3-3-1平面向量-平面向量的基本運算

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(1)(99 課綱) 第三冊第三章平面向量 3-1 平面向量的基本運算【目標】能理解向量的意義，並藉著生活經驗中力與速度的概念，了解向量有大小（即長度）與方向的意涵。再者，利用有向線段處理向量的幾何運算，包括：向量和﹑ 向量差﹑數與向量之積以及向量的線性組合。進而能熟練向量的運算性質，作為處理平面幾何之工具及探索空間向量與空間幾何的基礎。【定義】 1. 有向線段：線段的兩個端點為 A 或 B 時，此線段表為 AB 或 BA 。如果在線段上用箭頭標示方向就稱為有向線段。. . 2.. 如圖， A 是始點， B 是終點，用 AB (線段附加箭頭)表示此有向線段。註：線段有兩端點，有向線段有始點與終點。  u 向量(vector)： B A 具有大小與方向的量稱為向量，以有向線段表示向量，以有向線段的長度表示向量的大小，以有向線段的方向指出向量的方向。    如果有向線段 AB 表示向量 u ，以 u  AB 記之， | u || AB | 表向量長度。註：不在意始點與終點。方向相同且長度相同的有向線段代表同一個向量。向量長度：  向量 AB 之長度以符號 | u || AB | 表示。向量的相等：. . . 3. 4.. B. A.     . .   . 向量 AB 與向量 CD 相等  AB , CD 的長度相等且方向相同。 5.. 6.. 7.. 註：以 AB  CD 表示。零向量：. . . 當始點與終點為同一點之向量為零向量，即當 A  B 時， AB 表示零向量，  記為 A A  0 。零向量的長度為零，方向可以為任意方向。逆(反)向量：   大小相等，方向相反的向量互為逆向量，即向量 a  AB ， b  BA ，         稱 b 為 a 的逆向量，記為 b  a 。同樣的， a 稱為 b 的逆向量，記為 a  b 。表示法： (1) 兩相異點可以決定一個線段，但兩相異點可以決定兩個有向線段。 (2) 兩個不同的有向線段只要大小相同、方向相同，就可表示同一個向量。 (3) 每個向量有確定的大小與方向，但可能畫在不同位置。 (4) 在討論向量時，若始點與終點不是討論的重點時，也可以用符號       a, b , c , u, v , w 等表示（ a 讀作向量 a）。   (5) 給定一個向量 u ，則過任一點 A 都可作一個向量 AB 與 u 同向並等長，   記為 AB  u 。同樣地，可用另一個向量 CD 來代表 u ，只要 AB 與 CD 代表同一個向量，即兩者的大小相等，方向相同。. . . . 1. . .  .

(2) 【討論】移動有向線段的位置時，只要保持方向及長度，不會改變向量。所以在坐標平面上討論向量，所有向量都可用以原點為始點的有向線段表示。當 v  OP 時，若 P 點坐標為 ( x, y ) ，如圖所示，則記為 v  ( x, y) ，且稱 v 的坐標為 ( x, y ) ，並稱 v 為 P 點的位置向量。一般而言，已知坐標平面上相異兩點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 時，可以得到 PP 1 2  ( x2  x1 , y2  y1 ) 。此外，也可以用中點公式說明上述結果。設坐標平面上相異兩點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，令 OP1P2 P 為平行四邊形，且其兩對角線交於 M ，如圖。由於對角線互相平分， M 點同時是 OP2 與 P1P 的中點， x  x1 x2 y  y1 y2 。  ,  2 2 2 2 故 x  x2  x1 , y  y2  y1 ，即 P( x2  x1 , y2  y1 ) 。. 若點 P 的坐標為 ( x, y ) ，則. 於是 PP 1 2  OP  ( x2  x1 , y2  y1 ) (終點坐標減始點坐標)。. 2.

(3) 【定義】 1. 位置向量：設 O 點為坐標向量的原點，. . . 在坐標平面上每一個點 P 都可以決定向量 O P ，. . 反之，每一個向量 O P 都可以決定 P 點的位置，我們稱 O P 為 P 點的位置向量。若 P 點的坐標為 ( a, b) ，則 P 點的位置向量的坐標表示法為 ( a, b) ，. 2.. . 即 ( a, b) 既表示 P 點，也表示向量 O P 。何時表示點，何時表示向量，依照前後文決定。單位向量：長度為 1的向量稱為單位向量。註：  a    (1)與 a 平行的單位向量為與 a 平行且長度為 1的向量，即 e    。 |a|   (2)若 O(0,0), E (1,0), F (0,1) ，且 i  OE , j  OF ，   則 i 稱為 x 軸方向的單位向量， j 為 y 軸方向的單位向量。      若 v  (a, b) ，則 v 可表為 v  ai  bj 。向量的坐標表示：  (1) 平面上任一向量 v 必有一有向線段 O P (其中 O 為原點)，  使向量 O P  v 。   設點 P 的坐標為 ( a, b) ，稱為 v 的坐標表示法，記作 v  (a, b) ，   稱 a 為 v 的 x 分量， b 為 v 的 y 分量。註：由點 P 向 x 軸及 y 軸分別作垂線交於 A(a,0) 及 B(0, b) ，    則 v  O P  OA  OB  ai  bj  (a, b) 。.  . 3.. . .    y.  v P ( a, b ). B(0, b).  j O  i. (2). x A(a,0). . 平面上兩點 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) ，. . 則向量 P Q 的坐標表示為 ( x2  x1 , y2  y1 ) ，且 | P Q | ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 。註：.   .     (a) 想成 P Q  O Q  OP  ( x2 , y2 )  ( x1 , y1 )  ( x2 i  y 2 j )  ( x1i  y1 j )    ( x2  x1 )i  ( y 2  y1 ) j  ( x2  x1 , y 2  y1 ) 。 (b) 記成(終點)-(始點)。. 3.

(4) 【問題】 1. 正三角形的任兩不同頂點中，可以組成幾個不同的向量？ 2. 正四邊形的任兩不同頂點中，可以組成幾個不同的向量？ 3. 正立方體的任兩不同頂點中，可以組成幾個不同的向量？ 4. 若 ABCDEF 為正六邊形，則 A, B, C , D, E , F 可以決定幾個不同的向量？. 4.

(5) 【討論】 1. 一個質點的移動可用向量表示，向量的方向表示移動的方向；向量的量值(以有向線段表示時的長度)即為移動的距離。假設一質點從 P 點移動到 Q 點，移動的方向與距離以向量 a 表示，即 a  PQ ；再從 Q 點移動到 R 點，移動的方向與距離以 b 表示，如圖。這兩次移動的總和，相當於從 P 點移動到 R 點，移動的方向與距離可以 PR 表示。所以當 a  PQ , b  QR 時，規定 a  b  PR ，也就是 PQ QR  PR 。一般而言， A, B, C 是任意三點時，規定 AB  BC  AC 。 2.. 當 a , b 如圖所示時， a  b 為何呢？我們可以另作一個有向線段表示 b ，使 b 的始點銜接 a 的終點，如圖，則由 a 的始點到 b 的終點的有向線段就表示為 a  b ，此法稱為三角形法。. 3.. 用平行四邊形法作向量和。首先，移動 b 使始點落在 a 的始點，再以 a , b 為兩邊作一平行四邊形，則對角線指出的向量就是 a  b ，如圖所示。. 4.. 由平行四邊形法所得的 a  b 顯然與三角形法所得相同。在物理學上，力是向量，經由實驗知道，當兩個力 a , b 同時作用在一個質點上所產生的效應，與 a  b 所表示的力完全一樣，正如圖，這就是合力的概念。由此說明了數學體系常是自然現象的模型，人們經由數學模型的研究，而更加了解實體世界。. 5.

(6) 5.. 在平面坐標系中，設向量 a  OA  (a1 , a2 ) , b  OB  (b1 , b2 ) ，當 O, A, B 三點不在一直線上時，設 OAPB 是平行四邊形，其中 O 是原點，且 P 點坐標為 ( x, y ) ，如圖所示，則由平行四邊形對角線互相平分知， OP 中點與 AB 中點重合， x y 2 2. 故( , ) (. a1  b1 a2  b2 , ) ，得 x  a1  b1 , y  a2  b2 ， 2 2. 故 a  b  OA OB  OP  ( x, y)  (a1  b1 , a2  b2 ) 。當 O, A, B 三點在一直線上時，也可驗證 a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) 。 6.. 由於零向量 0 可用始點﹑終點相同的有向線段表示，故任意向量 a  PQ 與 0 的和如下： a  0  PQ QQ  PQ  a ， 0  a  PP PQ  PQ  a 。. 另一方面，在平面坐標系中，若 a  (a1 , a2 ) ，則由 0  (0, 0) ，易得 a  0  0  a  a 。當 a, b, c 是實數時，已知 a  b  b  a, (a  b)  c  a  (b  c) 。假設 a , b , c 是向量，令 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ), c  (c1, c2 ) ，則由實數的加法性質可推知向量的類似性質如下： a  b  b  a ，( a  b ) c  a ( b  c )。. 7.. 既然 ( a  b )  c  a  ( b  c ) ，此向量就簡記為 a  b  c 。對每一個實數 a ，都有一個實數 b ，使 a  b  0 ，其中 b  a ；同樣地，設 a  PQ ，則取 b  QP ，則 a  b  PQ QP  PP  0 ，其中 b 與 a 方向相反，長度相同， b 以  a 表示，即 b   a 。換言之，  a 是與 a 方向相反，長度相同的向量。於是， a  ( a )  ( a )  a  0 。. 6.

(7) 8.. 在平面坐標系中， a  (a1 , a2 ) 時，  a  (a1 ,  a2 ) 。在實數中， a  b  a  (b) ；在向量中，同樣規定 a  b  a  ( b ) 。假設 a  OA , b  OB ，且 OBAC 是一個平行四邊形，如圖。其中 AC 與 OB 方向相反，長度相同，故 AC   b 。於是， a  b  a  ( b )  OA AC  OC  BA 。. 9.. 亦即 OA OB  BA 。一般而言，當 P, Q, R 是任意三點時，恆有 PQ PR  RQ ，如圖所示；反之，對於向量 XY ，可任取點 O ，. 而將 XY 表為 XY  OY  OX 。 10. 在平面坐標系中，當 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) 時，  b  (b1 ,  b2 ) ，故 a  b  a  ( b )  (a1  b1 , a2  b2 ) 。由此亦可知，當 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 時， PP 1 2  OP2  OP1  ( x2  x1 , y2  y1 ) ，其中 O 表原點。. 11. 一個向量的某一實數倍，還是一個向量，例如： (1) v 的 3 倍，以 3 v 表示，其方向與 v 相同，長度為 v 的 3 倍，如圖。 (2) v 的 (2) 倍，以 2 v 表示，其方向與 v 相反，長度為 v 的 2 倍，如圖。 (3) v 的 0 倍，以 0 v 表示，其長度為 0 ，即為零向量，如圖。 12. 一般而言，設 v  0 ，且 k 是實數，定義如下： (1) k  0 時， k v 的方向與 v 相同，長度為 v 的 k 倍。 (2) k  0 時， k v 的方向與 v 相反，長度為 v 的 k 倍。 (3) k  0 時， k v  0 ，即 0 v  0 。又 v  0 時，定義 k v  0 ，即恆有 k 0  0 。實數 k 乘以向量 v 得到 k v ，這種乘法稱為向量的係數乘法。由係數乘法的意義可知： 1 a  a ； (1) a   a ；又 (3) a 與 (3 a ) 相等，可簡記為 3 a ，. 故 b  (3) a  b  (3 a )  b  3 a 。 7.

(8) 13. 在坐標平面上，設 v  ( x, y) ， k 是一個實數，則由向量係數乘法的意義，實數中有號數的乘法及相似形的概念可知 k v  (kx, ky) ，其中 k  0 及 k  0 時，分別如圖所示。. (a) k  0, OP  v , OP  k v ,. OP . k。. OP. (b)k  0, OP  v , OP  k v ,. OP  k 。 OP. 14. 向量 v 的長度以 | v | 表示。在坐標平面上， v  ( x, y) 時，由點 ( x, y ) 與原點 (0, 0) 的距離可得 | v |  x2  y 2 ，如圖所示。依向量係數乘法的意義便知：對任意向量 v ，任意實數 k ，恆有 | k v |  | k | | v | ，其中 | k v |, | v | 分別表 k v , v 的長度，而 | k | 表 k 的絕對值。 | k v | 與 | v | 的關係也可用坐標驗證：. 令 v  ( x, y) ，則 k v  (kx, ky) ， | k v |  (kx)2  (ky)2  k 2 ( x 2  y 2 )  | k | x 2  y 2  | k | | v | 。. 向量 v 的長度以 | v | 表示。在坐標平面上， v  ( x, y) 時，由點 ( x, y ) 與原點 (0, 0) 的距離可得 | v |  x2  y 2 ，如圖所示。. 8.

(9) 【結論】 1. 向量的加法： (1) 三角形法：  設兩向量 a  AB , b  BC ，   C ab      則向量 AC 就是 a 與 b 的和，即 a  b  AC ， b      B A 並規定 a  b  a  (b ) 。 a  註：當 a  AB 的終點為 b  BC 的始點時用此法。 (2) 平行四邊形法： B    由三角形法，如果 a  OA , b  OB ， b     則 a  b  O A  O B  O A  AC  OC ， a b 其中 OACB 為平行四邊形。  O A  a 註： a  OA 的終點不為 b  OB 的始點時用此法，先將兩向量的始點移至同一位置。 2. 向量的減法：       規定 a  b  a  (b ) 。由三角形法，如果 a  O A , b  OB ， B     則 a  b  a  (b )  OA  B O  BC  CA  BA ，    b a b 其中 OACB 為平行四邊形。 3. 向量的分解：  O BA a (1) OA  AB  OB 。. .  .           . .             . 4.. 5. 6. 7.. (2) AB  OB  OA 。 A O 註：( O 為任一點)。向量的係數乘法：   若  是一實數， a 是一向量，則 a 表示一向量，    它的長度是 |  | 乘以 a 的長度(即長度 | a ||  || a | )，而方向由  的正、負而定。   (1) 當   0 時 a 與 a 同向。   (2) 當   0 時 a 與 a 反向。   (3) 當   0 時 a  0 。向量的長度：   若 v  ( x, y ) ，則 | v | x 2  y 2 。向量的相等：     設 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y 2 ) ，若 v1  v2  x1  x2 , y1  y 2 。向量的加減法與係數積：     設 v1 ,v2 為兩向量，  為一實數，且 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y 2 ) ，則   (1) v1  v2  ( x1  x2 , y1  y 2 ) 。   (2) v1  v2  ( x1  x2 , y1  y2 ) 。  (3) v1  (x1 ,y1 ) 。. 9. C. C.

(10) 【性質】 1. 向量加法的基本性質：    對任意向量 a, b , c ，則     (1) 交換律： a  b  b  a 。       (2) 結合律： (a  b )  c  a  (b  c ) 。      (3) a  0  0  a  a 。      (4) a  (a)  (a)  a  0 。 2. 向量係數乘法的基本性質：   若 a, b 為向量，  ,  為實數，則     1.  (a  b )  a  b 。    2. (   )a  a  a 。   3.  ( a )  ( )a 。 4. (1) | k v |  | k | | v | 。【問題】 1.. 設 a , b , c 是向量，試利用畫圖判定 a  b 與 b  a 是否相同，又 ( a  b )  c 與 a  ( b  c ) 是否相同？. 【討論】當非零向量 a , b 同向或反向時，稱 a 與 b 平行，記為 a // b 。 a // b 表示有實數 k  0 ，使 a  k b ，. 其中 k  0 時， a , b 同向； k  0 時， a , b 反向。若 a // b 或 a , b 中至少有一為 0 ，則稱向量 a , b 線性相依。當 a , b 線性相依時，表示存在實數 k (可為 0 )，使 a  k b 或 b  k a 。另一方面，若 a , b 皆非 0 ，且 a 與 b 不平行，則稱向量 a , b 線性獨立。換言之，若 a , b 不是線性相依，則 a , b 線性獨立。【性質】 1.. 設 a , b 線性獨立， x, y 是實數，試證：若 x a  y b  0 ，則 x  y  0 。證明：假設 x  0 ，則 a  . 2.. y b ，與 a , b 線性獨立矛盾，故 x  0 ；同理， y  0 。 x. 設 a , b 線性獨立， x1 , y1 , x2 , y2 是實數，試證：若 x1 a  y1 b  x2 a  y2 b ，則 x1  x2 ，且 y1  y2 。. 10.

(11) 【討論】 1.. 在平面坐標系中，設 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y2 ) ，若 v1 , v2 線性相依，則存在實數 k ，使 v1  k v2 或 v2  k v1 。當 v1  k v2 時， ( x1 , y1 )  k ( x2 , y2 ) ，即 x1  kx2 , y1  ky2 ，於是 x1 y2  x2 y1  (kx2 ) y2  x2 (ky2 )  0 ；同理， v2  k v1 時，亦可得 x1 y2  x2 y1  0 。反之，若 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y2 ) ，滿足 x1 y2  x2 y1  0 ，則當 v2  0  (0, 0) 時， v2  0 v1 , v1 , v2 線性相依，而 v2  0 時， x2  0 或 y2  0 。設 x2  0 ，則由 x1 y2  x2 y1  0 ，得 y1  於是 v1  ( x1 , y1 )  ( x1 ,. 2.. x1 y2 ， x2. x1 x x y2 )  1 ( x2 , y2 )  1 v2 ， x2 x2 x2. 因此， v1 , v2 線性相依；同理， y2  0 時，亦可得 v1 , v2 線性相依。若有 O, A, B 三點不共線，則 O, A, B 是相異三點， OA  0 , OB  0 ，且 OA OB ，故 OA , OB 線性獨立。. 反之，在一平面上，設 a , b 是線性獨立的向量，則存在不共線的三點 O, A, B ，使 OA  a , OB  b ，如圖；於是，在此平面上的任一向量 p ，都有一點 P 使 OP  p ，如圖；過 P 作直線 OB 的平行線交直線 OA 於 A ，又過 P 作直線 OA 的平行線交直線 OB 於 B ，如圖，則 p  OA OB 。設 OA  x a , OB  y b ，則 p  x a  y b 。因此，在平面上的每一向量 p 皆可表成 x a  y b ，且知實數 x, y 都是唯一的。 3.. 一般而言，給定向量 a , b (不必線性獨立)，若向量 p 可表為 x a  y b ，即存在實數 x, y ，使 p  x a  y b ，則稱 p 是 a , b 的一個線性組合，而 x, y 稱為線性組合的係數。當 a , b 線性獨立時，與 a , b 在同一平面上的任一向量 p 都可表示成 a , b 的線性組合，且其係數唯一。. 11.

(12) 【結論】 1. 向量的平行：   設兩非零向量 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y2 ) ，其中 x2 y 2  0 ，   試證： v1 // v2 的充要條件是 x1 y 2  x2 y1 。證明：若 x2 y 2  0 ，     則 v1 // v2  v1  tv2  ( x1 , y1 )  t ( x2 , y 2 ) x y  x1  tx2 , y1  ty 2  1  1  t  x1 y 2  x2 y1 。 x2 y 2 2. 兩向量平行：  a a    設 a  (a1, a2 ), b  (b1, b2 ) ，試證： a // b  1 2  0 。 b1 b2 3. 4.. 兩向量垂直：       設 a  (a1, a2 ), b  (b1, b2 ) ，若 a  b  0  a  b  0  a1b1  a2b2  0 。線性相依的充要條件：設 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y2 ) ，若 v1 , v2 線性相依，則 x1 y2  x2 y1  0 ；反之，若 x1 y2  x2 y1  0 ，則 v1 , v2 線性相依。當 x2  0, y2  0 時， x1 y2  x2 y1  0 與. x1 y1  意思相同， x2 y 2. 所以 v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y2 ) 線性相依的充要條件是 x1 , x2 與 y1 , y2 成比例。. 12.

(13) 【性質】 1. 三角形的心： (1) 重心：三角形的三中線交於一點，此點稱為此三角形的重心。 2 註：重心到任一點的距離等於該中線長的。 3 證明：在 ABC 中，設 D 是 BC 中點， E 是 CA 中點， F 是 AB 中點， A F. E G. B. D. C.            . 且兩中線 AD, BE 交於 G 點，. 則存在實數 t 使 AG  t AD ， 1 1 因此 AG  t AD  t ( AB  AC ) 2 2 t t t t t  AB  AC  AB  (2 AE )  AB  t AE ， 2 2 2 2 2 t B, G , E 三點共線的充要條件為  t  1 ， 2 2 2 即 t  ，故 AG  AD ， 3 3 同理，若兩中線 AD, CF 交於 G ' 點， 2 則 AG '  AD ，於是 G'  G ， 3 故三中線交於一點。 (2) 內心：三角形三內角平分線交於一點，此點稱為此三角形的內心。 (3) 外心：三角形三中垂線交於一點，此點稱為此三角形的外心。 (4) 垂心：三角形的三高交於一點，此點稱為此三角形的垂心。.    . 13.

(14) 2.. 三角形中各心的性質： (1) 重心：設 G 為 ABC 的重心，則： 1 (a) AG  ( AB  AC ) 。 3  (b) GA  GB  GC  0 。 (c).          . P 為任意點，恆有 PG . 1 1 1 PA  PB  PC 。 3 3 3. 證明：.                                 . (a) 設 BC 的中點為 D ，則 AG : GD  2 : 1 ， 2 1 2 1 AG  AD  ( AB  AC ) 3 2 3 2 2 1 1 1  ( AB  AC )  ( AB  AC ) 。 3 2 3 2 1 1 1 (b) AG  ( AB  AC ) , BG  ( BA  BC ) , CG  ( CA  CB ) ， 3 3 3   所以 AG  BG  CG  0 ，即 GA  GB  GC  0 。  (c) 由(b)知 ( PA  PG )  ( PB  PG )  ( PC  PG )  0 ， 1 1 1 移項得 PG  PA  PB  PC 。 3 3 3 (2) 內心：.  .  .  . 設 I 為 ABC 的內心，且 AB  c, BC  a, CA  b ，則 b c AB  AC 。 (a) A I  abc abc a b c PA  PB  P C ( P 為任意點)。 (b) P I  abc abc abc 證明： ca (a) 設 AI 交 BC 於 D ，由 BD : DC  c : b ， BD  ， bc ca  (b  c) : a ，得 AI : ID  c : bc bc b c bc ( AB  AC ) AD  故 AI  abc abc bc bc b c  AB  AC 。 abc abc b c ( AP  PB )  ( AP  PC ) (b) 由(a)得 A P  P I  abc abc b c b c PI  (   1) A P  PB  PC abc abc abc abc a b c  PA  PB  PC 。 abc abc abc. . . . .    . .          . . 14.

(15) 3.. (3) ABC 中， A 的內角平分線交 BC 於 D ，外角平分線交 BC 於 E ，則 (a) 內分比性質： AB : AC  BD : CD 。 (b) 外分比性質： AB : AC  BE : CE 。證明： (a) ABD : ACD  AB : AC (等高)，又 ABD : ACD  BD : CD (同底)，得 AB : AC  BD : CD 。 (b) ABE : ACE  BE : CE (同底)，又因 sin BAE  sin(  EAP)  sin(  CAE )  sin CAE ， 1 1 ABE : ACE  AB  AE sin BAE : AC  AE sin CAE  AB : AC ， 2 2 得 AB : AC  BE : CE 。三角形心的坐標： (1) 重心坐標：設 ABC 中， A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ， G 為重心， x  x2  x3 y1  y2  y3 , )。則 G 的坐標為 ( 1 3 3 (2) 內心坐標：設 ABC 中，三邊長 AB  c, BC  a, CA  b ，且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ， I 為內心， ax  bx 2  cx3 ay1  by 2  cy3 , )。則 I 的坐標為 ( 1 abc abc. 15.

(16) 4.. 點與線的關係： (1) 孟氏定理(梅內勞斯(Menelaus)定理)：(三點共線) 在 ABC 中，若一直線與 ABC 的邊 BC, CA, AB 分別交於 D, E , F (在邊上或其延長線上)，則 D, E , F 三點共線的充要條件為. AF BD CE    1。 FB DC EA 證明： (充分性)：過三頂點 A, B, C 分別向直線 DEF 作投影點 A' , B' , C '. A F. BD BB' CE CC ' AF AA'  ，  ,  ,  DC CC ' EA AA' FB BB' BD CE AF BB' CC ' AA'       1 DC EA FB C ' C AA' BB' (必要性)：. B` B. A`E C` D. C. 由題設可令 D 點在 BC 的延長線上，點 E, F 分別都在 CA, AB 上或. CA, AB 的延長線上，設直線 EF 與直線 BC 交於 D'，故 D' 點不在 BC 上。由充分性可得. AF BD' CE AF BD CE      1 ，又  1， FB D' C EA FB DC EA. BD' BD ，即點 D 與點 D' 重合，故 D, E , F 三點共線。  D' C DC (2) 西瓦(Ceva)定理：(三線共點) 得. 在 ABC 中，若 D, E , F 三點分別在 BC, CA, AB 上(或其延長線上)，則 AD, BE, CF 三線共點的充要條件為. AF BD CE    1。 FB DC EA. 證明： (充分性)：. A. 設 AD, BE, CF 三線交於點 P ，. BD CE AF ABP BCP ACP       1。 DC EA FB ACP ABP BCP ABP : ACP  BQ : CR  BD : DC 。 (必要性)：. F. E P. 則. R B. C. D Q R. (a)因為三點 D, E , F 必有一點在三角形的邊上，可假設點 E 在 AC 上。 (b)設直線 AD 與直線 CF 的交點為 P ，又設直線 BP 和 AC 的交點為 E ' ， AF BD CE ' CE CE ' AF BD CE 由充分性得。    1，故     1又 FB DC EA FB DC E ' A EA E ' A CE CE ' (c)因為 E 與 E ' 都在 AC 邊上，且，即點 E 與點 E ' 重合，  EA E ' A 故 AD, BE, CF 三線共點。. 16.

(17) 【公式】 1. 向量形式的分點公式：設 O, A, B 三點不共線，若點 P 在 AB 上，且 AP : PB  m : n ，則 OP . n n OA OB ， mn mn. 其中 O 是任意點。證明： m m (OB OA) AB  OA mn mn n m m m  OA OA OB OB 。 OA  mn mn mn mn. OP  OA AP  OA. 註：在分點公式中，若 P 是 AB 的中點， 1 2. 1 2. 則 AP : PB  1:1 ，故 OP  OA OB 。 2.. 坐標形式的分點公式：坐標平面上，設點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，若點 P( x, y) 在 AB 上，且 AP : PB  m : n ，則x . 3.. 4.. nx1  mx2 ny  my2 。 , y 1 mn mn. 向量的線性組合：      設 a // b ，則在 a 與 b 所決定的平面上的每個向量 c ，      都有唯一的實數對 ( x, y ) ，使 c  xa  yb ，稱為 a, b 的線性組合。註：此即為斜角坐標系之概念。三點共線： (1).     . A, B, P 三點共線  存在 t  R, t  0 ，使得 A P  t AB 。. (2) 設 O, A, B 三點不共線， s, t  R ，且 OP  s OA  t OB ，若 A, B, P 共線  s  t  1 。註：利用三點共線，則任兩點之間所組成的向量互相平行證明。證明： (充分性)：.         . 因 A, B, P 共線，故存在 t  R, t  0 ，使得 A P  t AB ，. 則 A O  OP  t ( A O  OB )  OP  (1  t ) OA  t OB 令 s  (1  t ) 即得證。 (必要性)： s  t 1  OP  s OA  t OB  (1  t ) OA  t OB.           .  OP  OA  t ( OB  OA )  AP  t AB  A, B, P 三點共線。. 17.

(18) 5.. 點在直線上的充要條件：設 O, A, B 三點不共線，令 OP  xOA yOB ，則點 P 在直線 AB 上的充要條件為 x  y  1 。註：當點 P 在線段 AB 上時，可設 AP : PB  m : n ，由分點公式 OP  此時. n m OA OB ，其中 O 是任意定點， mn mn. n m   1 ，即 OP 表為 OA, OB 的線性組合的係數和為 1。 mn mn. 證明：當點 P 在直線 AB 上時，可設 AP  t AB ，於是 OP OA  t (OB OA) ， OP  (1  t ) OA t OB ，其中 O 為任意點。又 O, A, B 三點不共線時， OA , OB 線性獨立， OP 表為 OA , OB 的線性組合時，係數唯一。. 令 OP  xOA yOB ，點 P 在直線 AB 上時， x  y  (1  t )  t  1 。反之，當 O, A, B 三點不共線時，令 OP  xOA yOB ，若 x  y  1 ，則 x  1  y ，. 6.. 於是 OP  (1  y) OA yOB ， OP OA  y(OB OA) ， AP  y AB ，故點 P 在直線 AB 上。  若 P 為 ABC 內一點，且 l PA  m PB  n PC  0 ， l , m, n  0 ，則 PBC : PCA : PAB  l : m : n 。(實際上 l , m, n  R 都成立) 證明：.             . 作 P A'  l P A , P B '  m P B , P C '  n P C ，  P A'  P B '  P C '  l PA  m PB  n PC  0  P 為 A' B' C ' 的重心，  PB' C'  PC' A'  PA' B 又 PB' C': PC' A': PA' B  (mn  PBC) : (nl  PCA) : (lm  PAB) 故 PBC : PCA : PAB  l : m : n 。. 18. A’. A. P B C B’. C’.

(19) 【問題】 1. 試證：三角形中，兩邊中點的連接線段平行於第三邊，且等於第三邊長的一半。證明：設 ABC 中， M 是 AB 的中點， N 是 AC 的中點， 1 2. 1 2. 1 2. 1 2. 則 MN  AN  AM  AC  AB  ( AC  AB)  BC 。 1 2. 故 MN // BC ，且 MN  BC 。 2.. 設 AB 的中點為 M ， O 是任意點， 1 2. 1 2. 試證： OM  OA OB 。 3. 4..   . 設 G 為 ABC 之重心，且 AG  x AB  y AC ，求 x, y 之值。在 ABC 中，設 M 是 BC 的中點， G 在中線 AM 上，且 AG : GM  2 :1 ， 1 3. 1 3. 1 3. 求證： OG  OA OB  OC ，其中 O 是任意點。證明： 1 1 1 2 1 1 2 1 1 OG  OA OM  OA ( OB OC )  OA OB  OC 。 3 3 3 3 2 3 3 3 2. 5..   . 設 I 為 ABC 之內心，且 AB  3, BC  4, CA  2 ， A I  x AB  y AC ，求 x, y 之值。解答：. 3 AI : ID  BA : BD  3 :  4  5 : 4 又 BD : DC  3 : 2 ， 5 5 2 3 2 2 5 3 3 故 A I  AD  ( AB  AC )  AB  AC ，得 x  , y  。 9 9 9 9 9 9 5 5 在 ABC 中，設 BC  a, CA  b, AB  c, I 是 ABC 的內心(三內角分角線的交點)，.  . 6.. 求證： OI .  .  . a b c OA OB OC ，其中 O 是任意點。 abc abc abc. 證明：設 ABC 中， A 的分角線交 BC 於 T ，則 BT : TC  c : b ，故 BT . c ac 。 BC  bc bc. 又 BI 是 ABT 中 B 的分角線， ac  (b  c) : a 。 bc a bc 於是 OI  OA OT abc abc a bc b c  OA ( OB OC ) abc abc bc bc a b c  OA OB OC 。 abc abc a bc. 故 AI : IT  AB : BT  c :. 19.

(20) 7.. 在 ABC 中，設 D 是 AB 中點，點 E 在 AC 上，且 AE : EC  2 :1 ，又 CD 與 BE 交於 P 。 (1)設 AP  x AB y AC ，求 x, y 。 (2)求 BP : PE 。解答： (方法一)(利用三點共線線性組合的性質) 3 2 3 由點 P 在直線 BE 上，知 x  y  1 ， 2. 3 2. (1) AP  x AB y AC  x AB y ( AE )  x AB  y AE ，. AP  x AB y AC  x(2 AD)  y AC  2x AD y AC ，由點 P 在直線 DC 上，知 2 x  y  1 ， 1 1 聯立解得 x  , y  。 4 2 3 1 3 1 1 3 (2) AP  x AB y AE  AB  AE  AB AE ， 2 4 2 2 4 4 故 BP : PE  3:1 。. (方法二)(利用孟氏定理) CE AB DP   1 EA BD PC 1 2 DP DP    1  1 2 1 PC PC 1 1 1 1 故 A P  AC  AD  AC  AB 2 2 2 4 (方法三)(利用斜角坐標系求兩線交點) 1 1    LCD : x  3 y  1  x  2   L : 1 x  1 y  1  y  1   BE 2 4 2 (方法四)(利用畫補助線找相似三角形) 延長 BE 至 F 使得 CF // AB ，由 ECF  EAB ，可得 CF  1 ， 1 1 1 1 DP 由 PCF  PDB ，可得  1，故 A P  AC  AD  AC  AB 2 2 2 4 PC ABC 的三邊 BC, CA, AB 上，分別取 D, E , F 三點，.     .     . 8..             . 使 DC  4BD, EC  AE, FB  2 AF ， G 為 DEF 的重心，. AG  x AB  y AC ，求 x, y 的值。解答：. .  . 3 AG  AD  AE  AF 4 1 1 1 17 7  ( AB  AC )  ( AC )  ( AB )  AB  AC 5 5 2 3 15 10 17 7 17 7 AB  AC ，故 x  ,y 則 AG  。 45 30 45 30 20.

(21) 9.. 坐標平面上，設 ABC 的頂點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ，則 ABC 的重心坐標為何？解答：設 O 為原點， G 為 ABC 的重心，則. 1 1 1 1 1 1 OG  OA OB OC  ( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )  ( x3 , y3 ) 3 3 3 3 3 3 x  x  x y  y  y3 x1  x2  x3 y1  y2  y3 ( , )。 ) ，故重心 G 的坐標為 ( 1 2 3 , 1 2 3 3 3 3 10. 若 M , M  分別是 AC, AB 的中點，如圖，又 G , G  分別在 BM , CM  上，. 且 BG : GM   CG : GM   2 :1 。 1 3. 1 3. 1 3 由此可知 ABC 的三中線交於一點 G ， 2 且 AG, BG, CG 都等於所在中線長的， 3 此 G 點即為 ABC 的重心。. 則同樣可得 OG  OG  OA OB OC ，故 G  G  G 。. 11. 我們知道三角形的一內角分角線分割對邊的比，恰為該內角二鄰邊長的比。假設在 ABC 中， A 的分界線交 BC 於 T ，則 BT : TC  AB : AC 。 12. 坐標平面上，設 O 表原點， a  (1, 2), b  (2,1) 。 (1)證明 a , b 線性獨立。 (2)令 v  (4, 5) ，試將 v 表為 a , b 的線性組合。 (3)在平面上標示點集合 {P | OP  x a  y b , 0  x  1, 0  y  1} 。解答： (1) 11  2  2  3  0 ，故 a , b 線性獨立。 x  2 y  4 ， 2 x  y  5. (2)設 v  x a  y b ，則 (4, 5)  x(1, 2)  y(2,1)  ( x  2 y, 2 x  y) ，  解得 x  2, y  1 ，故 v  2 a  b 。 (3) a  b  (1, 2)  (2,1)  (3, 3) ，令點 A(1, 2), B(2,1), C (3, 3) ，對任意 0  x  1, 0  y  1 ，設 OA  x a , OB  y b ，則點 A, B 分別落在線段 OA, OB 上，. 又 OP  x a  y b  OA OB ，因此， OAPB 為平行四邊形，而點 P 落在平行四邊形 OACB 所圍區域，故所求點集合即為此區域，如圖所示。 1 . 註：向量的坐標也可以寫成直式，例如將 a  (1, 2) 表為 a    ， 2    4 1   2  x  2 y  於是在例中， v  x a  y b 就成為    x    y     。 5   2 1   2 x  y  x  2 y  4 較為清楚，但橫式﹑直式表法可各取所好。 2 x  y  5. 由此解讀 . 21.

(22) 【討論】 1. 若一個有向線段的始點與終點是一直線上的相異兩點，則此有向線段表示的向量稱為該直線的一個方向向量。於是，當 d  AB  0 時， d 即是直線 AB 的一個方向向量，如圖所示。. 一條直線的方向向量可長可短，而且可以指向相反的兩個方向，但不可以是零向量。當 d1 , d2 是同一直線的方向向量時， d1 // d2 。在坐標平面上，若直線 L 上有相異兩點 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，則 d  ( x2  x1 , y2  y1 ) 是 L 的一個方向向量。 2.. 設直線 L 以 d  (2,  1) 為方向向量，且過定點 A(5, 4) ，如圖。此時，動點 P( x, y) 在直線 L 上的充要條件為 AP 與 d 線性相依  ( x  5, y  4) 與 (2,  1) 線性相依  ( x  5)  2( y  4)  0  x  2 y  3  0 ，故 L 的方程式為 x  2 y  3  0 。. 另一方面，由 d  (2,  1) 是 L 的方向向量， 1 2. 也可知， L 的斜率為  ， 1 2. 用點斜式得 L 的方程式為 y  4   ( x  5) ，展開整理，即 x  2 y  3  0 。. 3.. 因此，若給定直線 L 的一個方向向量 d 及直線 L 上一定點 A ，則直線 L 可唯一確定。一般情形，假設直線 L 以 d  ( , m) 為方向向量，且過定點 A( x0 , y0 ) ，如圖，則可仿前面的推演，求出 L 的方程式。另一方面，設 O 為原點，則動點 P( x, y) 在直線 L 上，表示 AP  t d ，其中 t 是一個實數，於是 OP  OA  AP  OA  td ，  x  x0  t ( x, y)  ( x0 , y0 )  t ( , m)  ( x0  t , y0  mt ) ，即  ，  y  y0  mt. 上式稱為直線 L 的參數式，其中 t 稱為參數。. 22.

(23) 4.. 在直線 L 上以 A( x0 , y0 ) 為起始點，加上 d  ( , m) 的 t 倍，只要取適當的參數 t ，就可到達 L 上的任意點 P( x, y) 。例如直線 L 過點 A(4, 7) 且以 d  (2,  3) 為方向向量，  x  4  2t ，  y  7  3t. 則 L 的參數式為 .  x  4  2t ，  y  7  3t. 可記為 L : . 當 t  1時， x  2, y  4 ，表 (2, 4) 是 L 上的一點，而 t  3 時，得到 L 上的另一點 (10,16) 。設直線 L 過點 A( x0 , y0 ) 且以 d  ( , m) 為方向向量，  x  x0  t ，  y  y0  mt. 則 L:. 5.. 其中參數 t 可以其他符號，如 s, r , …表示。直線的參數式可以直線運動比擬。假設一質點在坐標平面上做等速直線運動，已知時間 t  0 時的位置是 A(1, 3) ，且速度向量 d  (7,  2) (水平速率 7 ，向右；鉛直速率 2 ，向下)，又設時間為 t 時的位置為 ( x, y ) ，  x  1  7t 。  y  3  2t. 則. 23.

(24) 【定義】 1. 直線的方向向量：  與直線平行的向量稱為直線的方向向量，一般以 d 表示。   直線 ax  by  c  0 的方向向量為 d  (b,a) 或 d  (b, a) 。註： (1) 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 為直線上兩相異點，  則 d  ( x2  x1 , y2  y1 ) 為一組方向向量。   (2) 與 d  (b,a)(d  0) 平行的非零向量都稱為直線的方向向量，即方向向量有無限多組。註：利用方向向量來談直線，可以免除鉛直線沒有斜率的困擾。 2. 直線的法向量：  與直線垂直的向量稱為直線的法向量，一般以 n 表示。   直線 ax  by  c  0 的法向量為 n  (a, b) 或 n  (a,b) 。證明：在坐標平面上，一直線 L 過點 A( x0 , y0 ) ，   且與一向量 n  (a, b)(n  0) 垂直，則直線的方程式為 a( x  x0 )  b( y  y0 )  0 ，即 ax  by  ax0  by0 ，形如 ax  by  c  0 。   反之直線 ax  by  c  0 與向量 n  (a, b)(n  0) 垂直。註： (1) 法向量有無限多組。 (2) 兩平行直線的方向向量相同，法向量相同。 (3) 兩垂直向量的方向向量互相垂直，法向量互相垂直。   (4) 若直線的法向量 n  (a, b)(n  0) 時，  則方向向量 d  (b,a) ，直線方程式則形如 ax  by  c  0 ， a 斜率 m   。 b. 24.

(25) 3.. 直線的參數式： (1) 給定點與方向向量：    若直線 L 過一定點 A( x0 , y0 ) 且 d  (a, b) (d  0) 為 L 的方向向量，.  x  x0  at 則直線 L 可表為  ， t 為實數， y  y  bt 0  此種表示法稱為 L 的參數式，其中 t 稱為參數。證明：設 P ( x, y ) 為直線 L 上異於 A 的任一點，  則 O P  OA  A P  OA  td  ( x0 , y0 )  t (a, b)  ( x0  at, y0  bt) 。 (2) 過兩點：設 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 為直線 L 上兩個相異點，.    .  x  x1  ( x2  x1 )t 則 L 的參數式為  ,t  R 。  y  y1  ( y2  y2 )t. 4.. 註： (a) 參數 t 的符號也可以用其他符號如 s, r 等表示，參數 t 在直線上的意義為坐標之意。 (b) 直線的參數式即(點)+ t (方向向量)之意。 (c) 直線的參數式的表示法不是唯一的。  x  x0  at (d) 當 a  0 時，直線的參數式為  時，  y  y0  bt b 直線的方程式為 bx  ay  bx0  ay0 ，直線 L 的斜率為。 a (e) 用參數式表示直線，重點在於用 t 表示直線的點坐標，即一種坐標化的概念。直線的參數式一但決定之後，直線上任一點 P( x, y) 皆可找到唯一一個實數 t ，使得 x  x0  ta, y  y0  tb ；且 t 代入任何實數後，形成的點構成一條直線，形成了一種一對一的對應。 (f) 利用控制參數的範圍即可描述直線上的某部分(線段、射線、直線等)。參數式的表示：設 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 為直線 L 上兩個相異點，則.  x  x1  ( x2  x1 )t (1) 直線 AB 的參數式為  ,t  R 。  y  y1  ( y2  y2 )t  x  x1  ( x2  x1 )t (2) 射線 AB 的參數式為  ,t  0 。  y  y1  ( y2  y2 )t  x  x1  ( x2  x1 )t (3) 線段 AB 的參數式為  ,0  t  1 。  y  y1  ( y2  y2 )t 註：參數式的表示法不是唯一的。. 25.

(26) 【公式】 1. 試證：點 A( x0 , y0 ) 對於直線 L : ax  by  c  0 的對稱點為 2a(ax0  by 0  c) 2b(ax0  by0  c) B( x0  , y0  )。 2 2 a b a2  b2 證明：與直線 L : ax  by  c  0 垂直的直線 L' 的法向量為 ( a, b) ，.  x  x0  at 可設直線 L' 的參數式為  ，  y  y0  bt 代入 L 中得 a( x0  at)  b( y0  bt)  c  0 ，可得 t  . ax0  by 0  c ， a2  b2. 故 A 在 L 的投影點為. ( x0  at, y0  bt)  ( x0 . a(ax0  by 0  c) b(ax0  by 0  c) , y0  )， 2 2 a b a2  b2. 故 A 對 L 的對稱點為. ( x0  2at, y0  2bt)  ( x0 . 2a(ax0  by0  c) 2b(ax0  by0  c) , y0  )。 2 2 a b a2  b2. 【應用】 1. 設直線 L 上有相異兩點 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ，求 L 的參數式。解： d  ( x2  x1 , y2  y1 ) 是 L 的一個方向向量，  x  x1  ( x2  x1 )t 故 L 的參數式為  。  y  y1  ( y2  y1 )t. 2..  x  2  3t ，  y  1  5t. 設 A(2,  1), B(5, 4) ，直線 AB 的參數式可寫為   x  5  3t  x  5  3t ，亦可寫為  。  y  4  5t  y  4  5t. 或寫為 . 事實上，一直線上有無窮多個點，也有無窮多個方向向量(長短變化，反向變化)，在直線上任取一點及其任一方向向量，就能寫一個參數式，所以直線的參數式表法不唯一。. 26.

(27)