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6 積分的應用
6.3 中空柱體 (殼狀柱體)
中空柱體的體積
我們考慮一個例子，將 y = 2x
2
– x3
與 y = 0 圍成的區域繞著 y 軸旋轉。如下圖繞著 y 軸旋轉之後的物體，可以得到一個中空圓柱 (或者說 墊圈 washer) 。
圖一
中空柱體的體積
為了計算整個中空柱體的體積，我們可以從內而外分成好幾 個中空圓柱。接著分別計算每個小中空圓柱內外的半徑。
右圖二顯示了一小段中空圓柱 (或者 說墊圈 washer) 的示意圖，
其中內半徑為 r1 ，外半徑為 r2 ， 高度為 h 。
中空柱體的體積
V 的體積也就是外半徑圓柱的體積減去內半徑圓柱的體積：
V = V 2
– V1
=
r 2 2 h
– r 1 2 h =
(r2 2
– r1 2) h
=
(r2
+ r1
)(r2
– r1
)h= 2
h(r 2
– r1
)中空柱體的體積
假設內外半徑的差距為
r = r 2
– r1
，並令 r = (r2
+ r1
) ， 此時代入前式則有也就可以記成
V = [墊圈周長] x[高度] x[厚度]
中空柱體的體積
接著我們進行實際的計算，考慮 S 是如下在 x = a 與 x = b 之間由 y = f(x) 與 y = 0 所圍成區域繞著 y 軸旋轉的區塊。
接著我們將 [a,b] 分割成 n 段等長、寬度為
x 的區間 [x
i– 1
,x
i] 並假設 為每一段小區間的中點。圖三
中空柱體的體積
分割過後得到的每一小段中空圓柱，其底面是由區間 [xi
– 1
,x
i] 旋轉得到，而高度則為 。由前述的公式我們可以計算每一小段中空圓柱的體積：
中空圓柱的體積
於是旋轉體的體積 V ，便可以寫成黎曼和的近似
在當 n 越取越細的同時，黎曼和便會收斂到積分，也就是旋 轉體的體積
中空柱體的體積
因此我們可以推得這個體積公式
記憶上述公式的最好方法便是將每個中空圓柱攤平成長方體 其長(圓周長)為 2
x ，高度為 f(x) 厚度為 x (或者 dx) ：
如下圖所示：中空圓柱的體積
圖五
範例一
計算由 y = 2x
2
– x3
與 y = 0 所圍成的區域，繞著 y 軸所形成 的區塊體積。解:
如下圖所刻劃，每一小段中空圓柱，半徑約略為 x ，周長為 2
x ，高度為 f(x) = 2x 2
– x3
範例一 / 解
利用中空圓柱法計算體積：
