改良式 Jakes 衰減通道模擬器之硬體設計
謝國旺 胡凱翔 翁萬德
國立雲林科技大學電機工程系
摘 要
本文以原始Jakes 模型為基礎，設計了一組硬體成本低廉，且容易實現的 衰減通道模擬器，而低頻振盪器數目也比原來的模型要少許多。我們主要是把 原始Jakes 模型裡的路徑增益值採改良式分佈，而到達角度及起始角度都設為 0 度，這樣的設計不僅可以降低硬體成本，而且統計特性都比 Zheng & Xiao 模 型更接近理想值。更明確的來說，改良式Jakes 衰減通道模擬器只需要八個低 頻振盪器，而此設計我們在Maxplus2 的平台下用硬體描述語言來證實。經由 Matlab 模擬，我們得到ωn的小數位數取7 位元，弦波輸出值的小數位數取 3 位元，係數的小數位數取4 位元即可。硬體實現時，memory bit 數目只需 512 個，邏輯閘數目只需1,032 個，而且模擬的結果證實此設計改良了原始模型的 一階及二階的統計特性。
關鍵詞：改良式Jakes 模型、通道模擬器、衰減通道。
THE DESIGN AND REALIZATION OF THE IMPROVED JAKES FADING CHANNEL SIMULATOR
Kuo-Wang Hsieh Kai-Siang Hu Wan-De Weng Department of Electrical Engineering
National Yunlin University of Science and Technology Yunlin, Taiwan 640, R.O.C.
Key Words: improved Jakes model, channel simulator, fading channel.
ABSTRACT
Based on the original Jakes model, we have proposed a new design for an inexpensive fading channel simulator that can be easily realized with many fewer low-frequency oscillators than used in existing structures. The major modifications from the original Jakes model include the generation of path gains under an improved distribution, and presetting the arrival an- gles and initial phases to be zero. These modifications not only reduce the hardware cost of the channel simulator, but also provide better statistic properties than the most recent model proposed by Zheng and Xiao. Spe- cifically, the improved Jakes fading channel model presented in this paper needs only 8 low-frequency oscillators. The circuit design has been verified using hardware description language (HDL) over Maxplus2 software. The decimal precisions of the numerical presentations of the oscillating fre- quencies ωn, their cosine transformed values, and their coefficients are
chosen as low as 7, 3, and 4 bits, respectively. Only 512 memory bits and 1,032 logic gates are needed in the circuit hardware. Simulation results have demonstrated that the proposed design exhibits improved first-order and second-order statistical properties.
一、簡 介
Jakes 在 1974 年[1]根據 Clarke 的電磁波理論[2]建構一 個以弦波加總(SOS, sum-of-sinusoids)的模型，由於 Jakes 模 型具有簡單的架構，既可以用軟體模擬，也很容易以低頻 振盪器來實現其硬體電路，同時模型中也考慮到都普勒偏 移(Doppler shift)現象，所以三十年來被廣為使用作瑞立衰 減通道(Rayleigh fading channel)模擬器。這當中不斷地有學 者根據這模型的缺陷提出修正。譬如加拿大的 Pop 與 Beaulieu 在 2001 年指出，Jakes 原始模型的統計特性是不穩 定(nonstationary)的，意即其特性會隨時間而變，因此提出 修正模型，將原Jakes 設定為零的初始相位改為隨機值，以 消除此不穩定性[3]。之後，Zheng 和 Xiao 陸續在 2002 及 2003 年提出新的修正模型，改進高階的統計特性，使其更 符合Clarke 參考模型[4-6]。
在Jakes 模型中有三個重要參數，路徑增益(path gain) φ，電波到達的角度(arrival angle)θ，以及起始相位(initial phase)角度ψ，Jakes 對這三個參數採用固定值(deterministic) 方式，而Pop 與 Beaulieu 將起始相位改為隨機值，係針對 一階統計特性加以改善。其後Zheng 和 Xiao 將三個參數皆 改為隨機值，以改善二階的統計特性。然而我們在對這新 修正的Jakes 通道模型進行模擬及觀察時，發現在當嘗試以 較少數的低頻振盪器去實現系統架構時，其輸出程序的二 階統計特性，如自相關函數(autocorrelation function)和交互 相關函數(cross-correlation function)，與理想的瑞立衰減通 道相比並不理想。
本文最主要目的是提出更新的修正模型，以改善上述 有關統計特性的問題，此新的修正模型稱為改良式 Jakes 模型。與之前模型最大的不同之處，在於將模型中的路徑 增益參數φ值採改良式分佈，並將到達角度參數θ及起始 角度參數ψ都設為 0 度，這樣的設計不但可以減少硬體元 件數目，降低產品成本，而且我們也證實了其一階及二階 統計特性都比Zheng & Xiao 模型(振盪器數目 64 個，φ、
θ、ψ都設隨機值)更接近理想值。
在硬體實現方面，因受到有效位元的限制，所以必須 考量到小數的精確度，而經過 Matlab 模擬後，ωn的小數 位數取7 位元，弦波輸出值的精確度在小數點後 3 位，係 數的精確度在小數點後 4 位，即可使其一階統計特性之路 徑增益相當接近Rayleigh 分佈，且相位幾乎是均勻分佈在 [-π,π]之間，而其二階統計特性之自相關函數比傳統模型 更接近於Bessel function，不同輸出程序間之互相關函數也 更接近於零。在使用Maxplus2 實現時電路時，記憶體只需
用到512 個位元，而邏輯閘數目只需 1,032 個。
本文結構如下述。第二章介紹各個模型之演化過程，
並針對改良式模型與 Zheng & Xiao 模型來做比較。第三章 為硬體考量部分，此章節將會詳細介紹有效位元的考量的 流程。第四章為硬體的設計與實現部分。第五章為硬體實 現結果的驗證。第六章為對本文的總結。
二、衰減通道模型
1. Jakes 模型
Jakes 模型是利用 Clarke[2]所推導的電波散射模型結 果，其將電場強度取實數部分，並且假設入射波到達天線 的相角是均勻分布的，所以信號的入射角配置為 dα=2π /N，同時Jakes 假設為奇整數，因此可以利用 cos 函數的對 稱特性將造成相同的都卜勒頻率成分進行T(t)化簡，在錯開 角度 0°和 180°的最大都卜勒頻率分量下，剩餘在第 I、II 象限的角度由於對稱於 IV、III 象限，而可將都卜勒頻率 分量個數減少至N/2-1，而第 I 與第 II 象限的角度呈現反對 稱的形式，因此都卜勒頻率分量個數減少至1/2(N/2-1)，如 圖1 所示。由 Jakes 衰減通道模擬器合成的輸出程序數學式 如(1)所示。
t t X t t X t
Y()= c()cosωc + s()sinωc (1) 其同相(in-phase)及正交(quadrature)成份的計算方式為
) ( 2 cos
0
t N a
X n
M n
n
c ∑ ω
=
= (2)
) 2 cos(
0
b t
X N n
M
n n
s ∑ ω
=
= (3)
=
= =
M n
a n
n
n 2cos( ), 1,2...., 0 ,
) cos(
2 0
β
β (4)
=
= =
M n
b n
n
n 2sin( ), 1,2...., 0 ,
) sin(
2 0
β
β (5)
=
= =
M M n
n
n
n , 1,2...., 0 4,
π π
β (6)
圖1 Jakes 模型對稱性到達波
=
= =
M N n
n
n
m m
n 2 ), 1,2...., cos(
0 ,π
ω
ω ω (7)
其中M=1/2(N/2-1)代表模擬器使用的低頻振盪器數目，ωc 為載波頻率，ωm為最大都卜勒角頻率。
Jakes 模型的基本原理簡述於下。因為 Jakes [1]是利用 弦波函數來模擬出數個平面波所組成的電場，並以此建構 出衰減通道的模型架構，假設此衰減通道由N0個都卜勒偏 移頻率的低頻振盪器所組成，並使用調變的方法來產生在 載波頻率ωc上的頻率偏移，這些振盪器的頻率分別為ωn= ωmcos(2πn/N)，n=1,2,3…,N0和一個最大都卜勒頻率ωm。 在模型中除了最大都卜勒頻率分量之振幅設為1 2外，其 餘所有頻率的分量均被設為單位振幅大小，而相位βn做適 當的選擇以期使輸出相位能接近均勻分佈，將放大器增益 設定為 2cosβn和 2sinβn，以便利用三角函數關係式來提 供合適的振盪器相位角，每個振盪器輸出帶有適當增益因 數，並在同相頻帶及垂直相頻帶相加總和，再各自乘上同 相及垂直相的載波分量之後，全部再相加總和得到輸出信 號Y(t)，其架構如圖 2 所示。
2. Zheng & Xiao 模型
Zheng 和 Xiao 提出新的修正模型，改進了原始 Jakes 模型的二階統計特性，其合成數學式如(8)到(11)所示。
) ( ) ( )
(t X t jX t
X = c + s (8)
) ) cos(
cos(
) 2 cos(
) (
1
φ α ω
ϕ +
= ∑
=
n m M
n n
c t
t M
x (9)
) ) cos(
cos(
) 2 sin(
) (
1
φ α ω
ϕ +
= ∑
= m n
M n
n
s t
t M
x (10)
圖2 Jakes 原始 Rayleigh 衰減通道模擬器架構圖
ct ω cos
Mt ω cos
1t cosω
∑
∑ ∑
2 π ct ω sin
t t X t t X t
Y()= c()cosωc+ s()sinωc
) (t Xc )
(t Xs
2 ) sin(
2 Mπρn 2cos(2Mπρn)
2 ) sin(2
2 M
n M n
ρ π
π + 2 2 )
cos(
2 M
n M n
ρ π
π +
M n
n 4
2π π
α = −
[ ]0,1
on d distribute uniformly
nare ρ
) cos(n
m
n ω α
ω= ∗
圖3 改良式 Jakes 衰減通道模型架構圖
M n
n 4
2π π θ
α = − + n=1 L,2, ,M (11)
其中M=N/4 代表低頻振盪器數目，而φn，ψ，θ分別為路 徑增益的隨機相角、起始角度與到達角度，它們都是互相 統計獨立且均勻分佈在[-π,π]之間。
由於Jakes 模型的主要用途之一是用硬體來實現通道模 擬器，如果參數有太多隨機變數，容易增加建構的困難度。
而且在我們以數學軟體去模擬Zheng 和 Xiao 衰減通道模型 時，發現在低頻振盪器數目M 低於 8 時，容易發生φn的取 樣值過於集中的現象，也就是所有值顯得不均勻地分佈在 [-π,π]之間，這會造成模擬器輸出的二階統計特性偏離理 論值甚遠。本論文即針對這些缺點提出改進的模型，稱為 改良式Jakes 衰減通道模擬器。
3. 改良式 Jakes 模型
由於Jakes 模型不但可以用軟體模擬，也很容易在硬體 方面以低頻振盪器來實現。如果要用硬體實現，越少的元 件成本越節省，架構也更單純，尤其是當產品進入量產的 階段時，元件的多寡更會直接影響成本的高低。因此我們 提出簡化的修正模型，稱為改良式 Jakes 衰減通道模型 (improved Jakes fading channel model)，其架構圖如圖 3 所 示，其中橢圓形的部份，代表本文提出對原始Jakes 模型修 改之處。
此新模型(改良式 Jakes 模型)對於頻率選擇衰減通道 (frequency selective fading channel)和多重輸入多重輸出通 道(MIMO, multiple-input multiple-output)，能直接建立多重 非關連性衰減波形[4-6]。模擬結果顯示，我們所提出之新 模型與Zheng 提出的模型相比，其輸出一階統計特性之路 徑增益更接近 Rayleigh 分佈，相位均勻分佈在[-π,π]之 間，且二階統計特性之自相關函數(autocorrelation function)更 接近於Bessel function，互相關函數(cross correlation function) 也更接近於零。改良式Jakes 模型數學式列於(12-15)。
) ( ) ( )
(t X t jX t
X = c + s (12)
)) cos(
cos(
2 ) cos(2
) 2 (
1 0
n m M
n
n
c t
M n M M
t
x ∑− πρ π ω α
=
+
= (13)
)) cos(
cos(
2 ) sin(2
) 2
( 1
0
n m M
n
n
s t
M n M M
t
x ∑− πρ π ω α
=
+
= (14)
M n
n 4
2π π
α = − n=1 L,2, ,M (15)
其中ωn=ωm‧cos(αn)，ωm為最大都卜勒角頻率，ρn 均勻分佈在[0,1]之間；原系統中的φ値在此改為 (2π/M) ρn+2πn/M，這樣的設計是為了迫使φ値能更接近均勻地 分佈在四個象限；另外，我們將原有的θ及ψ值均設為0，
這是因為由實驗結果顯示到達角度θ接近零度時，合成程 序的自相關函數最接近符合Bessel 函數，另外，起始相角 ψ對二階統計特性影響不大，直接將之刪除可以減少硬體 元件，降低產品成本。
4. 改良式 Jakes 模型與 Zheng & Xiao 模型之比較 為比較前述各模型輸出時序統計特性與理想分佈的差 距，一階統計特性並沒有太大的差異，所以我們計算輸出 二階統計分佈與理論分佈間的均方誤差(mean square error, MSE)做為依據，此 MSE 定義如式(16)。
( )
∑− −
=
= 1
0
1 N 2
n Tn xn
MSE N (16)
其中Tn為理論二階統計特性函數的取樣值，xn為模型 輸出的取樣值，N 為取樣點數。當 MSE 等於 0，表示模型 輸出的統計特性與理論分佈完全相符。若是 MSE 的值越 大，就顯示與理論分佈相差越大。
在比較φ值改良式分佈與隨機分佈之二階同相的自相 關函數的實驗中，我們設定模擬條件如下：低頻振盪器數 M = 8，最大都卜勒頻率等於 91 Hz，取輸出值前 10000 點 的值跟相對應位置的理論分佈的前10000 點計算 MSE，同 樣步驟重複10000 次，再依這 10000 個 MSE 値的分怖情形 來判斷模型之優劣。其中MSE 値從最大到最小值取適當的 間隔區分為幾等分，在每等分中計算其落點共幾次。圖 4(a)、(b)、(c)分別為同相、垂相、複數自相關函數，圖中 以○代表φ值改良式分佈，可看出幾乎在 MSE 值較小的 地方落點較多，相對地以*代表φ值隨機分佈(Zheng 和 Xiao)，在同樣 MSE 值的地方落點較少，而圖 4(d)為交互相 關函數，由圖中可看出φ值改良式分佈與隨機分佈的MSE 值散佈曲線相當接近，但還是可以分辨出φ值改良式分佈 比隨機分佈稍微好些。
我們再以另一種 Q-CDF 呈現，它的定義和機率學的 CDF (Cumulative Distribution Function)有些不同，因此我們 將 它 稱 為 擬 CDF (Quasi-CDF)簡 稱為 Q-CDF 。 我們將 Q-CDF 定義為：把 MSE 值的次數依比例重新分配在 0 與 1 之間，如果 MSE 值的次數超過 1500 次則算 Q-CDF 達到 1，其餘較低次數則依比例轉換成 0 到 1 之間的數字，作這 樣轉換只是為了容易區分出這兩種分佈的 MSE 值散佈的 情況。圖5 中以 X 軸表示 MSE 值，Y 軸改為 Q-CDF 值，
所以從圖 5 的曲線，更容易看出φ值改良式分佈比隨機分 佈好。因為φ值改良式分佈的曲線較早升到1，也較早落下 1，也就是說φ值改良式分佈中，落在較小 MSE 值的次數 比隨機分佈還多，而落在較大MSE 值的次數比隨機分佈還 少。因此根據MSE 特性，越接近零表示實際值越接近理論 值。
所以綜合來說：在二階統計特性上，將φ值作改良式 分佈比φ值作隨機分佈，能得到較符合理論值的結果。
三、硬體考量
1. 位元考量之簡介
由式(13)與式(14)改寫簡化為式(17)與式(18)：
n M n
c
c t E A O
x = ∑− ⋅
= 1 0
)
( (17)
n M n
s
s t E A O
x = ∑− ⋅
= 1 0
)
( (18)
圖4(a) 同相自相關函數的 MSE 值分佈 圖4(c) 複數自相關函數的 MSE 值分佈
圖4(b) 垂相自相關函數的 MSE 值分佈 圖4(d) 互相關函數的 MSE 值分佈
其中E 為係數，Ac為同相路徑增益，As為垂相路徑增益，
On=cos(ωnt)為相位部分。
硬體的實現考量到常數與時變數部分，常數可以先計 算好放在ROM 裡之後再讀出來做計算，而時變數則無法事 先做計算，必須隨著時間改變，是硬體實現時考量的重點。
上式中，係數E 為一個固定常數，在程式寫作時可以事先 計算好放在程式裡，同相路徑增益 Ac與垂相路徑增益 As
為改良式分佈的亂數產生，可以先存在ROM 裡，節省在硬 體作運算所花去的邏輯閘，而相位輸出值cos(ωd tcos(αn)) 則是一個時變的數，隨著ωnt 作輸出值的改變，可以先將 弦波輸出值先建表後再依ωnt 的改變利用查表的方式做輸 出，將程式及硬體實現簡單化。
在進行位元考量之前，我們必須先考慮到取樣頻率的選 定，時變弦波之實現，已知弦波的輸出值會受起始相角、入 射角配置、都普勒頻率這些部份的影響，但起始相角此設定 為0 會使得統計特性為最佳，所以弦波的角度只隨ωnt 改變，
fs k f
fs
t nk m n
n
) cos(
2π α
ω =ω = (19)
其中2πfmcos(αn)也是定值，所以變數 t=k / fs 是影響弦波 角度變化的關鍵，在實現時，弦波角度隨時間變化的做法 是時脈每動作一次，便將角度加上一固定值，此固定值等 於動作週期乘上ωn，時脈動作的週期可視為衰減通道取樣 頻率的倒數，所以當取樣頻率越大、時脈動作的週期越小，
弦波角度的變化量也會越小。在實現時因無小數的表示必 須再乘上一外加倍率2S將值先放大提升精確度後才能進行 運算，因此當我們的取樣頻率過大時，角度的變化量便會 很小，放大的倍率要提高很多，雖然精確度提高，但硬體 的成本也會增加，所以取樣頻率亦不宜過大，以降低硬體 負擔。其中我們也要考慮到：
VC
fm = fc⋅ (20)
fs fs
圖5(a) 同相自相關函數的 Q-CDF 值 圖5(c) 複數自相關函數的 Q-CDF 值
圖5(b) 垂相自相關函數的 Q-CDF 值 圖5(d) 互相關函數的 Q-CDF 值
其中fm為最大都普勒頻率，fc為載波頻率，V 為接收端移動 速度，C 為光速。
我們選用的載波頻率為 900MHz，接收端移動速度為 110km/hr，代入式(20)，可以得到 fm約為91Hz，且必須符 合Nyquist 定理，因此我們取樣頻率適當的選定為 2000Hz。
2. 位元考量之流程
進行位元考量時，由式(17)和式(18)以及式(19)所示，
我們必須考量到三個參數的精確度，分別為ωn的精確度，
弦波輸出值，以及係數2 M ，因為這三個參數皆有小數 部分，在硬體實現時沒有小數位數的表示，必須靠放大後 取整數作運算，在硬體實現時是以二進制表示，所以放大 時以2S來做考量，而2S是代表能在實際數值上的小數點後 n 位做量化的精確度，放大後取最接近的整數，以各種不同 的精確度做量化，再將量化完的統計特性與實際的理論值 做比較，統計兩者之間的誤差大小，最後再選定以最少的 量化位元使得統計特性最接近理論值，這樣便能以最小的
硬體成本達到最佳的效能，因此三個參數的量化位元數取 得方法如下。
我們使用市面上較為常用的Matlab 軟體進行模擬，模 擬時，所有的模擬結果都是取十組訊號的統計特性做平 均，而每個訊號各取10000 個點。模擬的過程如下：
(1) 預設此三個參數的精確度皆為整數部份。
(2) 固定其中兩個參數的精確度，另一為可調。
(3) 計算其誤差值，並找出新的精確度。
(4) 重覆(2)、(3)找出另兩個新的參數精確度。
(5) 分別得到此三個參數的精確度之後，再與原始的精 確度做比較，若有任一不同，則將此新的精確度取 代原始的精確度，並且重複上述的步驟；若皆相 同，則此三個新的精確度將是我們考量的結果。
程式流程圖如圖6 所示，經由上述之參數的精確度取 得的方法與步驟，我們使用Matlab 模擬得到三個參數精確 度考量的最後更新結果如圖7 到圖 9 所示。
3. 位元考量結果 (一) ωn精確度考量結果
圖7(a)為一階統計特性之強度誤差(magnitude error)與 相位誤差(phase error)，由圖中可看出，在此一階統計特性 的誤差，將ωn的精確度設為小數點後2 位(位元數為 2)即 可，之後再怎麼增加位元數都對統計特性影響不大。圖7(b) 為 二 階 統 計 特 性 的 同 相 自 相 關 誤 差(autocorrelation of in-phase error)與垂相自相關誤差(autocorrelation of quadra- ture error)，由圖中可明顯的看出，在位元數 7(小數點後 7 位)之前，曲線的坡度很陡，而位元數 7 之後平緩很多，所 以在此將ωn的精確度設為小數點後7 位(位元數為 7)較適 合。圖 7(c)為二階統計特性的複數自相關誤差(auto corre- lation of complex error)與互相關誤差(cross correlation er- ror)，由圖中可看出，在位元數 7(小數點後 7 位)之前，位 元數的變化對統計特性的影響很劇烈，而位元數 7 之後，
位元數再如何變化，都對統計特性影響很小，所以我們在 此將ωn的精確度設為小數點後7 位(位元數為 7)較合適。
由以上三個結果可知，ωn的精確度最適合取在小數點後7 位(位元數為 7)。
(二) 弦波輸出值考量結果
圖8(a)為強度誤差與相位誤差，由圖中可明顯看出，將 弦波輸出值的精確度設為2(小數點後 2 位)較適合。圖 8(b) 為同相自相關誤差與垂相自相關誤差，由圖中可看出，弦 波輸出值的精確度取在3(小數點後 3 位)較適當。圖 8(c)為 複數自相關誤差與互相關誤差，由圖中可看出，精確度較 適合取在3(小數點後 3 位)。由以上三個結果可知，弦波輸 出值的精確度最適合取在小數點後3 位(位元數為 3)。
(三) 係數考量結果
圖9(a)為一階統計特性的強度誤差與相位誤差，由圖中 可看出，將係數的精確度取在小數點後4 位(位元數為 4 ) 較合適，而係數精確度的變化並不會影響到二階統計特性 的誤差，如圖9(b)所示。
綜合以上3 個參數的精確度考量，ωn的精確度最適合 取在小數點後7 位(位元數為 7)，弦波輸出值的精確度最適 合取在小數點後3 位(位元數為 3)，係數的精確度最適合取 在小數點後4 位(位元數 4)，如表一所示。
四、設計與實現
數位振盪器的詳細架構圖繪於圖 10，在實現上，應用 cos 函數的對稱關係，預先把四分之一象限的弦波函數值建 表於ROM 中，其他三個象限的數值則將經過同位角的轉換 後相對應於此弦波函數值。而以位址產生器對cos-Table 進行 適當位址的存取及指定其輸出值之正負號的方式進行動態 查表，提供高彈性的弦波振盪輸出。位址產生器的設計上，
則成為數位振盪器是否具備動態範圍輸出與即時性等效能 的關鍵，所以規劃上為避免使用過多的條件判斷式進行弦波
圖6 程式流程圖
角度(ωnt+θ)的同界角轉換，降低程式執行效率，θ在此 設為0 度。因此基於 cos 函數的週期為 2π，所以簡單的利 用單一判斷式將角度限定於0 ~ 2π的範圍內，並且透過式 (16)的方式將弦波角度轉換至第一象限之同界角θI：
2 2
π π π
ω
θΙ= nt− − − (16)
則Digital Oscillator 的輸出On[k]在t=k/fs的瞬間，
存取cos-table 的位址如式(17)所示：
[ ] − ∆
− ∆
−∆
⋅
= ∆
2 2 2
2 π π π ω
S S s n n
f k k
a (17)
其中Δ為 cos-table 的量化步階大小、fs為取樣頻率，
2S則為一外加倍率，作為提升ωnK/fsΔ在定點式資料格式 中表示的精確度，因為硬體實現時無法進行小數的計算，
所以必須乘上一個放大倍數後才能進行運算，s 表示能在數 值上作小數點以後幾位的精確度表示。
在程式規劃上，我們先進行ωn2S/fsΔ的運算，設定硬 體實現時所具有的最大精確度表示，並應用累加器ACC 進
圖7(a) 強度與相位在不同ωn精確度之誤差 圖8(a) 強度與相位在不同弦波精確度下之誤差
圖7(b) 同相與垂相自相關在不同ωn精確度之誤差 圖8(b) 同相與垂相自相關在不同弦波精確度下之誤差
圖7(c) 複數自相關與互相關在不同ωn精確度之誤差 圖8(c) 複數自相關與互相關在不同弦波精確度下 之誤差
表一 有效位元考量結果
參數 有效位元數
ωn 7 位元(小數點後 7 位) cos 輸出值 3 位元
係數 4 位元
圖9(a) 強度與相位在不同係數精確度下之誤差
圖9(b) 同相與垂相自相關及複數自相關與互相關在不
同係數精確度下之誤差
行(ωnK/fsΔ)‧2S的運算與儲存，數位振盪器程式流程如圖 11 所示，因此位址產生器能夠不需繁雜的運算即可獲得存 取位址，並促使數位振盪器在查表時，有效的降低量化誤 差。實現前我們預先用Matlab 產生十組改良式分佈的隨機 值，將其角度轉為弦波輸出值後，每組存成一個ROM，以 便Maxplus2 讀取。接腳說明：時脈 clk，重置 ini，衰減通 道實部fadr，衰減通道虛部 fadi，n 為計數輸出。
fs k f
fs
t nk m n
n
) cos(
2π α
ω =ω = (18)
圖10 數位振盪器之實現概念圖
圖11 數位振盪器程式流程圖
我們選定最大都卜勒頻率 fm為 91Hz，取樣頻率 fs為 2000Hz，在式(18)固定 fm / fs比值後，只需八個振盪器即可 產生 Rayleigh 衰減信號，節省很大的邏輯閘數目及記憶 體，當要模擬的環境改變時只需重新設定 fs即可。因硬體 實現無法做小數點以後的表示，利用Matlab 分析找出，振 盪器係數放大24倍，弦波角度放大27倍，弦波輸出值放大 23倍，作為輸出振盪器的精確度表示設計。
實現時，clk 採負緣觸發，ini 為 1 時，所有值重置為 0，
當ini 為 0 時，即開始動作，在計數的控制下，逐步的取出 一個振盪器做弦波角度的累加，有了弦波角度當位址，經 由 ROM 取出該位址之值即為弦波放大後的輸出值(如圖 12)，然後乘以隨機產生且均勻分佈於四象限之增益值，各 振盪器之輸出值與路徑增益及係數相乘後，即產生同相與 垂相的衰減通道，重覆進行上述動作。
fs fs
圖12 cos(ωnt) 之輸出時序圖
圖13 衰減通道實部與虛部輸出時序圖
輸出的位元方面，係數放大後為16 2，四捨五入後 為11，且放大完的弦波輸出值相乘最大為 64，而 8 個振盪 器產生的結果相加後最大為5632，須使用 13 個位元表示，
而負數是以2 的補數作表示，須多增加 1 位元，所以共使 用了14 個位元。 Maxplus2 輸出結果如圖 12 與圖 13 所示，
圖12 為其中一組的輸出值，wn1 到 wn8 分別為 8 個振盪 器的累加器，q 則為放大完的 cos 輸出值。輸出值，其中 fadr 或 fadi 輸出值超過 213即為負，值為(fadr -213時序輸 出值 )。使用的路徑增益的角度為：π/4、π/4、3π/4、3 π/4、5π/4、5π/4、7π/4、7π/4，其弦波輸出值皆為1 2， 放大16 倍完為 11。
五、硬體實驗結果之驗證
我們預先使用Matlab 產生十組改良式分佈的亂數，作 為此十組的增益之相位，Maxplus2 每組得到 10000 個輸出 值後，將輸出值建成表，代入Matlab 加以統計分析，我們 取十次平均，再與Matlab 模擬結果及理論值比較，得到結 果如圖 14 所示，其中 PDF 為機率密度函數，Matlab simulation result 表示用 Matlab 模擬改良式分佈的結果，
Maxplus2 simulation result 表示用 Maxplus2 模擬改良式分 佈的結果，此模擬受到有效位元數的限制，有效位元數愈 多愈精確。
圖14(a) 強度分佈
圖14(b) 相位分佈
圖14(a)與(b)為一階統計特性的強度與相位分佈，由圖 (a)可看出，用 Maxplus2 模擬出來的結果與 Matlab 模擬出 來的結果已非常接近理想值Rayleigh 分佈，圖(b)為相位分 佈，均勻分佈在[−π,π]之間，模擬出來的結果有些微的差 量，是因為實現上受到有效位元數的限制，其每個相角出 現的機率皆為12π。圖 14(c)與(d)分別為二階統計特性的 同相與垂相自相關函數，由圖(c)、(d)可明顯的看出，不論 是Maxplus2 或 Matlab 模擬的結果都與理想值 Bessel 函數 相差不遠，圖(e)為互相關函數，由圖中可明顯的看出，不 論是 Maxplus2 或 Matlab 模擬的結果都與理想值非常接 近，其值趨近於0，圖(f)為二階統計特性之複數自相關函數 的實部，模擬的結果與理想值Bessel 函數一樣，圖(g)為二 階統計特性之複數自相關函數的虛部，模擬的結果與理想 值非常接近，圖(h)為強度平方的自相關函數，模擬的結果 與理論值相符。由圖14 中可看出改良式 Jakes 衰減通道模 擬器，不論是一階或二階的統計特性都分別趨近其理想值。
圖14(c) 同相自相關函數
圖14(d) 垂相自相關函數
圖14(e) 互相關函數
表二 Maxplus2 處理所耗的邏輯個數 Input Pins Output Pins Bidir Pins Memory Bits LCs
2 42 0 512 1031
六、結 論
本文針對在較少的低頻振盪器數目下，利用改良式 Jakes 模型，設計了一組硬體成本低廉，且非常容易實現的 衰減通道模擬器。此改良式Jakes 衰減通道模型，我們只需 8 個低頻振盪器數目，而路徑增益φ值採改良式分佈，到達 角度θ及起始角度ψ都設為 0 度，這樣的設計可以減少硬 體元件，降低產品成本，且一階及二階統計特性都比Zheng 和 Xiao 模型(振盪器數目 64 個，φ、θ、ψ都設隨機值) 更 接近理想值。
經由Matlab 摸擬，我們得到ωn的小數位數取7 位元，
弦波輸出值的精確度在小數點後 3 位，係數的精確度在小 數點後4 位即可，用最少的有效位元數，可以使其一階統 計特性之路徑增益更接近Rayleigh 分佈、相位均勻分佈在
] ,
[−π π 之間，二階統計特性之自相關函數更接近於Bessel function，互相關函數更接近於零。且我們用 Maxplus2 實 現時，memory bit 數目只需 512 個，而邏輯閘數目只需 1032 個，如表二所示，時序圖如圖13 所示，最後再將 Maxplus2 所得到的輸出值存檔，再以Matlab 驗證，如圖 14 所示。
由以上結論可看出此改良式 Jakes 衰減通道模型達到精簡 硬體，節省成本的目的，且容易實現。通道模擬器是通訊 業不可或缺的工具，因此研發成本低又符合規範的模擬器 是必須的，所以我們期許利用現有的理論，在Maxplus2 平 台進行硬體實現，提供一個價錢低又符合規範的衰減通道 模擬器，促進國內通訊產業的發展。
符號索引
A c 同相部份的路徑增益 As 垂相部份的路徑增益
C 光速
fc 載波頻率 fs 取樣頻率 fm 最大都普勒頻率
M 模擬器使用的低頻振盪器數目 On 衰減波形的相位部分
圖14(f) 複數自相關函數的實部
圖14(g) 複數自相關函數的虛部
圖14(h) 強度平方的自相關函數
T Rayleigh 衰減波形 V 接收端移動速度
Xc 衰減波形的同相部份 Xs 衰減波形的垂相部份
φ 起始相位角度 ϕ 路徑增益
θ 電波到達的角度
θ Ι 弦波角度轉換至第一象限之同界角
ωc 載波角頻率
ωm 最大都卜勒角頻率
ωn 振盪器角頻率
參考文獻
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Piscataway, IEEE Press, NJ, USA (1994).
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IEEE Transactions on Communications, Vol. 51, No. 6, pp.
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2006 年 03 月 07 日 收稿 2006 年 03 月 08 日 初審 2006 年 08 月 15 日 複審 2006 年 10 月 17 日 接受
![圖 1 Jakes 模型對稱性到達波 == = MNnnnmmn2),1,2....,cos(0,πωωω (7) 其中 M=1/2(N/2-1)代表模擬器使用的低頻振盪器數目， ω c 為載波頻率， ω m 為最大都卜勒角頻率。 Jakes 模型的基本原理簡述於下。因為 Jakes [1]是利用 弦波函數來模擬出數個平面波所組成的電場，並以此建構 出衰減通道的模型架構，假設此衰減通道由 N 0 個都卜勒偏 移頻率的低頻振盪器所組成，並使用調變的方法來產生在 載波頻率 ω c 上的頻率偏](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/9126296.410618/3.892.475.778.130.425/Jakes模型對稱性到達波===MNnnnmmnπω此建構減通道.webp)
