千方百列，全數消滅！ -特殊數列與數字方塊的關係

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科 別：數學科 組 別：國中組

作品名稱：千方百列，全數消滅！ -特殊數列與數字方塊的關係 關 鍵 詞：數列、數字方塊

編 號：

製作說明：

1.說明書封面僅寫科別、組別、作品名稱及關鍵詞。

2.編號由金門縣教育處與承辦單位統一編列。

3.封面編排由參展作者自行設

摘要

此研究以各數列及正方形方塊的關係作為主軸，分別舉列等差數列、階級等差數列、等 比數列、費式數列的延伸 1、費式數列的延伸 2、數字平方數列、調和數列作為實驗對象，

並利用 Excel 作為計算工具以便快速取得結果，使用 GeoGebra 作為繪圖工具以及製作證明 程式，最後以圖片觀察，發現各數列與方塊層數及最內層相同數字的關係，並探討與證明不 符合的數列的原因。

壹、研究動機

有一天，老師上藝數悠遊課時，發予我們每人一張空白紙張，要我們畫下一個正方形，

並在四角各寫上任一數字，並相減於線段中點，形成更多的正方形，直到四角數字均相等為 止。一開始我們都不太相信數字都會變得一樣，隨便設了四個數字開始相連，沒想到到了最 後數字居然都變得一樣了。和別人比照了一下，發現雖然我們在外層所設的數字不同，但不 管是任何人，在最內層的數字都會變成一樣的，除了最內層的數字大小不同和正方形層數不 同以外，因此我們便很好奇， 想要了解更多有關正方形遊戲的事情。

貳、研究目的

一、 探討費式、等差數列放在數字方塊上的層數規律 二、 研究分數之間的層數關係

參、遊戲規則

一、 找出四個大於 0 的數字順時針各填在正方形的四角

二、 將鄰角的數字互減並取絕對值，結果填在角夾角的邊的中點處 三、 將四個終點連接形成完整的菱形(反轉 45 度的正方形)

四、 再把鄰角互減填入各邊中點，反覆 2、3 動作，直到各邊中點數字皆相同 五、 計算連接的正方形層數，並尋找數字與層數之間的關係

肆、研究數列

我們所研究的數列有 一、 等差數列 二、 階級等差數列 三、 等比數列 四、 費式數列 1 五、 費式數列的延伸 六、 數字平方數列 七、 調和數列

伍、運用工具

一、GeoGebra 二、紙、筆

陸、研究過程及方法

一、等差數列

我們選擇公差為 1、2、3、4、5、10、20，首項各為 1、2、10、20 的 等差數列來做舉例和測試。

首項 公

差 1 2 10 20

1

2

3

4

5

10

20

等差數列與方塊關係

公差 層數 最內層相同數字

1 5 2

2 5 4

3 5 6

4 5 8

5 5 10

10 5 20

20 5 40

𝒙

5

證明:

第一層 第二層 第三層 第四層 第五層

a1=n b1=k c1=2k d1=2k e1=2k

a2=k + n b2=k c2=0 d2=0 e2=2k a3=2 k+n b3=k c3=0 d32k e3=2k a4=3 k+n b4=3k c4=2k d4=0 e4=2k

在我們的測驗結果中顯示，任何等差數列若差為 1，則最內層數字(不包含四個數字皆為 0 的那層將會為 2，且層數皆為 5 層。若差為 2、3、4、5 之後不管任何數字，發現首相並不 會影響結果，只要是等差數列的正方形排列方式，正方形層數皆是 5 層，且最內層的四個相 同數字都會是最外層等差數列的差的 2 倍。

二、階級等差數列

階級等差是等差數列的進階版，將首項加上一等差數列的各項。例如:先假設新數列的 新首項為 1，再假設一個公差為 2 的等差數列 3、5、7，將新首項(1)加上此等差數列的首項 (3)，則得新數列的第二項(4)，接著將新數列第二項(4)加上原等差數列的第二項(5)，得到新 數列第三項(9)，以此類推第四項，可得一新階級等差數列 1、4、9、16。以這規律為基礎，

嘗試了更多的階級等差數列。

首項 原等 差數列

1 5 10 20

3 5 7

6 11 16

15 20 25

階級等差數列與方塊關係

原等差數列 原公差 層數 最內層相同數字

3、5、7 2 6 4

6、11、16 5 6 10

15、20、25 5 6 10

證明:

第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 第六層

a1=n b1=x c1=3 k+2 x d1=2 k+2 x e1=2x f1=2k

a2=n+x b2=k+x c2=k d2=0 e2=2k+2x f2=2k

a3=k + n + 2x b3=2 k+x c3=k d3=2x e3=2x f3=2k

a4=3k+n+ 3 x b4=3 k+3 x c4=k+2 x d4=2k e4=|2k-2x| f4=2k

嘗試過許多以階級等差數列為外層數字方塊，我們發現首項並不會影響結果，所有數字 方塊層數都會是六層，而且到了第二層，四邊中點的數字會直接變為原本的等差數列。從上 個實驗我們已經知道了等差數列一定都會是五層，而階級等差數列只是將另一數字在重新加 上，所以到了第二層又會變回原本的等差數列數字方塊，因此可得知所有的階級等差數列數 字方塊層數都將會是六層。在我們證明時，發現證明出的層數會變成 8 層，而再帶入數字後

，卻發現第五層 e4 會是負數，但在加入絕對值變成正數後，即可符合前面所推導的結果得 到 6 層。

三、等比數列

在等比數列中，從第二項開始，每項與其前一項的公比 r 均相等。例如:1、3、9、27，

首項為1，且公比為 3，形成公比數列。(n、nr、nr²、nr³)。

我們選擇1、2、3、4 為首項，個別以 2 和不為 2 的公比進行運算。

首項

公 比

1 2 3 4

2

3

4

5

10

20

等比數列與方塊關係

公比 層數 最內層相同數字

2 7 2𝑎₁× (𝑟 − 1)²

3 6

4 6

5 6

10 6

20 6

證明:

第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 第六層

a1=n b1=nr-n c1=nr³− nr d1=nr³− nr²+ nr − n e1=2 nr − 2 n f1=2 nr²− 4 nr + 2 n a2=nr b2=nr²− nr c2=nr²−

2 nr + n

d2=nr³− 3 nr²+ 3 nr − n e2=2 nr²− 2 nr f2=2 nr²− 4 nr + 2 n a3=nr² b3=nr³− nr² c3=nr³−

2 nr²+ nr

d3=|𝐧𝐫^𝟑− 𝟑 𝐧𝐫^𝟐+ 𝐧𝐫 + 𝐧|

e3=2 nr − 2 n f3=2 nr²− 4 nr + 2 n a4=nr³ b4=nr³− n c4=nr²− n d4=nr³− nr²− nr + n e4=2 nr²− 2 nr f4=2 nr²− 4 nr + 2 n

在實驗中，我們發現不管選擇任意數為首項，只要公比為2，則層數一定會是 7 層；反之 公比若不為2，則層數將會是 6 層。在公比為 2 時，我們發現第四層中，第三個數字(d3)會不同 於其他公比的第三個數字(d3)是由 c4-c3 得到正數，反而是求出 c3-c4 得到正數，因此公比為 2 的正方形的層數會不同於其他公比。

四、費式數列延伸 1

我們所定義的費式數列 1 是首相和第二項相同，且第三項為前兩項的和，第四項則為第 二項和第三項的和。(n、n、𝑛 + 𝑛、2𝑛 + 𝑛)。

數列 圖 數列 圖

1 1 2 3 10 10 20 30

2 2 4 6 20 20 40 60

3 3 6 9 25 25 50 75

4 4 8 12 30 30 60 90

5 5 10 15 35 35 70 105

費式數列延伸 1與方塊關係

數列 層數 最內層相同數字

1 1 2 3

4 𝑎₁

2 2 4 6 3 3 6 9 4 4 8 12 5 5 10 15 10 10 20 30 20 20 40 60 25 25 50 75 30 30 60 90 35 35 70 105

證明:

從更多實驗裡，我們觀察出在第二層方格中，四個數列會形成(0、 𝑛、n、2𝑛)，到了第三 層則會變為(n、0、n、2𝑛)，所有費式數列 1 的方塊層數都會是 4 層，且最內層的四個相同 數字會是費式數列 1 的首項。

五、費式數列的延伸 2

我們所定義費式數列的延伸 2 是首項和第二項為任意數字，而第三項是由第一項和第二 項的合，第四項則是第二項和第三項的合。(n、𝑛₂、𝑛 + 𝑛₂、𝑛 + 2𝑛₂)

第一層 第二層 第三層 第四層

a1=n b1=0 c1=2n d1=n

a2=n b2=n c2=n d2=n

a3=2 n b3=n c3=0 d3=n

a4=3 n b4=2n c4=n d4=n

𝑎₂₋𝑎₁

= 1

𝑎₁ 數

列 圖片 𝑎₁ 數

列 圖片

1 1 2 3 5

5 5 6 11 17

2 2 3 5 8

6 6 7 13 20

3 3 4 7 11

7 7 8 15 23

4 4 5 9 14

8 8 9 17 26

𝑎₂₋𝑎₁

= 2

𝑎₁ 數

列 圖片 𝑎₁ 數

列 圖片

1 1 3 4 7

5 5 7 12 19

2 2 4 6 10

6 6 8 14 22

3 3 5 8 13

7 7 9 16 25

4 4 6 10

16 8

8 10 18 28

𝑎₂₋𝑎₁

= 3

𝑎₁ 數

列 圖片 𝑎₁ 數

列 圖片

1 1 4 5 9

5 5 13 18 31

2 2 5 7 12

6 6 9 15 24

費式數列延伸 2^{與方塊關係(層數)}

首項 1 2 3 4 5 6 7 8

a2-a1=1 7 層 6 層 6 層 6 層 6 層 6 層 6 層 6 層 a2-a1=2 7 層 7 層 7 層 6 層 6 層 6 層 6 層 6 層 a2-a1=3 7 層 7 層 7 層 7 層 7 層 6 層 6 層 6 層 a2-a1=4 7 層 7 層 7 層 7 層 7 層 7 層 7 層 6 層

費式數列延伸 2與方塊關係(最內層相同數字)

首項 1 2 3 4 5 6 7 8

a2-a1=1 2 2 2 2 2 2 2 2

a2-a1=2 2 4 2 4 4 4 4 4

a2-a1=3 2 4 6 4 2 6 6 6

a2-a1=4 2 4 6 8 6 4 2 8

證明:

a b c d e f g

a1=n b1=k c1=k+2 n d1=3 n e1=2 n f1=0 g1=2 n a2=k + n b2=n

c2=|k-n|

3 3 6 9 15

7 7 10 17 27

4 4 7 11 18

8 8 11 19 30

從費式數列延伸 2 我們發現出當𝑎₂₋𝑎₁的結果不一樣時，最內層相同數字也會隨之產生 有規律地變化。而我們歸納出若𝑎₂₋𝑎₁ = 𝑦，則會產生 2y-1 個 7 層正方形，其餘則全為 6 層，且最內層相同的數字則會在 7 層正方形中改變，並在第 y 層中以及 2y 層以後呈現最大 相同數字 2y。

六、數字平方數列

數字平方數列是以【n²、(n + 1)²、(𝑛 + 2)²、(𝑛 + 3)²】所組成，從第二項起，每一項 的正平方根均會是前一項數字的正平方根加 1，如(1²、2²、3²、4²)會等同於(1、4、9、16)

數

列 圖片 數

列 圖片

1² 2² 3² 4²

6² 7² 8²

9²

2² 3² 4² 5²

7² 8² 9²

10²

3² 4² 5² 6²

8² 9² 10²

11²

4² 5² 6² 7²

9² 10² 11² 12²

5² 6² 7² 8²

10² 11² 12² 13²

數字平方與方塊關係

首項 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

層數 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

最內層相

同數字 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

證明:

第一層 第二層 第三層 第四層 第五層 第六層

a1=n² b1=k²+ 2 kn

c1=8 k²+ 4 kn

d1=6 k² + 4 kn e1=2 k²+ 4 kn f1=4 k² a2=(k + n)² b2=3 k²+

2 kn

c2=2 k² d2=0 e2=6 k²+ 4 kn f2=4 k² a3=4k²– 8kn b3=5 k²+

2 kn

c3=2 k² d3=2 k² + 4 kn e3=2 k²+ 4 kn f3=4 k² a4=(3 k +

n)²

b4=9 k²+ 6 kn

c4=4 k²+ 4 kn

d4=4 k²

e4=|𝟐 𝐤

在數字平方數列中，我們將 k 設為 1，所有的數字方塊都會是 6 層，並且內層數字均為 4，而從證明可推測出，只要數字平方數列的各項根號正數會形成等差數列，那此方塊層數 必定為 6，最內層相同數字則會為4 k²。在證明時我們發現到，原本證明的結果層數會成 8 層，後來我們則探討出在第五層的 e4 會呈負數，在加上絕對值後，便呈現我們原本的實驗 結果。

七、調和數列

調和數列是以一等差數列的四項作倒數呈現，也就是由四個分數的分母做規律變化而形

𝑛+1、 ¹

𝑛+2、 ¹

𝑛+3)作實驗，例如(¹₂、¹

3、¹

4、¹

5)。

首

項 圖片 首

項 圖片

1 1

1 6

1 2

1 7

1 3

1 8

1 4

1 9

1 5

1 10

調和數列與方塊關係

首項 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10

層數 6 9 7 7 7 7 7 7 7 7

內層 數字

12

n⁴+ 6n³+ 11n²+ 6n

證明:

第 一 層

a1=¹_n a2=_n+1¹ a3=_n+2¹ a4=_n+3¹ 第

二 層

b1=_n2¹_+n b2=_{n2+ 3n + 2}¹ b3=_{n2+ 5n + 6}¹ b4=_{n2+ 3n}³ 第

三 層

c1= ²

n²+ 4n + 3 c2= ²

n³+ 3n²+ 2n c3= ²

n³+ 6n²+ 11n + 6 c4= ²

n²+ 2n

第 四 層

d1=_{n2+ 4n + 3}² – ²

n³+ 3n²+ 2n d2=_{n4+ 6n3+ 11n}⁶ _{2+ 6n}

d3= ²

n²+2 n−

( ²

n³+6 n²+11 n+6)

d4=_{n2+ 2n}² – ²

n²+ 4n + 3

第 五 層

e1=_{n3+ 4n}^{2n – 6}_{2+ 3n} e2=_{n3+ 3n}^{2n – 4}_{2+ 2n} e3=_{n2+ 3n + 2}² e4=_{n2+ 5n + 6}² 第

六 層

f1= ⁴

n³+ 6n²+ 11n + 6 f2= ⁴

n³+ 3n²+ 2n f3= ⁴

n³+ 6n²+ 11n + 6 f4= ⁴

n³+ 3n²+ 2n

第 七 層

g1= ¹²

n⁴+ 6n³+ 11n²+ 6n g2= ¹²

n⁴+ 6n³+ 11n²+ 6n g3= ¹²

n⁴+ 6n³+ 11n²+ 6n g4= ¹²

n⁴+ 6n³+ 11n²+ 6n

當我們以分數為數列且以分母改變 1，發現只有以 1/1 和 1/2 當首項的方塊層數會不 同，像是 1/1 的方塊層數會是 6 層，而 1/2 的方塊層數則是 9 層，而其餘的層數全部都會為 7 層，因為在 1/1 和 1/2 的方塊中，第四層的 e1 都會是負數，若將其加上絕對值後，則證明 結果會由 7 層變為 6 層或 9 層。由 e1= ^{𝟐𝐧 – 𝟔}

𝐧^𝟑+ 𝟒𝐧^𝟐+ 𝟑𝐧可知，當 n＜3 時，e1 的分子會小於 0，因 此層數結果也會隨之改變，而最內層也無法符合 ¹²

n⁴+ 6n³+ 11n²+ 6n。

柒、研究結論

一、以等差數列為最外層且 n∈ ℕ，發現

(一)首項是a₁，公差是 k 則在第五層時，最內層的數字皆為 2k。

(二)故等差數列一定會是 5 層。

二、以階級等差數列為最外層且 n∈ ℕ，發現 (一)第二層的所有數字會變成原等差數列同。

(二)原等差數列的公差為 k 時，階級等差數列的第六層相同數字會為 2k。

(三)階級等差數列一定會是 6 層。

三、以等比數列為最外層且 n∈ ℕ，發現 (一) r=2 的數列正方形層數會是 7 層。

(二) r>2 的所有的正方形層數一定都會是 6 層，最內層相同數則會為 2 nr²− 4 nr + 2 n。

四、以費式數列延伸 1(n、n、𝑛 + 𝑛、2n + n)為最外層且 n∈ ℕ，發現 (一)數字會在第 4 層變為 n。

(二)費式數列層數一定為 4 層。

五、以費式數列延伸 2 為最外層且 n∈ ℕ，設 n 為第一項，發現

(一)若𝑎₂₋𝑎₁ = 𝑦，則會產生 2y-1 個 7 層正方形，若 a1>2y-1 則為 6 層。

(二)若 n=y，則最內層相同數字會是 2y。

(三)若 n>2y-1，則最內層相同數字會是 2y。

六、以數字平方數列為最外層且 n∈ ℕ，設k 為√𝑎2− √𝑎1

(一)最內層相同數字會為4 k²。

(二)數字平方數列層數，都會是 6 層。

七、以調和數列為最外層且 n∈ ℕ，設𝑎₁ = ¹

𝑛，並以 n 逐項加上 1 做變化，發現 (一)只有以 1/1 和 1/2 當首項的方塊層數會不同，1/1 為 6 層，1/2 為 9 層。

(二) n≥3 的最內層相同數字會為 ¹²

n⁴+ 6n³+ 11n²+ 6n。 (三) n≥3 的層數全部都會為 7 層。

捌、討論

在調和數列中，無法證明 1/1 和 1/2 的層數及最內層相同數字的公式，而在費式數列延 伸 2 中，無法以公式證明各首相與最內層相同數字的關係，後續研究可往此方向作延伸與探 討。

玖、參考資料

1. 中華民國 34 屆小學科學展覽優勝作品『數字方塊』。 2. 中華民國 45 屆國中科學展覽優勝作品『層出不窮』。

3. 中華民國 50 屆中小學科學展覽優勝作品『數字方塊尋極限』。

4. 中華民國 56 屆中小學科學展覽優勝作品『數理乾坤』。