等式3x+2y> 的圖形不通過第幾象限？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 6 ( Ａ ) 2. 二元一次不等式4x+3y−16≤ 的正整數解共有 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 組。 0 ( Ｂ ) 3. 若A(4, 2)− 、 (1,0)b ，在直線 L ：ax+ + = 之異側，則y 2 0 a可能的值為何？ (A) 2−
(B)− (C) 0 (D) 1。 1
( Ａ ) 4. 設不等式2x+3y+ ≥ 的圖形包含點 ( 1, 2)k 0 − ，則k的範圍為 (A)k ≥ −4 (B)k≤ −4 (C)k≥2 (D)k≤2。
( Ｂ ) 5. 設P(5, 3)− 、 (3,1)Q ，若 PQ 與直線x+ + = 相交，則y k 0 k的範圍為 (A)− <4 k< −2 (B)− ≤4 k ≤ −2 (C)k > −2或k< −4 (D)k≥ −2或k≤ −4。
( Ａ ) 6. 設A(1,1)、 (2,5)B ，若直線 L ：y=mx+ 與 AB 相交，則3 m的範圍為 (A)− ≤2 m≤1 (B)− <2 m<1 (C)m≥1或m≤ −2 (D)m>1或m< −2。
( Ｄ ) 7. 下列哪一點與點A(2,1)在直線 L ： 5x−2y+ = 的同側？ (A) ( 1,3)7 0 − (B) ( 3, 4)− − (C)( 2, 1)− − (D) (0,3) 。
8. 聯立不等式 0
4
2 0
y x y x y
≥
+ ≤
− + ≥
所圍成的區域面積為 9 。
9. 不等式2 | | 3 |x + y|≤ 所圍成的區域面積為6 12 。
＊10. 聯立不等式 | 2 | 4
| 2 | 4 x y x y
+ ≤
− ≤
所圍成的區域面積為 16 。
11. 聯立不等式
0 5
0 7
8 x y x y
≤ ≤
≤ ≤
+ ≤
所圍成的區域面積為 27 。
＊題目難度較高
9-3 線性規劃
線性規劃
1. 線性規劃：
以二元一次聯立不等式來表示問題中的限制條件，再以線性函數 ( , )f x y 表示問題中想要達 成的目標（稱為目標函數）。利用二元一次聯立不等式的圖形所圍成的區域（稱為可行解 區域），求出目標函數 ( , )f x y 的最大值與最小值（稱為最佳解），此類問題稱為線性規劃。
目標函數 f x y( , )的最佳解，必發生在可行解區域的各頂點坐標上。
2. 線性規劃的解題步驟：
(1)依題意設定變數，將資料列表。
(2)依題目的限制條件，列出二元一次聯立不等式及目標函數。
(3)圖解二元一次聯立不等式，找出可行解區域，並求出圖形的各頂點坐標。
(4)將各頂點坐標代入目標函數 f x y 中，即可求出符合題意的最佳解（最大值、最小值）( , ) 。
★★ 線性規劃 ★★
在 不 等 式
0
0 5
4 0 2 0 y
x x y x y
≥
≤ ≤
+ − ≥
− + ≥
的 條 件 下 ， 求 函 數
( , )
f x y =5x+2y− 的最大值和最小值。 3 令x+ − =y 4 0 x 0 4
y 4 0 令x− + =y 2 0 x 0 −2 y 2 0 4 0
2 0 x y
x y + − =
− + =
⇒ 交點(1, 3)
( , )x y (4, 0) (5, 0) (5, 7) (1, 3) ( , )
f x y 17 22 36 8
∴ 最大值 36，最小值 8
在 不 等 式 0 0
5 0
2 2 0
x y x y
x y
≥
≥
+ − ≤
− + ≥
的 條 件 下 ， 求 函 數
( , ) 2 5
f x y = x− y的最大值和最小值。
令x+ − =y 5 0 x 0 5 y 5 0 令2x− + =y 2 0 x 0 −1 y 2 0 5 0
2 2 0
x y x y
+ − =
− + =
⇒ 交點(1, 4)
( , )x y (0, 0) (5, 0) (1, 4) (0, 2) ( , )
f x y 0 10 −18 −10
∴ 最大值 10，最小值−18
★★★ 線性規劃應用 ★★★
某工廠用甲、乙兩種不同原料均可生產同一 產品，若採用甲種原料，每公斤成本 400 元，
運費 20 元，可得產品 4 公斤；若採用乙種原 料，每公斤成本 100 元，運費 30 元，可得產 品 5 公斤，預算成本不得超過 4000 元，運費 不得超過 600 元之條件下，此工廠每日最大 產量為多少公斤？
設採用甲種原料x公斤，乙種原料y公斤 甲 乙
成本 400 100 ≤4000 運費 20 30 ≤600 產量 4 5
在 0 0
400 100 4000 20 30 600 x
y
x y
x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
⇒
0 0
4 40
2 3 60
x y
x y
x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
條件限制下，求 f x y( , )=4x+5y之最大值
4 40
2 3 60
x y
x y
+ =
+ =
⇒ 交點(6,16)
( , )x y (0, 0) (10, 0) (6,16) (0, 20) ( , )
f x y 0 40 104 100
∴ 當採用甲原料 6 公斤，乙原料 16 公斤 最大產量 104 公斤
某汽車公司有兩家裝配廠，生產甲、乙兩種 不同型的汽車，若 A 廠每小時可完成 1 輛甲 型車與 3 輛乙型車； B 廠每小時可完成 2 輛 甲型車與 1 輛乙型車。今若欲製造 40 輛甲型 車與 30 輛乙型車，應如何分配工作，方能使 工作總時數最少？
設A廠工作x小時，B廠工作y小時
A B
甲 1 2 ≥40
乙 3 1 ≥30
在 0 0 2 40
3 30
x y
x y
x y
≥
≥
+ ≥
+ ≥
條件限制下
求 f x y( , )= +x y之最小值
2 40
3 30
x y
x y
+ =
+ =
⇒ 交點(4,18) ( , )x y (0, 30) (4,18) (40, 0)
( , )
f x y 30 22 40
∴ 當A廠工作 4 小時，B廠工作 18 小時 工作總時數最少 22 小時
1. 在不等式 0 0 4 3 18
3 9 x
y x y x y
≥
≥
+ ≥
+ ≥
的條件下，則 ( , )f x y = + 的最小值為x y 5 。
2. 在不等式 0 0
3 30
2 20 x
y x y x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
的條件下，則 ( , ) 4f x y = x+ + 的最大值為y 2 42 。
3. 在 0 0
3
2 6
x y x y
x y
≥
≥
− ≥ −
+ ≤
條件限制下，若目標函數 ( , )f x y = −x 2y+ 的最大值為 M ，最小值為3 m，
則M +m= 2 。
4. 在不等式
0 4
0 8
2 8 x y x y x y
≤ ≤
≤ ≤
+ ≥
+ ≤
的條件下，求 ( , ) 2f x y = x+3y− 的最大值為1 23 。
5. 在3 | | 2 |x + y|≤ 不等式的條件下，求 ( , )6 f x y =2x+ 的最大值為y 4 。
6. 在面積 3000 平方公尺的建築用地上，以不超過 2000 萬元的建築經費建造甲、乙兩種不同 形式的住宅，已知甲種每戶占地 200 平方公尺，造價 400 萬元，可獲利 200 萬元；乙種每 戶占地 300 平方公尺，造價 100 萬元，獲利 250 萬元，則在此建地建築甲、乙兩種住宅，
最多可獲利 2600 萬元。
( Ｂ ) 1. 滿足不等式2 1 3
3x+ ≤ −1 2x+4的最大整數為 (A) 2− (B) 1− (C) 0 (D) 1。
( Ｂ ) 2. 設不等式ax+ >2 4(x−1)之解為x<3，則a之值為 (A) 2− (B) 2 (C)−6 (D) 6。
( Ｄ ) 3. 滿足不等式| 2x−3 |< 的整數解共多少個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 5 ( Ｃ ) 4. 設x為整數，則1 |≤ x+1|< 之解共有 (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 個。 5 ( Ｃ ) 5. 求不等式3 5− x−2x2 > 的解為 (A)0 x>2或 1
x< − (B)2 1
x>2或x< −3
(C) 1
3 x 2
− < < (D)1
2< < 。 x 3
( Ａ ) 6. 設a、b為實數，若不等式ax2+4x b+ < 之解為0 5 1 2 x 2
− < < ，則a+ =b (A) 1
− 2 (B) 3
− (C)2 1
2 (D)3 2。
( Ａ ) 7. 設x為實數，不等式|x−2 | | 2≤ x+1|之解為 (A) 1
x≥3或x≤ −3 (B)x≥1或x≤ −1
(C) 1
3 x 3
− ≤ ≤ (D)− ≤1 x≤1。
( Ａ ) 8. 設x、 y 均為正實數且8x+5y=20，則 xy 的最大值為 (A)5
2 (B)15
2 (C) 10 (D) 20。
( Ｃ ) 9. 二元一次不等式3x+4y−18≤ 的正整數解共有幾組？ (A) 7 (B) 8 (C) 9 0 (D) 10。
( Ｂ ) 10. 求聯立不等式 0 0
10 2 12 x
y x y x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
所圍成的區域面積為 (A) 32 (B) 34 (C) 36 (D) 38。
( Ｂ ) 11. 已知A(2, 3)、 ( ,b a a+ 在直線 L ：1) x+2y−11 0= 的同側，則a的範圍為 (A)a< −3 (B)a<3 (C)a> −3 (D)a>3。
( Ａ ) 12. 不等式6x−7y− + ≥ 之圖解不包含原點，則a 3 0 a的範圍為 (A)a>3 (B)a<3 (C)a≥3 (D)a≤3。
( Ｃ ) 13. 在x≥0，y≥ ，30 x+ ≤y 30，x+2y≤20的條件下，函數 ( , ) 4f x y = x+ 的最大值為y 何？ (A) 30 (B) 38 (C) 40 (D) 80。
( Ｃ ) 14. 在不等式組 0 0 2 3 12
2 4
x y
x y x y
≥
≥
+ ≤
− ≤
的條件限制下，目標函數 ( , ) 5f x y = x− + 的最大值為 M ，y 1
最小值為m，則M+m= (A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14。
( Ｄ ) 15. 在
0 0
2
3 6
x y
x y x y
≥ ≥
− ≥ −
+ ≤
，
的條件下， ( , )f x y = +x 3y的最大值為 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10。
( Ｂ ) 13. 已知(5, )k 為聯立不等式 2 3 0
3 8 0
x y x y
− + ≥
+ − >
的解，則k的範圍為 (A)7<k≤13 (B)− <7 k≤13 (C)7<k≤9 (D)− <7 k≤9。
( Ｂ ) 2. 已知1 (2< x+3)2 <81，求滿足x的整數解有多少個？ (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10。
( Ｂ ) 3. 若不等式ax2 +bx+ > 之解為c 0 x>3或x<1，則不等式bx2+cx+ ≥ 的整數解有a 0 個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
( Ｄ ) 4. 設k 為實數，若對任意實數x，二次式x2+(k+1)x+ ≥ 恆成立，則4 0 k 的範圍為 (A)k≥3或k ≤ −5 (B)k ≥5或k≤ −3 (C)− ≤3 k≤5 (D)− ≤5 k≤3。
( Ｃ ) 5. 設不等式|x−
α
|≤β
的解為− ≤ ≤3 x 1，則α β
+ 之值為 (A) 1− (B) 0 (C) 1 (D) 2。( Ｂ ) 6. 若x、 y 為實數，且x+2y=12，則x2+2y2的最小值為 (A) 36 (B) 48 (C) 72 (D) 144。
( Ｄ ) 7. 設a>0，b>0，若a+ =b 9，則ab 的最大值為2 (A) 4 (B) 12 (C) 36 (D) 108。
( Ｄ ) 8. 已 知4<(2x−3)2 <25， 試 求x的 範 圍 為 何 ？ (A) 5 1 x 2
− < < (B) 3 2 x 1
− < < − 或
5 4
2< < (C)x − < <1 x 4 (D) 1 1 x 2
− < < 或5
2< < 。 x 4
( Ｂ ) 9. 已知兩種維他命，甲種維他命含 5 單位的維他命 A，9 單位的維他命 E，售價每粒 10 元，乙種維他命含 6 單位的維他命 A，4 單位的維他命 E，每粒售價 8 元。假設每人 每週最少需要 40 單位的維他命 A 及 38 單位的維他命 E，則獲得足夠的維他命 A 與 E 所需花費最少費用為 (A) 40 元 (B) 60 元 (C) 76 元 (D) 80 元。
( Ｄ ) 1. 不等式| 3x−5 |< 的解為整數者共有多少個？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。 9
【93 統測】
( Ｂ ) 2. 若不等式ax2+bx+ < 之解為c 0 1< <x 2，則不等式bx2+cx+ ≥ 的整數解有幾個？ a 0
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【94 統測】
( Ｃ ) 3. 在坐標平面上，滿足不等式組5x+2y≤180，x+ ≤y 45，x≥0，y≥ 的區域面積為0 何？ (A) 270 (B) 675 (C) 945 (D) 1620。 【94 統測】
( Ｂ ) 4. 坐標平面上，三直線x− = ，y 0 x−2y= ，8 x=0所圍成之三角形面積為何？ (A) 8
(B) 16 (C) 32 (D) 64。 【95 統測】
( Ｂ ) 5. 坐標平面上，不等式方程組y≤ + ，x 2 x≤0，y≥ 的區域面積為何？ (A) 1 (B) 2 0
(C) 3 (D) 4。 【95 統測】
( Ｄ ) 6. 聯立不等式 | | 8
| | 8 x y x y
+ ≤
− ≤
之圖形區域面積為何？ (A) 64 (B) 86 (C) 100 (D) 128。
【96 統測】
( Ｄ ) 7. 聯立不等式
0 0
20 10
x y
x y x y
≥ ≥
+ ≤
− ≥ −
，
的條件下，試求 3y x− 的最大值？ (A) 10 (B) 20 (C) 30
(D) 40。 【96 統測】
( Ｄ ) 8. 在坐標平面上，在|x−1|+|y−3 |≤ 的平面區域中，2 x+2y的最大值為何？ (A) 3
(B) 5 (C) 9 (D) 11。 【97 統測】
( Ｄ ) 9. 坐標平面上，已知x≥0，y≥ ，且0 x+2y≤ ， 37 x+ ≤ ，則y 6 x+y之最大值為何？
(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4。 【98 統測】
( Ａ ) 10. 已知x≥0，y≥ 且 20 x+ ≥y 20，求x+ + 之最小值為何？ (A) 16 (B) 17 (C) 18 y 6
(D) 19。 【99 統測】
( Ｂ ) 11. 在直角坐標平面上，設點(1, )b 滿足不等式ax+3y− ≥ ，則數對 ( , )6 0 a b 可為下列何 者？ (A) (1,1) (B) ( 5,5)− (C) ( 1, 1)− − (D) (5, 5)− 。 【100 統測】
( Ｄ ) 12. 已知點 Q 為二元一次聯立不等式 2 3 6 0 5 4 20 0
x y x y
+ + ≥
− + <
圖形上的一點，則 Q 之坐標可能為
下列何者？ (A) ( 5,0)− (B) ( 2,0)− (C) (0,5) (D) (0,6) 。 【101 統測】
( Ｃ ) 13. 受制於 0 0
3
2 4
x y x y
x y
≥
≥
+ ≤
+ ≤
的條件下，求 ( , )f x y = +x 3y的最大值 (A) 0 (B) 7 (C) 9
(D) 12。 【102 統測】
( Ｄ ) 14. 已知x、 y 、 z 均為正實數。若x、 y 、 z 滿足 2x+3y+ =z 12，則下列何者為真？
(A) xyz 的最大值為 12 (B)x y z 的最大值為2 3 32 (C)xyz 的最大值為2 48 (D)xy z 的2
最大值為 18。 【102 統測】
( Ｃ ) 15. 設x、 y 、 z 皆為正實數，且xy+yz+zx=27，則 xyz 之最大值為何？ (A)12 23 (B) 18 (C) 27 (D)27 23 。 【103 統測】
( Ｃ ) 16. 下列何者與不等式x2−6x−16< 有完全相同的解？0 (A) (x−2)(x+8)<0
(B) − < − <3 x 5 3 (C) (x−3)2 <25 (D) −x2+6x+16< 。 0 【104 統測】
( Ｃ ) 17. 若想要利用一條繩子圍出一個面積至少為 25 平方公尺的矩形花園，則所需要的繩子 總長度至少須為多少公尺？ (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D) 24。 【104 統測】
( Ｃ ) 18. 已知ax2 +2x+c>0的解為−1<x<3，則a+ 之值為何？c (A) 4− (B) 2− (C) 2
(D) 4。 【105 統測】
( Ｃ ) 19. 若一元二次不等式x2−2x− < 的解為3 0 a<x<b，則a+ =b ？ (A) −3 (B) 1−
(C) 2 (D) 3。 【106 統測】
( Ｂ ) 20. 若一元二次不等式ax2+bx− ≥ 的解為6 0 2≤x≤3，則數對 ( , )a b 為下列何者？
(A) ( 1 ,− −5) (B)( 1, 5)− (C) (1, 5)− (D) (1, 5) 。 【107 統測】
( Ｃ ) 21. 在滿足二元一次聯立不等式 1
0 3 4 x
y x y x y
≥
≥
− ≤
+ ≤
的條件下。若 3x−5y的最大值及最小值分別為
M 及m，則 M m+ 之值為何？ (A)−9 (B) 4− (C)−3 (D) 3。 【107 統測】
