涉及三個三角形的兩個不等式
吳裕東
謹以此文獻給我的奶奶楊菊香女士(1930∼1997)
摘要: 本文利用算術–幾何平均不等式與凸函數的工具建立了兩個涉及三個三角形 的幾何不等式。 作為其中一個不等式的應用, 解決了冷崗松教授的一個猜想的二維 情形。 同時還得到了幾個有趣的推論, 最後提出了幾個進一步的問題。
關鍵詞: 三角形、 幾何不等式、Oppenheim 不等式、 算術–幾何平均不等式、 凸函數。
1. 引言和主要結果
在本文中約定: △AiBiCi (i = 1, 2) 的邊長, 面積, 內切圓半徑, 外接圓半徑分別為 ai、 bi、 ci, △i, ri, Ri; △ABC 的邊長分別為 a = √
a21+ a22、 b = √
b21+ b22、 c =√
c21+ c22, 面積為 △, 外接圓半徑為 R; 以 a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2 為三邊的三角形為 △A′B′C′ (a′ = a1+ a2, b′ = b1+ b2, c′ = c1+ c2), 其三內角分別為 A′, B′, C′, 內切圓半徑為 r′,外 接圓半徑為 R′, 面積為 △′。
涉及三個三角形的不等式最早或許要追溯到二十世紀六七十年代。 A. Oppenheim 在文 [4, 6] 曾建立了如下的結果:
△ ≥ △1+△2, (1)
R2≤ R21+ R22. (2)
不等式 (1) 和 (2) 就是所謂的 Oppenheim 不等式。 A. Oppenheim 在文 [6] 又將不等式 (1) 推廣到圓內接凸 n 邊形。 稍後, 楊路和張景中 [11, 12] 將不等式 (1) 和 (2) 推廣到 n 維空間 的單形。
近期 Pablo A. Parrilo 和 Ronen Peretz 在處理一個 Circle Packing 問題時用配平方 和的最新成果證明瞭如下涉及三個三角形的一個有趣的幾何不等式 [7]:
A1· (b1+ c1− a1) + A2· (b2+ c2− a2)≤ A′· (b′+ c′− a′). (3) 其中 A1, A2 分別為 △A1B1C1, △A2B2C2 之內角。
71
筆者受不等式 (1)−(3) 的啟發, 循文 [7] 的思路, 經過一番探究, 建立了 △AiBiCi (i = 1, 2) 與 △A′B′C′ 之間的如下兩個新的幾何不等式:
√△1+√
△2≤√
△′, (4)
r1+ r2≤ r′. (5)
下面第 2 節至第 3 節分別給出不等式 (4) 和 (5) 的證明, 第 4 節給出冷崗松教授的一個 猜想的二維情形的證明及其推廣, 第 5 節提出幾個進一步的問題。
2. 不等式 (4) 的證明
令
xi = 1
2(bi+ ci− ai) > 0, yi = 1
2(ci+ ai− bi) > 0, (i = 1, 2), zi = 1
2(ai+ bi− ci) > 0,
(6)
則 ai = yi+ zi, bi = zi+ xi, ci = xi+ yi (i = 1, 2)。 從而由三角形面積的秦九韶–海倫公式 可知不等式 (4) 等價於
√4
x1y1z1(x1+ y1+ z1) +√4
x2y2z2(x2+ y2+ z2)
≤ √4
(x1+ x2)(y1+ y2)(z1+ z2)(x1+ x2+ y1+ y2+ z1+ z2). (7)
⇔ 4
√
x1y1z1(x1+ y1+ z1)
(x1+ x2)(y1+ y2)(z1+ z2)(x1+ x2+ y1+ y2+ z1 + z2)
+4
√
x2y2z2(x2+ y2+ z2)
(x1+ x2)(y1+ y2)(z1+ z2)(x1+ x2+ y1+ y2+ z1+ z2) ≤ 1. (8) 由算術–幾何平均不等式可得
4
√
x1y1z1(x1 + y1+ z1)
(x1+ x2)(y1+ y2)(z1+ z2)(x1+ x2+ y1+ y2+ z1+ z2)
≤1 4
( x1
x1+ x2 + y1
y1+ y2 + z1
z1+ z2 + x1+ y1+ z1
x1+ x2+ y1+ y2+ z1+ z2 )
(9) 及
4
√
x2y2z2(x2 + y2+ z2)
(x1+ x2)(y1+ y2)(z1+ z2)(x1+ x2+ y1+ y2+ z1+ z2)
≤1 4
( x2
x1+ x2 + y2
y1+ y2 + z2
z1+ z2 + x2+ y2+ z2
x1+ x2+ y1+ y2+ z1+ z2 )
. (10)
由不等式 (9) 和 (10) 即得不等式 (8), 故不等式 (7) 成立, 進而不等式 (4) 得證。 由不等式 (4) 易得如下的推論:
推論1: 設 △AjBjCj (j = 1, 2, . . . , n) 的面積分別為 △j (j = 1, 2, . . . , n), 又設以 a′′ =
∑n j=1
aj, b′′ =
∑n j=1
bj, cn =
∑n j=1
cj 為三邊的 △A′′B′′C′′ 的面積為 △′′,則
∑n j=1
√△j ≤√
△′′.
注1: 本文成文後, 作者發現不等式 (4) 為已知結果 (參見 [2], [5]), 但文 [5] 是用 Minkowski 不等式的另一種形式來證明的。
3. 不等式(5) 的證明
為了證明不等式 (5), 我們需要如下的引理。
引理1: (見 [8, p.27] 或 [10, pp.22-23]) 設 f 為一在開凸集 D ⊆ Rn 上有連續的二階偏導 數的實值函數, 則 f 是凸函數當且僅當對任意 x ∈ D, 其海賽 (Hessian) 矩陣
Qx = (qij(x))n×n, qij(x) = ∂2f (x1, x2, . . . , xn)
∂xi∂xj 是正定或半正定的。
作代換 (6), 則由三角形內切圓半徑公式可知不等式 (5) 等價於
√ x1y1z1 x1+ y1+ z1 +
√ x2y2z2 x2+ y2+ z2 ≤
√
(x1+ x2)(y1+ y2)(z1+ z2)
x1+ x2+ y1+ y2 + z1+ z2. (11) 構造函數 f(x, y, z)=−√
xyz
x + y + z, (x, y, z)∈R3+, 其中 R+= (0, +∞)。 則其海賽矩陣為
Hf=
(4x+y +z)(y +z)y2z2 4( xyz
x+y+z
)3
2(x + y + z)4
−(3xy+yz+zx+z2)xyz2 4( xyz
x+y+z
)3
2(x + y + z)4
−(xy+yz+3zx+y2)xy2z 4( xyz
x+y+z
)3
2(x + y + z)4
−(3xy+yz+zx+z2)xyz2 4( xyz
x+y+z
)32
(x + y + z)4
(x+4y +z)(z +x)z2x2 4( xyz
x+y+z
)32
(x + y + z)4
−(xy+3yz+zx+x2)x2yz 4( xyz
x+y+z
)32
(x + y + z)4
−(xy+yz+3zx+y2)xy2z 4( xyz
x+y+z
)3
2(x + y + z)4
−(xy+3yz+zx+x2)x2yz 4( xyz
x+y+z
)3
2(x + y + z)4
(x+y +4z)(y +z)x2y2 4( xyz
x+y+z
)3
2(x + y + z)4
.
易見 Hf 的所有一階主子式均大於 0; 二階主子式分別為 (xy + yz + zx)z
4(x + y + z)3xy > 0; (xy + yz + zx)y
4(x + y + z)3zx > 0; (xy + yz + zx)x 4(x + y + z)3yz > 0.
而其三階主子式為 0, 故由文 [13, p.257] 定理 8.5 知 Hf 為一半正定矩陣, 因而由引理1 知 f (x, y, z) 為開凸集 R3+ 上的凸函數。 所以
1
2[f (x1, y1, z1) + f (x2, y2, z2)]≥ f(x1+ x2
2 ,y1+ y2
2 ,z1+ z2 2
) , 即
1 2
(√ x1y1z1 x1+ y1+ z1 +
√ x2y2z2 x2+ y2+ z2
)≤ vu uu ut
x1+ x2
2 · y1+ y2
2 · z1+ z2
x1+ x2+ y1+ y2+ z12+ z2 2
. (12)
不等式 (12) 即為不等式 (11), 故不等式 (5) 成立。
4. 不等式 (5) 的應用
在 △A′B′C′ 中, 由著名的 Walker 不等式 [3, p.173] 可得 1
a′2 + 1 b′2 + 1
c′2 ≤ 1
4r′2 ⇔ 1
(a1+ a2)2 + 1
(b1+ b2)2 + 1
(c1+ c2)2 ≤ 1
4r′2. (13) 由不等式 (5) 可得
1
r′2 ≤ 1
(r1+ r2)2. (14) 由不等式 (13) 與 (14) 即可得
1
(a1+ a2)2 + 1
(b1 + b2)2 + 1
(c1+ c2)2 ≤ 1
4(r1+ r2)2. (15) 不等式 (15) 即為冷崗松教授在文 [1] 提出的猜想的二維情形。
由不等式 (5) 可得如下顯然的推論:
推論2: 設 △AjBjCj (j = 1, 2, . . . , n) 的內切圓半徑分別 rj (j = 1, 2, . . . , n), 又設以 a′′ =
∑n j=1
aj, b′′=
∑n j=1
bj, c′′ =
∑n j=1
cj, 為三邊的 △A′′B′′C′′ 的內切圓半徑為 r′′, 則
∑n j=1
rj ≤ r′′
結合 Walker 不等式 [3, p.173] 與推論 2, 我們可得如下比不等式 (15) 更一般的結果:
推論3: 設 △AjBjCj (j = 1, 2, . . . , n) 的三邊長分別 aj、 bj、 cj (j = 1, 2, . . . , n), 內切圓 半徑分別 rj(j = 1, 2, . . . , n),則
(∑n1
j=1
aj
)2 + 1 (∑n
j=1
bj
)2 + 1 (∑n
j=1
cj
)2 ≤ 1 4
(∑n
j=1
rj )2.
5. 進一步的問題
注意到不等式 (2), 筆者試圖建立涉及 R1, R2 與 R′ 的不等式, 但無結果。 因此是否存 在涉及 R1, R2 與 R′ 的有趣的不等式是個值得探索的問題。 考慮到 A. Oppenheim 的工作, 一個自然的問題是: 能否將不等式 (4) 推廣到圓內接凸 n 邊形? 再注意到楊路和張景中在文 [11, 12] 的工作, 另一個自然的問題是: 能否將不等式 (4) 和 (5) 推廣到 n 維空間的單形? 這 個問題也許比較困難, 因為目前我們尚不清楚以兩個 n(n ≥ 3) 維單形的對應棱長之和為棱長 能否構成另一個單形 (關於單形構造定理可參見文 [9, p.169])。
致謝: 衷心感謝審稿人提出的寶貴意見和建議!
參考文獻
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—本文作者任教中國浙江省新昌縣浙江省新昌中學—
