微分方程與物理學

微 分方程與物理學

鄭國順

一 . 前言

在各類數學的系統結構中, 都有一些運 算, 譬如說, 在正整數的運算中, 有乘法, 有 加法, 給兩個正整數 a 及 b, 我們很容易算出 來 a + b 及 a · b, 但這些運算的“逆”運算, 有 時候就非常困難, 譬如說已知 c, 求 a 及 b, 使 a + b = c 或 a · b = c, 這些逆運算就要比 原來的運算困難許多, 更一般地說, 設 Pn(x) 是一個 n 次多項式, 若 x 給定, 算 Pn(x) 的 值, 這是比較簡單的運算, 但是若給定 Pn(x) 的值要求 x, 這就困難許多了, 不過數學就是 因為這樣的變化而精采, 而吸引人。

在有了微積分之後, 給定一個足夠圓滑 的函數 f (x), 我們可以算 f^′(x), f^′′(x), · · ·, 而這些函數 f 的各階導函數, 可能滿足某一 個關係式, 如f^′(x) + f (x) = 0, 現在把情 況倒轉, 問是否可以找到函數 f , 使它滿足 f^′(x) + f (x) = 0, 這一類的問題就是稱為 微分方程, 當變數是一維時, 稱為常微分方程 式, 當變數是二維以上時, 就稱為偏微分方程 式。 由此可以知道, 微分方程式, 就是一種廣 義的“微分逆運算”, 就像求 Pn(x) = 0 的根 一般, 是“乘法及加法的逆運算”。

有這一層的認識, 就知道, 微分方程是數 學上非常有趣的問題, 不只這樣, 它有兩個重 要的特徵, 首先, 它一定是相當有用的工具, 其次, 過於一般的方程式, 往往是無從下手。

因此, 一些與應用相關的方程式類型, 就變成 是探討微分方程式優先選擇的題材。

物理學是探討自然界各種現象的科學, 從觀察實驗, 歸納出一些規律, 再用理論模型 試圖解釋並預測, 若這些預測經實驗證實, 那 麼這個理論模型就暫時被接受, 而用來解釋 並預測相關的現象, 這是大部份物理學發展 所走的路徑, 而自然界的一些現象, 譬如物體 的運動, 熱的傳導以及波動的傳遞等等, 都與 速率、 速度、 變化率等相關, 因此, 微分方程 式這個工具, 在理論物理的模型中, 佔的比重 與份量, 是其他工具所不能比擬的, 而這篇文 章, 主要的是介紹幾個重要的微分方程式, 它 們在物理學發展的過程中, 佔據重要的位置, 可以這樣說, 今天科學之所以如此發達, 這些 方程式扮演不可或缺的角色。

雖然明知道微分方程式在物理學中必定 非常重要, 但是親眼目睹微分方程式解釋物

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理現象的效率如此驚人, 也不免對心弦產生 極為強烈的振動。

二、 物理學中幾組重要方程式

1. 牛頓 (Newton) 的運動方程式:

對於物體運動現象的觀察及記錄, 是人 類一直進行的工作, 尤其是對天體運行的觀 測更是不曾間斷, 丹麥天文學家, Tycho Brahe(1546-1601), 對地球相對於太陽的運 動, 做長時間的測量及記錄, Kepler(1571- 1630) 經過十餘年的分析, 得到有名的 Ke- pler 三大定律, Newton(1642-1727) 透過 微積分, 提出他的物體運動三大定律, 其中第 二運動定律就是

F~ = m~a,

這裡 m 表示該物體的質量, ~a 表示該物 體的加速度, 若物體的位置向量是 ~r(t), 那 麼_dt^d~r(t) = ˙~r(t) 就是物體的速度, 而 _dt^d˙~r(t)

= _dt^d22~r(t) = ¨~r(t) = ~a(t) 就稱為物體的加速 度, 而 ~F 是物體所受的力。

這個常微分方程式, 開啟了物理學中有 關力學發展三百年的基業, 而它的試金石, 就 是拿來建造模型解釋 Kepler 的天文三大定 律, Newton 提出萬有引力, 兩個質量為 m¹ 及 m² 的物體, 它們之間有互相的吸引力, 它 的方向是在兩物體的連線上, 而它的大小與 m1, m² 成正比, 與距離平方成反比。 在這些 假設條件之下, 設太陽質量為M而地球質量 為m, 以太陽為原點, 地球相對於太陽的位置

向量為 ~r(t), 則地球滿足的運動方程式就可 寫成

m¨~r(t) = −GmM r³ ~r(t),

這裡 G 是一個常數。 讓人驚異的是這個微分 方程式的解, 恰可以解釋 Kepler 的三大定 律, 同時也與 Brahe 的記錄一致, 這個大成 就確定了牛頓運動定律及萬有引力定律在物 理學發展上的地位。

2. Maxwell 電磁理論方程式

科學家經過長期的觀察知道物質可以帶 有電荷, 而且電荷有兩種, 正電荷及負電 荷, 電荷之間有相互的作用力, 設兩帶電體 相距 ~r12, 帶有電荷 (有正負號) q¹ 及 q2, Coulomb 定律告訴我們, 這兩個電荷之間的 相互作用力是

1 4πǫ⁰

q1q2

r12² ·~r12

r¹² = ~F1 = − ~F2, 此處 ~r12 = ~r1 − ~r², 而 ~F1 為 q1 所受之力, F~2 為 q2 所受之力, 因此, 若 q1, q² 同號, 則 q¹ 及 q² 受到排斥力, 若 q¹, q² 異號, 則 q¹ 及 q² 受到互相吸引的力。 由此, 而我們可以 有 q² 在 ~r¹ 這點所產生的電場定義為

E(~r~ ¹) = 1 4πǫ⁰

q2

r²12

·~r12

r¹²,

那麼 q1 所受的力就是 q1E(~r~ ¹), 這個觀念讓 我們可以擴充到很多電荷的分佈, 而有

E(~r~ ¹) = 1 4πǫ⁰

Z Z Z

ρ(~r)(~r¹− ~r)

|~r¹− ~r|³ d³r, 此處 ρ 是電荷密度。 若在 ~r1 有帶 q1 電荷的 物體, 那麼

F~1 = q¹E(r~ ¹) 就是 q1 所受的力。

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¹³

經過一些數學運算後, 這樣子的 ~E 可以 滿足

∇ · ~~ E = ρ

ǫ⁰, ~∇ × ~E = 0,

這裡, ~E = (E¹, E², E³), ~∇ =

^

∂x^∂ , _∂y^∂ ,

∂

∂z



, 因此,

∇ · ~~ E=ρE1

∂x + ∂E2

∂y +∂E3

∂z , 而

∇ × ~~ E=

^

∂E³

∂y −∂E²

∂z ,∂E¹

∂z −∂E³

∂x ,

∂E²

∂x −∂E¹

∂y



.

同樣的, 雖然自然界中沒找到磁荷, 但是 電流會產生磁場, 而磁場對運動中的電荷會 有作用力, 這種作用力稱為 Lorentz force, Ampere 定律告訴我們電流對運動質點 (帶 有電荷) 的作用力, 就像 Coulomb 定律一 般, 我們可以引進來磁場 ~B, 而 q~v × ~B 就是 電荷 q 所受的力, 經過一番努力, ~B 滿足

∇ · ~~ B= 0 c²∇ × ~~ B= ~j

ǫ0

, 這裡 ~j 是電流密度, ~j 不隨時間改變。

Maxwell 綜合所有已知的定律, 寫下有名的 方程式

∇ · ~~ E= ρ ǫ⁰

∇ × ~~ E= −∂ ~B

∂t c²∇ × ~~ B=∂ ~E

∂t + ~j ǫ⁰,

∇ · ~~ B= 0

所有電磁學相關的東西都可從此方程 出發而得到, 這方程式中, ^{∂ ~}_∂t^E 這一項是 Maxwell 在完成這方程式時加進去的, 這一 項非常重要, 有了它, 這些方程式才算完整, 有了它, 電荷不滅,

∂ρ

∂t + ~∇ · ~j = 0 才成立。

在 ρ = 0, ~j = 0 時, 我們可以得到



E~ = 0,



B~ = 0, 此處

_

= _c2^∂_∂t²₂ − ~∇ · ~∇ = c¹²

∂²

∂t² − (∂x^∂22 +

∂²

∂y² +_∂z^∂2₂), 這就是電磁波滿足的方程式。 在 Hertz 實驗之前, Maxwell 就以他的方程式 預言電磁波的存在, 並把電磁波所滿足的方 程式都含在他的方程式中了。 讓人驚異的是, 在相對論發表之後人們發現, Maxwell 方程 式與相對論是相容的。

3. Schr¨odinger 方程式

二十世紀前三十年, 是量子物理從出生 到成熟的時代, 量子物理讓人們從概念上做 革命性的改變, 在微觀的物理世界中, 質點的 位置與動量是沒辦法同時精確測度的, 譬如 說, 一個質量為 m 的質點, 要描述這質點的 狀態, 我們需要有一個波函數 ψ(~r, t), ψ 是 一個 Hilbert 空間的元素, 那麼, 在狀態 ψ 之下, 質點的位置及動量是

< ~r >= < ψ|~r|ψ >

=

Z Z Z

ψ^∗(~r, t)~rψ(~r, t)d³r

< ~p >=< ψ|~p|ψ >

=

Z Z Z

ψ^∗(~r, t)(

^~

i∇ψ(~r, t))d~ ³r ψ 是複函數, ψ^∗ 是 ψ 的複共軛。

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狀態函數 ψ 到底如何隨時間改變而改 變呢? 這間題的解答就是 Schr¨odinger 方程 式

i

^~

∂ψ

∂t = (

^~

2

2m∇ · ~~ ∇ + V (~r))ψ(~r, t), 這裡

~

是 Planck 常數除以 2π, 在這方程 式中, 虛數單位出現其中, 這是讓人覺得不可 思議的, 方程式及解釋確定後, 量子物理的發 展, 一日千里, 可以說是二十世紀最重要的發 現之一。

4. Einstein 方程式

二十世紀之初, Einstein 發表特殊相 對論, 解決了當時物理實驗上一些予盾, 一 九一五年, Einstein 發表一般相對論, Ein- stein 認為時空是一個有曲度的連續體, 而時 空曲度的改變是因能量-動量的分佈而來, 因 此, Einstein 寫下他的方程式

R^µν− 1

2Rg^µν = −8πG C⁴ θ^µν µ, ν= 1, 2, 3, 4

這裡 C 是光速, G 是動力常數, θ^µν 就是 能-動量張量, 而 R^µν 是 Ricci 曲率, R = gµνR^µ,ν 是純量曲率, gµν 就是時空的 met- ric, 即 ds² =

^P

gµν dx^µdx^µ。 而

Γ^α_µν=1

2g^αβ[∂µgβν + ∂νgβµ− ∂^βgµν], R^α_βµν=∂µΓ^α_βν− ∂^νΓ^α_βµ + Γ^α_εµΓ^ε_βν

−Γ^αενΓ^ε_βµ,

R^µν=g^µβg^ναR^ε_βεν, g^µν= [gµν]⁻¹,

Einstein方程式, 大部份是憑空而來, 可謂神 來之筆, 但是往後的發展是天文物理的主要 理論, 而它的複雜度比起前幾個方程式, 簡直 不可同日而語。

5. Dirac 方程式

Dirac方程式是描述自旋為 ¹₂ 的粒子波 滿足的方程式, 雖然當時有些蛛絲馬跡, 但大 部份仍然是神來之筆。 Dirac 方程式為

(iγ^µ ∂

∂xµ − m)ψ = 0, µ = 0, 1, 2, 3 此處 i =√

−1, m 為常數, ψ 為4個分量之 波函數, x⁰ = t, x¹ = x, x² = y, x³ = z, 且

γ⁰=

















1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1

















, γ¹=

















0 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 0 0

−1 0 0 0

















γ²=

















0 0 0 −i 0 0 i 0 0 i 0 0

−i 0 0 0

















, γ³=

















0 0 1 0 0 0 0 −1

−1 0 0 0 0 1 0 0

















這個方程式一舉解決了很多有關電子性 質的問題, 也讓量子電動力學的發展成為可 能。

由以上五個方程式所描述的物理現象, 可以知道微分方程是個多麼有效率的工具, 有時有效率到讓人驚心動魄。

—本文作者任教於國立中正大學數學系—