戴氏系列數

戴氏系列數

王榮彬

一

戴煦初名邦棣, 字鄂士, 一字鶴墅, 號 仲乙, 浙江錢塘人。 生於嘉慶十年五月十四日 (1805 年 6 月 11 日), 卒於咸豐十年三月初 一日 (1860 年 3 月 22 日)。

戴煦青少年時, 家境富有。 但他絕意科 舉, 好疇人之學。 其於算學, 用力甚勤, “夜則 滅燭先就寢, 伏枕構思, 俟厥父熟寐復起, 火 屬草稿至雞鳴, 尤點竄塗改, 不去手也。”^[1]

戴煦與當時一些重要數學家, 如謝家禾、

項名達, 徐有壬、 李善蘭、 夏鸞翔等都有來 往, 尤其與謝氏及項氏交往最密。 謝沒後, 戴 煦為他整理遺著; 項氏的未竟書稿 《象數一 原》 亦由戴煦校補完成, 並補撰第七卷 《橢 圓求周術圖解》。 他們之間的學術交流在數學 史上被傳為佳話。 英人艾約瑟 (Joseph Ed- kins, 1823∼1905) 非常欽佩戴煦的工作。

1854 年, 艾曾托李善蘭介紹登門求見, 戴氏 以中外殊俗異禮托故, 推辭不見。 同年, 艾把 戴煦的著作譯成英文送給英國數學會。^[2]

1860 年 3 月, 太平軍攻陷杭州, 戴煦聞 兄戴熙投池自溺, 亦投井身亡。

戴煦一生留下了豐富的著作。 數學方面 有 《重差圖說》 一卷, 《句股和較集成》 一卷,

《四元玉鑑細草》 若干卷, 《割圓捷法》 一卷, 以上四種雖未刊行, 但據戴好友曹籀稱, 這些 書都有完整的手稿, 他曾 “就其家藏者, 一 一考證之。” ^[3] 華蘅芳還見過 《四元玉鑑細 草》 的新化邵伯宗所藏鈔本。^[4] 已刊的數學 著作有 《對數簡法》 二卷, 《續對數簡法》 一 卷, 《外切密率》 四卷, 《假數測圓》 二卷, 總 名 《求表捷術》。

戴煦興趣廣泛, 著述除數學外還有機械 設計, 詩畫樂律等方面。 著有 《戴氏泉譜》 六 卷, 《庄子內篇順文》, 《陶淵明集集注》, 《鶴墅 詩文草》, 另有 《船機圖說》 一書未完稿, 其甥 王朝榮補成。 煦五十歲以後攻音樂, 著 《音分 古義》 二卷。 據載戴還有堪輿術之作 《元空秘 旨》一卷, ^[5] 及 《汲齋剩稿》^[6] 等著作。

二

戴煦在數學方面的工作集中在對數及三 角函數級數展開兩個方向上。 其於對數建樹 甚多, 被譽為十九世紀中國數學史上該領域 之第一人。 三角函數冪級數展開雖經著名學 者明安圖、 董祐誠、 項名達等努力, 仍僅能 求弦矢而不能求切割二線, 項名達則以弧分

1

不通切割為憾。^[7] 法人杜德美 (Petrus Jar- toux, 1668-1720) 1701 年把求 “弦矢捷法”

等三個級數展開式傳入中國後, 引起清代學 者的廣泛興趣, 一時研究三角函數展開成為 風尚, 但正 ( 餘 ) 切、 正 ( 餘 ) 割之展開長 期不得解決, 李善蘭 《弧矢啟秘》 中雖有正切 及正割展開式, 但未得其係數之源。 1851 年, 戴煦與李善蘭相識, 李以 《對數探源》, 《弧矢 啟秘》見示, 戴出其未竟書稿, 兩人互相切磋, 李氏非常欣賞 《外切密率》, 再三敦促戴氏將 其定稿出版,^[8] 可見戴氏工作在當時的影響。

我們知道, 正 ( 餘 ) 弦, 正 ( 餘 ) 矢等的 級數展開式之係數較簡單, 可以“累次加乘而 得”。 切、 割線的展開式係數則十分複雜, 在 現代數學中分別引進所謂伯努利數 (Bⁿ) 及 歐拉數 (En)。 戴煦的研究突破了難點, 獲得 與 Bn 及 En 等價的係數。 他在缺乏現代符 號記法的情形下, 巧妙地解決了這些係數的 表述問題, 在清代數學史上獨樹一幟。

《外切密率》 四卷 (1852) 專論切、 割 線與弧背互求問題, 全書共 11 節, 戴正切、

正割等 11 個級數展開式。 每節包括 “術”、

“解”、“細審” 三個部分。^[9]其中有 8 個級數的 係數具有特殊意義。 我們記之為Di(n) (i = 1, 2, · · · , 8; n = 1, 2, 3, · · ·), 總名 “戴氏系 列數”。 戴煦分別以 “術” 給出其係數的構造;

“解” 說明立術的原理; “細審” 給出具體推導 過程。 現以卷一“本弧求切線” 為例說明戴氏 推導 D₁(n) 的方法。

術曰: 先求各率分子為遞次乘法。 以二 為數根, 即為第一乘法。 置前數根加二得 四為數根, 置前乘法, 四、 五遞乘之, 一

、 二遞除之得二十為初減數, 數根減初減 得十六為第二乘法。 置前數根, 加二得六 為數根, 置前初減, 六、 七遞乘之, 三、

四遞除之得七十為初減數, 置前乘法, 六

、 七遞乘之, 一、 二遞除之得三百三十六 為次減數, 數根減初減得六十四, 再減次 減得二百七十二為第三乘法。· · ·

所謂“各率分子” 即展開式各項係數的 分子。 戴氏的“遞次乘法”, 即我們所言的戴氏 數。 上術用遞歸的形式由第一種戴氏的第一 乘法 D₁(2) = D₁

^

²₂

^

= 2⁽註1) 逐步推出 D₁(3) = 16, D₁(4) = 272。· · ·

戴氏的做法是, D1(2) = 2, 其中“2” 被 稱作數根⁽註2); D1(3) = D1



₃

2



−4, “4” 是 數根, D₁

^

³₂

^

即初減數; D₁(4) = D1



₄

3



− D₁

^

⁴₂

^

+ 6, “6” 為數根, D1



₄

2



為初減數, D₁

^

⁴₃

^

即次減數。 其中各減數 D₁

^

^m_n

^

的求 法是:

凡數根均起各偶數, 其求各減則用偶奇 二數乘而逐次乘法遞加。(原注: 如第二 乘法用四、 五乘, 第三乘法六、 七乘。)

再用奇偶二數除而挨次減數遞降。(原 注: 如第三乘法初減用三、 四除, 次減一、

二除。)

(註 1) 比照 tan α 的展開式, 我們取 D1



₁

1



= 1。 當記號 D1



_m

n



中 m = n 時, 簡略為 D₁(n), 下同。

(註 2) “數根” 的意義參見下文。

即 D₁ 3 2

!

= 4 · 5 1 · 2D₁ 2

2

!

; D₁ 4

2

!

= 6 · 7 3 · 4D₁ 3

2

!

; D₁ 4

3

!

= 6 · 7 1 · 2D₁ 3

3

!

;

· · · · D₁ m

n

!

= (2m − 2)(2m − 1) (2m − 2n − 1)(2m − 2n)

·D₁ m −1 n

!

.⁽註3)

同時, 由於

乘法降一位, 則多一減。 如是遞求, 得各率分子, 即遞次乘法。

即有

D₁(n) = D1

m n

!

=

n

X

k=1

(−1)^k+1D₁ m n − k

!

(n = m)。

綜上, 第一種戴氏數 (即 tan α 展開式 係數之分子) 可表述為

定理1:

(i) D1



_m

0



= 1;

(ii) D₁

^

^m_n

^

≡0 (n < 0 或 n > m)⁽註4), D₁

^

^m_n

^

= (2m−1)(2m−2)

(2m−2n)(2m−2n−1)D₁

^

^m−_n¹

^

(n < m);

(iii)D1(n) = D1



_m

n



=

n

P

k=1(−1)^k+1D₁

^

_n−k^m

^

(n = m)。

術文接下來利用以上所得之 “各率分 子” 給出正切線展開式:

tan α = α + 2

3!α³+ 16

5!α⁵+ 272

7! α⁷+ · · ·

+ D₁(n)

(2n + 1)!α²ⁿ⁺¹+ · · ·

α 取弧度, 所謂 “本弧”, 即 α ≤ ^π₄。 此外, 戴 煦還附上如下的解釋:

解曰: 凡以餘弦為小股, 正弦為小句, 半 徑為大股, 則正切線為其大句。 故以一率半 徑乘弧背求正弦各率分數, 以弧背求餘弦各 率分數除之, 即得弧背求切線各率分數。

如圖 1, 由相似句股形對應邊成比例得 甲丁 戊乙

= 甲己

戊己 即 tan α = _{cos α}^{sin α} (不妨取 r = 1)。

而正弦、 餘弦的展開式已由清初明安圖氏獲 得:

sinα = α −α³ 3! + α⁵

5! − α⁷ 7! +α⁹

9! − · · · cosα = 1 − α²

2! +α⁴ 4! − α⁶

6! + α⁸ 8! − · · ·

(註 3) D1



_m

n



表示第一種戴氏數的第 m 乘法的第 n 減數。

(註 4) 此為筆者加入, 它在戴氏數表中不言自明。 加入此條, 仍使定理敘述符號化後更加 嚴密。 以下不再申明。

圖1.

如何做兩個無窮級數相除的除法呢? 戴煦 取 sin α, cos α 展開式的前五項做多項式除 法, 把其計算過程排成“推演本弧求正切線總 圖”(圖略)。 他稱被除式為“實式”, 除式與商 的乘積叫“乘法式”, “乘法式”與 “實式”相減 前必須通分, 通分後的乘法式叫做“同母式”。

戴煦的推演圖及其所作解釋相當於下列計算 過程:

α+2α³

3! +16α⁵

5 +272α⁷

7! +7936α⁹

9! + · · · 商式 1−α²

2!+α⁴ 4!−α⁶

6!+α⁸ 8!−· · ·



α− α³

3! + α⁵

5! − α⁷

7! + α⁹

9! − · · · 初商實 α− α³

2! + α⁵

4! − α⁷

6! + α⁹

8! − · · · (∗) · · · 初商乘法式 2α³

3! − 4α⁵

5! + 6α⁷

7! − 8α⁹

9! + · · · 次商實 2α³

3! − 2α⁵

3! · 2! + 2α⁷

3! · 4! − 2α⁹

3! · 6! + · · · (∗∗) · · · 次商乘法式 16α⁵

5! − 64α⁷

7! + 160α⁹

9! − · · · 三商實 16α⁵

5! − 16α⁷

5! · 2! + 16α⁹

5! · 4! − · · · (∗ ∗ ∗) · · · 三商乘法式 272α⁷

7! − 1856α⁹

9! + · · · 四商實 272α⁷

7! − 272α⁹

7! · 2! + · · · 四商乘法式 7936α⁹

9! − · · · 五商實 7936α⁹

9! − · · · 五商乘法式 0

戴氏原圖未列“除式”, α, α³, α⁵, α⁷, α⁹ 依次稱為二、 四、 六、 八、 十率, 列於第一

行, 其他各行僅記係數, 且每次都給出 “同母 式”, 其中 (∗) 式通分得 α − ^3α_3!³ + ^5α_5!⁵ −

7α⁷

7! +^9α_9!⁹ − · · · 初商同母式, (∗∗) 式通分得

2α³ 3! −^20α5

5! +^70α_7!⁷−^168α9

9! + · · · 次商同母式, (∗∗∗) 式通分得 ^16α_5!⁵−^336α_7!⁷+^2016α_9! ⁹−· · ·三 商同母式。 正是由於對同母式的關注, 方看出 因通分使係數之分子發生變化的規律。 接著, 戴氏又指出:

細審切線率分, 其分母與正弦率分同, 是 其遞求各率之除法亦必與正弦同, 而起二 除三除, 繼以四除五除而遞加矣。 惟其各 率分子則由逐次遞減而成, 當分別其遞減 之所由來而後求分子之法可見。

按以上通分相減, 則商式係數之分母必與被 除式係數的分母相同。 究其分子, 則:

其初商實分子均為單一, 其初商同母式分 子為三、 五、 七、 九各奇數, 是逐率數根之所 起, 均以各奇數減一矣 ⁽註5)。 而一、 三相減 得二即為第一分子。 其初減數 ( 原注: 即次 商同母式分子) 則皆生於第一分子之二。 六 率初減為一、 二、 三除, 三、 四、 五乘, 而三 乘三除可相抵, 是一、 二除, 四、 五乘也。· · · 就 是說, 次 商 同 母 式 分 子 為 初 減 數 (即D₁

^

^m₂

^

)。 其中 ^4·5_1·2 ·2 = 20 = D₁

^

³₂

^

,

6·7

3·4 ·20 = 70 = D1



₄

2



, ^8·9_5·6 ·70 = 168 = D₁

^

⁵₂

^

。三商、 四商同母式分子亦有相似的規 律可循。 最後, 戴氏略去多項式除法表中的 分母及各率, 僅考慮各式的係數之分子, 得下 圖。 戴煦指出:

圖2.

第一層為初商實分子, 均為單一。 第二層 為三、 五、 七、 九, 各率分子均起奇數。 減一 為第三層為減除, 即數根。 其首位二為四率 分子, 即第一乘法。 第四層為初減數, 以第 一乘法為實, 一、 二除, 四、 五乘, 為第一 初減; 再加三、 四除, 六、 七乘為第二初減;

再加五、 六除, 八、 九乘, 為第三初減。 通計

(註 5) 數根為初商同母式分子減初商實式分子之差, 即 2 = D1



₂

1



−D₁

^

²₀

^

, 4 = D₁

^

³₁

^

−D₁

^

³₀

^

。一般地, 數根 = D₁

^

^m₁

^

−D₁

^

^m₀

^

。

其除法自一、 二而遞加, 其乘法則自四、 五 而遞加。 第五層為減除。 其首位六率分子即 第二乘法。

通過圖 2, 戴煦明確地表述了各率分子 遞歸規律, 圖的對角線上各數即為所求的各 乘法。 由以上前五項計算的結果, 戴煦歸納 出:

雖圖止十率, 而遞加之例已可類推也。

而第九層減餘即第四乘法。 細按初減、 二 減、 三減迭次乘除之例, 橫豎視之皆秩然 而不之紊。 則自二率至十率既然, 而自十 率至千百率亦莫不皆然。

事實上, 圖 2 的奇數行為商實式分子, 偶數行為同母式分子, 而商實行之數及同母 行之數可分別得戴氏數。 也是說戴氏獲得了

“各率乘法” 的兩種構造方法。 我們把圖 2 的 奇、 偶行分別列成表 1 及表 2, 則表 1 即為 定理 1 的對應數表。 同樣, 可以給出表 2 的 構造公式, 作為定理 1 的推論。

系 1:

(i) d1



₀

0



= 1;

(ii) d1



_m

n



≡ 0 (n > m 或 n < 0);

d₁

^

^m_n

^

= d1



_m

n−1



−D₁

^

_n−^m₁

^

(n ≤ m)。

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 1 1 1 1 1

1 1 3 5 7 9

2 2 20 70 168 3 16 336 2016

4 272 9792

5 7936

表1.

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 2 4 6 8

3 16 64 160

4 272 1856

5 7936

表2.

三

以上, 我們詳述了戴煦構造弧背求切線 術係數的方法, 並用現代符號記法將其整理 為定理 1 及其推論。 《外切密率》 一書除其之 外, 另有七種係數, 但構造原理大同小異, 今 以定理 2 至定理 8 表出如下。

定理2(第二種戴氏數):

(i) D2



₀

0



= 1, D2



₁

0



= 2, D₂

^

^m₀

^

= ^2m(m+1)

1+(−1)m 2

2m−2 D₂

^

^m−₀¹

^

(m > 2);

(ii) D2



_m

n



≡0 (n < 0 或 n > m), D₂

^

^m_n

^

= 2m(2m+1)(m+1)¹⁺⁽⁻¹⁾

m 2

(2m−2n)(2m−2n+1) D₂

^

^m−_n¹

^

(n < m);

(iii)D2(n) = D2



_m

n



=

n

P

k=1(−1)^k+1D₂

^

_n−k^m

^

(n = m)。

系 2:

(i) d2



₀

0



= 1

(ii) d₂

^

^m_n

^

≡ 0 (n > m 或 n < 0), d₂

^

^m_n

^

= d2



_m

n−1



−D₂

^

_n−^m₁

^

(n ≤ m)。

D₂

^

^m_n

^

及 d₂

^

^m_n

^

的值分別為表 3 及表 4。

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 2 12 18 120 150 1 2 20 42 360 550 2 8 56 1008 2640 3 32 1920 10560

4 1152 21120

5 12800

表3.

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 0 0 0 1 2 12 18 120 150 2 8 24 240 400 3 32 768 2240

4 1152 8320

5 12800

表4.

定理3(第三種戴氏數):

(i) D3



₀

0



= 1;

(ii) D3



_m

n



≡ 0 (n < 0 或 n > m), D₃

^

^m_n

^

= (2m−2n)(2m−2n−1)^2m(2m+1) D₃

^

^m−_n¹

^

(n < m);

(iii)D3(n) = D3



_m

n



=

n

P

k=1

(−1)ⁿD₃

^

_n−k^m

^

(n = m)。

系3:

(i) d3



₀

0



= 1;

(ii) d3



_m

n



≡ 0 (n > m 或 n <

0), d3



_m

n



= d3



_m

n−1



− D₃

^

_n−^m₁

^

(n ≤ m)。

D₃

^

^m_n

^

及 d₃

^

^m_n

^

的數表分別為表 5、 表 6。

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 6 15 28 45 2 5 75 350 1050 3 61 1708 12810

4 1385 62325

5 50521

表5.

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 5 14 27 44 3 61 323 1006

4 1385 11804

5 50521

表6.

定理4(第四種戴氏數):

(i) D4



₀

0



= 1,

D₄

^

^m₀

^

= (m + 1)¹⁺⁽⁻¹⁾

m

2 D₄

^

^m−₀¹

^

; (ii) D4



_m

n



≡0 (n < 0 或 n > m), D₄

^

^m_n

^

= 2m(2m+1)(m+1)¹⁺⁽⁻¹⁾

m 2

2m−2n+1 D₄

^

^m−_n¹

^

(n < m);

(iii)D4(n) = D4



_m

n



=

n

P

k=1(−1)^kD₃

^

_n−k^m

^

(n = m)。

系4:

(i) d4



₀

0



= 1;

(ii) d4



_m

n



≡ 0 (n > m 或 n < 0), d₄

^

^m_n

^

= d4



_m

n−1



−D₄

^

_n−^m₁

^

(n ≤ m)。

D₄

^

^m_n

^

與 d₄

^

^m_n

^

的數表分別為表 7及表 8。

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 10 21 180 257 2 7 49 882 2310 3 31 1860 10230

4 1143 20955

5 12775

表7.

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 0 0 0 1 1 3 3 15 15 2 7 18 165 260 3 31 717 2050

4 1143 8680

5 12775

表8.

定理5(第五種戴氏數):

(i) D5



₀

0



= 1;

(ii) D₅

^

^m_n

^

≡0 (n < 0 或 n > m),

D₅

^

^m_n

^

= 2m(2m+1)(2m−2n−1)(m+1)¹⁺⁽⁻¹⁾

m 2

2m−2n+1

·D₅

^

^m−_n¹

^

(n < m);

D₅(n) = D₅

^

^m_n

^

= D₅

^

^m₀

^

−

n−1

P

k=1

D₅

^

^m_k

^

(n = m)。

系5:

(i) d5



₀

0



= 1;

(ii) d5



_m

n



≡ 0 (n > m 或 n < 0), d₅

^

^m_n

^

= d5



_m

n−1



−D₅

^

_n−^m₁

^

(n ≤ m)。

D₅

^

^m_n

^

, d5



_m

n



的數表分別為表 9、 表 10。

n m 0 1 2 3 4 5

0 1 2 72 2160 604800 54433000 1 2 40 1008 259200 22176000 2 32 448 96768 7603200 3 704 84480 5575680

4 164352 602640

5 13050880

表9.

n m 0 1 2 3 4 5

0 1 0 0 0 0 0

1 2 72 2160 344800 544332000 2 32 1152 345600 32256000 3 704 248832 24652800

4 164352 19077120

5 13050880

表10.

定理6(第六種戴氏數):

(i) D6



₀

0



= 1,

D₆

^

^m₀

^

= (m − 1)²D₆

^

^m−₀¹

^

; (ii) D6



_m

n



≡ 0 (n < 0 或 n > m), D₆

^

^m_n

^

= 2m(m−1)(2m−1)

2n D₆

^

^m−_n−1¹

^

(n < m);

(iii)D6(n) = D6



_m

n



=

n

P

k=0

(−1)^k+1D₆

^

_n−k^m

^

(n = m)。

系6:

(i) d6



₀

0



= 1;

(ii) d6



_m

n



≡ 0 (n < 0 或 n > m), d₆

^

^m_n

^

= D6



_m

n−1



−d₆

^

_n−^m₁

^

(n ≤ m)。

D₆

^

^m_n

^

與 d₆

^

^m_n

^

的值分別為表 11及表 12。

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 1 1 4 36 576 1 1 6 30 336 6480 2 5 90 1260 30240 3 64 2520 75600 4 1560 113400

5 62136

表11.

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 4 36 576 2 5 26 300 5904 3 64 960 24336

4 1560 51264

5 62136

表12.

定理7(第七種戴氏數):

(i) D7



₀

0



= 1,

D₇

^

^m₀

^

= (2m − 1)²(m + 1)¹⁺⁽⁻¹⁾

m

2 D₇

^

^m−₀¹

^

; (ii) D7



_m

n



≡0 (n < 0 或 n > m), D₇

^

^m_n

^

= 2m(2m+1)(m+1)¹⁺⁽⁻¹⁾

m 2

(2m−2n)(2m−2n+1) D₇

^

^m−_n¹

^

(n < m);

(iii) D7(n) = D7



_m

n



= D7



_m

0



−

n−1

P

k=1

D₇

^

^m_k

^

(n = m)。

系7:

(i) d7



₀

0



= 1;

(ii) d₇

^

^m_n

^

≡ 0 (n > m 或 n < 0), d₇

^

^m_n

^

= d7



_m

n−1



−D₇

^

_n−^m₁

^

(n ≤ m)。

D₇

^

^m_n

^

、d₇

^

^m_n

^

的數值為表 13、 表 14。

n m 0 1 2 3 4 5

0 1 1 27 675 165375 13395375 1 1 10 189 40500 30318753 2 17 119 19298 126225 3 367 22020 1089990

4 83577 1532245

5 6479015

表13.

n m 0 1 2 3 4 5

0 1 0 0 0 0 0

1 1 27 675 165375 13395375 2 17 485 124875 103635 3 367 105597 9101250

4 83577 8011260

5 6479015

表14.

定理8(第八種戴氏數):

(i) D8



₀

0



= 1, D8



₁

0



= 1;

(ii) D8



_m

n



≡0 (n < 0 或 n > m), D₈

^

^m_n

^

= 2m(2m−1)(2m−2n−3)

2m−2n+1 D₈

^

^m−_n¹

^

(n < m);

(iii) D8(n) = D8



_m

n



=

n−1

P

k=0

D₈

^

ⁿ_k

^

(n = m)。

其值為

n m 0 1 2 3 4 5 0 1 1 4 72 2830 201600 1 1 4 40 1344 86400 2 8 72 1344 72576 3 184 2830 86400

4 8448 201600

5 648576

表15.

有了 Di(n), 切、 割線與弧背互求的級 數展開式可表述為:

tan α =

∞

X

n=1

D

₁

(n)

(2n − 1)! α

²ⁿ⁻¹

(α ≤ π 4 ) (1) tan α =

 π 2 −α



⁻1

−

∞

X

n=0

D

₂

(2n+1)

^π₂

−α

⁴ⁿ⁺¹

(2n+1)!!(4n+3)!

−

∞

X

n=1

D

₂

(2n)

^π₂

− α

⁴ⁿ⁻¹

(2n + 1)!!(4n + 1)!

(α > π

4 ) (2)

secα =

∞

X

n=0

D

₃

(n)

(2n)! α

²ⁿ

(α ≤ π

4 ) (3) secα =

 π 2 −α



⁻1

+

∞

X

n=0

D

₄

(2n+1)

^π₂

−α

⁴ⁿ⁺¹

(2n+1)!!(4n+3)!

+

∞

X

n=1

D

₄

(2n)

^π₂

− α

⁴ⁿ⁻¹

(2n + 1)!!(4n + 1)!

(α > π

4 ) (4)

1

π

2

−α = tan α+

∞

X

n=0

D

₅

(2n+1)

(2n+1)!!(4n+3)! tan

⁴ⁿ⁺¹

α

−

∞

X

n=1

D

₅

(2n)

(2n + 1)!!(4n + 1)! tan

⁴ⁿ⁻¹

α

(tan α ≫ 1) (5)

α

²

=

∞

X

n=1

(−1)

ⁿ⁺¹

2

ⁿ⁺¹

D

₆

(n)

(2n)! (secα − 1)

ⁿ

(secα > 1) (6) 1

π

2

−α = secα+

∞

X

n=0

D

₇

(2n+1)

(2n+1)!!(4n+3)!sec

⁴ⁿ⁺¹

α

−

∞

X

n=1

D

₇

(2n)

(2n + 1)!!(4n + 1)!sec

⁴ⁿ⁻¹

α

(secα ≫ 1) (7)

 α 2



2

=

∞

X

n=1

(−1)

ⁿ⁺¹

D

₈

(n−1) (2n)!

 secα−1 secα+1



ⁿ

(8)

戴煦立餘弧 (即 α > ^π₄) 與切、 割二線互求 之術, 考慮了級數的收斂區間, 這一點為李善 蘭所推重, 對當時學界頗有啟發, 值得表彰。

戴 氏 系列 數 有 很 多重 要 性 質。 例 如 D₁(n) 與伯努利數 Bⁿ 之間有

D₁(n) = 2²ⁿ(2²ⁿ−1)

2n Bⁿ (9) D₃(n) 即著名的歐拉數, 有

D₃(n) = Eⁿ (10) 又如







D₁(2n) = 4n(4n+1)(2n+1)!!²⁴ⁿ⁻¹ D₂(2n) D₁(2n+1)=(4n+2)(4n+3)(2n+1)!!^24n+2−1 D₂(2n+1)

(11) D₁(n) =

n

X

k=1

(−1)^(n−k) 2n − 1 2k − 1

!

D₃(n) (12) D₃(n) =!

n

X

k=1

(−1)^n−k 2n 2k − 1

!

D₁(n)

+(−1)ⁿ (13) D₂(n) = 2²ⁿ⁻¹

2²ⁿ⁻¹−1D₄(n) (14) D₆(n) = (n−1)!

n

X

k=1

(−1)^k+1(2n−2k−1)!!

·(k − 1)! 2n 2k

!

(D6(0) = 1) (15)

戴氏系列數是一項十分出色的工作, 除 D₃(n) = Eⁿ 外, 其它各數在現代大型數學 工具書中均不見記載, 具有特殊意義。 且其方 法獨特, 思路明晰, 在世界數學史上亦應有其 一定的歷史意義。 由 (9)-(14) 可知, 戴氏數 與 Bn及 En 關係密切, Bⁿ及 En 在現代組 合學上有十分重要的應用, 這暗示了戴氏數 的重要前景, ^[10] 值得進一步研究。 但深究其 中的奧秘已不是本文的任務, 留待他文發揮。

參考文獻

1. 曹籀: “戴鶴墅傳”, 《碑傳集補》 卷三十二。

2. 諸可寶:《疇人傳 · 三編》 卷七, 艾約瑟條。

3. 曹籀: “戴鶴墅傳”, 《碑傳集補》 卷三十二。

4. 李儼: “近代中算著述記”, 《中算史論叢》 第 二集, 中國科學院出版, 1954, p. 283.

5. 諸可寶: 《疇人傳 · 三編》 卷四, 戴煦條。

6. 《清史列傳》 卷七十三。

7. 夏鸞翔:《外切密率序》, 叢書集成初編本。

8. 戴煦:《外切密率序》, 叢書集成初編本。

9. 戴煦:《外切密率》, 叢書集成初編本。

10. 羅見今:“與歐拉數相匹配的特殊函數 — 戴 煦 數”, 《數學史研究文集》 第一輯, 內蒙古大 學出版社、 九章出版社合出, 1990, 131-139。

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本文作者任教於西北大學數學系

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