第 9 章 無窮級數 (Infinite Series)

第 9 章

無窮級數 (Infinite Series)

目錄

9.1 數列 . . . . 89

9.2 無窮級數 . . . . 94

9.3 積分審歛法 . . . . 97

9.4 比較審歛法 . . . . 99

9.5 比例審斂法 . . . . 101

9.6 根式審斂法 . . . . 102

9.7 交錯級數 . . . . 102

9.8 絕對收斂與條件收斂 . . . . 104

9.9 冪級數 . . . . 106

9.10 冪級數的運算 . . . . 108

9.11 函數的冪級數表現 . . . . 109

9.12 Taylor 級數及 Taylor 多項式 . . . . 109

9.13 冪級數之應用 . . . . 113

9.1 數列 (Sequences)

數列定義

定義 9.1.1. 數列 (sequence) 是一個定義在正整數 N 上之函數。 若此函數為 f, 我們常將 f(n) 記為 an 。 數列可記為 {a1, a2, a3, . . .}、{an} 或 {an}^∞_n=1。 其中 a1 稱為首項(first term), an 稱為 第 n 項。

[註] 一個數列可以由函數圖形來瞭解其性質。

數列的例子

例 9.1.2. (1) an =√

n, {an} = {1,√ 2,√

3, . . . ,√

n, . . .}。

(2) b_n = (−1)^{n+1 1}_n, {bn} = {1, −¹₂,¹₃,−¹₄, . . .}。

(3) c_n= ⁿ⁻¹_n , {cn} = {0,₂¹,²₃,³₄, . . . ,ⁿ⁻¹_n , . . .}。

第 9 章 無窮級數 9.1 數列

(4) d_n = (−1)ⁿ⁺¹, {dn} = {1, −1, 1, −1, . . . , (−1)ⁿ⁺¹, . . .}。

例 9.1.3. 以遞迴公式定義的數列, 是給定頭幾項, 再利用前幾項, 由遞迴公式 (recursion formula) 求出下一項。

(1) a₁ = 1, a_n= a_n−1+ 1 。 (2) a₁ = 1, a_n= na_n−1 。

(3) 牛頓法: x0 = 1, x_n+1 = x_n− (_{cos x}^{sin x}_nⁿ_−2x^−x2n_n) 。 此數收斂到 sin x − x² = 0 的根。

(4) Fibonacci 數列: a1 = 1, a₂ = 1, a_n+1= a_n+ a_n−1 。 數列的極限

定義 9.1.4. (1) 一個數列 {an} 若滿足 ∀ ² > 0, ∃N 使得若 n > N 則 |an− L| < ², 則稱 {an} 的極限 (limit) 為 L。 可記為 lim

n→∞a_n = L或 “當 n → ∞, an→ L”。

(2) 若極限存在, 我們稱該數列收斂 (converge), 否則稱為發散 (diverge)。

(3) 令 {an} 為一數列。 若對任一數 M, 均存在 N, 使得 ∀n > N ⇒ an > M , 則稱 {an} 發散 到無限大 (diverges to infinity)。 記為 lim

n→∞an =∞, 或 an→ ∞。

(4) 若對任一數 m, 均存在 N, 使得 ∀n > N ⇒ an< m, 則稱 {an} 發散到負無限大 (diverges to negative infinite)。 記為 lim

n→∞a_n =−∞, 或 an→ −∞。

例 9.1.5. (1) lim

n→∞k = k。 (2) lim

n→∞

1 n = 0。 (3) 若 r > 0, lim

n→∞

1 n^r = 0。 (4) lim

n→∞

√n =∞。

例 9.1.6. 討論數列 {rⁿ} 的斂散性。

例 9.1.7. 數列 {1, −1, 1, −1, . . . (−1)ⁿ⁺¹, . . .} 為發散。

[註] 一個發散數列不見得發散到正或負無限大, 如 {1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . } 及 {1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, . . . }。

數列極限的基本性質

性質 9.1.8. 若 {an} 及 {bn} 為兩收斂數列, c 為常數。 則 (1) lim

n→∞(a_n+ b_n) = lim

n→∞a_n+ lim

n→∞b_n。 (2) lim

n→∞(a_n− bn) = lim

n→∞a_n− lim

n→∞b_n。 (3) lim

n→∞c· an= c· lim

n→∞a_n。 (4) lim

n→∞a_nb_n= lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n。

第 9 章 無窮級數 9.1 數列

(5) 若 lim

n→∞b_n6= 0, lim

n→∞

an

bn = ^nlim_lim^→∞an

n→∞bn。 (6) 若 p ∈ R 且 an> 0, lim

n→∞a^p_n=

³

nlim→∞a_n

´p

。(若 p < 0, 則要求 lim

n→∞a_n 6= 0。) 例 9.1.9. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞(−_n⁵²)。 (2) lim

n→∞(ⁿ⁻¹_n )。 (3) lim

n→∞

4−7n⁶ n⁶+3。 (4) lim

n→∞(n−√

n + 1√

n + 3)。

定理 9.1.10. (1) 令 {an}, {bn} 為實數數列。 若對大於某數 N 的所有 n, an≤ bn 均成立, 且兩 數列之極限均存在, 則 lim

n→∞a_n≤ lim

n→∞b_n.

(2) (三明治定理, 夾擊定理, Sandwich Theorem, Squeeze Theorem) 令 {an}, {bn}, {cn} 為 實數數列。 若對大於某數 N 的所有 n, an ≤ bn ≤ cn 均成立。 假設 lim

n→∞a_n = lim

n→∞c_n = L, 則 lim

n→∞b_n= L。 例 9.1.11. (1) 若 lim

n→∞|an| = 0, 則 lim

n→∞a_n= 0。 (2) 若 |bn| ≤ cn, 且 cn → 0, 則 bn → 0。

(3) 若 lim

n→∞a_n= 0, 且 {bn} 為有界, 則 lim

n→∞a_nb_n= 0。 [註] 若 lim

n→∞|an| 6= 0, 則 (1) 不見得成立。

例 9.1.12. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞

cos n n

(2) lim

n→∞(−1)^{n 1}_n

定理 9.1.13 (數列的連續函數定理, The continuous function theorem for sequences). 令 {an} 為一實數列, 且 an → L。 若 f(x) 是一個函數, 在 an上均有定義, 且在 L 連續, 則 f(an)→ f(L)。

[註] 連續的條件是必要的。 例: 令 f(x) = bxc, an= ⁿ⁻¹_n , 則 lim

n→∞a_n = 1, 但 lim

n→∞f (a_n) = 06=

f (1).

例 9.1.14. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞

qn+1 n

(2) lim

n→∞2¹ⁿ (3) lim

n→∞sin¡_π

n

¢

第 9 章 無窮級數 9.1 數列

定理 9.1.15. 若 f(x) 定義在區間 [n0,∞)上, 且 {an} 為一數列滿足 an = f (n), ∀n ≥ n0, 則

xlim→∞f (x) = L⇒ lim

n→∞a_n = L.

[註] 此定理逆敘述不見得成立。 例如 lim

n→∞sin nπ = 0,但 lim

x→∞sin xπ 不存在。

例 9.1.16. 以任意方法求以下各極限:

(1) lim

n→∞

ln n n 。 (2) lim

n→∞

ln n² 5n² 。 (3) lim

n→∞

2ⁿ 5n。 (4) lim

n→∞(1 + ^x_n)ⁿ。 (5) lim

n→∞(ⁿ⁺¹_n−1)ⁿ 。 (6) lim

n→∞xⁿ¹ , (x > 0)。 (7) lim

n→∞xⁿ , (|x| < 1) 。 (8) lim

n→∞

√n

n。 (9) lim

n→∞

√n

n²。 (10) lim

n→∞

√n

3n。 (11) lim

n→∞

xⁿ n!。 (12) lim

n→∞

n!

nⁿ。

例 9.1.17. 求以下各極限:

(1) lim

n→∞

tan⁻¹n n 。 (2) lim

n→∞n sin_n¹。 (3) lim

n→∞

ln n ln 2n。 (4) lim

n→∞(ln(n + 1)− ln n)。

升降性與有界性

定義 9.1.18. (1) 若 an< a_n+1 ∀n ≥ 1, 則 {an} 稱為上升數列。

(2) 若 an≤ an+1,∀n, 則稱 {an} 為非下降數列 (nondecreasing sequence)。

(3) 若 an> a_n+1 ∀n ≥ 1, 則 {an} 稱為下降數列。

第 9 章 無窮級數 9.1 數列

(4) 若 an≥ an+1,∀n, 則稱 {an} 為非上升數列 (nondecreasing sequence)。

(5) {an} 為上升或下降數列, 則統稱為單調 (monotonic)。

(6) 若存在 N, 使得 an< an+1,∀ n > N, 則稱 {an} 為終極上升 (ultimately increasing) 數列

。

定義 9.1.19. (1) 若 存在 M, 使得 an≤ M, ∀n, 則稱 {an} 為有上界 (bounded above), 且 M 稱為上界 (upper bound)。

(2) 存在 N, 使得 an ≥ N, ∀n, 則稱 {an} 為有下界 (bounded below), 且 M 稱為下界 (lower bound)。

(3) {an} 有上界且有下界, 則稱為有界數列 (bounded sequence)。

例 9.1.20. 以下為非下降數列:

(1) {1, 2, 3, . . . , n, . . . } (2) {¹₂,²₃,³₄, . . . ,_n+1ⁿ , . . .}, (3) {3, 3, 3, . . . }。

其中 (1) 有下界, 沒有上界, (2) 有界。

例 9.1.21. © ₃

n+5

ª、© _n

n²+1

ª 為下降數列。

定理 9.1.22. (單調數列定理 monotonic sequence theorem) 一個非下降數列收斂的充要條件是 它有上界。

[註] 此定理之反例:

(1) 並非有界數列必收斂, 例如 {(−1)ⁿ}。

(2) 並非單調數列必收斂, 例如 {n}。

例 9.1.23. 定義數列 a1 = 1, a_n+1= 3−_a¹_n,求 lim

n→∞a_n 。 例 9.1.24. 討論數列 {an} 之斂散性, 其中

(a) a₁ = 2, a_n+1= ¹₂(a_n+ 6)。 (b) a1 = 10, an+1 = ¹₂(an+ 6)。

(c) a₁ = 2, a_n+1= 2 (a_n+ 6)。

[習題] 9.1.25. Determine whether the sequence converges or diverges. If it converges, find the limit.

(a) a_n = ⁽⁻¹⁾_n2ⁿ+1⁻¹ⁿ

(b) a_n = _n⁽3⁻¹⁾+2nⁿ²ⁿ+1³

(c) a_n = ⁽²ⁿ_(2n+1)!^−1)!,

第 9 章 無窮級數 9.2 無窮級數 (d) a_n = √ⁿ

2¹⁺³ⁿ, (e) a_n = 2⁻ⁿcos nπ, (f) an = ₁₊^{sin 2n√}_n, (g) a_n = ₂^n!n.

[習題] 9.1.26. (a) Determine whether the sequence defined as follows is convergent or divergent: a₁ = 1, a_n+1 = 4− an for n≥ 1.

(b) What happens if the first term is a₁ = 2?

[習題] 9.1.27. Determine whether the sequence is increasing, decreasing, or not monotonic.

Is the sequence bounded?

(a) a_n = ²ⁿ_3n+4⁻³, (b) a_n = ne⁻ⁿ,

(c) a_n = n +_n¹.

9.2 無窮級數 (Infinite Series)

例 9.2.1. 如何求 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ?

[註] Guido Ubaldus 自認為證明了神的存在, 因為 “something has been created out of nothing

”。

定義 9.2.2. (1) 給定一數列 {an}, 則 a1+ a₂+ a₃+· · · + an+· · · 稱為一無窮級數 (infinite series),其中 an 稱為級數的第 n 項。

(2) 令 sn = Pn k=1

a_k, 則數列 {sn} 稱為部份和數列 (sequence of partial sums), 其中 sn 稱為第 n 個部份和。

(3) 若數列 {sn} 收斂, 且 lim

n→∞s_n = s,則稱 P^∞

n=1

a_n 收斂 (converges), 且 s 稱為此級數的和, 記 為 P^∞

n=1

an= s。 若數列 {sn} 發散, 則稱此級數為 發散 (diverges)。

(4) 若級數 P^∞

n=1

a_n 收斂, 則 Rn= s− sn 稱為 n 次餘項 (remainder)。

註 9.2.3. (1) 將一級數加入有限項或去掉有限項, 可能影響其和, 但並不會影響其歛散性。

(2) 只要保持級數各項的順序, 重新設定各項的指標並不會影響其歛散性。

例 9.2.4. 級數 P^∞

n=1

a_n 的部份和為 sn= 3− n2⁻ⁿ, 求 an 及和 P^∞

n=1

a_n。 級數之例

第 9 章 無窮級數 9.2 無窮級數

例 9.2.5. 幾何級數 (geometric series) P^∞

n=1

arⁿ⁻¹, 其中 r 為公比, a 6= 0。 若 |r| < 1, 則此級數 收斂到 _1−r^a ; 若 |r| ≥ 1, 則此級數發散。

例 9.2.6. 求下列各級數的和。

(1) P^∞

n=1 1 9

¡₁

3

¢n−1

,

(2) P^∞

n=1

(−1)ⁿ5ⁿ 4ⁿ ,

(3) 5− ¹⁰₃ +²⁰₉ − ⁴⁰₂₇+· · · , (4) P^∞

n=1

2²ⁿ3¹⁻ⁿ ,

(5) 將一球從高 a 公尺處擲下。 每當球落地後, 反彈的高度為落下高度的 r 倍 (0 < r < 1)。 求球 往返的總距離。

(6) 循環小數 5.23232323 · · · 。 例 9.2.7. 求 c 值, 使得 P^∞

n=2

(1 + c)⁻ⁿ = 2 。

定理 9.2.8. (瞭望法, telescoping) 給定數列 {an}, 則級數 P^∞

n=1

(a_n− an+1) 收斂的充要條件是

nlim→∞a_n 存在。 且收斂時, 其和為 a1− lim

n→∞a_n 。 例 9.2.9. 求下列各級數的和。

(1) P^∞

n=1 1 n(n+1) , (2) P^∞

n=1

lnⁿ⁺¹_n ,

(3) P^∞

n=1

3n²+3n+1 (n²+n)³ 。 定理 9.2.10. (1) 若 P^∞

n=1

an 收斂, 則 lim

n→∞an = 0。 (2) (發散判斷法) 若 lim

n→∞a_n 不存在或不為 0, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

[註] (1) 此定理之逆敘述不見得成立, 例如 P^∞

n=1 1 n。

(2) 此推論只能用來判斷級數之發散性, 對於級數之收斂性毫無助益。

例 9.2.11. 調和級數 (harmonic series) P^∞

n=1 1

n 為發散。

例 9.2.12. 判斷下列各級數的歛散性。

第 9 章 無窮級數 9.2 無窮級數

(1) P^∞

n=1

n² ,

(2) P^∞

n=1 n+1

n , (3) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ,

(4) P^∞

n=1 n² 5n²+4 。

例 9.2.13. 若級數 P^∞

n=1

a_n(a_n6= 0) 收斂, 則 P^∞

n=1 1

an 如何?

級數運算

定理 9.2.14. 若 P^∞

n=1

a_n, P^∞

n=1

b_n 為收斂級數, 則

(1) P^∞

n=1

ca_n= c P^∞

n=1

a_n。

(2) P^∞

n=1

(a_n+ b_n) = P^∞

n=1

a_n+ P^∞

n=1

b_n。

(3) P^∞

n=1

(a_n− bn) = P^∞

n=1

a_n− P^∞

n=1

b_n。 註 9.2.15. (1) P^∞

n=1

(a_nb_n) = P^∞

n=1

a_n P^∞

n=1

b_n 不見得成立。 例如: an = b_n=¡₁

2

¢n

。

(2) 若 P^∞

n=1

a_n 收斂, P^∞

n=1

b_n 發散, 則 P^∞

n=1

(a_n± bn) 必為發散。

(3) 即使 P^∞

n=1

a_n, P^∞

n=1

b_n 均為發散, P^∞

n=1

(a_n± bn)仍可能收斂。 例如 an= 1, b_n=−1, ∀n。

例 9.2.16. 判斷下列各級數的歛散性。

(1) P^∞

n=1 3ⁿ⁻¹−1

6ⁿ⁻¹ , (2) P^∞

n=1 4 2ⁿ , (3) P^∞

n=1

h 3

n(n+1) + ₂¹n

i 。

正項級數

定義 9.2.17. 若一級數的各項均為非負實數, 則稱之為正項級數 (series with positive terms)。

定理 9.2.18. 一個正項級數 P^∞

n=1

a_n 收斂的充要條件是它的部份和數列有上界。

第 9 章 無窮級數 9.3 積分審歛法

[習題] 9.2.19. Determine whether the series is convergent or divergent. If it is convergent, find its sum.

(a) P^∞

n=1 eⁿ 3ⁿ⁻¹, (b) P^∞

n=1 n(n+2) (n+3)², (c) P^∞

n=1 1+2ⁿ

3ⁿ , (d) P^∞

n=1

√n

2,

(e) P^∞

n=1

(cos 1)ⁿ,

(f) P^∞

n=1

(_e¹n +_n(n+1)¹ ),

(g) P^∞

n=1

ln_n+1ⁿ ,

(h) P^∞

n=1 3 n(n+3), (i) P^∞

n=1

(cos_n¹2 − cos_(n+1)¹ 2).

[習題] 9.2.20. Find the values of x for which the series converges. Find the sum of the series for those values of x.

(a) P^∞

n=0 (x−2)ⁿ

3ⁿ , (b) P^∞

n=0 sinⁿx

3ⁿ , (c) P^∞

n=0

e^nx.

9.3 積分審歛法 (Integral Test)

定理 9.3.1. (積分審歛法, integral test) 令 {an} 為一正項級數。 若 f(x) 為定義在區間 [N, ∞) 上的連續、 正值、 遞減函數, 且 f(n) = an,∀n ≥ N, 則 P^∞

n=1

a_n 與瑕積分R_∞

N f (x)dx 同歛散。

定理 9.3.2. (積分審歛法之餘項估計) 設 f(x) 在 x ≥ 1 上為連續、 遞減、 正值函數, 且 an = f (n), P∞

n=1

a_n 收斂。 令 sn 為此數列的部份和, s 為級數和, 且 Rn= s− sn, 則 Z _∞

n+1

f (x)dx≤ Rn≤ Z _∞

n

f (x)dx,

第 9 章 無窮級數 9.3 積分審歛法

即

s_n+ Z _∞

n+1

f (x)dx≤ s ≤ sn+ Z _∞

n

f (x)dx.

例 9.3.3. (1) 判斷 P^∞

n=1 1

n²+1 之歛散。

(2) 判斷 P^∞

n=1 ln n

n 之歛散性。

定理 9.3.4. (p-級數) P^∞

n=1 1

n^p 收斂的充要條件為 p > 1。

例 9.3.5. 分別求 p 值, 使以下級數收斂:

(1) P^∞

n=3 1 n(ln n)^p 。 (2) P^∞

n=1

¡_p

n− _n+1¹ ¢

。

例 9.3.6. (a) 利用前 10 項的和估計 P^∞

n=1 1

n³, 並估計誤差。

(b) 若要誤差小於 0.0005, 則要估計到第幾項?

[習題] 9.3.7. Determine whether the series is convergent or divergent.

(a) P^∞

n=1 n n²+1, (b) P^∞

n=1

n²e⁻ⁿ³,

(c) P^∞

n=1

√n+4 n² , (d) P^∞

n=1 1 n(ln n)², (e) P^∞

n=1 eⁿ¹ n².

[習題] 9.3.8. Find the values of p for which the series is convergent.

(a) P^∞

n=3 1 n ln[ln(ln n)]^p, (b) P^∞

n=1

n(1 + n²)^p.

[習題] 9.3.9. Estimate P^∞

n=1 1

n⁵ correct to three decimal places.

[習題] 9.3.10. How many terms of the series P^∞

n=2 1

n(ln n)² would you need to add to find its sum to within 0.01?

第 9 章 無窮級數 9.4 比較審歛法

9.4 比較審歛法 (Comparison Test)

比較審歛法

定理 9.4.1. (比較審歛法) 令 P^∞

n=1

a_n 為一正項級數, 則:

(1) 若存在收斂的級數 P^∞

n=1

c_n 使得 an ≤ cn, ∀n ≥ N, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(2) 若存在發散的正項級數 P^∞

n=1

d_n 使得 an≥ dn, ∀n ≥ N, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

例 9.4.2. 判斷下列各級數的歛散性:

(1) P^∞

n=1 5 5n−1 。 (2) P^∞

n=1 ln n

n 。 (3) P^∞

n=1 1 2n²+4n+3 。 (4) P^∞

n=1 1 n! 。

(5) 5 + ²₃ + ¹₇ + 1 + ¹

2+√

1 + ¹

4+√

2 +· · · +₂n+¹√

n+· · · 。 例 9.4.3. 利用前 100 項的和來估計 P^∞

n=1 1

n³+1, 並估計其誤差。

極限比較審歛法

定理 9.4.4. (極限比較審歛法, Limit Comparison Test) 設 an, b_n > 0, ∀n > N。

(1) 若 lim

n→∞

a_n

b_n = c > 0, 則 P^∞

n=1

a_n 與 P^∞

n=1

b_n 同歛散。

(2) 若 lim

n→∞

a_n

b_n = 0, 且 P^∞

n=1

b_n 收斂, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(3) 若 lim

n→∞

a_n

b_n =∞, 且 P^∞

n=1

b_n 發散, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

例 9.4.5. 判斷下列各級數的歛散性:

(1) P^∞

n=1 2n+1 n²+2n+1 。 (2) P^∞

n=1 2n√²+3n

5+n⁵ 。 (3) P^∞

n=1 ln n n³² 。

第 9 章 無窮級數 9.4 比較審歛法

(4) P^∞

n=1

1+n ln n n²+5 。 (5) P^∞

n=1 1 2ⁿ−1 。

例 9.4.6. (1) 若正項級數 P^∞

n=1

a_n收斂, 則級數 P^∞

n=1

sin(a_n)如何?

(2) 若正項級數 P^∞

n=1

a_n 及 P^∞

n=1

b_n 均收斂, 則級數 P^∞

n=1

a_nb_n 如何?

[習題] 9.4.7. Determine whether the series is convergent or divergent.

(a) P^∞

n=1 n−1 n²√

n, (b) P^∞

n=1

√3

√ n

n³+4n+3, (c) P^∞

n=1 tan⁻¹n

n^1.2 , (d) P^∞

n=1 4ⁿ⁺¹ 3ⁿ−2, (e) P^∞

n=1 n+4ⁿ n+6ⁿ, (f) P^∞

n=1

(1 + _n¹)²e⁻ⁿ,

(g) P^∞

n=1 eⁿ¹

n , (h) P^∞

n=1 n!

nⁿ, (i) P^∞

n=1

sin(_n¹),

(j) P^∞

n=1 1 n^{1+ 1n}, (k) P^∞

n=1 1 ln n, (l) P^∞

n=1 ln n eⁿ√

n.

[習題] 9.4.8. Use the sum of first 10 terms to approximate the sum of the series P

n→∞

√ 1 n⁴+1. Estimate the error.

第 9 章 無窮級數 9.5 比例審斂法

9.5 比例審斂法 (Ratio Test)

定理 9.5.1. (比例審斂法, d’Almbert) 令 P^∞

n=1

an 為一正項級數, 且設 lim

n→∞

an+1

an = ρ, 則:

(1) 若 ρ < 1, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(2) 若 ρ > 1 或 ρ 為無限大, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

(3) 若 ρ = 1, 則無法下結論。

例 9.5.2. 判斷以下級數之斂散:

(1) P^∞

n=1

n⁴+3n³+2n²+4n+5

3ⁿ 。

(2) P^∞

n=1

(n⁵²−2007n²⁴+100n−90) ln n

n³² 。

(3) P^∞

n=1

√n³+3n−1 n²+5 。 (4) P^∞

n=1 πⁿ+5

eⁿ 。 (5) P^∞

n=1 (2n)!

n!n! 。 (6) P^∞

n=1 nⁿ

n! 。 (7) P^∞

n=1 4ⁿn!n!

(2n)! 。 (8) a_n =

½ _n

2ⁿ n 為奇數

1

2ⁿ n 為偶數 。

例 9.5.3. 求正數 ` 及正整數 k 之值, 使得級數 P^∞

n=1 (n!)^`

(kn)! 收斂 。 例 9.5.4. (1) 考慮級數 P^∞

n=1 1

n2ⁿ, 利用 s5估計此級數和, 並求其誤差 。 (2) 求 n 值, 使 sn 的誤差小於0.00005 。

[習題] 9.5.5. Determine whether the series is convergence, or divergence.

(a) P^∞

n=1 (2n)!

(n!)², (b) P^∞

n=1

2·4·6 ˙····(2n) n! .

第 9 章 無窮級數 9.6 根式審斂法

9.6 根式審斂法 (Root Test)

定理 9.6.1. (根式審斂法) 令 P^∞

n=1

an 為正項級數, 且設 lim

n→∞

√n

an = ρ,則:

(a) 若 ρ < 1, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

(b) 若 ρ > 1 或 ρ 為無限大, 則 P^∞

n=1

a_n 發散。

(c) 若 ρ = 1, 則無法下結論。

例 9.6.2. 判斷以下級數之斂散:

(1) P^∞

n=1

¡ ₁

1+n

¢n

。

(2) P^∞

n=1

¡_2n+3

3n+2

¢n

。

(3) P^∞

n=1 n² 2ⁿ 。 (4) P^∞

n=1 2ⁿ n² 。 (5) a_n =

½ _n

2ⁿ n 為奇數

1

2ⁿ n 為偶數 。

[習題] 9.6.3. Determine whether the series is convergence, or divergence.

(a) P^∞

n=1

(_2nⁿ²2⁺¹+1)ⁿ,

(b) P^∞

n=1

(1 + _n¹)ⁿ²,

9.7 交錯級數 (Alternating Series)

定義 9.7.1. 若 bn≥ 0, ∀n, 則 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹b_n或 P^∞

n=1

(−1)ⁿb_n稱為交錯級數 (alternating series)。

定理 9.7.2. (交錯級數審斂法, Leibniz 定理) 若一交錯級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹bn, bn ≥ 0 滿足以下兩條 件, 則為收斂。

(a) {bn} 為下降數列。

(b) lim

n→∞b_n= 0。

第 9 章 無窮級數 9.7 交錯級數

定理 9.7.3. (交錯級數估計定理) 若交錯級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹b_n 滿足上定理的二條件, 且其值為 L, 則以 sn 為估計值所造成的誤差 Rn 滿足 |Rn| = |sn− L| ≤ bn+1。

例 9.7.4. 判斷下列級數的歛散:

(1) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n 。

(2) P^∞

n=1

(−1)ⁿ_4n³ⁿ₋₁ 。

(3) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹_n3ⁿ+1² 。

(4) P^∞

n=1 n cos nπ

2ⁿ 。

例 9.7.5. 若 n 為奇數, bn = _n¹;若 n 為偶數, bn= _n¹2 。 判斷級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹b_n 的斂散性 。

例 9.7.6. 以 s8 估計 P^∞

n=0

(−1)^{n 1}₂ⁿ 之和, 並估計其誤差。

例 9.7.7. 估計 P^∞

n=1 (−1)ⁿ

n! 精確到小數第三位。

[習題] 9.7.8. Test the series for convergence or divergence.

(a) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ ln(n+4), (b) P^∞

n=1

(−1)^n√_nⁿ3+2,

(c) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹tan⁻¹n,

(d) P^∞

n=1 n cos nπ

2ⁿ , (e) P^∞

n=1

(−1)ⁿ(√

n + 1−√ n).

[習題] 9.7.9. How many terms of the series P^∞

n=0 (−1)ⁿ

10ⁿn! do we need to add in order to find the sum to to the accuracy < 0.000005?

第 9 章 無窮級數 9.8 絕對收斂與條件收斂

9.8 絕對收斂與條件收斂 (Absolute Convergence and Conditional Convergence)

定義 9.8.1. 給定一級數 P^∞

n=1

a_n (不一定是正項或交錯), 則

(1) 若 P^∞

n=1

|an| 收斂, 則稱 P^∞

n=1

a_n 為絕對收斂 (absolutely convergent)。

(2) 若 P^∞

n=1

a_n 收斂, 但非絕對收斂, 則稱 P^∞

n=1

a_n 為條件收斂 (conditionally convergent)。

定理 9.8.2. (絕對收斂審斂法) 若 P^∞

n=1

|an| 收斂, 則 P^∞

n=1

a_n 收斂。

例 9.8.3. 判斷以下級數為絕對收斂, 條件收斂或發散:

(1) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n^p , p > 0 。 (2) P^∞

n=1

(−1)^{n+1 (ln n)}_n ^p 。

(3) P^∞

n=1

(−1)^{n n}₃n³ 。

(4) P^∞

n=1 sin n n^1.1 。

例 9.8.4. 令 bn 為正項數列, 且收斂到 ¹₂, 判斷級數 P^∞

n=1

(−1)ⁿn!

nⁿb1b2···bn 的絕對收斂性 。 例 9.8.5. 若級數 P^∞

n=1

a_n 為條件收斂, 則級數 P^∞

n=1

n²a_n 為發散。

綜合例題. 判斷下列級數為絕對收斂、 條件收斂或發散:

(1) P^∞

n=1 1 1+2+3+···+n

(2) P^∞

n=1

¡ ₄

3n−5 − _6n+1⁸ ¢ (3) P^∞

n=1

(−1)ⁿ³p n +√

n−√ n

´

(4) P^∞

n=1

1·4·7···(3n−2) 3·5·7···(2n+1)

(5) P^∞

n=1

1·3·5···(2n−1) 5ⁿn!

(6) P^∞

n=1 tan_n¹

n

第 9 章 無窮級數 9.8 絕對收斂與條件收斂

(7) P^∞

n=1

n²√

n sin²¡₁

n²

¢

(8) P^∞

n=1

¡1− cos^π_n¢

(9) P^∞

n=1 tan⁻¹n

n√ n

(10) P^∞

n=1

(−1)ⁿlnⁿ⁺¹_n

(11) P^∞

n=2 1 (ln n)^{ln n}

(12) P^∞

n=1

ln¡ 1 + _n²¢

(13) P^∞

n=1 nⁿ (2n)!

(14) P^∞

n=1 (n+1)ⁿ

nⁿ⁺¹

(15) P^∞

n=1 (2n)ⁿ

n²ⁿ

(16) P^∞

n=1 n!

eⁿ²

(17) ₁¹2 + ₂¹2 − ₃¹2 +₄¹2 +₅¹2 −₆¹2 +· · · (18) P^∞

n=1

¡ _n

n+1

¢n²

(19) P^∞

n=1 (n!)ⁿ

nⁿ²

(20) P^∞

n=1 log_n(n!)

n³

[習題] 9.8.6. Determine whether the series is absolutely convergent, conditionally conver- gence, or divergence.

(a) P^∞

n=1

(−1)^{n−1 n}_n2+4,

(b) P^∞

n=0 (−3)ⁿ (2n+1)!, (c) P^∞

n=1 sin 4n

4ⁿ ,

第 9 章 無窮級數 9.9 冪級數

(d) P^∞

n=1 3−cos n

n²³−2 , (e) P^∞

n=1 cos(^nπ₃ )

n! ,

(f) 1− ¹_3!^·3 +^1·3·5_5! − ^1·3·5·7_7! + (−1)ⁿ−1 1·3·5 ˙····(2n−1)

(2n−1)! +· · · ,

9.9 冪級數(Power Series)

冪級數

定義 9.9.1. 形如 P^∞

n=0

c_n(x− a)ⁿ 之型式的級數稱為 x − a 的冪級數 (power series) 或以 a 為 中心 (center) 的冪級數, c0, c₁, c₂, . . . 稱為級數的係數。

例 9.9.2. (幾何級數) (1) P^∞

n=1

xⁿ 。 (2) P^∞

n=0

(−¹₂)ⁿ(x− 2)ⁿ 。

例 9.9.3. 以下各級數中 , 求出使其收斂的 x 值。

(1) P^∞

n=1

(−1)^{n x}_nⁿ 。

(2) P^∞

n=1

(−1)^{n x}_2n²ⁿ⁺¹₋₁ 。

(3) P^∞

n=0 xⁿ

n! 。 (4) P^∞

n=0

n!xⁿ 。

(5) P^∞

n=1 (x−3)ⁿ

n 。

註 9.9.4. 對於收斂之 x 值, 冪級數可以定義一個函數。

收斂區間

定理 9.9.5. (1) 若冪級數 P^∞

n=0

a_nxⁿ 在 x = c 6= 0 收斂 , 則它在所有 x, x ∈ (−|c|, |c|), 處均絕 對收斂 。

(2) 若它在 x = d 發散 , 則它在所有 x , |x| > |d|, 處均發散 。 定理 9.9.6. P^∞

n=1

c_n(x− a)ⁿ 的收斂性可以有以下三種可能。

(a) 存在 R, 使得它在 {x : |x − a| > R} 處發散, 在 {x : |x − a| < R} 處絕對收斂 。 但在端點 x = a + R 及 x = a − R 處不一定。