2-4多項式函數圖形與多項式不等式在

(1)

2-4 多項式函數圖形與多項式不等式

在2-1 節的課程中﹐我們知道：常數函數及一次函數的圖形都是直線﹐二次函數的圖形

都是拋物線﹐至於高次（三次或三次以上）函數的圖形﹐目前我們還是與描繪三次及四次單項函數圖形一樣﹐只能透過描點的方法﹐描出約略的圖形。

函數圖形

(1)多項式函數的圖形都是連續不斷的。

(2)對於次數不低於 1 次的多項式函數﹐當首項係數為正數時﹐函數圖形的最右方是上升的。

(3)當首項係數為負數時﹐函數圖形的最右方是下降的。

例題1--- 利用描點的方法畫出三次函數 ^{f x}  ^^x³^^x^的圖形

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函數圖形與方程式的實根

(1)多項式函數 ^{f x} ^之圖形與x 軸交點的 x 坐標﹐就是多項式方程式 ^{f x}  ^⁰^的實根

(2)多項式方程式的實根會呈現在函數的圖形上﹐而虛根是不會在圖形上出現的。

一次不等式重要性質設^a﹐^b﹐^c為實數﹒

(1)不等量加法：若^{a b}^ ﹐則^{a c b c}^{  } ﹒ (2)不等量乘法：若a b 且c0﹐則a c b c   ﹒ 若a b 且c0﹐則a c b c  

例題2--- 解一次不等式2x 3 0

(2)

隨堂練習--- 解不等式2x 1 5x10

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解二次不等式

例題3--- 解二次不等式^x^¹ ^x^{ }³ ⁰

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例題4--- 解下列二次不等式：(1)_{3 2}_ _{x x}_ ² _₀﹒ (2)x²  x 3 0

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隨堂練習--- 解下列二次不等式：

(1)_{6 5}_ _{x x}_ ² _₀﹒ (2)3 5x x  ²

(3)

例題5--- 解二次不等式_x²_₄_x_{ }_{4 0}

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隨堂練習--- 解二次不等式₉_x²_₆_x_{ }_{1 0}

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重要性質

(1)若二次不等式âx²^^{bx c}^{ }⁰恆成立﹐則â^⁰且^b²^⁴âc^⁰；反之亦然﹒

(2)若二次不等式ax²bx c 0恆成立﹐則a0且_b²_₄_ac_₀；反之亦然

例題6--- 解下列二次不等式：

(1)_x²_{  }_x _{1 0}﹒ (2)x²  x 1 0

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隨堂練習--- 解下列二次不等式：

(1)₂_x²_₈_x_{ }_{11 0}﹒ (2)x²2 3x 5 0﹒

(4)

已知二次不等式_x²__{kx k}_{ }₀的解為全體實數﹐求實數k的範圍

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隨堂練習--- 已知二次不等式_{ }_x² ₂_{x k}_{ }₀的解為全體實數﹐求實數k的範圍

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例題8---

已知：以每秒v₀公尺的速度從地面垂直向上發射子彈﹐t秒後的高度為^y公尺﹐可由

2

0 4.9

y v t  t 確定﹒今以每秒58.8 公尺的速度從地面垂直向上發射子彈﹐問子彈高度不低於 98 公尺的時間有多少秒？

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(5)

隨堂練習--- 如右圖﹐正方形ABCD的邊長為4﹐在AB與_BC

上分別各取一點P﹐Q﹐使得AP BQ ﹐且四邊

形PQCD的面積至少為10﹐求AP長的範圍

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高次不等式

解高次（三次或三次以上）不等式﹐若能順利的將多項式分解成一次或二次因式的連乘積﹐則可求得不等式的解

例題9--- 解不等式_x³_₆_x²_₁₁_x_{ }_{6 0}

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隨堂練習--- 解不等式^x^^{2 3} ^x²^²^x^{ }¹ ⁰

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(6)

解不等式²^^{x x} ²^³^x^{ }¹ ⁰

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隨堂練習--- 解不等式³^^x² ^x²^³^x^⁴ ^⁰

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例題11--- 解不等式^x^¹ ^x^² ³ ^x^³⁴²^x²^³^x^⁴^⁰

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(7)

隨堂練習--- 解不等式^x^¹ ^x^² ² ^x^⁵³^⁰

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例題12--- 解下列不等式：

(1) 2 3 0 x x

 

 ﹒ (2) 3 2 x x 



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隨堂練習--- 解下列不等式：

(1) 0

1 x x 

 ﹒ (2) 1 1 1 x 



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(8)

習題一、基礎題

1. 已知不等式3x 2 ax3的解為x1﹐求實數a的值﹒

2. 解下列不等式：

(1)x² 3x10﹒ (2)x²  x 1﹒

(3)4x²12x 9 0﹒ (4)2x²4x 7 0﹒

3. 解下列不等式：

(1)^x^¹ ^x^² ^x^³ ^x^⁴ ^⁰﹒ (2)^x^¹ ^x^² ^x^² ² ^x^³³^⁰﹒

(9)

(3)^x²^{ }^x ¹ ^x²^⁶^x^⁹^⁰﹒ (4)^x^² ⁴ ^x^¹ ³ ^x^²⁵^x²^{ }^x ³ ^⁰^﹒

(5)x³3x 2 0﹒

4. 解不等式2 1

3 1 x x

 

 ﹒

5. 選出與不等式^x^¹ ^x^² ^⁰^{有相同的解之選項：}

(1)¹^^{x x}  ^² ^⁰ (2) 1 2 0 x x

 

 (3)^x^¹ ^x^² ^x^³² ^⁰

(4)^x^¹ ^x^²^{ }^x² ²^x^{ }⁵ ⁰ (5)^x^¹ ³ ^x^²⁵ ^⁰ ﹒

二、進階題

6. 右圖為三次函數 ^{f x}  ^^ax³^^bx²^^{cx d}^ ^{的圖形﹐且圖形通過}

^0,0^﹐ ^1,0 ^與^2,0^{﹒選出正確的選項：}

(1)a0 (2)b0 (3)c0 (4)d 0

(5)a b c d   0﹒

(10)

7. 已知^a﹐b為實數﹐且不等式³^x ^{ }^x ¹ ^x ^^{ax b}^  ^⁰^的解為^{  }¹ ^x ³^﹐求^a^﹐^b^的

值﹒

8. 解不等式^{x x}² ^² ^x^¹ ^x^⁵ ^ ²^x^³ ^x^² ^x^¹ ^x^⁵﹒

9. 如圖﹐在牆角用一條長 9 公尺的護欄﹐圍出一個面積至少 18 平方公尺﹐但不

超過20 平方公尺的長方形遊戲區﹐並要求遊戲區掛鐘的那一邊須比其鄰邊

短﹒若掛鐘的那一邊的邊長為x公尺﹐則x的範圍為何？

10. 城市為了招商﹐決定對某外商第一年生產的飲料 A 免稅﹒已知此外商第一年生產的飲料

A 每瓶售價 65 元﹐銷售量 100 萬瓶﹒假設第二年開始對飲料 A 徵收r%（即每100 元的

銷售金額要徵收附加稅r 元）的稅率﹐外商將調高每瓶售價為 70 元﹐且預測年銷售量將

會減少10r 萬瓶﹒依此假設﹐如果要使飲料 A 收取的稅不少於 112 萬

元﹐那麼r 應訂在什麼範圍內？

11. 某兒童遊樂場裡有一門大砲﹐可發射出砲彈供人玩樂﹒當大砲發射t秒後﹐砲彈的高度^y

公尺由數學式 ^{y kt}^ ⁴^^t 確定﹐其中正數k為大砲上可調整的變數﹒已知遊樂場的天

(11)

花板高 16 公尺﹐且不讓砲彈打中天花板﹐求變數k的最大範圍﹒