1-4&2-1 向量外積 與平面方程式

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：101.03.20 範

圍

1-4&2-1 向量外積 與平面方程式

班級 二年____班 姓 座號 名

第第第第第 (第第 10 第 )

1.已知向量



a = − − −( 3, 1, 1)﹐



b =(1, 3, 2)− ﹐

求(1) a

 

× b =____________﹒ (2)由



a _{﹐ b}



所張出平行四邊形之面積為____________﹒

解答 (1)( − 5,5,10);(2) 5 6

解析 (1) 1 1 1 3 3 1

( , , ) ( 5,5,10)

3 2 2 1 1 3

a b − − − − − −

× = = −

− −

 

﹒

(2)面積 |=

 

a× b |= 25+25 100+ = 150=5 6﹒

2.設 x﹐y﹐z∈  ﹐滿足 x + 2y + 3z = 5﹐求 (x−1)²+(y−3)²+ −(z 4)² 的最小值為____________﹒

解答 14

解析 令 P(1 , 3 , 4)﹐E﹕x + 2y + 3z = 5

⇒ ^{2 2 2} |1 6 12 5 |

( 1) ( 3) ( 4) ( , ) 14

x y z d P E + +14 −

− + − + − ≥ = = ﹒

3.已知



a =(1, 0,1)﹐



b =(1, 1, 0)− ﹐若 n

 

⊥ a _{且 n}

 

_{⊥ b ﹐|}



_{n |= 3}﹐求 n



=____________﹒

解答 (1,1, − 1)或( − 1, − 1,1)

解析



n _{為 a}



_{﹐ b}



_{之公垂向量﹐}

 

_{a× b =(1,1, 1)−} ﹐令



n =t(1,1, 1)− =( , ,t t −t)﹐

2 2 2

|



n |= t + +t t = 3⇒ = ±t 1﹐∴ n



=(1,1, − 1)或( − 1, − 1,1)﹒

4.已知 A( − 1, − 2,3)﹐B(2, − 1,4)﹐C(3,6,9)為空間中三點﹐求△ABC 的面積為____________﹒

解答 5 6

解析 AB



=(3,1,1)﹐AC



=(4,8, 6)﹐AB

 

×AC= − −( 2, 14, 20)﹐

由 AB



_{﹐ AC}



所張之平行四邊形面積為 |AB

 

×AC|= 4 196+ +400= 600=10 6﹐

∴△ABC 面積為 5 6 ﹒

5.設 A (1 , 2 , 3)與 B (5 , 4 , 3)為空間中兩點﹐則 AB 的垂直平分面方程式為____________﹒

解答 2x + y − 9 = 0

解析 AB 中點 M (3 , 3 , 3)﹐AB



=(4, 2, 0)=2(2,1, 0)﹐

所求為 2(x − 3) + 1(y − 3) + 0(z − 3) = 0 ⇒ 2x + y − 9 = 0﹒

6.空間中三點 A(1,2,3)﹐B( − 1,0,1)﹐C(0, − 1,k)﹐若△ABC 面積為 2 2 ﹐求 k = ____________﹒

解答 0 或 2

解析 AB



= − − −( 2, 2, 2)﹐AC



= − −( 1, 3,k−3)﹐AB

 

×AC= −( 2 , 2k k−4, 4)﹐

2 2 2 2

|AB

 

×AC|= ( 2 )− k +(2k−4) +4 =2 2k −4k+8_﹐

△ABC 面積= 2k²−4k+ =8 2 2⇒ 2k² − 4k = 0 ⇒ k = 0 或 k = 2﹒

7.與平面 x + y − 3z + 1 = 0 平行﹐且與三軸截距和為 20 之平面方程式為____________﹒

解答 x + y − 3z − 12 = 0

解析 設所求為 x + y − 3z + d = 0﹐

令 y = z = 0 ⇒ x = − d﹐z = x = 0 ⇒ y = − d﹐x = y = 0 ⇒ 3 z= ﹐ d

( ) ( ) 20

3 d d d

− + − + = ⇒ d = − 12﹐所求為 x + y − 3z − 12 = 0﹒

8.求通過點 A (1 , 1 , − 1)﹐且與兩平面 x + y = 0﹐x − y + z − 3 = 0 均垂直的平面方程式____________﹒

解答 x − y − 2z − 2 = 0

解析



N₁=(1,1, 0)﹐



N₂ =(1, 1,1)− ﹐

 

N₁×N₂=(1, 1, 2)− − ﹐

所求為 1(x − 1) − (y − 1) − 2(z + 1) = 0 ⇒ x − y − 2z − 2 = 0﹒

9.空間中四點 A (1 , 1 , 2)﹐B ( − 1 , 0 , 3)﹐C (2 , 0 , − 1)﹐D (3 , k , 1)﹐求 (1)過 A﹐B﹐C 三點的平面方程式為____________﹒

(2)若 A﹐B﹐C﹐D 四點共平面﹐則 k = ____________﹒

解答 (1)4x − 5y + 3z − 5 = 0;(2)k = 2

解析 (1)AB



= − −( 2, 1,1)﹐AC



=(1, 1, 3)− − ﹐AB

 

×AC=(4, 5,3)− ﹐

平面 ABC 4(x − 1) − 5(y − 1) + 3(z − 2) = 0 ⇒ 4x − 5y + 3z − 5 = 0﹒

(2)D (3 , k , 1)代入平面 12 − 5k + 3 − 5 = 0 ⇒ k = 2﹒

10.求通過點 A (1 , 3 , 5)﹐且與三坐標軸之截距比為 1：3：5 之平面方程式為____________﹒

解答 1

3 9 15 x+ +y z =

解析 設所求為 1

3 5

x y z

k + k + k = （k ≠ 0）﹐將 A (1 , 3 , 5)代入得1 3 5 3 5 1

k + k + k = ⇒ k = 3﹐

所求為 1

3 9 15 x+ +y z = ﹒

11.設 E1﹕2x + y + 2z + 3 = 0﹐E2﹕x + y − 2 = 0﹐求 E1﹐E2之夾角為____________﹒

解答 45°或 135°

解析



N₁=(2,1, 2)_﹐

2 (1,1, 0) N =



_﹐ ^{1 2}

1 2

2 1 1

cos | || | 4 1 4 2 2

N N N N

θ= ± ^⋅ = ± ⁺ = ± + + ⋅

   

^﹐

∴θ = 45°或 135°﹒

12.設一平面過(0 , − 2 , 0)﹐(2 , 0 , 0)與正 z 軸上點(0 , 0 , c)﹐且與 xy 平面之夾角為 30° ﹐求 c 值為 ______﹒

解答 6 3

解析 設所求平面為 1

2 2

x y z + + =c

− ⇒ cx − cy + 2z = 2c ⇒



N₁=( ,c −c, 2)_﹐ xy 平面 ⇒ z = 0 ⇒ N



₂=(0, 0,1)﹐

1 2

1 2

cos 30

| || | N N N N

° =

 

⋅ =

 

^{⇒ 23= 2c2+ ⋅24 1 ⇒ 3(2c2} + 4) = 16 ⇒ ² 4 c = 6

⇒ 2 6

3 3

c= ± = ± （取正） ∴ 6 c= 3 ﹒

13.空間四點 A(1,1,2)﹐B( − 1,0,3)﹐C(3,k,1)﹐D(2,0, − 1)﹐若四面體 ABCD 的體積為 5﹐則實數 k 值 為____________﹒

解答 8 或 − 4

解析 AB



= − −( 2, 1,1)﹐AC



=(2,k− −1, 1)﹐AD



=(1, 1, 3)− − ﹐ 所求

2 1 1

1 | 2 1 1 | 5 | 5 10 | 30 | 2 | 6 8

6 1 1 3

k k k k

− −

= × − − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

− −

或 k = − 4﹒

14.與平面 E﹕x + y + z = 1 平行﹐且與 A (3 , − 5 , 1)﹐B ( − 1 , 3 , 7)等距之平面方程式為____________﹒

解答 x + y + z − 4 = 0

解析 設所求為 x + y + z + d = 0﹐

| 3 5 1 | | 1 3 7 |

3 3

d d

− + + = − + + + ⇒ |d − 1| = |d + 9| ⇒ − = ± +d 1 (d 9)

⇒ d = − 4 所求為 x + y + z − 4 = 0﹒

15.A (3 , 1 , 0)﹐B ( − 2 , 4 , 1)﹐E﹕x + 2y − 3z + 5 = 0﹐若直線 AB 交平面 E 於 P 點﹐求 AP：BP = _____﹒

解答 5：4

解析 二點代入平面均為正﹐表示在平面 E 之同側﹐

由圖知 AP ： BP=AA′： | 3 2 5 | 14

′ = + +

BB ：| 2 8 3 5 |

14 10

− + − + = ：8 = 5：4﹒

B A

A' B' P

16.平面 E1﹕x + y + z = 7 與 E2﹕2x + 2y + 2z = 5 之距離為____________﹒

解答 3 3 2

解析 E1：2x + 2y + 2z − 14 = 0﹐E2：2x + 2y + 2z − 5 = 0﹐ | 14 ( 5) | 3 3 4 4 4 2

− − −

= =

d + + ﹒

17.通過 A(1,2,3)﹐B(5,7, − 3)﹐C( − 3,1,1)三點的平面方程式為____________﹒

解答 x − 2y − z = − 6

解析

  

N =AB AC× =(4,5, − 6) × ( − 4, − 1, − 2) = ( − 16,32,16) = − 16(1, − 2, − 1) 設 E﹕x − 2y − z = k﹐過 A(1,2,3) ⇒ k = 1 − 4 − 3 = − 6﹐∴E﹕x − 2y − z = − 6﹒

18.在空間中﹐E 為過 A(2,1, − 1)﹐B(1,2, − 1)﹐C(1,1,3)之平面﹐E′為過 P(1,0,1)﹐Q(0, − 2,1)且與 E 垂 直之平面﹐求 E′之方程式為____________﹒

解答 2x − y − 4z + 2 = 0

解析 AB AC

 

× =(4,4,1)﹐取N



_E =(4,4,1)﹐N

 

_E×PQ=(2, − 1, − 4)﹐取N



_E′ =(2, − 1, − 4)﹐

∴E′ : 2(x − 1) − y − 4(z − 1) = 0 ⇒ 2x − y − 4z + 2 = 0﹒

19.點 A(1,2,3)對平面 ax + by + cz − 21 = 0 的對稱點 A ′(4,5,6)﹐則序組(a,b,c) = ____________﹒

解答 (2,2,2)

解析 AA′



= (3,3,3)﹐取 N



= (1,1,1)﹐ AA′ 中點 5 7 9 ( , , )

2 2 2 ﹐

所求平面為 5 7 9

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0

2 2 2

x y z

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = ⇒ 2x + 2y + 2z − 21 = 0﹐

故(a,b,c) = (2,2,2)﹒

20.若



a =(5,3,8)﹐



b =(2, 2,5)− ﹐



c =( , , 0)k k 所張開之平行六面體之體積為 176﹐則 k = _________﹒

解答 ± 8

解析

0

| 5 3 8 | |15 16 25 16 | | 22 | 2 2 5

k k

V = = k+ k− k+ k = k

−

﹐∴|22k| = 176 ⇒ k = ± 8﹒

21.空間中﹐已知平面 E 通過(3,0,0)﹐(0,4,0)及正 z 軸上一點(0,0,a)﹐若平面 E 與 xy 平面夾角成 45° ﹐ 則 a = ________﹒

解答 12 5

解析 設所求 E 之方程式為 1

3 4 x y z

+ + = ﹐a > 0﹐ a

(4a)x + (3a)y + 12z − 12a = 0﹐法向量



N₁=(4a,3a,12)﹐

取 xy 平面之法向量為N



₂=_(0,0,1)﹐ ^{1 2}

2

1 2

cos 45 12

25 144

| || | N N N N a

± ⋅ ±

° = =

+

   

^﹐

2 2

2 144 12

( )

2 25 144 a 5

= a ⇒ = ±

+ （取正）﹐∴a =12

5 ﹒

22.如圖﹐一長方體 ABCD－EFGH﹐AB = 1﹐AD = 2﹐AE = 3﹐求 A 點至△BDE 所在平面的距離______﹒

B A

F E

H D C

G

解答 6 7

解析 建立坐標系：則 A(2,1,3)﹐B(2,0,3)﹐D(0,1,3)﹐E(2,1,0)﹐

N =BD BE× =

  

( − 2,1,0) × (0,1, − 3) = − (3,6,2)﹐

平面方程式﹕3x + 6y + 2z − 12 = 0﹐∴ | 6 6 6 12 | 6

7 7

d = + + − = ﹒

x B A

F E

H D C

G y

z

3 1 2

23.如圖﹐長方體 ABCD − EFGH﹐ AB = 3﹐ AD = 4﹐ AE = 6﹐則(1)△CFH 的面積為____________﹔

(2)頂點 A 到平面 CFH 的距離為____________﹒

G A

B C

D E H

F

解答 (1) 3 29 ;(2)24 29 29 解析 (1)建立坐標系﹕

CF



=(0, − 4,6)﹐ CH



=( − 3,0,6)

⇒ CF CH

 

× =( − 24, − 18, − 12)﹐

∴△CFH =1

| |

2 CF CH

 

×

2 2 2 2 2 2 2

1 1

24 18 12 6 (4 3 2 ) 3 29

2 2

= + + = + + = ﹒

（亦可利用△CFH 的面積 1 ^{2 2 2} 1 ²

| | | | ( ) 52 45 36 3 29

2 CF CH CF CH 2

=

   

− ⋅ = ⋅ − = ）﹒

x B (3,0,0) C (3,4,0) A (0,0,0)

H (0,4,6) E

F (3,0,6)

D y z

G

(2)CFH 平面之



N =( − 24, − 18, − 12) = − 6(4,3,2)﹐

∴CFH 平面 K﹕4x + 3y + 2z = 24﹐∴d(A,K) = 24 24 29 29= 29 ﹒ 24.求包含 y 軸﹐且與點 A(0,0,5)距離為 3 的平面方程式____________（兩解）﹒

解答 4x + 3z = 0 或 4x − 3z = 0

解析 平面族，設 E﹕x + kz = 0﹐d(A,E) ^{2 2 2 2}

2

| 5 | 9 3

3 | 5 | (3 1 )

16 4

1

k k k k k

k

= = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ±

+ ﹐

∴平面方程式﹕x +3

4z = 0 或 x −3

4z = 0 ⇒ 4x + 3z = 0 或 4x − 3z = 0﹒