數學(A)卷 107-3-A

107-3共同科目 數學(A)卷 詳解

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107 學年度四技二專第三次聯合模擬考試 共同科目 數學(A)卷 詳解

數學(A)卷 107-3-A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B D A B B C A D A A B B D B D D D C B C A C C C

1. ∵ y 截距 8_{過(0 , 8)代入}L

得： 1

0 8 4 0

 k   k 2

∴ 3 1 4 0 6 8 0

2      

：

L x y x y

6 8

y x

   

∴斜率為 6 ，故選(A)

2. 切線段長 (2 3) ²  ( 2 3)²  k 5 平方 1 25 k 25   ，故選(B) k 1 3. ∵ 1 5

2 x 2

    ∴ (2x1)(2x  5) 0 4x2 8x 5 0

    ² 5

2 4 0

x x 2

   

∴a 且2 5

b 2 5 1

2 2 2

      ，故選(D) a b 4. (x5)² (x1)(3x3)x²10x25 3 x²3

2 2 10 28 0

 x  x  x²5x14 0 ( 7)( 2) 0

 x x 

∴x7或 2



x 7 三數：6 , 12 , 24  公比為 2



x  2 三數： 3 , 3 , 3  (負數不合)，故選(A) 5. 所求 2

2 

  ，故選(B)

6.   3 4 cos 30 6 3，故選(B) 7. 將 (2 , 1) 代入L：2x3y 5 0

得：4 3 5 2 0    ∴ (2 , 1) 在 L 右側

(A) 將(1 , 2)代入 L 得：2 6 5     在 L 左側 9 0 (B) 將(2 , 1)代入 L 得：4 3 5     在 L 左側 4 0 (C) 將 ( 1, 3)  代入 L 得：     在 L 右側 2 9 5 2 0 (D) 將 ( 2 , 0) 代入 L 得：      在 L 左側 4 0 5 9 0

∴選(C)

8. ∵ 且為第二象限角

∴(A) tan 3

 4

 (B) cos 4

 5



(C) sec² ( 5)² 25 4 16

 ^ 

(D) sec² 1 tan²，故選(A) 9. ∵ (2 , 2)，    ( 2 , 2)

∴      ，故選(D) 4 4 8

10. 所求(log 9 log 3)(log 4 log 2)2  2 3  3 log 27 log 8₂  ₃ 3 log 32

 3 log 2_{3  ，故選(A)} 9 11. 8 18

2 13

a   ，b  8 18  12

∴a b 13 12 25  或 1，故選(A) 12. 由(sincos ) ² 1 2sin cos 

1 2

1 2sin cos ( )

    2 1 3 2sin cos 1

4 4

     _，故選(B) 13. ∵共線 

∴ (a2 , 4) // ( 4 , 4) 

2 4 6

4 4

 

   



a a ，故選(B)

[另解]

4 8 4 2 2 2

 

  

  

PQ PR

m m a a

4 4

2 4 6

    

  a

a

14. 3^x3^3y  x 3y   x 3y，故選(D)

15.

1 17 113 363 495 5 60 265 490 5 1 12 53 98 5

   

   

   　

由綜合除法得： ( ) (f x  x 5) Q x( ) 5

∴ (5) 0 5 5f    ，故選(B) 16. ∵ (1) 4f  且 (2) 3f 

設 ( ) ( 1)(  2) ( ) (  1) 4 餘式

f x x x Q x a x

由 (2) 0f       a 4 3 a 1

∴餘式      (x 1) 4 x 5 [另解]

由題意知： (1) 4f  且 (2) 3f  設 f x( ) ( x1)(x 2) Q x( )ax b

餘式

∵ (1) 4f  ，∴a b   4 又∵ (2) 3f  ，∴ 2a b   3 由

 、

知：a  ，1 b 5

∴餘式   ，故選(D) x 5 17. ∵ 10 2

10 3

 



 

p

q ，∴10^3p2q10^3p10^2q (10 )^{p 3}(10 )^{q 2}

3 2

2 3 72

   ，故選(D)

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18. ∵插入 50 個數後，共有 52 個數 故所求 1000 1000

2 52 0

 

  

19. 作圖如下：

頂點為(0 , 0)，(10 , 0)，(8 , 6)及(0 , 10) 代入 ( , )  f x y x y中

(0 , 0) 0 0 0   f

(10 , 0) 10 0 10   f

(8 , 6) 8 6 14   f

(0 , 10) 0 10 10   f

∴最大值為 14，故選(C) 20. ∵_表一圓

∴d²e²4f (2 )k ² ( 6)²4(3k13) 0 4 2 12 16 0

 k  k  k²3k 4 0 ( 4)( 1) 0

 k k   k 4或k 1

∵可作出兩條切線_{點 ( 2 , 3)}p  在圓外

∴代入_：( 2) ² 3² 4k18 3 k13 0

8 0 8

     k k  由  4 k 8或k 1 又 k 整數  k 5 , 6 , 7

∴所求   5 6 7 18_，故選(B) 21. 設兩根為 , ²

則兩根之積  ²27  3

∴兩根和  ² p 3 32 12 12

   p    p ，故選(C) 22. 先求 A、 B ： 2₂

3

  

  

 y

y x a

2 2

3 2

3

 x      a x  ^a

再求 C 、 D ： 2 ₂ 2

  

   

 y

y x b

2 2

2 2

2

  x      b x ^b

∵ 2 2 1 5

3

   ^a    

AB a

4 2 2 6

2

  ^b   

CD b

∴a b    5 6 1，故選(A)

23. 原式同除以 2 ^{2 2} 5

3 0

x y  x y  2

2 2

3 1

( ) ( ) 5

2 2

 x  y 

∴圓心( ,3 1) 2 2

 ，半徑 5 24.

由餘弦定理：

222    12 2 2 1 cos120

BC    4 1 2 7

∴BC 7_，故選(C)

25. 設製造 x 單位的甲種餅乾及y單位的乙種餅乾 依題意可得限制條件

∴

0 0

0.4 6 0.3 0.4 3.2

 

  

  



，

x y

x y

x y

0 0

5 2 30 3 4 32

 



  

  



，

x y

x y x y

與目標函數： 300x200y 作圖如下

( , )x y (0 , 0) (6 , 0) (4 , 5) (0 , 8) 300x200y 0 1800 2200 1600

∴最多可獲得 2200 元