中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：低壓汽機轉軸鍵槽之機率破壞分析

系 所 別：應用數學學系所 學號姓名：M09309005 林士騰

指導教授： 陳 烈 博士 楊立杰 博士

中華民國 九十五 年 六 月

誌謝

本論文得以順利完成首先要感謝恩師 陳烈與楊立杰教授兩年 來悉心指導與關懷。在 老師的指導之下，體會獨立思考的重要性並 增強解決問題的能力。感謝 陳老師在理論部份不厭其煩的指導及校 閱指正論文；感謝 楊老師在邊界元素法上所傳授的程式寫法，給予 學生在撰寫程式時上有了許多靈感與架構。而 老師們實事求是的治 學態度及為人處事的方法，學生將永存於心，在此獻上衷心的感謝。

在論文定稿階段，承蒙 王慧君教授與 黃敏昌教授對於本論 文的指正及提供寶貴的意見，使本文更加完善；此外在研究的過程 中，還要感謝 陳精一教授在 ANSYS 觀念上的傳授，使得學生能夠完 成模組建構，在此表達本人真誠的謝意。

在研究所兩年的生涯中，特別感謝機械系的朋友，閔雄、立言、

鎮利、俊諺、文賢、振忠，沒有你們，我可能還在程式的胡同裡瞎 拼，還有數學系的宏文、方方、家祥、憶貝、志軒，感謝你們在統 計上的心得交流。最後感謝我的父母、親人以及未提及的老師、朋 友，讓我能夠安心求學；特別是女友麗明的體諒與關懷，一直是兩 年來最大的精神來源，僅將此文獻給所有關心我的人們。

摘要

本研究主旨為針對核能發電廠現有之低壓汽機輪盤軸孔之機率 破壞分析( Keyway )處，以蒙地卡羅法模擬鍵槽的破壞機率，引入破 壞力學中應力強度因子、材料韌度、裂縫增長速率等理論，預測鍵槽 裂縫隨時間成長之情形，以評估其殘留壽命。再以暖溫( Prewarming ) 時的溫度與非暖溫狀況下獲得應力強度因子，求出壽命累積機率，分 析兩者壽命之間的差異性，並討論驗證之。

關鍵詞：蒙地卡羅法、鍵槽( keyway )、機率破壞力學、裂縫增長速 率。

目錄

摘要... I 目錄... II 表目錄... IV 圖目錄... V

第一章 導論... 1

1-1 研究動機與文獻回顧 ... 1

1-2 研究範疇 ... 3

1-3 論文大綱 ... 4

第二章 理論說明 ... 5

2-1 破壞力學 ... 5

2-2 有限元素法之應力分析 ... 9

2-2-1 軟體簡介 ... 9

2-2-2 邊界條件 ... 12

2-3 鍵槽應力修正 ... 14

2-4 應力擴大係數 ... 14

2-5 材料破裂韌度 ... 16

2-6 裂縫成長速率 ... 17

2-7 預估壽命時間方法 ... 18

2-8 評估風險 ... 18

2-9 蒙地卡羅法 ... 19

2-9-1 蒙地卡羅的簡介 ... 19

2-9-2 蒙地卡羅方法基本原理 ... 20

2-10 隨機亂數 ... 22

2-10-1 隨機亂數的性質 ... 22

2-11 亂數產生器 ... 23

2-11-1 隨機亂數產生的方法 ... 24

2-12 逐週計算法... 25

第三章 分析方法 ... 27

3-1 程式流程簡介 ... 28

第四章 結果討論與分析 ... 30

4-1 應力分析比較... 30

4-2 應力強度因子與裂縫模組之比較... 32

4-3 壽命分析比較... 32

第五章 結論與後續研究 ... 34

附錄 A ... 66

參考文獻 ... 68

表目錄

表 4-1-2 環向應力解 ... 47

表 4-3-1 破壞機率(0.12in) ... 50

表 4-3-2 破壞機率(0.25in) ... 51

表 4-3-3 破壞機率(0.34in) ... 52

表 4-3-4 破壞機率(0.45in) ... 53

表 4-3-5 破壞機率(0.55in) ... 54

表 4-3-6 破壞機率(0.66in) ... 55

表 4-3-25 殘留壽命（預溫） ... 65

表 4-3-26 殘留壽命（無預溫） ... 65

圖目錄

圖 1-1 發電機組運作流程圖 ... 36

圖 1-2 MSR 系統示意圖 ... 37

圖 1-3 鍵槽示意圖 ... 38

圖 2-1-1 裂縫尖端附近應力場之座標系統 ... 39

圖 2-1-2 疲勞週次增長速率(da/dN) 與

Δ K

關係 ... 39

圖 2-2-1 有限元素分析之流程圖 ... 40

圖 2-2-2 鍵槽與輪盤示意圖(A)... 41

圖 2-2-3 鍵槽與輪盤示意圖(B) ... 41

圖 2-2-4 建構圖模型 ... 42

圖 2-2-5 有限元網格資料圖 ... 43

圖 2-2-6 環向應力分布(900 RPM) ... 43

圖 2-2-7 環向應力分布圖(1800 RPM) ... 44

圖 2-2-8 環向應力分布圖(1980 RPM) ... 44

圖 2-2-9 環向應力分布圖(2160 RPM) ... 45

圖 2-2-10 ANSYS 流程圖 ... 45

圖 2-3-1 鍵槽示意圖 ... 46

圖 2-3-2 裂縫模組 ... 46

圖 2-5-1 破壞韌度對溫度曲線圖 ... 47

圖 4-1-1 輪軸轉子示意圖 ... 47

圖 4-2-1 應力強度因子 對 裂縫增長量 (900RPM) ... 48

圖 4-2-2 應力強度因子 對 裂縫增長量 (1800RPM) ... 48

圖 4-2-3 應力強度因子 對 裂縫增長量 (1980RPM) ... 49

圖 4-2-4 應力強度因子 對 裂縫增長量 (2160RPM) ... 49

圖 4-3-7 評估壽命 與 破壞次數 (0.12in,無預溫下) ... 56

圖 4-3-8 評估壽命 與 破壞次數 (0.12in,預溫下) ... 56

圖 4-3-9 評估壽命 與 破壞次數 (0.25in,無預溫下) ... 57

圖 4-3-10 評估壽命 與 破壞次數 (0.25in,預溫下) ... 57

圖 4-3-11 評估壽命 與 破壞次數 (0.34in,無預溫下) ... 58

圖 4-3-12 評估壽命 與 破壞次數 (0.34in,預溫下) ... 58

圖 4-3-13 評估壽命 與 破壞次數 (0.45in,無預溫下) ... 59

圖 4-3-14 評估壽命 與 破壞次數 (0.45in,預溫下) ... 59

圖 4-3-15 評估壽命 與 破壞次數 (0.55in,無預溫下) ... 60

圖 4-3-16 評估壽命 與 破壞次數 (0.55in,預溫下) ... 60

圖 4-3-17 評估壽命 與 破壞次數 (0.66in,無預溫下) ... 61

圖 4-3-18 評估壽命 與 破壞次數 (0.66in,預溫下) ... 61

圖 4-3-19 評估壽命 與 累積破壞機率 (0.12in)... 62

圖 4-3-20 評估壽命 與 累積破壞機率(0.25in)... 62

圖 4-3-21 評估壽命 與 累積破壞機率(0.34in)...63

圖 4-3-22 評估壽命 與 累積破壞機率(0.45in)... 63

圖 4-3-23 評估壽命 與 累積破壞次數(0.55in)...64

圖 4-3-24 評估壽命 與 累積破壞次數(0.66in)...64

第一章 導論

1-1 研究動機與文獻回顧

近來由於電力需求量快速的增加及電力系統規模日益擴張，導致

汽輪發電機組容量也不斷增大。早期，由於機組較小，各構件強度足 夠，甚至可達工作應力數倍以上材料尚不至破斷，但隨著電力需求之 成長，大型機組迅速發展以提供更大電力，然而，汽輪機轉軸及葉片 材質之發展卻不及其快速且過多的啟動及停機次數，導致汽輪機轉軸 及葉片過應力( overstress )而發生疲勞損傷。尤其汽輪機轉子( rotor ) 及輪盤( disk )，在水份含量較高的高溫蒸氣下，更容易受到應力腐蝕 裂痕( Stress Corrosion Crack )與應力疲勞裂痕的影響，造成輪盤軸 孔、鍵槽( keyway )、葉根槽( steeple )與葉片本身產生裂縫，輕者需 停機檢查，不但費時費力，且需花費大量金錢，重者造成機組損傷及 重大工安事故。所以開發低壓汽機的壽命評估工具刻不容緩，同時針 對發生裂縫部份進行評估，可掌握發電機組運轉狀況，以避免造成更 大的危害。

此外，進行壽命評估以前，必須先實施非破壞性檢測以暸解裂縫

發生與成長情形，方可做壽命評估。非破壞性檢測目前約有六種檢測 方式：(1) 超音波檢測 (2) 渦電流檢測 (3) 磁粉探傷 (4) 液體滲透檢 測 (5) 射線檢測 (6) 音洩檢測。而每次非破壞性檢測所耗費資金相 當昂貴也需要相當多的人力，就拿低壓汽機葉片根部與底座渦電流檢 測技術為例，民國九十三年一月三十日核二廠大修渦電流檢測工作，

其結標金額為新台幣五百七十萬元整（附錄 A）。因此如果壽命評估 越精準亦可減少檢測次數以節省國家資源的浪費。

核能套縮型低壓汽機轉子在高應力而且濕熱的環境下運轉，容易 在局部地區產生應力腐蝕龜裂，另外在葉片上亦常發現裂痕，此為世 界性共同之問題。因此本文將重點著重於探討低壓汽機輪盤軸孔處之 鍵槽( keyway )的壽命評估，由於此部分的損壞會造成輪盤運轉時會 有不穩定使得有破裂飛散之虞，嚴重影響到核能發電廠的安危。

一般而言，每個機械零件在設計過程中都要在正常使用狀態下評 估壽命，而此壽命期限都必須在一限定範圍內而非固定值，因此必須 導入機率破壞力學的基礎，傳統上的安全因子不再列入考量，甚至必 須將真實的狀況引用變數來模擬並將其隨機化。在隨機變數選取上之 文獻或資料不勝枚舉，在本章節僅以本文研究較相關之部分作概略性 介 紹 之 ， Viswanathan ( 1984 ) 以 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 ( Monte Carlo

Simulation, MCS )來估算轉子之壽命【1】，Sire 和 Kokarakis ( 1991 ) 曾評估運輸艦甲板疲勞裂縫延伸壽命的變因上，使用蒙地卡羅模擬法 ( MCS ) 來分析其疲勞壽命【2】。Zhu 和 Lin ( 1992 )對特定航空結 構的疲勞延伸速率與其疲勞壽命進行探討，並對其所受之應力大小作 統計分布，並透過蒙地卡羅模擬法( MCS )來作模擬，並與其他文獻 作驗證【3】。Liao 和 Yang ( 1992 )則對鋁合金作疲勞裂縫延伸壽命模 擬【4】。另外 Rosario 和 Roberts ( 1997 )模擬在應力腐蝕下的低壓汽 機輪盤損毀機率【5】。

1-2 研究範疇

核能發電廠以蒸氣來推動汽機輪，藉由其轉動來帶動發電機轉子 轉動以進行發電，其中高壓汽機( HP )、低壓汽機( LP )分別以高、低 壓的蒸氣下運轉( 圖 1-1、圖 1-2 )。這兩種發電機組，因為高壓汽機 具有高度的排濕性質，需要汽水分離系統( MSR )以降低濕度，因此 只有低壓汽機在潮濕的環境下運轉，容易產生應力腐蝕效應，成為發 生裂縫主因。故本文所研究的對象在於低壓汽機輪部份，尤其在組裝 低壓汽機過程中，為了將轉子( rotor )與輪盤結合，以熱脹冷縮原理將 兩者做有效的套合。且為求穩定，在轉子與輪盤的銜接處，設計凹槽，

此處稱之為鍵槽( keyway )，如圖( 1-3 )。此區是輪盤運轉是否穩定主 要觀察部位，裂痕一但超出所能承受的範圍，造成不協調振動增加葉 根槽與葉片等多餘的負荷力，此時容易發生發電廠安危事故。另外，

前述冷縮效應，在發電廠進行運轉前都必須進行預溫( perwarming ) 動作以防止脆性破壞，因此本篇論文著重在低壓汽機鍵槽部份之壽命 評估，並分析有否預溫下對殘餘壽命所造成的影響。

1-3 論文大綱

本論文主要是嘗試模擬低壓汽機轉子鍵槽( keyway )的壽命，論 文內容可分為五大部分，針對其內容稍作敘述如下：

第一章 主要描述研究的動機及文獻回顧。

第二章 介紹基本理論依據、使用工具與低壓汽機輪構造。

第三章 著重於程式建構過程中所需要的理論及流程。

第四章 則對模擬分析出來的數據評估討論。

第五章 為結果與展望，此章節將對本文所分析的結果與方法作 一結語與未來發展的方向。

第二章 理論說明

2-1 破壞力學 ( Linear Elastic Fracture Mechanics，LEFM )

線彈性破壞力學是以古典力學為基礎，用數學式將應力大小、裂 縫大小與材料性質三種因素加以連貫，以分析預測材料的破壞或裂縫 的成長。Griffith【6】首先在 1920 年提出裂縫將會在使系統總能量降 低的狀況下進行成長之觀念。即應變能被裂縫取走能量之觀念，從而 推導出能量釋放速率 ( Energy Release Rate，G )，與裂縫阻抗 ( Crack Resistance，R ) 的理論。Irwin ( 1957 )並根據彈性理論之力量守恆與 應變相容方程式，導出裂縫尖端附近之應力場方程式 【7】。如圖 2-1-1:

f

( )

...

r 2 K

j i j

i =

θ

+

σ π

( 2-1 )

其中，

r

與

θ

為極座標，

r

為至裂縫尖端的距離， 為與應力、裂

紋大小、幾何形狀有關的無因次化係數，

fij

θ

為由裂縫平面起的角度，

K=

ασ π

a ，

α

為裂縫幾何形狀校正因子，

σ

為應力， 為裂縫長a

度，此法將應力強度因子 ( Stress Intensity Factor ) 帶入破壞力學的 分析中。此 值僅適用於裂縫尖端附近，其原因在推導過程中假設

<< 以忽略去某些次要項【7】，並且線彈性破壞力學僅適用於

<< 以及裂縫的特性仍處於彈性行為下。若裂縫尖端塑變形區大，

所得之估計將不準確。

K K

r a

r a

對於低應力下的裂縫成長，由於裂縫尖端區域大都處於彈性狀態

下，故特別適合以應力強度因子 K 來描述，循環負荷下則以應力強 度因子距ΔK來描述。在彈力性破壞力學中，由於裂縫成長速率da dN 與應力強度因子範圍 成正比關係【8，9，10】，因此常用應力強度 因子範圍

ΔK

ΔK（ΔΚ=Κ_max−Κ_min，且當Κ_min<0時，取Κ_min =0）來探討疲 勞裂縫成長壽命。兩者之關係式【7】為：

th n1 m

max n2 c

1-(ΔK ) C( K) [ ΔK ]

1-(ΔK ) K da

dN = Δ ⁿ³ ( 2-2 )

其中，

ΔK

_th：裂縫疲勞成長之應力強度因子範圍之低限值

( Threshold value ) ΔK_max：最大應力強度因子

K_c ：臨界應力強度因子，破壞韌性

C，m：材料常數 n1，n2，n3：經驗常數 da/dN ：裂縫成長速率

Δ K

：應力強度因子範圍

一般da dN對 之關係圖以全對數座標繪成，其曲線近似 S 形，

常被分為四個區域來討論，如圖2-1-2 所示。

ΔK

區Ι裂縫幾乎不成長，區域Π為裂縫緩慢成長區，裂縫成長速率 隨ΔK下降而急遽減緩。當ΔK小於疲勞低限值ΔK_th時，即da dN <10⁻⁷ mm/cycle，裂縫幾乎不成長。ΔK_th易受不同熱處理或製程之顯微結

構、應力比及環境之影響。就設計應用觀點而言，要求結構件所承受 之ΔK小於ΔK_th，並不實際，因為要達到Δ ≤ ΔK K_th，則結構件所含缺 陷及承受的應力必須非常小，唯有安全上要求極為嚴格如核能發電設 備，才要求Δ ≤ ΔK K_th，而一般工程較為少用。

區域Ⅲ為裂縫緩慢成長區，裂縫隨著ΔK增加而穩定成長。此時 裂縫成長速率介於 mm/cycle 間。Paris 和 Erdogan 首先提出 ( 2-3 )式來描述

3 5 ~10 10^{− −} dN

da 與ΔK間的關係【11】：

da dN =C(ΔK)^m ( 2-3 )

其中， C，m：材料常數 da/dN ：裂縫成長速率

Δ K

：應力強度因子範圍

區域Ⅳ為裂縫快速成長區，裂縫成長速率隨ΔK 增加而迅速升 高；當最大應力強度因子，達材料之臨界應力強度因子時，裂縫成長 速率趨近於無窮大，而導致破壞。此階段的裂縫成長速率，受材料組 織、應力比及厚度影響甚大。此階段所能承受的負荷循環數很小，因 此，在此分析時不考慮其壽命。

2-2 有限元素法之應力分析

本節主要介紹有限元素分析軟體模擬輪盤部份之應力分析，概述 程式來源與處理器，說明輪盤材料與結構之物理性質，並顯示結果提 供求得應力強度因子 ( Stress Intensity Factor )。

2-2-1 軟體簡介

國外對於電腦輔助工程領域上研究較早，故已有非常多不同種類 之軟體相繼產生，例如：I-DEAS、ANSYS、ALGOR、COSMOS 等。

本節主要介紹ANSYS 套裝工程分析軟體，模擬不規則形狀葉根槽的 2-D 應力分析，將其分析流程作一詳細的介紹。

ANSYS 是運用有限元素法，將實體的物件，分割成不同大小、

種類、小區域稱為有限元素。利用不同領域得需求，推導出每一個元 素的作用力方程式，組合整個系統的元素，構成系統方程式，最後將 系統方程式求出其解。由有限元素的發展，此法具有下列的特色：

一、 整個系統離散為有限個元素。

二、 利用最低能量原理 ( Minimum Potential Energy Theory ) 與泛函數值定理 ( Stationary Functional Theory ) 轉換成 一組線性聯立方程式。

三、 處理過程簡明。

四、 整個區域做離散處理，需龐大的資料輸出空間與計算機容 量，解題耗時。

五、 線性、非線性均適用。

六、 無限區域之問題較難模擬。

圖2-2-1 為有限分析之流程圖【12】，一般完整的有限元素方程 式 ( finite element program ) 包含前置處理 ( pre-processing )、解題程 式 ( solution ) 和後置處理 ( post-processing )：

一、 前置處理：

1. 建立有限元素模型。

2. 材料特性。

3. 元素產生。

4. 邊界條件。

二、 解題程式

1. 線性代數方程式 [K][U]=[F] 求解，其中[K]為結構剛性強 度，[U]為位移，[F]為外力。

2. 資料反算法求應力、應變、反作用力等。

三、 後置處理

將解題部份所得之解答，經由圖形介面以各種不同表示方式 把等位圖、等應力圖…等呈現出來。

2-2-2 邊界條件

我們以葉片所產生的離心力化為等效力量作為ANSYS 的邊界條 件，葉片的離心力可由葉片重量、質心位置與轉子軸心之間距及轉速 計算出來，圖2-2-2 與 2-2-3 為葉根槽的結構示意圖。以（2-4）式來 表示鍵槽所承受的應力與相關物理性質的關係：

葉片所承受的等效負載以（2-4）式表示：

contact centrif

b A

F N×

σ

= （2-4）

σ :葉片承受等效負載 _b

N :

葉片個

F

_centrif

:

離心力

A

_contact

:

承受面積

其中，

有了負載條件之後，便可開始以有限元素法分析輪盤受力情形，

以下為ANSYS 建構過程中所需要的資料：

使用單位：

KSI

鍵槽材料：

NiCrMov

合金鋼 楊式係數為 30×10³ ksi 波松比為

0.3

密度為 7.323×10⁻⁷ kips⋅sec²/in⁴

輸入值：輪盤之幾何形狀如圖

( 2-2-4 )

表示 邊界條件

輸出值：輪盤之有限元網格資料如圖

( 2-2-5 )

表示

應力場分布如：圖

( 2-2-6 )

,圖

( 2-2-7 )

,圖

( 2-2-8 )

圖

( 2-2-9 )

評估流程：圖

( 2-2-10 )

2-3 鍵槽應力修正

在我們預估剩餘壽命時，其影響關鍵在於裂縫的大小形狀以及可 承受的韌度。所以我們必須把應力集中因子

K

_t

( Stress Concentrating Effect )

考慮進來以

( 2-5 )

式表示如下【

13

】：

( ) ^{x = + 1} ( ^{− 1 0.25} ) ^⎡ _⎢ ^⎛ _{⎜ +} ^⎞ _⎟

²

^{+ 0.75 ⎛} _{⎜ +} ^⎞ _⎟

⁴

^⎤ _⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

t t

R R

K k

R x R x

( 2-5 )

其中，

K

_t

:

最大值為

2.2

R :

鍵槽深度，如圖

2-3-1

2-4 應力強度因子 ( Stress Intensity Factor )

本論文所使用的，參考

Raju

和

Newman

【

14

】所提供方法來求 得應力強度因子

( )

。裂縫幾何形狀如圖

2-3-2

表示，其中裂縫形狀 最常見比例【

15

】【

16

】：

K

I

(1) 0 b : a

=

(2) b : a

=

1 : 5

(3) b : a

=

2 : 5

(4) b : a

=

1 : 1

其中，若以圖

2-3-2

之橢圓形狀來命名則

b

為短軸，

a

為長軸。

由於非破壞性檢測因技術上緣故，只能測得短軸

b

的部份，因此 必須藉由長軸

a

的長度來推測裂縫幾何形狀。並由文獻得知裂縫比值 分別為

0.2

、

0.4

、

1

時，機率依次為

65%

、

25%

、

10

%，而發生比值為 零的情況極低【

15

】【

16

】，在本文不列入考量。

本文所探討的環向應力，經由

ANSYS

所得結果，如圖

( 2-2-6 )

至圖

( 2-2-9

)，再由

( 2-5 )

式修正，以滿足 ^{=⎛ ⎞}_{⎜ ⎟}

(

⁼

^{0,1,2 3} )

σ

_j ⎝ ⎠^z for j or b

之形式。並將修正之後的環向應力值，代入

( 2-6 )

式【

14

】獲得低壓 汽機鍵槽

( keyway )

區域的應力強度因子

( K

_I

)

分布情形：

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=

σ π

⎛ ,

φ

R , t t ,b a F b Q

K_{I hoop} b _i

，

^{Q = + 1 1.464} ( ) ^b _a

^1.65

( 2-6 )

其中，

σ

_hoop

:

環向應力

( ksi )

F_i

:

邊界校正因子

( Boundary-correction factor )

b

、

a

: 短軸長、長軸長

( in )

t

:厚度

( in )

R

:轉軸半徑

( in )

φ

: a 與 b 之夾角

2-5 材料破裂韌度 ( Fracture Toughness )

以本文所探討的條件而言，材料本身的破裂強度與環境溫度有很 大的相關性，因此可以將其關係對應成“Hyperbolic tangent cure＂，

如圖( 2-5-1 )。我們以( 2-7 )式簡化之【17】：

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= C

T - Btanh T A

K_IC ⁰ ( 2-7 )

其中， A、B、C 為經驗常數 T : 工作溫度(^oC)

T₀ : 材料臨界溫度( Fracture appearance transition temperature ,FATT ) ( C ) ^o

2-6 裂縫成長速率

影響低壓汽機的裂縫成長主因，是來自於應力腐蝕裂痕 ( stress corrosion cracking，SCC ) 。由於核能發電廠需要高壓蒸汽推動葉片，

使汽機作功以切割磁力線進行發電，使得汽機在潮濕環境下運轉，使 得 SCC 成為最主要因素。根據文獻，本文使用美國核能管制機構 ( Nuclear Regulatory Commission，NRC ) 所認可的 Westinghouse research【18】的方程式：

由( 2-8 )式可將 Paris 和 Erdogan 所提出的理論( 2-3 )式【11】，替 換為對時間方程式以求得殘留壽命。

y 1 0.0278

T - 7320 dt C

ln da ⎟+

σ

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ( 2-8 )

C :

1 平均數，約-4.968

T :

運轉時的溫度(^o

R )

y

:

σ

屈服強度

( ksi )

: dt

da

裂縫成長速率，

inches/hour

其中，

2-7 預估壽命時間方法

求得增長速率之後便可以估算應力腐蝕下的壽命。一般我們給定 的關係式為：

da/dt a -

t

_rem =

a

^{cr i}

( 2-9 )

:

a

_i 初始裂縫長度

( initial crack size ) da/dt :

裂縫成長速率

( crack growth rate )

:

a

_cr 臨界裂縫長度

( critical crack size )

其中，

2-8 評估風險 ( Risk-Tolerance Considerations )

風險評估考量的依據，必須大量採用過去失敗的事件來統計，較 具有參考價值，其中以

Paradise

公司所使用的“

Bush curve

＂ 較 具有可靠度。“

Bush curve

＂是由

Dr. S. Bush

最早於

1978

年發表，

本節以

( 2-10 )

式作為模擬數值的依據，所使用的方程式表示如下

【

19

】：

^H ( ) ^T = ^0.119T

^0.57

( 2-10 )

T :

機運轉時間(年)

( ) T :

H

故障的可能程度(

%

) 其中，

2-9 蒙地卡羅法( Monte Carlo method )

本節主要介紹蒙地卡羅歷史背景，以及基本模擬原理，並運用其 涵義導用到我們所需要的變數，運用亂數作為與計算機之間的橋樑以 模擬真實狀況。

2-9-1 蒙地卡羅法的簡介

現在科學研究中經常是利用電腦產生均勻分佈於

[0, 1]

之間的 數，但早期最簡單方式是由賭場輪盤以機械方式產生亂數，這也是為 何以摩洛哥首都-蒙地卡羅(賭城)為名的緣故。

蒙地卡羅法是一種數值方法，利用亂數取樣

( random sampling )

模擬來解決數學問題。一般公認蒙地卡羅方法一詞為著名數學家

John von Neumann

等人於

1949

年一篇名為「

The Monte Carlo

method

」所提出。其實，此方法的理論基礎於更早時候已為人所知，

只不過用手動產生亂數來解決問題，是一件費時又費力的繁瑣工作，

必須等到電腦時代，使此繁複計算工作才變得實際可執行。

舉凡所有具有隨機效應的過程，均可能以蒙地卡羅方法大量模擬 單一事件，藉統計上平均值獲得某設定條件下實際最可能測量值。現 今此方法已被應用在許多領域中，例如品質和可信度估算、輻射粒子 在物質中遷移運動、社會科學人口變遷和天文物理等問題。

2-9-2 蒙地卡羅方法基本原理

蒙地卡羅方法的基本原理是將所有可能結果發生的機率，定義出 一機率密度函數。將此機率密度函數累加成累積機率函數，調整其值 最大值為 1，此稱為歸一化

( Normalization )

。這也將正確反應出所 有事件出現的總機率為

1

的機率特性，這也為亂數取樣與實際問題模 擬建立起連結。也就是說我們將電腦所產生均勻分佈於

[0, 1]

之間

的亂數，透過所欲模擬的過程所具有機率分佈函數，模擬出實際問題 最可能結果。

在物理上，若某一能量光子與物質主要有光電效應、康卜頓效應 和成對發生三種反應，且其發生機率分別為

38%

、

50%

與

12%

。我們 可設定亂數取樣值，若為

0~ 0.38

，則光子與物質產生光電效應。以 此類推，若亂數值為

0.38 ~ 0.88

，則為康卜頓效應，

0.88 ~ 1

則為成 對發生。如此，我們就近似模擬了光子與物質反應過程【20】。

因此,以蒙地卡羅模擬法

( Monte Carlo Simulation, MCS )

的精 髓，吾人在此針對低壓汽機相關數學式，選定並模擬出十三種變因，

企圖模擬汽輪機運轉時裂縫成長真實的情形：

一、強度因子的誤差 二、輪軸過轉的可能性 三、材料臨界溫度

( FATT )

四、材料韌度的相關係數 五、無預先暖溫下鍵槽的溫度 六、無預先暖溫下鍵槽的

K

_IC 七、事先暖溫鍵槽的溫度

八、事先暖溫鍵槽的

K

_IC 九、裂縫模組的選擇 十、初始裂縫的大小

十一、應力腐蝕成長相關係數 十二、應力腐蝕均裂下鍵槽溫度 十三、應力腐蝕均裂下的屈服強度

2-10 隨機亂數 ( Random numbers )

隨機亂數

( Random numbers )

是所有離散式事件模擬最基本的成 分，被用來隨機產生事件的時間及其他統計上的隨機變數

( Random

variables )

。目前所有模擬語言與模擬器少不了隨機亂數，且已成為

內定函數，藉由此函數功能以產生隨機變數。隨機亂數直接影響模擬 結果的隨機性，所以亂數必須滿足均勻性

( uniformity )

與獨立性

( independence )

，這兩項重要的統計性質。

2-10-1 隨機亂數的性質

1.

均勻分配機率密度函數為

1 1

( )

f x

0

x

( )

^x

{

¹_{0 othe}^{0 x} _rwise¹

f = ≤ ≤

2.

每一 的期望值 x_i

( )

2 1 2

1 0 1 2

0

= =

= ∫

^{xdx x}

x E

3.

變異數為

( ) [ ( ) ]

12 - ² = 1

=

∫

^{x dx E x}

x

V ¹

0 2

2-11 亂數產生器

目前許多編譯器都有內建的亂數方便使用者呼叫之，但是本論文 為了程式需求亂數量以防止亂數有了週期性，無法滿足獨立性與均勻 性質，因此寫出亂數產生器提供呼叫亂數。故本節主要概述產生亂數

的方法。

2-11-1 隨機亂數產生的方法

通常隨機亂數均由電腦所製造產生，我們稱為「隨機亂數產生器

( Random Number Generator )

」。目前被廣泛使用的方式為線性同餘法

( Linear Congruential Generator

，簡稱

LCG )

，在

1951

年由

Lehmer

所提出，是發展歷史較久的。其後為了全週期

( full period )

以避免隨 機數列快速重複而漸漸發展出

Mixed LCG

、

Multiplicative LCG

與

Prime Moduls Multiplicative LCG ( PMMLCG )

。本節使用業界常使用 的手法而選用

LCG

來作為亂數依據。

在線性同餘法中，選擇一個很大的質數

M

，然後按照遞回方程式

( 2-11 )

式，創造出在

0

至

M-1

間之一連串整數群。

Y

_i+1

= [ AY

_i

+ C ] MOD M

( 2-11 )

C :

增加量

( increment )

A :

固定乘數

( constant multiplier )

0

:

Y

種子值

( seed )

一開始的起始值 ，稱為種子值

( seed )

，是事前給定的，其他 的數列則是依種子數，利用

( 2-11 )

式循序製造出來。 線性同餘法的

虛擬隨機亂數

Numbers )

: ，則是靠著

將 的數正規化到

0

至

1

之間得來的，即 Y0

( Pseudo-Random R

₀

, R

₁

, R

₂

,...R

_i

Yi

M

R_i = Yⁱ 對所有的

i

值 。

而整個數列所產生的週期

per ( ) R

_i ，將會滿足

per R ( )

i

≤ M

的條件，

且在某些的狀況之下，

per R ( )

i 與

M

將會相等。

2-12 逐週計算法 ( Cycle-by-Cycle Evaluation )

計算其裂縫的成長情形，有幾種方法可以用來預估裂縫的成長:

逐 週 計 算 法

(Cycle-by-Cycle Evaluation)

、 等 效 常 振 幅 負 荷 法

( Equivalent Constant Amplitude Load )

等等，在此吾人採取逐週計算 法

( Cycle-by-Cycle Evaluation )

涵義的方式。在本文中使用應力強度 因子距與裂縫的關係由第

n

次循環所造成的裂縫成長量，再與初始的 裂縫長度相加，即可得

M :

模數

( modulus ) Y ,A,C,M

₀ ,皆為整數

a

_n

= a

₀

+ Δ a

_n

( 2-12 )

其中，

a

_n

:

循環第

n

次時的臨界裂縫

a

₀

:

初始裂縫長

Δ a

_n

:

循環第

n

次時的裂縫增加量

第三章 分析方法

將模擬方法特別寫在此章目的，是期待讀者們在進行閱讀時能 夠更加快速明瞭模擬過程並加以運用在其他相關研究，以增加本文 貢獻度。吾人要著手進行模擬某種物理現象之前，首先必先要有針 對此物理現象可以合理解釋的數學式，並且必須相當明瞭該如何求 解之過程，再從過程中尋找實際中的不確定因素以決定所要模擬的 變因。

以本文為例，吾人為求殘留壽命必定要先決定出可以合理解釋 的數學式，本章以( 2-9 )式表示之。再由此式，因條件因素而必須 運用( 2-8 )式，求出裂縫成長速率；並以( 2-6 )式與( 2-7 )式之關係，

運用破壞力學之原理及( 2-12 )式獲得臨界裂縫值；而初始裂縫是由 非破壞性檢測的方法測得。因此有了裂縫成長速率，臨界裂縫和初 始裂縫這三種要素，可得( 2-9 )式之殘留壽命。

明瞭求解過程之後，後續動作是決定亂數並模擬之。按本文為 例，決定以十三種變因模擬，藉由模擬亂數，盡可能逼近實際的實境，

模擬低壓汽機運轉時，鍵槽( keyway )部位的機率壽命值。模擬變因

的方法，吾人以蒙地卡羅模擬法，並配合( 2-11 )式所產生的亂數，以 控制本文中所決定變因的標準偏差，進而模擬滿足常態分布、對數常 態分布的物理現象【20】。屬於其他分布者，如針對電子元件，其於 隨機故障期間，失效率幾乎維持一常數，故以指數分布描述其可靠度 退化最恰當【21】；或者針對電源開關的計數衝擊式失效型態的可靠 度，適合以伽瑪分布描述【22,23】…等以上與本文選定之變因無關 者，皆須引用其他方法途徑，在此因偏離主題不詳細說明，請詳見其 他文獻，如【20】。

3-1 程式流程簡介

上文敘述之模擬方法適用於任何程式語言撰寫，本文採用 Fortran 語言並使用 Visual Fortran 6.0 進行編譯( compile )。吾人使 用 10000 次的模擬，獲得 筆數據，以作為破壞機率的樣本。基 本架構大致上為：先輸入所需的資料後，模擬亂數並設定範圍，再 定義符合物理意義的數學式並運算之，求解之後再重新模擬，循環 一共一萬次後輸出資料。由於撰寫程式方法，每人習慣皆有所不 同，因此本節以程式流程圖方式呈現，供給程式設計者參考之，詳 見下頁流程圖。

104

輸入資料

設定亂數範圍 0~100

模擬亂數值並選取亂數

計算裂縫的物理性質 如溫度，KIC..等

模擬可能的裂縫模組

計算不同轉速下的裂縫大小

SCC 下的裂縫成長速率

預估壽命

輸出資料 10 次的循環模擬 4

第四章 結果討論與分析

4-1 應力分析比較

ANSYS 分析所得的數據，由圖 2-2-6 至圖 2-2-9 中，明顯看出 應力分布情形，由軸孔內往外所承受的應力值應越來越小。所以由圖 的結果情形來觀察，轉軸與輪盤銜接處承受著最大環向應力，因此極 容易產生裂痕，這與實際上發生裂痕位置相符，亦滿足物理性質。

在本節主要討論解析解之力學計算與 ANSYS 分析所得結果之間 的差異性，以了解有限元素法與解析解之力學計算兩者之間的差異 性。解析解依據採用環向應力公式以重疊法計算之：

σ

_hoop

= σ

_θ

+ σ

_shrink ( 4-1 )

其中，

σ

_θ

:

轉速造成的環向應力

σ

_shrink : 轉子與輪盤套縮 ( shrink-on ) 的環向應力

( )

( )

2 2 2

2 2 2 1 2

2 1 2 1

3 2 1 2

1 8 3 2

⎡ − ⎤

= − − ⎢ ⎣ + + − − ⎥ ⎦

θ

υ ρω υ

σ υ υ

R R R R R

r

( 4-2 )

其中， _{1 2}: 分別為內、外徑 :

r , R R

徑向距離

ρ :

0.283 ( lb/in³)

ω

: 轉速 ( rad/sec )

υ

: 波松比

( )( )

( )

2 2 2 2

2 1 1

2 2 2

1

2

1 2

⎡ − − ⎤

= ⎢

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

σ

_shrink

^E δ ^{R R R a}

R R R a ⎥

( 4-3 )

其中， :E 楊氏係數

:

δ

軸向嵌合長 ( radial interference )

a = 0 （為求保守，令值為零，表示輪軸為實心 ，見圖 4-1-1）

吾人將( 4-2 )式與( 4-3 )式代入( 4-1 )式所得之結果與 ANSYS 分 析數據比較，詳見表 4-1-2，此表為鍵槽部分(轉子與輪盤接合處)的 環向應力值。對解析解而言，是將一定大小的力平均作用在每一個位 置，即以

r

=

R

₁計算，而 ANSYS 是以有限元素法的原理將物體元素

化計算之，因此就同一部位而言每個元素承受的應力皆不是相同的數 值。從表中可以觀察到 ANSYS 分析結果普遍比解析解來的高且誤差 值在可接受範圍內，因此本文採用 ANSYS 分析的結果以求得較保守 的應力強度因子。由此可知對解析解而言，若已知公式的前提下，其 優點比較簡便，方便於現場評估；萬一無法得知解析解方法時，便可 以使用 ANSYS 分析軟體，建構模型完成之後，輸入值的部份只需改 變( 2-4 )式的

σ

_b值即可，因此其便利性極高。

4-2 應力強度因子與裂縫模組之比較

由(2-6)式所得到數據可從圖 4-2-1 至圖 4-2-4 的應力強度因子與 裂縫長比較圖中可以得知：當比值為 0.2 時，應力強度因子最大；比 值為 1.0 時，應力強度因子最小。換句話說，當裂縫形狀越趨向半圓 形，危險性與其他裂縫模組比例相比相對較低，亦符合物理意義。

4-3 壽命分析比較

本文以非破壞性檢測觀察到的裂縫長為約 0.12in，則為了保守起 見將範圍往後延伸觀察值，如 0.25in、0.34in、0.45in、0.55in、0.66in，

共六種初始裂縫分析其壽命，其評估結果如表 4-3-1~表 4-3-6：起始 裂縫長度越長其殘留壽命也越短，所出來的數據相當滿足物理性質。

另外從圖 4-3-7 至圖 4-3-24 中觀察趨勢，若低壓汽機要停機或運轉之 前，有事先控制工作溫度再進行停機的確可以延長汽機鍵槽服務的時 間，亦符合實際上情況。若以10⁻³的破壞機率為準則，可以比較出表 4-3-25 與表 4-3-26 之結果，由表 4-3-25 可以得到大約每增加 0.1in 的 裂縫，鍵槽壽命減少了約 3.9 個月；由表 4-3-26 得知壽命減少了 5.6 個月，同理亦可以知道暖機與否相差約 2 月之多，隨著裂縫增長，其 服務時間相差越長，沒有事先暖機機組維修次數與成本相對也越多，

在此更可以了解到暖機的重要性質，故減少緊急狀況快速停機的次數 也是發電廠重要的課題。

第五章 結論與後續研究

本研究的主旨是對低壓汽機轉軸鍵槽之破壞機率分析，嘗試以蒙 地卡羅法盡可能模擬汽機運轉時裂縫成長之情形，並將其結果數據加 以探討，經過前面幾章討論我們可以整理出以下結論與後續:

1. 在 ANSYS 分析上，採用 3-D 化簡為 2-D 型態的方式，其 轉軸與輪盤為對稱性結構，以力學觀點來看裂縫增長原 因，是因為環向應力造成，而此方向滿足化簡條件。

2. 在變數上，本論文針對了裂縫長成長速率( 2-8 )公式的屈 服強度、工作溫度、與常數 作為變數模擬，其目的要讓 成長速率更趨向實際上發生情況。

C1

3. 同樣模擬( 2-7 )式之經驗常數、工作溫度與材料臨界溫度 (FATT)以及( 2-6 )式所得的應力強度因子K_I。

4. 以蒙地卡羅模擬裂縫模組及過轉可能性讓模擬更為真實。

5. 我們也模擬針對受溫度影響的 與外力造成的 ，判別 是否有大於 ，並以循環計數法( 2-12 )式求得臨界裂 縫長度，並以( 2-9 )式求得鍵槽的殘留壽命，因此本文所 描述之方法可以評估不同初始裂縫的殘留壽命，增加了

KIC K_I KI K_IC

“ Bush curve ＂所沒有辦法評估的功能。

6. 此研究方法主要可以模擬出:

(1) 臨界裂縫尺寸 (2) 初始裂縫長度 (3) 裂縫增長速率 (4) 殘留壽命 (5) 破壞機率分布

7. 我們總共循環 10000 次，累積計算破壞的次數，目的是以 作為最低破壞機率，耗時約 8 秒，看電腦系統需求而 定，在評估壽命上節省相當多時間。

10⁻4

8. 在使用蒙地卡羅法時，針對不同的變數以選取適當標準 差，否則會影響壽命評估的結果，在此採三個標準差作為 亂數選取，降低亂數極值產生的可能。

9. 此篇論文敘述如何運用已知描述物理現象的數學式及如 何產生亂數的方法將此兩項做連結，作為真實行為的橋樑 進而模擬之，期待往後能夠發展出一套模擬方法，用在不 同的現象。

圖 1-1 發電機組運作流程圖 (摘自 林口核能訓練中心)

圖 1-2 MSR 系統示意圖 (摘自【24】)

x y

z

低壓汽機轉子 低壓汽機輪盤 鍵槽（keyway）

R

1

R

2

( A ) 上視圖

z

y

x

( B ) 3-D 側視圖

圖 1-3 鍵槽示意圖

r θ

z y

x

σ

x

σ

y

圖 2-1-1 裂縫尖端附近應力場之座標系統

圖 2-1-2 疲勞週次增長速率(da/dN) 與 KΔ 關係 (摘自 Paris，1972)

結果研判 工程問題

獲取材料機械性質及幾何條 件、負荷

給予邊界條件 負荷條件

時間變化情形 建立有限元素模型

分析結果顯示、列印 分析

是否提出改進方法

問題解決或得到最佳設計 合理 不合理

有限元素程式

前處理 (Preprocessing)

解題 (Solution)

後處理 (Postprocessing)

圖 2-2-1 有限元素分析之流程圖【12】

圖 2-2-2 鍵槽與輪盤示意圖 ( A ) 圖 2-2-3 鍵槽與輪盤示意圖 ( B )

42

圖 2-2-4 建構圖模型

93.948 in 35.32 in

30.752 in 低壓汽機轉子 低壓汽機輪盤

圖 2-2-5 有限元網格資料圖

圖 2-2-6 環向應力分布圖(900 RPM)

圖 2-2-7 環向應力分布圖(1800 RPM)

圖 2-2-8 環向應力分布圖(1980 RPM)

圖 2-2-9 環向應力分布圖(2160 RPM)

圖 2-2-10 ANSYS 流程圖 給定邊界條件

運算 給定材料性質

建構幾何與元素

x R

圖 2-3-1 鍵槽示意圖

t

R

b

2a

φ

圖 2-3-2 裂縫模組

Temperature K

A

B

B

C

圖 2-5-1 破壞韌度 對 溫度曲線圖

a R

2

R

1

δ

圖 4-1-1 輪軸轉子 示意圖

KSI FEM 解析解

900RPM 46.42 40.83 1800RPM 59.27 55.72 1980RPM 63.78 59.88 2160RPM 65.59 64.45

表 4-1-2 環向應力解

圖 4-2-1 應力強度因子 對 裂縫增長量 (900RPM)

圖 4-2-2 應力強度因子 對 裂縫增長量 (1800RPM)

圖 4-2-3 應力強度因子 對 裂縫增長量 (1980RPM)

圖 4-2-4 應力強度因子 對 裂縫增長量 (2160RPM)

0.12in 無預溫條件下 預溫條件下

時間(年) 次數 累積次數 破壞機率 次數 累積次數 破壞機率

1 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

2 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

3 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

4 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

5 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

6 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

7 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

8 1 1 1.00E-04 0 0 0.00E+00

8.5 1 2 2.00E-04 0 0 0.00E+00

9 4 6 6.00E-04 1 1 1.00E-04

9.5 2 8 8.00E-04 1 2 2.00E-04

10 6 14 1.40E-03 2 4 4.00E-04

10.5 13 27 2.70E-03 1 5 5.00E-04

11 15 42 4.20E-03 5 10 1.00E-03

11.5 21 63 6.30E-03 8 18 1.80E-03 12 28 91 9.10E-03 15 33 3.30E-03 12.5 17 108 1.08E-02 12 45 4.50E-03 13 18 126 1.26E-02 24 69 6.90E-03 13.5 24 150 1.50E-02 17 86 8.60E-03 14 27 177 1.77E-02 25 111 1.11E-02 14.5 29 206 2.06E-02 10 121 1.21E-02 15 34 240 2.40E-02 17 138 1.38E-02 15.5 25 265 2.65E-02 26 164 1.64E-02 16 50 315 3.15E-02 24 188 1.88E-02 16.5 30 345 3.45E-02 31 219 2.19E-02 17 38 383 3.83E-02 28 247 2.47E-02 17.5 42 425 4.25E-02 28 275 2.75E-02 18 43 468 4.68E-02 34 309 3.09E-02 18.5 39 507 5.07E-02 38 347 3.47E-02 19 40 547 5.47E-02 34 381 3.81E-02 19.5 55 602 6.02E-02 34 415 4.15E-02 20 47 649 6.49E-02 43 458 4.58E-02

表 4-3-1 破壞機率( 0.12in )

0.25in 無預溫條件下 預溫條件下

時間(年) 次數 累積次數 破壞機率 次數 累積次數 破壞機率

1 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

2 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

3 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

4 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

5 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

6 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

7 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

7.5 1 1 1.00E-04 0 0 0.00E+00

8 1 2 2.00E-04 0 0 0.00E+00

8.5 4 6 6.00E-04 1 1 1.00E-04

9 2 8 8.00E-04 1 2 2.00E-04

9.5 6 14 1.40E-03 1 3 3.00E-04

10 15 29 2.90E-03 4 7 7.00E-04

10.5 17 46 4.60E-03 3 10 1.00E-03

11 25 71 7.10E-03 11 21 2.10E-03

11.5 24 95 9.50E-03 13 34 3.40E-03 12 21 116 1.16E-02 14 48 4.80E-03 12.5 22 138 1.38E-02 23 71 7.10E-03 13 22 160 1.60E-02 22 93 9.30E-03 13.5 29 189 1.89E-02 18 111 1.11E-02 14 33 222 2.22E-02 16 127 1.27E-02 14.5 34 256 2.56E-02 24 151 1.51E-02 15 37 293 2.93E-02 22 173 1.73E-02 15.5 39 332 3.32E-02 31 204 2.04E-02 16 40 372 3.72E-02 29 233 2.33E-02 16.5 41 413 4.13E-02 27 260 2.60E-02 17 45 458 4.58E-02 34 294 2.94E-02 17.5 40 498 4.98E-02 38 332 3.32E-02 18 45 543 5.43E-02 37 369 3.69E-02 18.5 57 600 6.00E-02 35 404 4.04E-02 19 52 652 6.52E-02 41 445 4.45E-02 19.5 41 693 6.93E-02 37 482 4.82E-02 20 64 757 7.57E-02 35 517 5.17E-02

表 4-3-2 破壞機率( 0.25in )

0.34in 無預溫條件下 預溫條件下

時間(年) 次數 累積次數 破壞機率 次數 累積次數 破壞機率

1 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

2 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

3 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

4 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

5 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

6 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

7 1 1 1.00E-04 0 0 0.00E+00

7.5 0 1 1.00E-04 0 0 0.00E+00

8 5 6 6.00E-04 0 0 0.00E+00

8.5 2 8 8.00E-04 1 1 1.00E-04

9 2 10 1.00E-03 2 3 3.00E-04

9.5 13 23 2.30E-03 3 6 6.00E-04

10 19 42 4.20E-03 3 9 9.00E-04

10.5 19 61 6.10E-03 7 16 1.60E-03

11 34 95 9.50E-03 14 30 3.00E-03

11.5 17 112 1.12E-02 16 46 4.60E-03 12 24 136 1.36E-02 19 65 6.50E-03 12.5 24 160 1.60E-02 26 91 9.10E-03 13 28 188 1.88E-02 19 110 1.10E-02 13.5 34 222 2.22E-02 15 125 1.25E-02 14 42 264 2.64E-02 27 152 1.52E-02 14.5 31 295 2.95E-02 19 171 1.71E-02 15 37 332 3.32E-02 34 205 2.05E-02 15.5 46 378 3.78E-02 31 236 2.36E-02 16 47 425 4.25E-02 28 264 2.64E-02 16.5 42 467 4.67E-02 39 303 3.03E-02 17 41 508 5.08E-02 34 337 3.37E-02 17.5 49 557 5.57E-02 38 375 3.75E-02 18 64 621 6.21E-02 33 408 4.08E-02 18.5 43 664 6.64E-02 48 456 4.56E-02 19 57 721 7.21E-02 37 493 4.93E-02 19.5 64 785 7.85E-02 30 523 5.23E-02 20 56 841 8.41E-02 44 567 5.67E-02

表 4-3-3 破壞機率( 0.34in )

0.45 無預溫條件下 預溫條件下

時間(年) 次數 累積次數 破壞機率 次數 累積次數 破壞機率

1 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

2 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

3 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

4 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

5 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

6 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

7 1 1 1.00E-04 0 0 0.00E+00

7.5 4 5 5.00E-04 0 0 0.00E+00

8 3 8 8.00E-04 1 1 1.00E-04

8.5 4 12 1.20E-03 1 2 2.00E-04

9 10 22 2.20E-03 4 6 6.00E-04

9.5 22 44 4.40E-03 3 9 9.00E-04

10 21 65 6.50E-03 5 14 1.40E-03

10.5 31 96 9.60E-03 15 29 2.90E-03 11 16 112 1.12E-02 17 46 4.60E-03 11.5 28 140 1.40E-02 21 67 6.70E-03 12 27 167 1.67E-02 25 92 9.20E-03 12.5 25 192 1.92E-02 19 111 1.11E-02 13 35 227 2.27E-02 16 127 1.27E-02 13.5 40 267 2.67E-02 26 153 1.53E-02 14 42 309 3.09E-02 23 176 1.76E-02 14.5 43 352 3.52E-02 29 205 2.05E-02 15 51 403 4.03E-02 38 243 2.43E-02 15.5 37 440 4.40E-02 25 268 2.68E-02 16 50 490 4.90E-02 43 311 3.11E-02 16.5 50 540 5.40E-02 42 353 3.53E-02 17 64 604 6.04E-02 36 389 3.89E-02 17.5 44 648 6.48E-02 39 428 4.28E-02 18 64 712 7.12E-02 41 469 4.69E-02 18.5 58 770 7.70E-02 43 512 5.12E-02 19 60 830 8.30E-02 34 546 5.46E-02 19.5 67 897 8.97E-02 56 602 6.02E-02 20 58 955 9.55E-02 53 655 6.55E-02

表 4-3-4 破壞機率( 0.45in )

0.55 無預溫條件下 預溫條件下

時間(年) 次數 累積次數 破壞機率 次數 累積次數 破壞機率

1 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

略

4 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

5 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

6 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

6.5 1 1 1.00E-04 0 0 0.00E+00

7 5 6 6.00E-04 0 0 0.00E+00

7.5 2 8 8.00E-04 1 1 1.00E-04

8 3 11 1.10E-03 2 3 3.00E-04

8.5 10 21 2.10E-03 2 5 5.00E-04

9 20 41 4.10E-03 4 9 9.00E-04

9.5 21 62 6.20E-03 4 13 1.30E-03

10 25 87 8.70E-03 14 27 2.70E-03

10.5 28 115 1.15E-02 16 43 4.30E-03 11 30 145 1.45E-02 21 64 6.40E-03 11.5 22 167 1.67E-02 24 88 8.80E-03 12 33 200 2.00E-02 22 110 1.10E-02 12.5 42 242 2.42E-02 20 130 1.30E-02 13 34 276 2.76E-02 29 159 1.59E-02 13.5 43 319 3.19E-02 17 176 1.76E-02 14 44 363 3.63E-02 38 214 2.14E-02 14.5 50 413 4.13E-02 37 251 2.51E-02 15 45 458 4.58E-02 31 282 2.82E-02 15.5 56 514 5.14E-02 39 321 3.21E-02 16 52 566 5.66E-02 41 362 3.62E-02 16.5 60 626 6.26E-02 36 398 3.98E-02 17 61 687 6.87E-02 43 441 4.41E-02 17.5 52 739 7.39E-02 44 485 4.85E-02 18 70 809 8.09E-02 43 528 5.28E-02 18.5 65 874 8.74E-02 46 574 5.74E-02 19 66 940 9.40E-02 59 633 6.33E-02 19.5 64 1004 1.00E-01 46 679 6.79E-02 20 79 1083 1.08E-01 47 726 7.26E-02

表 4-3-5 破壞機率( 0.55in )

0.66 無預溫條件下 預溫條件下

時間(年) 次數 累積次數 破壞機率 次數 累積次數 破壞機率

1 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

略

4 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

5 0 0 0.00E+00 0 0 0.00E+00

6 1 1 1.00E-04 0 0 0.00E+00

6.5 4 5 5.00E-04 0 0 0.00E+00

7 3 8 8.00E-04 1 1 1.00E-04

7.5 3 11 1.10E-03 1 2 2.00E-04

8 9 20 2.00E-03 3 5 5.00E-04

8.5 20 40 4.00E-03 4 9 9.00E-04

9 24 64 6.40E-03 4 13 1.30E-03

9.5 29 93 9.30E-03 12 25 2.50E-03 10 24 117 1.17E-02 21 46 4.60E-03 10.5 35 152 1.52E-02 17 63 6.30E-03 11 25 177 1.77E-02 28 91 9.10E-03 11.5 30 207 2.07E-02 24 115 1.15E-02 12 45 252 2.52E-02 18 133 1.33E-02 12.5 39 291 2.91E-02 28 161 1.61E-02 13 48 339 3.39E-02 23 184 1.84E-02 13.5 54 393 3.93E-02 37 221 2.21E-02 14 49 442 4.42E-02 36 257 2.57E-02 14.5 46 488 4.88E-02 38 295 2.95E-02 15 56 544 5.44E-02 40 335 3.35E-02 15.5 67 611 6.11E-02 42 377 3.77E-02 16 68 679 6.79E-02 47 424 4.24E-02 16.5 56 735 7.35E-02 36 460 4.60E-02 17 63 798 7.98E-02 55 515 5.15E-02 17.5 63 861 8.61E-02 41 556 5.56E-02 18 76 937 9.37E-02 60 616 6.16E-02 18.5 72 1009 1.01E-01 56 672 6.72E-02 19 68 1077 1.08E-01 49 721 7.21E-02 19.5 84 1161 1.16E-01 54 775 7.75E-02 20 76 1237 1.24E-01 51 826 8.26E-02

表 4-3-6 破壞機率( 0.66in )

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

N O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAAAA AA

A AA

A A

AA A

AA A

A A

A A

AA AA

A

A

圖 4-3-7 評估壽命 與 破壞次數(0.12in,無預溫下)

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

S O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA A

A A

A A

A A

A A

A A

A AA

A A

AA A

圖 4-3-8 評估壽命 與 破壞次數（0.12in,預溫下）

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 20.00 40.00 60.00

N O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAAA AA

A AA

AA AAA

A AA

AAAA A

A A

A A

A A

圖 4-3-9 評估壽命 與 破壞次數(0.25in,無預溫下)

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

S O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAAAAAA AA

A AA

AA

A A

A A

A A

A A

AA A

A A

A

圖 4-3-10 評估壽命 與 破壞次數（0.25in,預溫下）

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 20.00 40.00 60.00

N O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAA A

AA A

AA A

A AA

A A

A

A A

AA AA

A A

A A

A A

圖 4-3-11 評估壽命 與 破壞次數(0.34in,無預溫下)

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

S O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA A

AA A

A

A A

A

A A

A A

A A

A A

A

A

A A

圖 4-3-12 評估壽命 與 破壞次數（0.34in,預溫下）

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 20.00 40.00 60.00

N O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAA AAA

A AA

A

A AAA

A AAA

A

A AA

A

A A

AA A

A

圖 4-3-13 評估壽命 與 破壞次數(0.45in,無預溫下)

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

S O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAA

AA A

A

A A

A A

A A

A AA

A AAA

A A

A

圖 4-3-14 評估壽命 與 破壞次數（0.45in,預溫下）

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 25.00 50.00 75.00

N O _ T I M

AAAAAAAAAAAAA AAA

A AA

AAA A

A A

A AA

A A

A A

AA A

A AAA

A

圖 4-3-15 評估壽命 與 破壞次數(0.55in,無預溫下)

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 20.00 40.00 60.00

S O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAAAAAA AA

A AA

A A

A AA

A AA

A AAA

A A

AA

圖 4-3-16 評估壽命 與 破壞次數（0.55in,預溫下）

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 25.00 50.00 75.00

N O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAA A

A A

A A

A A

A A

A A

A AA

A AA

A AA

A A

A A

A

圖 4-3-17 評估壽命 與 破壞次數(0.66in,無預溫下)

0.00 5.00 10.00 15. 00 20.00

Y EA R

0.00 20.00 40.00 60.00

S O _ T I M

AAAAAAAAAAAAAAA AAA

A A

A A

A A

A A

AAAAA A

A A

A A

A A

A A

圖 4-3-18 評估壽命 與 破壞次數（0.66in,預溫下）