高中基礎數學統整講義

第一回 數與形(1)

從線性函數到直線方程式

高中基礎數學統整講義

一、為什麼要學數學？

1. 從一個生活實例談起

【例題 1】

已知臺灣銀行對新臺幣存戶在國外自動提款機(ATM)跨國提領當地貨幣的計算方式如下：

提領外幣的實際交易匯率，是以提領時該行的牌告匯率加上一個固定比率的差額；另外每一筆 提領，不論幣別與金額多少，還會再收取一筆固定的跨國提款手續費。現該行有一存戶小珊，

某日於歐洲的 ATM 連續提領歐元(EUR)三次，第一次提領 400 歐元，含跨國提款手續費總共 花了新臺幣 14,798 元，第二次提領 300 歐元，含跨國提款手續費總共花了新臺幣 11,117 元，

第三次與第二次完全相同，交易紀錄如下：

已知小珊三次提款的交易匯率都相同，即以該行當時的牌告匯率：36.36 新臺幣兌換一歐元，

再加上一個固定比率的差額，試求：

(1)小珊這三筆提款的實際交易匯率(即多少元新臺幣兌換一歐元，計算至小數第二位)。

(2)小珊在歐洲 ATM 跨國提領歐元的實際交易匯率與牌告匯率間的差額佔牌告匯率的比率(以 百分比表示，計算至小數第二位)。

(3)小珊在歐洲 ATM 每一筆跨國提款的手續費(新臺幣元)。

解：

2. 延伸思考：從雙變數(二元)到三變數(三元)

【類題 1】

例題 1 中，若小珊第二筆提款時歐元對新臺幣的牌告匯率與第一筆相同，都是 36.36；但等到 她提領第三筆時，臺灣銀行的歐元牌告匯率已經變動了，雖然同樣是提領 300 歐元，但交易紀 錄顯示臺灣銀行扣了她新臺幣 11,138 元，試求第三筆交易時，臺灣銀行歐元的牌告匯率是多少 (即多少元新臺幣兌換一歐元，計算至小數第二位)？[36.43]

解：

3. 相關章節與演算工具：BIV.§3-1 增廣矩陣/高斯消去法解一次方程組

400 14798 400 0 1 14798

300 11117 300 0 1 ' 11117

300 ' 11138 0 300 1 11138

a b a

a b a

a b b

+ =

      

 + = ⇔     =  

      

 + =      

      

400 0 1 14798 300 0 1 11117 300 0 1 11117

300 0 1 11117 400 0 1 14798 100 0 0 3681

0 300 1 11138 0 300 1 11138 300 300 0 21

     

  →   →  

     

     − 

     

300 0 1 11117 300 0 1 11117

300 300 0 21 100 100 0 7

100 0 0 3681 100 0 0 3681

   

   

→ − → −

   

   

   

可得： 3681 7 100 36.81

36.81, ' 36.88, 11117 300 36.81 74

10 100

a a

+ ×

b

= = = = = − × =

R

12

4. 線性(Linear)函數：常數函數 y

=

f x

( )=

k 與一次函數 y

=

f x

( )=

ax

+

b

【例題 2】有一次數學段考結果不甚理想，全班 40 人中最高分 65 分、最低分 25 分。老師想用

「線性平移法」加分，使 65 分變成 90 分，25 分變成 60 分。試求：

(1)「線性平移法」所對應的線性函數，並繪其圖形。[ 3 165 ( ) 4 4

y

=

f x

=

x

+ ] (2)小明原來考 45 分，在加分之後變成多少分？[75]

解：

【類題 2】若 f (x)＝2018x＋801207，則 (230415) (670819) 670819 230415

f

−

f

− ＝？[ 2018− ] 解：

5. 為何用線性函數 ^y

⁼

^{f x}

^{( )=}

^ax

⁺

^b ？生活中還有哪些線性函數的例子？

‧加分函數

‧(攝氏/華氏)單位轉換

‧(指/對數、三角函數)線性內插法

6. 那開根號乘以 10 呢？――平方根函數 ^y

⁼

^{f x}

^{( )=10}

^x

7. 認識數學實驗室(Math Lab)：

http://www.tcgs.tc.edu.tw/~cmchien/Math_Lab/Math_Lab.htm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x ( ) 10

y= f x = x

【聯想 1】考試加分大多用「線性平移法」，可與公民課法律篇裡的哪一個概念連結？為什麼？

[比例原則；公平性]

解：

【聯想 2】若用線性函數

y

=

f x

( )=

x

+

k k

, ( >0)來為考試加分，會發生什麼問題？這種問題若用 平方根函數

y

=

g x

( )=10

x

就可以避免，但後者又會有什麼問題以致於很少被採用？

解：

【聯想 3】平方根函數

y

=10

x

與二次方程式

y

² =100

x

一樣嗎？分由代數與幾何觀點說明之。

[不一樣；前者

x

≥0,

y

≥0，故圖形只出現在第一象限(及原點)，為開口向右拋物線之一部份；

後者

x

≥0,

y

∈

R

，故圖形出現在一、四象限(及原點)，為開口向右之拋物線]

解：

二、高中數學在學些什麼？

1. 數(量)與形： 【代數】與【幾何】――數學式與圖形，一體的兩面

2. 【數系】→【數列】→【排列】→【組合】→【機率】→【統計】

3. 即使非幾何問題，圖形仍為最好用之分析工具――隨時畫圖解數學

4. 各種函數： 【多項式】→【指/對數】→【三角函數】 ，尤重幾何意義

5. 由各種函數的圖形，建立【數】與【形】的連結

6. 應用各種工具與性質，分析圖形，解幾何問題

7. 函數→方程式： 【直線】→【圓】→【二次曲線：拋物線、橢圓、

雙曲線】

8. 綱要說明：先【數】後【形】 ，先【代數】後【幾何】(見下表)

回別 日期 主 題 涵蓋冊別‧章節‧內容

1 4/14 從線性函數到直線方程式 ^BI.§2-1線性函數，斜率概念，BII.§1-1 等差數列，

BII.§4-2迴歸直線，BIII.§2-1 直線方程式

2 4/21 二元一次不等式與線性規劃 ^BIII.§2-2二元一次不等式，用斜率求線性規劃最佳解

3 4/28 數與形(1)：整數，算幾與三角不等式 從正整數到實數，正五邊形與黃金數，無理數三劍客，

高中九九乘法表──常用的數與乘法公式

4 5/5 數與形(2)：複數與數系，幾何意義 ^BI.C1數系，數線幾何，BI.§2-3 複數+高斯平面

5 5/12 數列與級數(1)：基本性質與運算 ^BII.§1-1數列：概念與運算，遞迴數列，數學歸納法

6 5/19 數列與級數(2)：



^{運算子與公式 BII.§1-2級數：概念與運算}

7 5/26 排列組合(1)：集合論與計數原理 ^BII.C2排列、組合：集合概念，加法、乘法、排容原理

8 6/2 排列組合(2)：「未全」法則一以貫之 ^BII.C2排列、組合：四種排列組合的觀念統整

9 6/9 排列組合(3)：二項式定理 ^BII.C2排列、組合：巴斯卡定理，二項式定理

10 7/28 機率(1)：定義與基本性質 ^BII.§3-1樣本空間與事件

11 8/4 機率(2)：機率的運算 ^BII.§3-2機率的定義與性質

12 8/11 機率(3)：條件機率，事前/事後機率 ^BII.§3-3條件機率與貝氏定理

13 8/18 統計(1)：集中量數與離散量數 ^BII.§4-1單變量數據分析

14 8/25 統計(2)：線性變換與標準化 ^BII.§4-1單變量數據分析

15 9/1 統計(3)：相關係數與迴歸分析 ^BII.§4-2雙變量數據分析

16 9/8 多項式(1)：基本性質與運算 ^BI.§2-1簡單多項式函數(二次函數)，§2-2 多項式的運算

17 9/15 多項式(2)：方程式與不等式 ^BI.§2-3多項方程式，§2-4 多項不等式

18 9/22 圖形的平移與伸縮 ^BI~BIV.圖形的改變與方程式變數間的連動關係

19 9/29 指數與對數(1)：基本性質與運算 ^BI.C3指數與對數

20 10/6 指數與對數(2)：首數與尾數 ^BI.C3指數與對數

9. 學好數學訣竅： 【常識愈多愈好，公式愈背愈少】

――統整學過的觀念，內化成常識，公式自然愈背愈少

回別 日期 主 題 涵蓋冊別‧章節‧內容

21 10/13 平行與垂直；投影、對稱與鏡射 ^BI~BIV.幾何問題的幾個核心概念統整

22 10/20 三角(1)：基本性質與運算 ^BIII.C1三角函數

23 10/27 三角(2)：解三角形 ^BIII.C1三角函數

24 11/3 三角(3)：解測量問題(2D/3D) ^BIII.C1三角函數

25 11/10 圓與圓錐曲線 ^BIII.§2-3圓與直線的關係，BIV.C4 二次曲線

26 11/17 向量(1)：穿梭 2D 到 nD 的幾何神器 ^BIII.C3平面向量，BIV.C1 空間向量，基本性質與運算，

三角不等式(實數版 vs 向量版)，柯西不等式

27 11/24 向量(2)：重新審視平面幾何問題 ^BIII.C3平面向量：直線的參數式與向量式

28 12/1 向量(3)：一魚三吃──從 2D 吃到 3D ^BIII.C3平面向量，BIV.C1 空間向量，從點線到點面

29 12/8 空間(1)：空間基本概念 ^BIV.C1空間向量

30 12/15 空間(2)：平面與直線方程式 ^BIV.C2空間中的平面與直線

31 12/22 空間(3)：解空間幾何問題 ^BIV.C2空間中的平面與直線

32 12/29 矩陣(1)：列/行向量的組合 ^BIV.§3-2矩陣的運算，§3-3 矩陣的應用(轉移矩陣)

33 1/5 矩陣(2)：反矩陣與解線性方程組 ^BIV.§3-1線性方程組，§3-3 矩陣的應用(反矩陣)

34 1/12 概念總統整(1) 35 1/19 概念總統整(2)

1/26, 27 108 年大學學測(推測)

三、從線性函數到直線方程式

1. 直線面面觀：從線性函數到二元一次方程式

2. 線性(Linear)函數：常數函數 y

=

f x

( )=

k 與一次函數 y

=

f x

( )=

ax

+

b a

( ≠0)

3. 斜率 a 與 y 截距 b ――一次函數觀點

4. 二元一次方程式： ax

+

by

+

c

=0

，斜率： a

( 0)

m b

b

= − ≠

5. 直線的斜率――二元一次方程式觀點

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y = f (x ) / g (x )

( ) 5 y= f x =

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y = f (x ) / g (x )

( ) 3 2 y=f x = x+

【類題 1】坐標平面上四條直線 L1，L2，L3，L4與 x 軸、y 軸及直線 y＝x 的相關位置如圖所示，

其中 L1與 L3垂直，而 L3與 L4平行。設 L1，L2，L3，L4 的方程式分別為 y＝m1 x，y＝m2 x，

y＝m

3 x 及 y＝m4 x＋c。試問下列哪些選項是正確的？【98.學測】

(1) m3＞m2＞m1 (2) m1．m4＝－1 (3) m1＜－1 (4) m2．m3＜－1 (5) c＞0 [(2)(3)(4)]

解：

【例題 2】試問有多少正整數 n，使得坐標平面上通過 (

A

−

n

, 0)與點 (0, 2)

B

的直線亦通過點 (7, )

P k ，其中 k 為某一正整數？[4 個：1, 2, 7, 14] 【98.學測】

解：

【註】本題可用來補強 99 課綱失落的環節：整數概念

【類題 2】在坐標平面上，設 A 為直線 3x－y＝0 上一點，B 為 x 軸上一點。若線段 AB 的中點坐 標為(7

2 ，6)，求點 A 與點 B 的坐標。[ (4, 12), (3, 0)

A B

] 【97.學測】

解：

6. 五種直線方程式形式的統整――只用一個核心概念：斜率

【例題 6】小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里，並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里。今欲在此道路上 蓋一家超級市場使其與 A，B 等距，則此超級市場與 A 的距離須為___________公里。(化為最 簡根式) [ 4 3 ] 【103.學測】

解：

【類題 6】設 A ( 1 , 1 )，B ( 3 , 5 )，C ( 5 , 3 )，D ( 0 , －7 )，E ( 2 , －3 ) 及

F (8, －6)為坐標平面上的六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交

點，則 L 的斜率之最小可能值為 。[－3] 【101.學測】

解：

【類題 7】設 ABC∆ 三頂點為

A

(1,2)，

B

(−3,1)，

C

(−2,−4)，試求：

(1) ABC∆ 的外心坐標 O。[ 5 15 ( , )

14 14

O

− −

]

(2) ABC∆ 的重心坐標 G。[ 4 1 ( , )

3 3

G

− −

]

(3) ABC∆ 的垂心坐標 H。[ 23 8 ( , )

7 7

H

−

]

(4)如何判斷 ABC∆ 的外心、重心、垂心是否共線？結果為何？[

m

_OG =

m

_OH，故共線]

解：

【類題 8】已知三直線

x

−

y

=0，

x

+

y

−2=0，5

x

−

ky

−15=0不能圍成三角形，求實數 k 的值。

[

k = −

10或

k = − 或

5

k = ]

5 解：

【類題 9】將一張坐標紙摺疊一次，使得點 ( 0, 2 ) 與點 ( 4 , 0 ) 重合，則點 ( 7 ,3) 會與點 ( , )

m n 重合，

求

m

與

n

之值。[

m = 3 5, n = 31 5

_] 解：

【類題 10】某別墅有一個由四塊正方形的玻璃拼成的四字形窗戶，窗外路燈的光線 ( 假設路燈 是一個點光源 ) 透過窗戶的地板上形成一個變形的田字形光影。在地板上建置一個直角坐標 系，發現田字形光影外框的四個頂點的坐標分別為 (－4，40)，(16，0)，(16，40)和(28，16)。

求田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標。[ (16, 25) ] 【96.指考乙】

解：

【類題 11】若實數 a，b，c，d 使得聯立方程組





ax＋8y＝c

x－4y＝3

有解，且聯立方程組



－3x＋by＝d

x－4y＝3

無 解，則下列哪些選項一定正確？ 【101.學測】

(1) a≠－2 (2) c＝－6 (3) b＝12 (4) d≠－9 (5) 聯立方程組





ax＋8y＝c

－3x＋by＝d 無解。[(3)(4)]

解：

【類題 12】坐標平面上有三條直線 L、L1、L2，其中 L 為水平線，L1、L2的斜率分別為 3

4 、－4 3 。 已知 L 被 L1、L2所截出的線段長為 30，求 L、L1、L2所決定的三角形的面積。[216]

【106.指考甲】

解：

O

【類題 13】如右圖，兩直線

L

₁、

L

₂之方程式分別為

L

₁：x＋ay＋b＝0，

L

₂：x＋cy＋d＝0；試問 下列哪些選項是正確的？[(4)(5)]

(1)

a > (2)

0

b > (3)

0

c > (4)

0

d >

0 (5)

a > c

【92.學測】

解：

【類題 14】如右圖所示，坐標平面上一鳶形 ABCD，其中 A,C 在 y-軸上，B,D 在 x-軸上，且

AB = AD

＝2，

BC = CD

=4，

AC

＝5。令

m

_AB、

m

_BC、

m

_CD、

m

_DA分別表直線 AB、BC、CD、DA 之斜率。

試問以下哪些敘述成立？[(2)(3)(5)]

(1)此四數值中以

m

_AB為最大 (2)此四數值中以

m

_BC為最小 (3)

m

_BC＝－

m

_CD (4)

m

_AB×

m

BC＝－1 (5)

m

_CD＋

m

_DA＞0 【94.學測】

解：

【類題 15】設 (0, 0), (10, 0), (10, 6), (0, 6)

A B C D

為坐標平面上的四個點。如果直線

y

=

m x

( −7)+4將 四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊，求 m。[1/2] 【94.學測】

解：

y A

B

C

D x

【類題 16】坐標 平 面 上 有 一 梯 形 ， 四 個 頂 點 分 別 為

A (0, 0), B (1, 0), P Q ,

， 其 中 過

P Q ,

兩 點 的 直 線 方 程 式 為

y = 2 x + 4

，下 圖 為 示 意 圖。若

Q

點 的 坐 標 為

( , 2 a a + 4)

，其 中 實 數

a ≥ ，

0 則梯 形

ABPQ

的 面 積 為 何 ？ (化 為 最 簡 分 數 )[5a

2 + 5] 【109.指考乙】

解：

P

Q

B(1,0) x

A(0,0)