圖示如右

101-1 共同考科 數學(S)卷

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101 學年四技二專第一次聯合模擬考試 共同考科 數學(S)卷 詳解

數學(S)卷

101-1-S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B C D D C B A A B C D A B A D C C A B C C D B A

1. ∵P(a,b)∈Ⅲ(−,−)，∴

⎩⎨

⎧

<

<

0 0

b

a

，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

−

−

>

+ 0

2 0

2

b a

b a

故Q(a²+b²,−a−b)=Q(+,+)∈Ⅰ 2. 圖示如右：

2 1 2 2

98

100+ = − =−

=−

x ， 1

2 2 2

) 104 (

102+ − = − =−

= y

圖示如右：

2 2 2

2 [ 1 ( 5)] ( 3) (4) ]

2 1

[− − + − − − = − +

= RS

5 25 16

9+ = =

=

3. 圖示如右：

P-Q-R 且 1

=2 RQ PQ

3 0 0 1 2

) 12 ( 1 ) 6 (

2 = =

+ +

= −

x ， 0

3 0 1 2

) 12 ( 1 ) 6 (

2 = =

+ +

= − y )

0 , 0 ( ) , (x y Q

Q =

⇒

4.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

− =

−

=

−

=

⇒

=

−

−

=

−

=

⇒

= +

2 1 ) 6 ( 7 3

6 3

4 3 5

4 5

2 2 2 2

1 1 1 1

b m a y

x L

b m a y

x L

：

：

4 7 4

2 5 2 1 4 ) 5 2 (1 4 5

2

1 − − =−

=

−

−

=

−

−

=

− m m

5. 圖示如右，令L⇒m₁

b m a M ⇒ ₂ =−

2 1 ) 2 (

1 =

− −

=

∵L⊥M

∴m1× m2=−1 2 2) (1

1 1

2

1= − = − =−

⇒m m

故L：y−5=−2(x−4)=−2x+8⇒2x+y−13=0 6. ∵degf(x)=99，degg(x)=2

∴deg[f(x)⋅g(x)]=degf(x)+degg(x)=99+2=101 7. ∵f(x)有嚴重缺項，∴ f(x)÷(x−10)=g(x)Lr=？

用餘式定理，令x−10=0⇒x=10

100 ) 9 10 ( ) 9 10 ( ) 9 10 ( ) 10

( = − ¹⁰²+ − ¹⁰¹+ − +

=

⇒r f

103 100 1 1

1+ + + =

=

8. 令x=3代入，則 f(3)=9(3)³−10(3)²−8(3)+6

r

d c b

a

+ + + =

= ，綜合除法如下

或

135 22 60 44

9+ + + =

= + + +

b c d a

9. ∵(x−1) f(x)且(x+2) f(x)，又

f

(3)=60 2

) (

deg

f x

= ，∴設

f

(

x

)=

A

(

x

−1)(

x

+2) 10 6 60 60

10 ) 2 3 )(

1 3 ( ) 3

( =

A

− + =

A

= ⇒

A

= =

f

故

f

(

x

)=6(

x

−1)(

x

+2)=6(

x

²+

x

−2)=6

x

²+6

x

−12 10.

b

∈ 且

R b

≠0才有二實根

∵

D

=

B

²−4

AC

≥0有二實根

∴(

b

+1)²−4(

b

)(

b

)≥0⇒

b

²+2

b

+1−4

b

²≥0

0 1 2 3 ²+ + ≥

−

⇒

b b

0 ) 1 )(

1 3

( + − ≤

⇒

b b

3

−1

=

⇒ b令 、

b

=1

故取 1

3 1≤ ≤

−

b

，且

b

≠0 11. x+ y=2

⇒ LLL₁

=2

− y x

⇒ LLL₂

6 3 2x+ y=

⇒ LLL₃

6 3 2x− y=

⇒ LLL₄

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12. 令

圖示如下(找出可行解區域)

∵(x,y)為

⎩⎨

⎧

= +

−

=

−

) 2 ( 24 3 2

) 1 ( 4

2 1

L L L L y x L

y x L

：

： 之交點

∴(1)×3⇒3x−3y=−12LL(3)

5 12 12

5 ) 2 ( ) 3

( + ⇒ = ⇒ =

⇒ x x 代入(1)

5 32 5

20 4 12

5

4=12+ = + = +

= x y

將各頂點代入f(x,y)中比較大小：

2 . 5 11 111 5 56 5

32 24 5 ) 32 5 (12 2 5) ,32 5

(12 + = = =

= +

= f

4 4 ) 0 ( 2 ) 4 , 0

( = + =

f ……m

12 0 ) 6 ( 2 ) 0 , 6

( = + =

f

24 0 ) 12 ( 2 ) 0 , 12

( = + =

f ……M

13. 令

圖示如下(找出可行解區域及頂點坐標)

令頂點坐標為

= ) , ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 0 ( ) 2 , 0

( O B C x y

A 、 、 ， ？

⎩⎨

⎧

= +

= +

⇒

×

= +

) 2 ( 4 2

) 3 ( 8 4 2 2 ) 1 ( 4 2

3 4

L L

L L L

L y x L

y x y

x L

：

：

3 4 4

3 ) 2 ( ) 3

( − ⇒ y= ⇒y= 代入

3 4 3

8 ) 12 3 (4 2 4 )

1

( ⇒ x= − = − = 3)

,4 3 (4 ) , (x y C

C =

令可行解區域為 AOBC，其面積為 Z

3 2 0 4 0 2

3 0 2 4 0 0 2

=1

Z

] 0 0 0 3 0 8 3 0 8 0 2 [

1 + + + − − − −

=

3 8 3 2 8 2

1× × =

= (平方單位)

14. 圖示如下

∵P、Q 在 L 之異側

∴[−2+2(1)−

k

][2+2(1)−

k

]<0⇒(−

k

)(4−

k

)<0 0 ) 4 ( 0 4 0

4 + ²< ⇒ ²− < ⇒ − <

−

⇒

k k k k k k

4 0< <

⇒

k

15. 令

a

=2、

b

=−3、

c

=−1

則⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= −

=

− =

−

=

−

= +

2 1

2 3 2

) 3 (

a c

a b αβ

β α

4 1 13 4 ) 9 2 ( 1 2 2) (3 2 )

( ^{2 2}

2

2+β = α+β − αβ= − − = + =

α

16. 設(a₁x+b₁) f(x) 則⎪⎩

⎪⎨

⎧

±

±

±

±

=

⇒

×

=

×

=

=

⇒

×

=

×

=

10 , 5 , 2 , 1 5

2 10 1 10

6 , 3 , 2 , 1 3

2 6 1 6

1 1

1 1

b b

a a

取 取

故 f(x)之可能因式有：

x

±1,

x

±2,

x

±5,

x

±10, 5 6 , 1 6 , 5 3 , 10 3 , 2 3 , 1 3 , 5 2 , 1

2

x

±

x

±

x

±

x

±

x

±

x

±

x

±

x

±

【另解】

∵3 6但7 10，∴3x−7不可能為f(x)之因式 17. 圖示平行四邊形 PQRS

∵⎩⎨⎧

=

⇒ +

= +

=

⇒ +

=

− +

6 6

3 3

8 0

5 ) 3 (

y y

x x

∴P(8,3)、Q(5,6)

2 2 [3 6] )]

3 ( 8

[ − − + −

= PR

130 9 121+ =

=

18. L 過(3,0)及

3 2 3 0

0 ) 2

2 , 0

( =

−

−

= −

⇒

−

m

_L

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M 過

(3,−2)及 1

5 5 3 2

) 2 ( ) 3

3 , 2

( =−

=−

−

−

−

= −

⇒

−

m

_M

斜率積為

3 ) 2 1 3)(

(2 − =−

=

×

=

m

_L

m

_M

19.

f

(1)=[5−5+5−4]¹⁰¹=(1)¹⁰¹=1 1 ) 1 ( ] 4 5 5 5 [ ) 1

(− = − + + − ¹⁰¹= ¹⁰¹= f

偶次項係數的總和 1

2 2 2

1 1 2

) 1 ( ) 1

( + = =

− =

=

f

+

f

20. 設以α²、β²為二根之新方程式為：

) 1 ( 0 ) ( )

( ^{2 2 2 2}

2− α +β

x

+ α β = LL

x

∵α+β =2、

2

−3 αβ =

∴ ) 4 3 7

2 ( 3 2 ) 2 ( 2 )

( ^{2 2}

2

2+β = α+β − αβ= − − = + =

α 代入(1)，

4 ) 9 2 ( 3 )

( ^{2 2}

2

2β = αβ = − =

α

故 0 4 28 9 0

4 ) 9 7

( ²

2−

x

+ = ⇒

x

−

x

+ =

x eq

^：

21. 令

圖示如下

22. 圖示如下，令

圖形過Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ，不通過Ⅲ

23. x 多項式中之 x 不可在根號、分母、三角函數…等內 其中(C) 3

x

²+6

x

+9=0為一元二次方程式，不是一 元二次多項式

24. 原式⇒[(

x

−5)(

x

+10)][(

x

+3)(

x

+2)]+528=0 0 528 ] 6 ) 5 ][(

50 ) 5

[( ²+ − ²+ + + =

⇒

x x x x

0 528 ) 6 )(

50 (

2+5 ⇒ − + + =

=

⇒令A x x代入 A A

0 228 44 0

528 300

44 ²

2− − + = ⇒ − + =

⇒

A A A A

⇒(

A

−6)(

A

−38)=0 ⇒

A

−6=0或

A

−38=0

0 ) 6 )(

1 ( 0 6 5 0

6= ⇒ ²+ − = ⇒ − + =

− x x x x

A

6 1 −

=

⇒

x

或

⇒

=

− +

⇒

=

−38 0

x

² 5

x

38 0

A

∵b²− ac4 =25−4(−38)=25+152=177 有相異二實根 177∉

Z

25. ∵L：mx− y+5=0與 PQ 相交⇒

∴[1m−2+5][−2m−3+5]≤0

⇒

≤ +

− +

⇒[

m

3][ 2

m

2] 0

0 ) 1 )(

3 ( 0 ) 1 )(

3 (

2 + − + ≤ ⇒− + − ≤

⇒

m m m m

0 ) 1 )(

3

( + − ≥

⇒

m m

，取

m

≤−3

or m

≥1