2 極限 (limits) 與
導數 (derivatives)
2.3 極限的運算
極限的運算
在這一節裡我們會介紹極限的四則運算：
極限的運算
我們簡單講述一下運算的法則：
極限的加法 1. 兩函數相加取極限等於極限值相加。
極限的減法 2. 兩函數相減取極限等於極限值相減。
極限與常數的乘法 3. 函數乘上常數倍後取極限，等於其極 限值乘上該常數。
極限的運算
極限的乘法 4. 函數相乘後取極限等於極限值相乘。
極限的除法 5. 函數相除後取極限，若分母的極限不 為 0 ，其值等於極限值相除。
舉例說明，若 f(x) 很靠近 L ， g(x) 很靠近 M ，則我們自然 很合理地可以這麼說： f(x) + g(x) 很靠近 L + M 。
範例一
利用極限的運算，給定下圖中的函數 f(x) 跟 g(x) ，試計算下 列極限之值：
範例一 (a) / 解
從圖我們可以看出， f(x) 和 g(x) 在 x 趨近 -2 的極限分別為
因此從極限的加法、與常數的乘法可以知道：
(極限加法)
(與常數乘法)
範例一 (b) / 解
接著我們看 x 趨近 1 的極限，顯然 f(x) 會趨近 2 ，但是 g(x) 的左右極限並不一樣：
這個時候就沒有辦法用極限的乘法了，不過我們還是可以考 慮單邊極限的乘法：
所以顯然乘法的左、右極限值不同，其極限不存在。
cont’d
範例一 (c) / 解
再來，觀察 x 靠近 2 的極限：
注意到在分母的 g(x) 其極限值為 0 ， 因此無法使用極限的除法。
而 f(x)/g(x) 的極限也因此不存在，由於 g(x) 越靠近 0 ，而
Figure 1
cont’d
極限的運算
重複使用極限的乘法，將 g(x) 都以 f(x) 替換，會有以下的運 算：
在利用這些運算之前，我們先看這兩個簡單的極限：
這個結果很直覺，只要觀察 y = c, y = x 兩個函數的圖形就可 極限的冪次
極限的計算
我們考慮 f(x) = x ，利用極限的冪次運算以及 x 趨近 a 的結 果可以得到：
依此類推，我們對於開 n 次方根也有類似的結果：
更一般的情況我們有開方根的極限運算：
由前面推導，我們可以發現只要分母不會趨近 0 ，取 x 趨近 a 的極限時，可以直接代入 a 值計算。因此有這樣的定理：
其實不只是多項式滿足這個定理，以後我們遇到這樣的函數，
即取 x 趨近 a 的極限等於直接代入 a 計算值的函數，都稱這 個函數在 x = a 連續。
極限的運算
[定理]
若 f(x) 為 x 的多項式或者有理式，且 a 落在 f 的定義域內，
則 f(x) 在 x 趨近 a 的極限可以直接代入 a ，即 f(a) ，也就是 limx→a f(x) = f(a)
極限的運算
回憶上一節，我們知道：函數的極限存在，等價於，其左、
又極限存在且極限值相同。
所以計算單邊極限的結果也是很重要的。
而就像前面的例題一樣，我們也常應用極限的運算在單邊極
極限的運算
極限也可以比較，我們有以下兩個定理：
[定理]
若 x 在 a 附近但 x ≠ a 時，函數 f, g 均滿足 f(x) ≤ g(x) ，且在 x 趨近 a 時， f(x), g(x) 的極限均存在，則
limx→a f(x) ≤ limx→a g(x)
[夾擠定理(Squeeze Theorem)]
假設 x 在 a 附近但 x ≠ a 時，函數 f, g, h 均滿足 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ， 若在 x 趨近 a 時，limx→a f(x) = limx→a h(x) = L ，則
極限的運算
夾擠定理，有時候我們也稱為三明治定理 (Sandwich Theorem) 。這個定理的內涵我們可以刻畫如下圖：
我們說 g(x) 在 a 的附近被 f(x) 跟 h(x) 夾擠，表示在 x 趨近 a 時， f(x) 跟 h(x) 的極限值存在且相等。
假設 f(x) 跟 h(x) 的極限值同為 L ，則由於 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ， g(x) 在 x 趨近 a 的極限值被迫一定要是 L 。
