1-1 有向線段與向量

(1)

例題 1

正六邊形 ABCDEF 中，若 AB＝a，BC＝b，則：

1 以 a ，b 表示下列向量：

○1 CD＝；○2 DE＝；○3 FD＝ ‧ 2 各邊可以決定種不同的向量‧

■^解：1 ○1 CD＝AF＝b－a；○2 DE＝－a；○3 FD＝a＋b 2 ○1 AB＝ED＝a；○2 BA＝DE＝－a；○3 AF＝CD＝b－a ○4 FA＝DC＝a－b；○5 BC＝FE＝b；○6 CB＝EF＝－b

例題 2

對於圖中的平行六面體，下列敘述何者為真？

A HG＝AB B AE＋EH＋HD＋DA＝ 0 C AB＋BC＝AC D AF＋BC＝AD＋DG＝AH＋AB E AH＋GB＝ 0

■^解：A HG＝AB

B AE＋EH＋HD＋DA＝AA＝0 C AB＋BC＝AC

D AF＋BC＝AF＋FG＝AG＝AD＋DG ………○1

又 AB＝HG ∴AH＋AB＝AH＋HG＝AG ………○²

由○1、○²知 AF＋BC＝AD＋DG＝AH＋AB E AH＝－GB ∴AH＋GB＝0

故全選

(2)

例題 3

如右圖，下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO，QO 之和等於

零向量？A AO B BO C CO D DO E EO‧

■^解：如右圖，取 OP'＝PO，

則 QO＋PO＝QO＋OP'＝QP'CO＋QP'＝0 （∵CO 與 QP' 長度相同、方向相反）故選^C

例題 4

如右圖，D 在△ABC 之 ─

BC 邊上，且 ─

CD＝2─

BD，G 為 ─ AC 之

中點，若將 GD 向量寫為 GD＝rAB＋sAC，其中 r 及 s 為實

數，則 r＋s 之值等於^A 1 2 ^B

2 3 ^C

1

3 ^D－ 1

3 ^E－ 4 3

■^解：GD＝GA＋AB＋BD ＝－ 1

2 AC＋AB＋ 1

3 BC＝－ 1

2 AC＋AB＋ 1

3 （AC－AB）

＝ 2

3 AB－ 1

6 AC ∴r＋s＝ 1

2 ，故選A

例題 5

如右圖，O 為正方形 ABCD 對角線的交點，且 E，F，G，H 分別 為 ─

OA，─ OB，─

OC，─

OD 的中點‧試問下列何者為真？

A AB＋BC＝AE＋EF＋FG＋GC B AB＝2EF

C AB－BC＝DB D AB＋BF＋FE＝GC E AE‧BF＝0

■^解：A AB＋BC＝AC＝AE＋EG＋GC＝AE＋（EF＋FG）＋GC B EF＝OF－OE＝ 1

2 OB－ 1

2 OA＝ 1

2 （OB－OA）＝ 1 2 AB C AB－BC＝－（BA＋BC）＝－BD＝DB

(3)

E ∵←→

AE ⊥─

BD ∴AE‧BF＝0 故全選

例題 6

設 u //﹨ v 且 x，y ，若（x－y＋2）u ＋（－x＋2y－5） v ＝0 ，求 x，y 之值‧

■^解：



^{x－y＋2＝0}

－x＋2y－5＝0 ∴



^x＝1 y＝3 例題 7

若正六邊形 ABCDEF 邊長為 2，則 AC‧BE＝ ‧

■^解：AC‧BE＝（AB＋BC）‧BE＝AB‧BE＋BC‧BE ＝─

AB‧─

BE‧cos120°＋─ BC‧─

BE‧cos60°

＝2‧4‧（－ 1

2 ）＋2‧4‧ 1 2 ＝0

例題 8

如右圖，ABCDEF 是邊長為 1 的正六邊形，則下列各內積的大 小排列為何？

A AB‧AB B AB‧AC C AB‧AD D AB‧AE E AB‧AF

■^解：A AB‧AB＝｜AB｜²＝1

B AB‧AC＝｜AB｜｜AC｜‧cos∠BAC＝1‧ 3 ‧cos30°＝ 3 2 C AB‧AD＝｜AB｜｜AD｜‧cos∠BAD＝1‧2‧cos60°＝1 D AB‧AE＝｜AB｜｜AE｜‧cos∠BAE＝1‧ 3 ‧cos90°＝0 E AB‧AF＝｜AB｜｜AF｜‧cos∠BAF＝1‧1‧cos120°＝－ 1

2 ∴B＞A＝C＞D＞E

(4)

例題 9

兩向量 AB 與 CD 之間的夾角是 120°且大小分別是 6 與 4，試求：

1 ｜AB＋CD｜‧ ² ｜2AB＋3CD｜‧

■^解：1 ｜AB＋CD｜²＝（AB＋CD）‧（AB＋CD）＝∣AB∣²＋2AB‧CD＋∣CD∣² ＝36＋2‧6‧4‧cos120°＋16＝28

∴｜AB＋CD｜＝ 28 ＝2 7

2 ｜2AB＋3CD｜²＝（2AB＋3CD）‧（2AB＋3CD）＝4∣AB∣²＋12AB‧CD＋9∣CD∣² ＝4‧36＋12‧6‧4‧cos120°＋9‧16＝144

∴｜2AB＋3CD｜＝12

例題 10

設 a ，b 為兩向量，若｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，則 a‧b＝ ‧

■^解：｜a＋b｜²＝｜a｜²＋2a‧b＋｜b｜²＝16 ………○1

｜a－b｜²＝｜a｜²－2a‧b＋｜b｜²＝4 ………○2 ○1－○2得 4a‧b＝12 ∴a‧b＝3

例題 11

若兩向量 a ，b 滿足 3a＋2b＝0，且｜b｜＝6，則 a‧b＝ ‧

■^解：

由 3a＋2b＝0 得 a＝－ 2

3 b，知 a，b 反向且｜a｜＝ 2

3 ｜b｜＝4 故 a‧b＝｜a｜｜b｜cos180°＝4‧6‧（－1）＝－24

例題 12

設｜b｜＝2｜a｜，若 a＋b 與 5a－2b 垂直，則 a 與 b 夾角的餘弦值為 ‧

■^解：（a＋b）‧（5a－2b）＝0 5｜a｜²＋3a‧b－2｜b｜²＝0

(5)

故 cosθ＝

| |2 1

| || | | | 2 | | 2

a b a

a b a a

  



  

   

例題 13

正三角形 ABC 的邊長為 1，─

AH 為 ─

BC 上的高，則

（BC＋AH）‧CA＝ ‧

■^解：（BC＋AH）‧CA＝BC‧CA＋AH‧CA ＝─

BC‧─

CA‧cos120°＋─ AH‧─

CA‧cos150°

＝1‧1‧（－ 1

2 ）＋ 3

2 ‧1‧（－ 3

2 ）＝－ 1 2 － 3

4 ＝－ 5 4

例題 14

△ABC 中，─

AB＝5，─

BC＝6，─

CA＝7，則：

1 CA‧CB＝ ‧² CA‧AB＝ ‧

3 AB‧BC＝ ‧

■^解：

1 CA‧CB＝｜CA｜｜CB｜‧cosC＝｜CA｜｜CB｜‧｜CA｜²＋｜CB｜²－｜AB｜² 2｜CA｜｜CB｜

＝ 1

2 （｜CA｜²＋｜CB｜²－｜AB｜²）＝ 1

2 （7²＋6²－5²）＝30 2 CA‧AB＝－AC‧AB＝－ 1

2 （｜AC｜²＋｜AB｜²－｜BC｜²）＝－ 1

2 （49＋25－36）＝－19 3 AB‧BC＝－（BA）‧（BC）＝－ 5²＋6²－7²

2 ＝－6