有理函數的無窮遠處極限
單維彰‧2014 年 8 月
我們在這一節裡探討
lim ( )
x
F x
形式的極限問題，但是專門考慮 ( )F x 是有理函 數的情況。有理函數的名字來自於有理數，所謂有理數 (rational number) 是
整數
整數 形式的數。數學家經常把多項式對應於整數，例如整數可以做因數分解，
多項式可以做因式分解。把整數換成多項式，有理數的觀念就換成有理函數了。
所謂有理函數 (rational function) 是 多項式
多項式 形式的函數。
我們知道一個基本事實，就是 lim 1 0
x x ，分母的絕對值越來越大時，分數 1
x 的絕對值越來越小，不論正負，都趨近於 0。這個事實可以推廣到 1 x 的任 意正數次方，因為
lim 1 lim 1
x
r
xxr x
lim 1 0
0r
x
r
x
所以對所有 r ，都是0 1
lim 0
x r
x 。分子不必是 1，任何實數 a 也可以，因為
lim lim 1 l
im 1 0 0
r r
x x r
x
a a a a
x x x
所以對所有 r ，對任意實數 a，都是0 lim 0
x r
a
x 。注意只有正的次方 r 才可 以，因為如果是負的次方，分子分母就要顛倒，那就不一樣了。
處理有理函數無窮遠處的極限的一般性方法，就是把分子和分母「同除以分 母的最高次項」。例如
3 2
2
) 2 1
( 2
3 x x F x x
x
分母的最高次項是x ，因此 2
3 2 2
2 2
2 1
( ) 3
2
F x x x x
x x x
2
2 1 1 3 2
x x
x
現在，如果做
lim ( )
x
F x
，可以先運用前面的知識，知道
2
lim 1 0
x x 和 2 lim
xx 。
所以分母只會留下一個數（首項係數），提出來之後，就是多項式2x1在無窮 遠處的極限，我們知道它是沒有上界的那種不存在，又稱為發散，記作；算式 如下。
3 2
lim li 2 2 1
( ) m 3 2
x x
x x
F x x x
2
2 1 1 3 2 lim
x
x x
x
lim2 3 1
x
x
1 2
3 lim 1
x x
1
3
但是 除以 3 還是沒有上界，所以整個極限還是沒有上界，所以最後的結論還 是發散到 。
朝向另一個方向的無窮遠處極限 x 作法是一樣的，但是要注意正負 號。
3 2
2 1
lim 3
2
x
x x
x x
1 2
3 lim 1
x x
1
3
是無量下跌的意思，無止境地下降。它的1
3仍然是無止境地下降，所以 1
3 。
一般而言，只要分子的次數比較高，則無窮遠處的極限就是
xlim 高次
低次 或 ，簡記為
用同樣的手法，我們再做一個例子，這次分母的次數比較高。例如取
2 3
( 1
) x x2
F x x
x
討論它在無窮遠處的極限，還是先將分子和分母同除以分母的最高次x ，然後3 先將分子和分母上面的 ar
x 取極限為 0，像這樣：
2 3
( 1
im li
l ) m 2
x x
x x
F x x x
2 3
2
1 1 m
1 li
1 2
x
x x x
x
0 0
1
一般而言，只要分母的次數比較高，做完以上步驟之後，分子就是零，而分母非 零，所以結果必為零。也就是說
0
xlim 低次 高次
同學可能現在已經猜到了，接下來要講分子和分母同次的情況。譬如
3
( 3
) 2x 1
F x x
x
用前述同樣的作法，得到了
3
lim lim 3 1
( ) 2
x x
F x x
x x
3
2
1 1 lim 1
x 2
x x
lim 1 1 2 2
x
同學應可理解，一般而言
xlim L
同次 首項係數
同次 首項係數
在這種情況，F x( )的函數圖形有水平漸近線yL。 做個結論：
xlim 高次
低次 或
0
xlim 低次 高次
xlim L
同次 首項係數
同次 首項係數 ，此時F x( )有水平漸近線yL
