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南科實中 105 學年度 第二學期 第一次段考 高一數學科
--- 一、單選題(每題 5 分，共 10 分)
( )1. a 為一個 999 項的等差數列，
na
123= − 123 ，且數列總和為 0，則下列敘述何者錯誤？
(1) a
200+ a
800= (2) 0 a
111+ a
888< (3) 0 a
500= (4) 0 a
777= 777 (5) a
877= 123 ( )2. 將 5 這個數字寫成 3 個正整數之和的方法如下：
5 = + + = + + = + + = + + = + + = + + 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 依順序排列，共 6 種情形。
依照上述方法，將 9 這個數字寫成 3 的正整數之和的方法有多少種？
(1)27 (2)28 (3)29 (4)30 (5)31
二、多選題(每題 7 分，共 14 分，答錯一個得 4 分，答錯兩個得 1 分，答錯三個以上不給分) ( )1. 某班學生 50 人參加數學測驗，試題 A 、 B 、 C 三題，答對 A 者有 23 人，答對 B 者有 17
人，答對 C 者有 22 人，答對 A 、 B 者有 4 人，答對 A 、 C 者有 6 人，答對 B 、 C 者有 4 人，而且沒有任何學生三題全部答錯，則下列選項何者正確？
(1)至少答對一題者有 42 人 (2)三題均答對者有 2 人 (3)恰對一題者有 40 人 (4)至少對兩題者有 20 人 (5)只對 A 題者有 12 人
( )2. 數列 a 滿足
n( a
n+1)
2= 64( a
n)
2，且數列 b
n滿足 b
n= log (
4a
n) ， n ∈ N ，若 b
11= ，則下列 9 何者正確？
(1)數列 a 為公比
n± 8 的等比數列 (2)數列 b
n為公差 3
± 的等差數列 2 (3) a
10× a
30= ( a
20)
2(4)
10
1
15
n
2
n
b
=
∑ = (5) 10 3
1
1023
n
16
n
a
=
∑ =
三、填充題(答對題數 1～6 題，每題 7 分，答對 6 題以上，每題 4 分，共 62 分)
1. 宇集 U = − − { 4, 3, 0, 3, 4 } ，又 A = − { 3, 4, 0 } ， B = { 0, 3, 4 − ，則集合 A } ′ ∩ 為___________ B
2. 甲、乙兩人下棋，規定連勝二場者或先勝 4 場者獲勝，且無和局。若已知乙已先勝第一場，則 甲獲得勝利的情形有___________種
3. 在 100～200 的整數中，是 2 的倍數或 3 的倍數，但非 7 的倍數者共有___________個
4. 已知級數 1 1 1 1 1 91 3 + + 8 15 + 24 + + k k ( 2) = 144
+ ，則 k 值為___________
5. 某日，6 名學生甲、乙、丙、丁、戊、已到游泳池訓練，換裝時使用置物櫃，置物櫃為直式 6 格設計。該 6 名學生全部都使用此置物櫃，且一人單獨放置一格。若甲不使用最上層之格子，
而乙不使用最下層的格子，則這 6 名學生放置置物櫃的情形有___________種
6. 已知 n = 2
2× × × 3
35
511
11，若 n 的正因數中完全立方數有α 個，且 n 的所有正因數乘積為 n
β，則
數對 ( , ) α β 為___________
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7. 已知一元二次方程式 x
2+ mx + (2 m − = 之二根為 , 3) 0 α β ，若 α
2、 αβ 、 β
2三數成等差數列，則 m 的值為___________
8. 若數列 a
1+ 、 2 a
2+ × 2 2
2、 a
3+ × 3 2
3、…、 a
k+ × k 2
k、…、 a
9+ × 9 2
9共 9 項，若其和為 8 2 ×
10， 則
9
1 k k
a
∑
=為___________
9. 如圖，四邊形 ABCD 為正方形，且邊長為 7。若在各邊取 3 : 4 之等分點，
依序連接後得下一個正方形 PQRS，依此規則往下進行。令四邊形 ABCD 之面積為 T ， PQRS 的面積為
1T ，且第 n 個正方形的面積為
2T ，則
n 10099
T T 之 值為___________
10.下表為南科餐館的菜單，客人須從主食、配菜及醬料中各選一種搭配成一組漢堡。老闆建議，
牛肉不要搭莎莎醬、雞肉不要搭配酸黃瓜，豬肉要搭配起士。若依照老闆的建議，則共有 ___________種配餐方法？
主食 配菜 醬料
牛肉 酸黃瓜 BBQ 醬
豬肉 番茄 莎莎醬
雞肉 雞蛋 蜂蜜芥末醬
起士
11.小淵心血來潮，把五子棋拿來玩堆垛遊戲。每一層皆為正三角形所組成的垛稱為三角垛，每一 層之三角形邊長為其下層三角形邊長少 1 單位，如上圖所示，圖(一)之三角形邊長為 2，其下層 為圖(二)，邊長為 3。若小淵拿了 400 顆棋子來排三角垛，且最底下之三角形邊長為 13 單位，
則往上堆垛後，發現無法構成一正三角垛，試問「尚缺」_______顆棋子即可排成完整三角垛
四、計算題(共 14 分) 1. 若數列 a 滿足
n 11
a = ， 3
11 4 3
n n
n
a a
+
a
= −
− ，則回答下列問題：
(1)試寫出前五項(5%)
(2)試推測出 a 的一般式(以 n 表示)(3%)
n(3)試利用數學歸納法證明你的推測(6%)
A P
B Q C
R S D
圖(一) 圖(二) 圖(三)
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南科實中 105 學年度 第二學期 第一次段考 高一數學科簡答
--- 一、單選題(每題 5 分，共 10 分)
1. 2.
(4) (2)
二、多選題(每題 7 分，共 14 分，答錯一個得 4 分，答錯兩個得 1 分，答錯三個以上不給分)
1. 2.
(2)(3) (3)(4)(5)
三、填充題(答對題數 1～6 題，每題 7 分，答對 6 題以上，每題 4 分，共 62 分)
四、計算題(共 14 分)
1.
(1)
11
22
33
44
55
, , , ,
3 5 7 9 11
a = a = a = a = a =
(2) , 2 1
n
a n n N
= n ∈ +
(3) 1. n = 時， 1
11 a = 成立 3 2.設 n = 時成立 k
2 1
k
a k
⇒ = k +
設當 n = + 時， k 1
11 2 1 1 1 1
4 3 4 3 2 3 2( 1) 1
2 1
k k
k
k
a k k k
a a k k k
k
+
− + − − + +
= = = =
− ⋅ − − − + +
+
成立
3.由數學歸納法知，
2 1
n
