1-3 向量的坐標表示法

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：99.09.30 範

圍

1-3 向量的坐標表示法

班級二年____班姓座號名

一、填充題 (每題 10 分)

1. 設點P

( )

1, 2 ﹐直線 L ： 3 4

2 3

x t

y t

 = +

 = − −

 ﹐ t 為實數﹐則

(1)距離為____________﹔(2)垂足坐標為____________﹒

解答 (1)2; (2) 1 2 5 5,

− 

 

 

解析設H

(

3+4 ,t − −2 3t

)

﹐^PH



⁼

(

²⁺^{4 ,}^t ^{− −}^{4 3}^t

)

﹐ L 之方向向量



^d ⁼

(

^4,⁻³

)

﹐ 0

PH d

 

⋅ = ⇒ 8 16 12 9+ t+ + t= ⇒0 4 t= −5

﹐

∴

^{1 2}, H−5 5

﹐

2 2

1 2

1 2 2

5 5

PH =  +  + −  =

   

﹒

2. 已知^A

(

⁻^{1, 2}

)

^﹐^B

(

^2,⁻²

)

^﹐^C

(

^{5, 10}

)

^﹐求

(1)若 AB



_{與 AC}



的夾角為θ ﹐則 cosθ= ____________﹔

(2)若 AB t AC

 

+ 與 AB



垂直﹐則 t 值為____________﹔

(3)△ ABC 中﹐∠A的平分線 AE 交 BC 於 E 點﹐則 AE

  

=r AB s AC+ ﹐則數對

( )

^{r s}^, = ____________﹔

(4)若點 P 不在AB 上﹐但在 AB 的延長線上﹐且 AP ：BP= ：3﹐則 P 點坐標為____________﹔ 1 (5) AB



在 x 軸上的正射影為____________﹔

(6)若 7 8

x at

y b t

= − +

 = +

 ﹐ t 為實數﹐是 AB



_{的參數式﹐則數對}

_{( )}

_{a b}_, = ____________﹔

(7)設 F 是AB 上的一點﹐則 CF 的最小值為____________﹒

解答 (1) 7

−25;(2)25

14;(3) 2 1 3 3,

 

 

 ;(4) 5 2, 4

− 

 

 ;(5)

( )

3, 0 ;(6)

(

−6, 10

)

;(7)10 解析 (1)^AB



⁼

(

^3,⁻⁴

)

_﹐_AC



=

_{( )}

_{6, 8} _﹐∴_cos ^{18 32} ⁷

5 10 25 AB AC

AB AC

θ= ^⋅ = ⁻ = −

×

   

^﹒

(2)^{AB t AC}

 

⁺ ^{= +}

(

^{3 6 ,}^t ^{− +}^{4 8}^t

)

﹐

∵垂直﹐∴

(

^{3 6 ,}⁺ ^t ^{− +}^{4 8}^t

) (

^⋅ ^3,⁻⁴

)

⁼⁰ ⇒ 9 18 16 32+ t+ − t= ﹐∴0 25 t=14 ﹒

(3)

BE

：

EC=AB

：

AC=1

：2﹐

² ¹

3 3

AE= AB+ AC

  

_，

_∴ _{( )}

_, ^{2 1}_,

r s 3 3

=  

﹒

(2)

(4)如圖﹐

2 2

1 3

2 2

2 3

x

y

− = +

 −

 =

﹐∴

(

^,

)

⁵^{, 4}

P x y = − 2 ﹒

(5) ^A

(

⁻^{1, 2}

)

^﹐^B

(

^2,⁻²

) 在 x 軸上的投影點

^A′

(

⁻^{1, 0}

)

^﹐^B′

( )

^{2, 0} ^⇒ ^{A B}



^{' '}⁼

( )

^{3, 0} _﹒

(6)

(

^3, ⁴

)

¹

(

^{6, 8}

)

AB= − = −2 −



_﹐∴_a_{= − ﹐}₆

又 AB



_{： 4}_x₊₃_y_{= ﹐點}₂

₍

₋_{7, b}

₎

_代入_{⇒ 28 3}_{− +} _b_{= ﹐∴}₂ _b₌₁₀_﹐故

_{( ) (}

_{a b}_, _{= −}_{6, 10}

₎

_﹒

(7)AB ： 1 3 2 4

x t

y t

= − +

 = −

 ﹐ 0≤ ≤ ﹐ t 1

設F

(

− +1 3 , 2t −4t

)

⇒

(

³ ⁶

) (

² ⁴ ⁸

)

² ²⁵ ² ²⁸ ¹⁰⁰ ^25[ ¹⁴^]² ²³⁰⁴

25 25 CF= t− + − −t = t + t+ = t+ + ﹐ 又 0≤ ≤ ﹐∴當t 1 t=0時 CF

的最小值為 100 10= ﹒

3.設向量 u



與另一向量



^v ⁼

( )

^{3, 1} 的夾角是120° 且



u =8﹐則 u



=____________﹒

解答

(

⁻^{4 3, 4}

)

^或

⁽

^0,⁻⁸

⁾

解析如圖﹐



^v ⁼

( )

^{3, 1} 之方向角為 30° ﹐

∴ 

u

之方向角可為

150°

或

− °90

﹐

∴  

u = u ⋅cos150 ,°



u ⋅sin150° ₈ ³ _{, 8} ¹

₍

_{4 3, 4}

₎

2 2

    

= −     = −

﹐

或

^u ⁼^_ ^u ^⋅^cos

(

^{− °}^{90 ,}

)

^u ^⋅^sin

(

^{− °}⁹⁰

)

^_

 

  

_{= ⋅}

₍

_{8 0,8}

_{( )}

₋₁

₎

₌

₍

_{0, 8}₋

₎ _﹐

故 

u =

₍

−4 3, 4

₎ 或 (

^0,⁻⁸

) ^﹒

4.

如圖﹐

∠COA=75° = ∠OAB

﹐

∠ABC=120°

﹐

OA=4

﹐

AB=2

﹐則

B

點的坐標為____________﹒

解答

(

⁶⁺ ^{2 1, 6}⁻ ⁺ ³⁻ ²

)

解析 OB

  

=OA AB+ = ⋅4 cos15 , sin15

₍

° ° + ⋅

₎

2 cos120 , sin120

₍

° °

₎

4 ⁶ ², ⁶ ² 2 ¹, ³

4 4 2 2

 + −   

= ⋅ + ⋅ − 

   

⁼

(

⁶⁺ ^{2 1, 6}⁻ ⁺ ³⁻ ²

) ^﹒

(3)

5.設



^a ⁼

(

^2,⁻⁴

)

_﹐



_b = −

₍

_{3, 5}

₎

_﹐



_c =

₍

_6,−₉

₎

_﹐求 (1)若 a

 

+t b 與 c



平行﹐則實數 t= ____________﹔

(2)當 t= 時﹐ 2 a t bp

 

+ 有最小值 q ﹐則數對

(

^{p q}^,

)

= ____________﹒

解答 (1)2;(2) 26 8 17, 17

 

 

 

解析 (1)

 

^a ⁺^{t b} ⁼

(

^2,⁻⁴

) (

^{+ −}^t ^{3, 5}

)

₌

₍

_{2 3 ,}₋ _t _{− +}_{4 5}_t

₎

_﹐

//

a t b c

 + 

 



  

 _⇒ ^{2 3} ^{4 5}

6 9

t t

− − +

= − ﹐ − +18 27t= − +24 30t ⇒t= ﹒ 2

(2)²

 

^a ⁺^{t b} ⁼

(

^{4 3 , 8 5}⁻ ^t ^{− +} ^t

)

( ) (

²

)

²

2

 

a +t b = 4 3− t + − +8 5t = 34t²−104t+80

2 2

2 52 26 2 26

34 80

17 17 17

t t

    ×

=  − +  − +

 

 

 

26 2 8 34t 17 17

=  −  + ﹐

當 26

t=17﹐ 2 a

 

+t b 之最小值為 8

17﹐∴

(

,

)

²⁶, ⁸ 17 17

p q  

=  

 ﹒

6.直線L ：₁ 3 2 5

x t

y t

 = −

 = − +

 ﹐t 為實數﹐L ：₂ 1 3 6

x s

y s

 = −

 = −

 ﹐s 為實數﹐則L 與₁ L 的交點坐標為____________﹒ ₂ 解答

(

⁻^{11, 2}

)

解析 3 2 1 3

5 6

t s

− = −

− + = −

 ⇒ 2 3 2

11 t s t s

− =

 + =

 ⇒ 7

4 t s

 =

 = ﹐交點

(

⁻^{11, 2}

)

^﹒

7.設A

( )

3, 2 ﹐B

( )

5, 4 ﹐動點P x y 在 AB 上移動﹐則

(

,

)

x²+3y²的最大值為____________﹒

解答 73

解析 ∵^AB



⁼

( )

^{2, 2} _{﹐∴ AB ﹕} ³ ²

2 2

x t

y t

 = +

 = +

 ﹐ 0≤ ≤ ﹐ t 1

( )

²

( )

²

2 3 2 3 2 3 2 2 16 2 36 21

x + y = + t + + t = t + t+

2 2

2 9 9 81 9 3

16 21 16

4 8 4 8 4

t t t

     

=  + +  − + =  +  +

   

 

 

當t= ﹐1 x²+3y²的最大值為 73﹒

8.設



^a ⁼

( )

^{3, 5} _﹐



_b = −

₍

_{2, 3}

₎

_﹐_α_﹑_β _{為實數﹐求}

(4)

(1)若^α

 

^a ⁺^β ^b ⁼

(

^{7, 1}⁻

)

_﹐則

₍

_{α β}_,

₎

= ____________﹔

(2)若

(

^{α β}^{+ −}¹

) 

^a ⁺

(

^{α β}^{− −}⁵

)  

^b ⁼ ⁰ _﹐則

₍

_{α β}_,

₎

= ____________﹒

解答 (1)

(

^1,^{− ;(2)}²

) (

^3,⁻²

)

解析 (1)^α

( )

^{3, 5} ⁺^β

(

⁻^{2, 3}

) (

⁼ ^{7, 1}⁻

)

^⇒ ³ ² ⁷

5 3 1

α β α β

− =

 + = −

 ﹐∴

(

^{α β}^,

) (

⁼ ^1,⁻²

)

^﹒

(2) 1 0

5 0 α β α β

+ − =

 − − =

 ⇒

(

^{α β}^,

) (

⁼ ^3,⁻²

)

^﹒

9.設



^a ⁼

(

^2,⁻³

)

_﹐



_b =

_{( )}

_4,_k _﹐求

(1)若

 

a// b ﹐則 k= ____________﹔(2)若 a

 

⊥ b ﹐則 k= ____________﹒

解答 (1) 6− ;(2)8 3 解析 (1)2 3

4 k

=− ﹐∴k = − ﹒ (2)6

 

a ⋅ b =0 _{⇒ 8 3}₋ _k_{= ﹐∴}₀ ⁸ k = ﹒ 3 10.過

( )

^{3, 2 且平行直線}L ：1 2

1 3

x t

y t

 = −

 = +

 ﹐ t 為實數的直線參數式為____________﹒

解答 3 2 3

x t

y t

 = −

 = +

 ﹐ t 為實數

解析平行直線方向向量相同 3 2 3

x t

y t

 = −

 = +

 ﹐ t 為實數﹒

11.設^AB



⁼

(

^2,⁻³

)

_﹐_AC



= −

₍

_x_{, 1}+_x

₎

_﹐則

(1)△ ABC 之周長的最小值為____________﹔(2)此時 AC



=____________﹒

解答 (1) 13+ 17;(2) 4 1 3, 3

 − 

 

 

解析 ^BC

  

⁼^{AC AB}⁻ ^{= − −}

(

^x ^2,^x⁺⁴

)

_﹐

△ ABC 周長= AB

  

+ BC + AC

= 13+ 2x²+12x+20+ 2x²+2x+ 1

13 2

(

3

)

² 2 2 ¹ ² ¹

2 2

x x 

= + + + +  +  +

¹³ ²

(

³

) (

² ^{0 1}

)

² ¹ ² ⁰ ¹ ²

2 2

x x

     

 

= +  + + − +  +  + −  

﹐

(5)

欲求最小值﹐即在

x

軸上找一點

^{P x}

( )

^{, 0}

^到

^Q

(

⁻^{3, 1}

) ^及

^{1 1}^,

R−2 2

之距離和為最小﹐

'

R Q

 _：

₃_x₊₅_y_{+ =}₄ ₀

_﹐令

_y₌₀

_﹐

⁴

x= −3

﹐最小周長

= 13+ 17

﹐ 此時

⁴, ¹

3 3 AC= − 



﹒

12.設



^a ⁼

( )

^{2, 3} _﹐



_b = −

₍

_{3, 4}

₎

_﹐_θ _{為 a}



與 b



的夾角﹐則

(1)

 

a −2 b =____________﹔(2) a

 

⋅ b =____________﹔(3) cosθ = ____________﹒

解答 (1)

(

8,− ;(2)6;(3)5

)

6 13 65 ﹒

解析 (1)

 

^a ⁻² ^b ⁼

( ) (

^{2, 3} ^{− −}^{6, 8}

) (

⁼ ^8,⁻⁵

)

_﹒

(2)

 

a⋅ b = − +6 12=6﹒

(3) 6 6 13

cos 13 5 65

a b a b

θ = ^⋅ = =

⋅

   

^﹒

13.設^AB



⁼

(

^12,⁻⁵

)

_﹐_AC



= − −

₍

_{5, 12}

₎

_{﹐若 AD}

  

₌_{AB t AC}₊ 且 AD



_{平分 BAC}_∠ _{﹐則 AD}



₌____________﹒

解答

(

^{7, 17}⁻

)

解析 ^AD

  

⁼^{AB t AC}⁺ ⁼

(

^12,^{− + − −}⁵

) (

^t ^{5, 12}

)

₌

₍

_{12 5 ,}₋ _t _{− −}_{5 12}_t

₎

_﹐

AD

  

=AB t AC+ ﹐表示 AD



_{落在以 AB}



_{﹑ t AC}



為邊之平行四邊形之對角線上﹐

平分夾角﹐表示此四邊形為菱形﹒∴ AB

 

=t AC ⇒t= ﹐∴1 ^AD



⁼

(

^{7, 17}⁻

)

_﹒

14.已知二定點^A

(

^{2, 1}^{− ﹐}

)

^B

( )

^{4, 1} ^﹐P x y 為直線 L ：

(

^,

)

x−2y+ = 上一點﹐求 3 0 (1)2AP²−3BP²之最大值為____________﹔(2)此時 P 點坐標為____________﹒

解答 (1)239

5 ;(2) 39 27 5 , 5

 

 

 

解析 P 為直線 L 上之點﹐設^P

(

²^t⁻^3,^t

)

^﹐

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2AP −3BP =2 2t− −3 2 + +t 1 −3 2t− −3 4 + −t 1 

⁼^{2 5}

(

^t²⁻¹⁸^t⁺²⁶

) (

⁻^{3 5}^t²⁻³⁰^t⁺⁵⁰

)

^{= −}⁵^t²⁺⁵⁴^t⁻⁹⁸

(6)

2

2 54 27 729

5 98

5 5 5

t t

   

= −  − +  + −

27 2 239 5t 5  5

= −  −  + ﹐

當 27

t= 5 時﹐2AP²−3BP²之最大值為239

5 ﹐此時 39 27 5 , 5

P 

 

 ﹒

15.A

(

1,−2

)

﹐B

( )

2, 4 ﹐C

(

−2, 1

)

﹐若 AP r AB s AC

  

= + ﹐其中r ≤ ﹐1 s ≤ ﹐則 P 點所成的區域面1 積為____________﹒

解答 84 解析

P

點所成區域如圖所示﹐

^AB



⁼

( )

^{1, 6}

_﹐

_AC



= −

₍

_{3, 3}

₎ _﹐

△

ABC

之面積

¹| ¹ ⁶| ²¹ 3 3

2 2

= =

−

﹐所求

^{2 2 2}

( )

⁸ ²¹ ⁸⁴

ABC 2

= ⋅ ⋅ △ = ⋅ =

﹒

16.設有一直線 L ﹐其參數方程式為 2 1

x t

y at

= − +

 = +

 ﹐ t 為實數﹐且 L 之一般方程式為 4x+by+11 0= ﹐則數對

( )

a b 為____________﹒ ^,

解答 4 , 3 3

 − 

 

 

解析點

(

⁻^{2, 1}

)

^{代入 4}^x⁺^by^{+ =}^{11 0}⇒ 8− + +b 11= ﹐ 0

∴b= − ﹐∴ L ： 43 x−3y+ = 11 0

⇒



^N ⁼

(

^4,⁻³

)

_⇒

_{( )}

_{3, 4} _{3 1,}⁴ _{3 1,}

_{( )}

V = =  3= a



_﹐∴ ⁴

a= ﹐故3

( )

^, ⁴^, ³

a b =3 − ﹒

17.

如圖﹐

OABC

為矩形﹐

C

之坐標為 (

⁻^{3, 4}

) ^﹐又

OA=10

﹐則

(1)

A

點的坐標為____________﹔(2)

B

點的坐標為____________﹒

解答 (1)

( )

8, 6 ;(2)

(

5, 10

)

解析

(1)如圖﹐根據相似形邊長成比例 ∴

A

( )

8, 6

﹒ (2)

OB

之中點

=AC

之中點﹐∴

B

(

5, 10

) ﹒

18.設



^a ⁼

( )

^{3, 4} _﹐



_b ₌

_{( )}

_{4, 3} _{﹐若 x a}^_ ₊_{y b} ^__⊥ _a



  

 且x a

 

+y b =1﹐則數對

(

^{x y}^,

)

= ____________﹒

解答 24 5 35 7,

− 

 

 或 24 5 35, 7

 − 

 

 

解析 ^{x a}

 

⁺^{y b} ⁼

(

³^x⁺^{4 , 4}^y ^x⁺³^y

)

_﹐

(7)

x a y b a

 + ⊥

 



  

 ⇒ ^{3 3}

(

^x⁺⁴^y

) (

⁺^{4 4}^x⁺³^y

)

⁼⁰ ^{⇒ 25}^x⁺²⁴^y=  ⁰ 1

x a

 

+y b = ⇒

(

³^x⁺⁴^y

) (

²⁺ ⁴^x⁺³^y

)

²=  ¹ 解得

(

^,

)

^{24 5}^,

x y = − 35 7或 24 5 35, 7

 − 

 

 ﹒ 19.△ ABC 中﹐^A

(

^2,^{− ﹐}⁸

)

^B

(

^{− −}^6, ²

)

^﹐^C

(

^6,^{− ﹐}⁵

)

(1)若∠A之平分線交 BC 於 D ﹐則 D 坐標為____________﹔

(2)若∠A之外角平分線交 BC



於 E ﹐則 E 坐標為____________﹒

解答 (1)

(

^2,^{− ;(2)}⁴

) (

^{18, 8}⁻

)

解析 ^AB⁼

(

²⁺⁶

) (

²^{+ − +}⁸ ²

)

² ⁼¹⁰^﹐^AC⁼

(

^{2 6}⁻

) (

²^{+ − +}^{8 5}

)

² ^{= ﹐}⁵

(1)設 D 之坐標為

(

^{x y ﹐則}^,

)

¹⁰ ²

5 1 BD AB

DC= AC = = ﹐ BD=2DC ⇒BD

 

=2DC﹐

(

^x⁺^6,^y⁺²

) (

⁼^{2 6}^{− − −}^x^{, 5} ^y

)

⇒ x= ﹐2 y= − ﹐ 故 D 坐標為4

(

^{2, 4}^{− ﹒}

)

(2)設 E 之坐標為

(

^{x y ﹐則}^,

)

¹⁰ ²

5 1 BE AB

CE = AC = = ﹐ BE=2EC ⇒BE

 

= −2EC﹐

(

^x⁺^6,^y⁺²

)

^{= −}^{2 6}

(

^{− − −}^x^, ⁵ ^y

)

⇒ x=18﹐y= − ﹐ 故 E 坐標為8

(

^{18, 8}^{− ﹒}

)

當然亦可以用分點公式 20.設直線 L ： 3

1 3

x t

y t

= − +

 = −

 ﹐ t 為實數﹐點^A

(

− − ﹐則點 A 到直線 L 的距離為____________﹒ ^3, ⁴

)

解答 10 2

解析令^H

(

^{− +}³ ^t^{, 1 3}⁻ ^t

)

^﹐^AH



⁼

(

^t^{, 5 3}⁻ ^t

)

_﹐



_d =

₍

_1,−₃

₎

_﹐ 0

AH d

 

⋅ = _⇒_t₋₁₅₊₉_t_{= ⇒}₀ ³ t=2

﹐

3 1,

AH 2 2

=  

 ﹐∴

⁹ ¹ ¹⁰ ¹⁰

4 4 4 2

AH



= + = =

_﹒

21.等腰梯形 ABCD ﹐AD//BC ﹐^AB



⁼

(

^24,⁻²

)

_﹐_AD



= −

₍

_{4, 10}

₎

_{﹐則 BC CD}

 

_⋅ ₌____________﹒

解答 −348

解析 ∵^AD



^{= −}

(

^{4, 10}

)

_{= −}₂

₍

_{2, 5}

₎

_﹐又_{BC AD}

 

_// ﹐

∴設

^C

(

²⁴⁻^{2 ,}^t ^{− +}² ⁵^t

) ^﹐

CD=AB⇒CD² =AB²

⇒

(

^{28 2}⁻ ^t

) (

²^{+ − +}^{12 5}^t

)

² ⁼²⁴²^{+ −}

( )

² ²

⇒ 784 112− t+4t²+144 120− t+25t² =576+ 4

(8)

⇒ 29t²−232t+348= ⇒0 t²− +8t 12=0

⇒

(

^t⁻⁶

)(

^t⁻²

)

⁼⁰

^﹐

∴t= ﹐2（不合此時為菱形）﹐∴6 ^C

(

^{12, 28}

)

^﹐

(

^{12, 30}

) (

^{16, 18}

)

^{192 540} ³⁴⁸

BC CD

 

⋅ = − ⋅ − − = − = − _﹒ 22. AB： 2

2 3 x t

y t

 = +

 = − +

 ﹐1≤ ≤ ﹐且 AB 與 L：t 2 x+2y+ = 相交﹐則 k 的範圍為_________________﹒ k 0 解答 − ≤ ≤ − 5 k 2

解析 t=1, 2⇒ A

( )

3, 1 ﹐B

(

4, 1− ﹐∵ AB 與 L 相交﹐ A ﹐ B 在 L 異側，∴ ( ) ( ) 0

)

L A L B⋅ ≤

⇒

(

^{3 2}^{+ +}^k

)(

⁴^{− +}² ^k

)

^≤⁰ ⇒

(

^k⁺⁵

)(

^k⁺²

)

^{≤ ﹐∴ 5}⁰ − ≤ ≤ − ﹒ k 2

23.設



^a ⁼

( )

^{3, 1} ﹐若長度為 4 之向量 b



與 a



之夾角為 45° ﹐則 b =



______________________﹒

（有兩解）

解答

(

⁶⁻ ^{2, 6}⁺ ²

)

^或

(

⁶⁺ ^{2, 2}⁻ ⁶

)

解析

( )

^{3, 1}

a =

 之方向角為

30°

﹐

∴ 

b

之方向角可為

75°

或

− °15

﹐

∴ 

b =

(

4cos 75 , 4sin 75° °

) _或 ₍

_{4 cos}

₍

_{− °}_{15 , 4sin}

₎ ₍

_{− °}₁₅

₎ ₎

⁼

(

⁶⁻ ^{2, 6}⁺ ²

) ^或 (

⁶⁺ ^{2, 2}⁻ ⁶

) ^﹒

1-3 向量的坐標表示 法

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.09.30 範

圍