數學教育 第十三期 EduMath 13 (12/2001)
圓 盤 巧 填 色
葉中豪
上海教育出版社
【題】 如圖是一個七色圓盤，它分成七個大小相 同的扇形，依次填有紅、橙、黃、綠、藍、青、紫七 種顔色。現在要求你將一個同樣形狀的空白圓盤按一
定次序也填上這七種顔色，使得兩塊圓盤不管怎樣疊合（但要求上下扇形 互相對齊），上下兩片至多只有一種顔色是對準的。
這是第六屆“從小愛數學＂邀請賽的一道賽題。同學們對這道題目的 興趣很濃，大家嘗試著種種填法。由於兩個盤可以隨意疊合，甚至還可翻 過來再重疊，填起色來難度還真不小。
經過反復嘗試，最後可以找到兩種本質不同的解答：
其他的解答都可由這兩組解經過旋轉或翻轉而得到。否則，你的填法將是 不符合要求的。也就是說，我們總可以尋找出兩種顔色的扇形，它們之間
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具有相等的間隔，因而重疊時可以上下同時對準。
如果圓盤不再是分成七份，而是分成 n 個相等的扇形，這時就需用 n 種顔色去填充圓盤，仍然只允許上下兩片至多只有一種顔色是對準的，這 時情況又變得如何，還能找到成功的填法嗎？先讓我們一起來看看圓盤分 成 11 份的情況。
爲了避免過多的顔色名稱，我們就用數位 1，2，…，11 分別來標記這 11 種顔色。下圖中第一個圓盤已順次填上了 11 種顔色，另一個圓盤有待我 們來填充。我們可以採用如下的“跳步法＂：任選一個扇形填上 1，然後 順時針每走兩步依次填上 2，3，…，11 等各顔色，這時可以發現整個圓盤 剛好被這 11 種顔色所填滿，而且這種填法的確是滿足要求的。
1 2
3 4
5 6
7
8
10 9 11 1 2
3 4 5 7 6
8 9 10 11
如果你將“步伐＂調整爲 3，可以得到另外一種的填法，同樣也滿足要 求。其實，“步伐＂還可以改爲 4，5，6，…，親愛的讀者，請你自己也 動手填一填，看看你能得到幾種不同的解。
可以證明，如果 n 與 6 不互質，就不可能存在滿足要求的填色法，因 此當 n =3，4，6，8，9，12，14，15，…時都是無解的。反之，只要 n 與
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6 互質，就一定可以找到合適的填法。這時你可以仿照上面的辦法，從某 個扇形出發，每走若干步填上一種顔色，只要步伐 k 滿足，就能得到一種 成功的填色方案。但是，這樣得到的解都屬於“跳步解＂，也就是說，各 種顔色的分佈是等間隔的。那麽，是不是還存在間隔不相等的所謂非跳步 解呢？這是一個十分誘人的問題。
去年 2 月，清華大學電腦系王曦同學終於用電腦找到了 n =13 時的非 跳步解，其中一組如下：
1
2 3
4
5 6 7
8 10 9
11 13 12
你還能找到其他類型的解答嗎？
【思考題】
1. 十個人圍著圓桌而坐，各人將自己的帽子放在桌上，每人面前都放有一 頂帽子，但由於放錯了，各人面前放著的恰好都不是自己的帽子。證明 可以適當旋轉桌子，使得至少兩個人面前放的是自己的帽子。
2. 將上題中的人數改爲 2n，證明同樣的結論。
3. 將上題中的人數改爲 3n，證明同樣的結論。
4. 考慮圓周上全體點所構成的集合到其自身的一一映射。問是否存在這種 映射，使得任意兩個點在變換前的距離不同於變換後的距離？
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