第三章 利息公式

3 3 --11

第三章 利息公式

-- 離散型複利計算 --

關鍵概念

• 經濟性等值：

兩組現金流圖經分析而未偏好任何一方，則此二 組現金流圖為等值

• 利息因子：

轉換現金流的計算公式，可使一組現金流轉換為 另一組等值的現金流

• 分析不同現金流的方法：

– 利息因子公式與表格 – 試算表

3 3 --33

經濟性等值

• 當兩組現金流圖為經濟上等值時，選擇何者是 毫無差別的

• 要公正的比較兩組不同的現金流圖→必須轉換 兩者成為結構相似的現金流圖 (蘋果跟蘋果比！

~而非橘子)

• 等值性取決於：

– 現金流的大小

– 現金流發生的時間點

– 每筆現金流發生期間的利率

3 3 --44

現金流轉換

• 大部分的現金流會依循某一種型式(類型)：

– 單筆現金流

– 重複的 (等額) 現金流 – 每期定額增加(成長)

• 等差變額

– 每期固定百分比增加(成長)

• 等比變額

• 利息因子可使這些現金流圖快速轉換型式

3 3 --55

一般性假設

• 利息為每期複利計算

– 現金流發生的間隔時間和利率的複利期間相符合

• 利率不會隨時間而改變(此限制可放寬)

• 時間零是一個任意的起始點 (相對性時間關係) – 例：0 → 5 或 2010 → 2015 或 2008 → 2013 均相同

• 除非特別指明，否則所有的現金流都發生在每期 期末

符號

• P -- 在時間零的現金流(現值)

• F -- 在第N期的現金流(未來值或終值)

• A -- 重複發生的等額現金流(年金值)

• G -- 現金流每期增加固定金額 (等差變額)

• g -- 現金流每期增加固定比率(等比變額)

• i -- 每個複利期間的利率

3 3 --77

複利總額因子(F)

• 目的：轉換一組現金流成為未來 (第N期)具經濟 性等值的單筆現金流F

• 複利增生意指金錢隨時間向前移動 (隨正值利率 而增長)

• 計算下列四種現金流圖在時間N的等值未來值F – 發生在時間0的單筆現金流P

– 自第一期起連續N期發生相同金額的現金流A

– 第一期現金流金額為0，連續N期每期現金流比前一期 增加G金額

– 第一期現金流金額為A₁，連續N期每期比前一期增加g 比率

3 3 --88

複利總額因子(F)

單筆款項分析

0 1 2 3 . . . N

P

0 1 2 3 . . . N

F

透過複利總額因子而等值

問題：如果我在帳戶中放入 (P)，那麼在N週期之後，我會 累積多少錢 (F)？

轉換為

3 3 --99

複利總額因子

單筆款項

0 1 2 3 .. . . N

P

F

已知P ，求 F =？

• 由複利計算可得：

(1 )

( / , , ) F P i

P F P i N

= +

=

單筆款項複利總額因子 (F/P, i, N) 為符號

範例3.1 複利總額因子--單筆款項

• 希臘Sea Satin公司向南韓的大宇造船訂購一艘液 化天然氣運輸船

• 這艘船會在2005年12月31日交貨，總價1,772億韓 圓。 如果購買的價錢是在合約簽訂當下支付(假設 為2003年6月1日)

• 請問此價格在交貨時的等值未來值(終值)為何？

假設名目年利率為20%，每半年複利。

3 3 --1111

範例3.1 解答

• 繪製現金流圖：

• 時間零(即 2002.5(2003年6月1日))現金支出(流出) 韓圓1 ,772 億元

• 此例的半年利率為 r/M，即 20% / 2 = 10%

• 初始投資(現值) 為已知：P = 1 ,772 億元

• 2005年底時的未來值(終值)是未知的，即求F =？

2002.5

177.2B

2003 2003.5 2004 2004.5 2005

F 2002.5 2003 2003.5 2004 2004.5 2005

3 3 --1212

• 利用複利總額因子，可得:

• 利用公式(3.1) ，如下：

• 或利用查表：

附錄之「離散性複利計算的利率因子」：表A.1~A.36 i = 10% 的複利總額因子列於表A.16的第1欄

向下查閱此列中N=5 的數值，即

(F/P, i, 5) = 1.6105

= 1.772億元*(1.6105) = 2853.8億元

( / , , ) $1,772 ( / ,10%, 5)

F

P F P i N

F P

5

( / , , ) (1 )

1,772 (1 0.10) 2,853.8 ( ) F = P F P i N = P + i

= 億元 + = 億元 韓

範例3.1 解答(續)

注意：查表與公式所得答案間可能會有誤差

3 3 --1313

複利總額因子(F)

等額多次付款系列分析

0 1 2 3 . . . N

F

0 1 2 3 . . . N

A A A . . . A

轉換為

如果連續N期在帳戶中存入A金額， 在N期 期末，可領出多少錢 (F)？

透過複利總額因子而等值

複利總額因子(F)

等額多次付款系列

已知A ，求F =？

F

0 1 2 3 . . . N

A A A A

. . .

(1 + i)^N-2 (1 + i)^N-3

將個別的A值透 過複利總額因子 轉換至第N期

1 2

(1 )

(1 ) ...

(1 )

N N

F A i

A i

A i

−

−

= +

+ +

+

+ +

3 3 --1515

複利總額因子(F)

等額多次付款系列

• 等額多次付款系列複利總額因子：

1 2

1 2

(1 ) (1 ) ... (1 )

(1 ) (1 ) ... (1 ) 1 (1 ) 1

( / , , )

N N

N N

N

F A i A i A i A

A i i i

A i

i A F A i N

− −

− −

= + + + + + + +

⎡ ⎤

= ⎣ + + + + + + + ⎦

⎡ + − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

等額多次付款系列複利總額因子 (這是一個等比級數！) 已知A ，求F =？

3 3 --1616

例題3.2 複利總額因子--等額多次付款系列

• 2003年秋季，Verizon Wireless選擇Nortel Networks來供應網路設備以升級其位於全美 各城巿的音訊與資料網路。

• 此網路會花費3.5年建構，成本需10億美元，

假設此成本從2004年初開始的4年内，每半 年支付相同金額。

• 請問此等額多次付款系列的未來值(終值)為

何？假設半年利率為4% 。

3 3 --1717

例題3.2 解答

• 繪製現金流圖：

– 請注意：2004年初即是2003年底；現金流的 間隔時間為半年

10億美元/8(個半年)＝每半年支出$1.25億美元

2003 2004 2005 2006

125M ……… 125M

F 2003 2004 2005 2006

• 已知A，求F =？

• 利用查表求解：

i = 4%的等額多次付款系列之複利總額因子列於表A.10 的第2欄

則 F = A(F/A, 4%, 8) = $125M*(9.2142) = $11.52億元

• 利用公式求解：

( / , , ) $125 ( / , 4%,8) F = A F A i N = M F A

8

(1 ) 1 ( / , , )

i

F A F A i N A i

⎡ + − ⎤

= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ + − ⎤

例題3.2解答(續)

3 3 --1919

• 一系列現金流每期規律的增加或縮減金額G

• 第1期金額為0，自第2期起到第N期，每期 現金流會比前一期增加金額G

複利總額因子(F)

等差變額系列分析

1 2 3 4 . . . N

G 2G

3G

(N-1)G

0

3 3 --2020

1 2 3 4 . . . N

F

0

轉換為

複利總額因子(F)

等差變額系列分析

透過複利總額因子而等值 已知G ，求F = ？

某投資案，自第1期起每期可獲利潤總額分別為

0、G、2G、

…、(N-1)G，則此投資等於在第N期期末可獲得多少錢 (F)？

1 2 3 4 . . . N

G 2G

3G

(N-1)G

0

3 3 --2121

• 此現金流圖可拆為 N-1組”等額多次付款”現金流系列

已知G ，求F =？

–第1組 (等額為G) 從第2~N 期 –第2組 (等額為G) 從第3~N 期 –第3組 (等額為G) 從第4~N 期

–第N-1組 (等額為G) 從第N~N 期

G

2G 3G

(N-3)G (N-2)G

(N-1)G

1 2 3 4 N-2 N-1 N

0

(1 i)^N1 1

F G

i

⎡ + − − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

(1 i)^N2 1

F G

i

⎡ + − − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

(1 i)^N3 1

F G

i

⎡ + − − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

已知G ，求F =？

G

2G 3G

(N-3)G (N-2)G

(N-1)G

• 只需針對每一組系列運用等額多次付款系列的複 利因子：

1 1

2

2 (1 ) 1

...

(

(1 ) (1

1 ) 1

(

) 1

,

1

/ , )

N

N

i N i

F G

i i Ni

G i

G

G i

F G i

i G

i

N

− −

⎡ + − ⎤

⎢ ⎥ ⎡ + − ⎤

= + + + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡

⎡ + ⎤

⎣ ⎦

−

⎤

+ − −

=

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

(這是一個等比級數！)

等差變額系列 複利總額因子

3 3 --2323

例題3 3 複利總額因子--等差變額系列

• 聯合科技的子公司Hamilton Sundstrand Corp.取 得一筆13億美元的電力系統訂單合約。

• 此系統為中國上海的中航商用飛機公司500台區 域性噴射機的電力產生與傳送系統。新噴射機預 計於2006年開始試飛。

• 假設這筆合約的付款（每架飛機260萬美元）將 在交貨時取到，其中交貨時程如下：

2006年： 50架， 2007年：100架，

2008年：150架， 2009年：200架。

• 請問這些收入現金流的等值未來值(終値)為何？

假設年利率為8% 。

3 3 --2424

例題3 3解答：

• 請注意：第一筆現金流出現在2006年

• 因此，需假設2004年爲時間零，才能應用(F/G,i,N) 複利因子求解，現金流圖如下

260萬元*50架＝1.3億元 260萬元*100架＝2.6億元

2004 2005 2006 2007 130M 260M

2008 2009

390M 520M

2004 2005 2006 2007 2008 2009

買方付款現金流 賣方收入未來值 F

3 3 --2525

• 已知G，求F =？

• 利用查表求解：

i = 8%的等差變額系列之複利總額因子列於表A.14第3欄 則 F = A(F/G, 8%, 5) = $130M*(10.8325) = $14.8億元

• 利用公式求解：

例題3.3解答(續)

( / , , ) 50 $2.6 ( / ,8%,5) F = G F G i N = × M F G

2

5 2

(1 ) 1

( / , , )

(1 0.08) (5)(0.08) 1

$130 14 800

(0.08)

i

Ni F G F G i N G

i M

⎡ + − − ⎤

= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ + − − ⎤

= ⎢ ⎥ =

⎣ ⎦ 億 萬元

例題3.4 等差變額與等額多次付款系列

• Steel Dynamics於2003年下半年投資$ 7,500萬美元 來擴展其位於印第安那州Pittsboro的棒材工廠。

– 這項投資預計可使該工廠的年產量增加將近60萬噸 的棒材製品。

– 假設2002年底為時間零，2003年的產量為40萬噸。

– 之後，連續4年，每年產量會增加5萬噸。

– 如果每噸鐵棒可獲得250美元的收入。

– 假設工廠以最大產量生產，且所有產出都會售出。

• 假設年利率為14%。

• 請問該工廠5年所獲收入的等値未來值(2007年底)

3 3 --2727

解答

繪製現金流圖：

= +

3 3 --2828

• 將現金流拆為等差變額與等額多次付款系列兩組：

則欲求解的F可拆為：F = F_G+ F_A – 已知G，求F_G

=？

– 已知A，求F_A

=？

• 可得未來值F：

$250 50, 000

( / , , ) (F/G,14%, 5)

F

G F G i N

噸 年

$250 400, 000

( / , , ) (F/A,14%,5)

F

A F A i N

噸 年

$12.5 ( / ,14%,5) $100 ( / ,14%,5) $12.5 (11.5007) $100 (6.6101)

143.76 661.01 8.477

G A

F F F M F G M F A

M M

M M

= + = +

= +

= + = 億元