數學(B)卷 107-3-B

107-3共同科目 數學(B)卷 詳解

共 2 頁 第 1 頁

107 學年度四技二專第三次聯合模擬考試 共同科目 數學(B)卷 詳解

數學(B)卷 107-3-B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B D C C B B A D B D A B A D C C C A D B A C D D

1. ₁ 4

 

L

m a ， ₂ 2

5 mL

∵L1 L2，∴ 2

1 10 4 5

a     a

可知：L1：10x4y 2 0，L2：2x5y b 0 (1 , )c 代入L1：10 4 c    2 0 c 2

再將 (1, 2) 代入L2：2 10     b 0 b 12

∴a b c  10 12 2   4，故選(A)

2.

2 sin 1 2sin cos cos 2sin 3cos 2 sin 3

cos

 

 

  

  

  

 2 tan 1 2 4 1 7 2 tan 3 2 4 3 11

  

  

  



 ^，故選(B)

3. 49 , 47 , 45 , ……

則 ak _{為首項 49，公差為}2_{的等差數列}

∴a_k 49 (    k 1) ( 2) 51 2 k 可得原式 ²⁴

1

(51 2 ) 51







k

k k a

而 ^{24 24 2 24 24 2}

1 1 1 1

(51 2 ) (51 2 ) 51 2

   

       

   

k k k k

k k k k k k

24 (1 24) 24 25 49

51 2 5500

2 6

   

    

100 55 55

   n

∴5500 100   n n 55

可知∴a n 51 55 106  ，故選(D) 4. 由圖可知

60分以下的有 18 人，80 分以下的有 32 人

∴60~80 分的有32 18 14  _{人，故選(C)} 5. (A) 行列互換，其值不變

(B)  2 2

2 2 4 5 20

2a 2b    a b   

c d c d

(C)  2 5 2

2 2 5 10

2 5 2

      



a b b a b a b

c d d c d c d

(D) 

10  10

   



b a a b

d c c d 10 5 50  ，∴故選(C) 6. 假設以A為原點 (0 , 0) 建立直角坐標系

則 (1 , 0)B _{、 (1,1)}C _{、 (0 ,1)}D

依題意得知， 1 ( , 1)

N 2 、 3

(1 , )

M 5 ，如下圖所示

 3 1 1 3 11

(1 , ) ( , 1)

5 2 2 5 10

     ，故選(B) [另解]

1 3 11

0 1 1 0

2 5 10

      

7. ∵ 1

log_ax2，∴ log_xa 2



∵ 1

log_bx3，∴ log_xb 3



∵ 1

log_cx5，∴ log_xc 5



由  

  

 _x abc   _abcx10，故選(B) 8. f x( )x²  x 2 (x2)(x1)

∵ ( )f x 可以整除 ( )g x

∴x2 | ( )g x 且x1| ( )g x g( 2) 0  且 (1) 0g 

8 4 34 6 0 2 7 10

17 6 0 23 13

       

  

         

a b a b a

a b a b b

∴a b  3，故選(A)

9. ∵ (P A B )P A( )P B( )P A B (  ) 1 1 1 ( )

2  3 4 P A B ，∴ ( ) 1

 12 P A B 而 ( ' | ) ( ' ) ( ) ( )

( ) ( )

  

P B A  P A P A B P B A

P A P A

1 1 3 12 3

1 4

3

   ，故選(D)

10. 依題意：4 個骰子都只能出現 1、2、3、4 四種點數

107-3共同科目 數學(B)卷 詳解

第 2 頁 共 2 頁

∴4⁴ 3⁴ 256 81 175

(4 1 2 3 )

   

個骰子都只出現 、 、 三種點數 故選(B)

11. ∵ 、 為x²5x 5 0之兩根

∴

2 2

2 2

5 5 0 5 5

5 5 0 5 5

       

 

     

 

   

   

則(²59)(²52) ( 5 9)( 5 2)     4 ( 7) 28

     _，故選(D) 12. 4 cos 6sin²

4 cos 6(1 cos2 )

    

6cos2 cos 2 0

    (3cos 2)(2cos 1) 0

   

∴ 2

cos 3



 _或1

2^(不合)

(∵90   180，∴cos0) tan 5

2

   ，故選(A) 13. 命中次數由小到大排列如下

3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , …… , 10 , 10 其中位數 ^{20 21} 6 7

2 2 6.5

 

^{a a}   _，故選(B) 14. 由除法原理知可設：

2

( ) ( 3 2) ( ) 31   4 (1) 1

f x x x q x x f

( ) ( 1) ( ) 52   (1) 5

g x x q x g

而 f x( ) 2 g x( )除以x1之餘式為 f(1) 2 (1) g 1 2 5 9

     _，故選(A) 15. 令ABC_，∴  90 

而 4

cos cos(90 ) sin 5

     

   _，故選(D)

16. AC之中點 5 1 2 ( 4)

( , ) (3 , 1)

2 2

  

  

D

∴ L 為過B(1 , 2) 、D(3 , 1) 之直線 而 2 ( 1) 1

1 3 2

  

 

m 

由點斜式得 1

( 2) ( 1)

  2 

y x

可知 L 之直線方程式為 1 5 2 2

 

y x 即x2y 5 0，故選(C) 17.

6 1 1

12 6 12 12

1 1 1

( ) [( ) ] ( )

2 2 64

  

a

4 1 1

12 4 12 12

1 1 1

( ) [( ) ] ( )

3 3 81

  

b

3 1 1

12 3 12 12

1 1 1

( ) [( ) ] ( )

4 4 64

  

c

∴a c b  ，故選(C)

18. 圖(10)中，圖型如下圖中塗黑且邊長為 1 根火柴棒的 三角形總個數

10 (1 10)

1 2 3 10 55

2

        

∴需要55 3 165  根火柴棒，故選(C)

19. 由柯西不等式知

2 2 2 2 2

(x (2 ) )(3y 1 ) (3 x2 )y

(3 2 )2 30 30 3 2 30

 x y     x y

∴最大值 30_，故選(A)

20.

故選(D)

21. 令x y z u k    10(x、 y 、 z 、u 為正整數，k 為 非負整數)

原題轉化為(x 1) (y      1) (z 1) (u 1) k 6 即x'    y' z u k' ' 6

求非負整數解，∴ 6⁵ 6¹⁰

10! 210 6! 4!

  

H C  ，故選(B)

22. 滿足不等式方程組之區域如下

而 4 3 18 3

3 9 2

  

 

    

 

x y x

x y y ，∴P(3 , 2) (0 , 6) (3 , 2) (9 , 0)

2x y 6 8 18

∴ 2 x y之最小值為 6，故選(A)

23. ABF中，∵BAF_，∴BF  a sin 而BDE中，∵EBD_，∴BE b cos

可知：CD EF BE BF asinbcos_，故選(C) 24.

2 4 16 ( 2)2 12

  t t  t 

當t 2時， y 有最小值2 3_，故選(D) 25. ∵到 A 、 B 、 C 之距離皆相等

∴ P 點必為ABC之外心

     4

 PA PB PC R abc 而ABC之面積

8 (8 5)(8 4)(8 7) 4 6

     

∴ 5 4 7 35 35 6 4 4 6 4 6 24

    

R  ，故選(D)